安徽省合肥市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试卷Word版含答案

【考点】71：不等关系与不等式．

【分析】由于a＜b＜0，不妨 令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结
论．

【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得
确．

可得ab=2，b
2
=1，∴ab＞b
2
，故B不正确．

可得﹣ab=﹣2，﹣a
2
=﹣4，∴﹣ab＞﹣a
2
，故C不正确 ．

故选D．



请在下面A题和B题中选做一题【A】

12．已知定义在R上的函数f（x）对任意 的实数x
1
、x
2
满足f（x
1
+x
2
） =f（x
1
）+f（x
2
）+2，
且f（1）=0，则f

A．4032 B．2016 C．2017 D．4034

=﹣1，∴，故A不正
【考点】3P：抽象函数及其应用．

【分析】运用赋 值法，分别求出f（2），f（3），f（4），总结规律得到f（n）=2n﹣2，由此能
求出f=0 ，

f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，

f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，

f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，

…

∴f（n）=2n﹣2．

用数学归纳法证明如下：

（1）当n=1时，f（1）=2×1﹣2=0，结论成立．

（2）假设n=k时，结论成立，即f（k）=2k﹣2，

则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k﹣2+2=2k，

结论也成立，

由（1）、（2）知，f（n）=2n﹣2．

∴f 设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x、y∈R都有f（x）?f（y）=f（x+y），若a
1
=，a
n
=f（n）（n∈N
*
），则数列{a
n
}的前n项和S
n
的取值范围是（ ）

A．[，1） B．[，1] C．（，1） D．（，1]

【考点】8E：数列的求和．

【分析】根据f（x）?f（y）=f（x+y），令 x=n，y=1，可得数列{a
n
}是以为首项，以为公比
的等比数列，进而可以求得 S
n
，运用单调性，进而得到S
n
的取值范围．

【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），

∴令x=n，y=1，得f（n）?f（1）=f（n+1），

即==f（1）=，

∴数列{a
n
}是以为首项，以为公比的等比数列，

∴a
n
=f（n）=（）
n
，

∴S
n
==1﹣（）
n
，

由1﹣（）
n
在n∈N*上递增，可得最小值为1﹣=，

则S
n
∈[，1）．

故选：A．



二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）

14．已知数列{a
n
}中，a
1
=2，a
n
=a
n﹣1
﹣（n≥2）， 则数列{a
n
}的前12项和为 ﹣9 ．

【考点】8E：数列的求和．

【分析】由题意可得数列{a
n
}为 首项2，公差d为﹣的等差数列，再由等差数列的前n项和
的公式，计算即可得到所求和．
< br>【解答】解：a
1
=2，a
n
=a
n﹣1
﹣（n≥2 ），

即有a
n
﹣a
n﹣1
=﹣（n≥2），

可得数列{a
n
}为首项2，公差d为﹣的等差数列，

则数列{a
n
}的前12项和为12×2+×12×11×（﹣）

=﹣9．

故答案为：﹣9．



15．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣
120° ．

【考点】HP：正弦定理．

【分析】直接利用正弦定理化简，结合si nA≠0，可得：tanB=
内角和定理即可计算得解．

【解答】解：在△ABC中 ，bsinA﹣
由正弦定理可得：sinBsinA=
∵sinA≠0．

∴sinB=cosB，可得：tanB=，

acosB=0，

，可求B，进而利用三角形
acosB=0，则A+C=
sinAcosB，

∴B=60°，则A+C=180°﹣B=120°．

故答案为：120°．




16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为 8 y的取值范围是 （1，+∞） ．
【考点】7F：基本不等式．

【分析】正实数x，y满足x+2y ﹣xy=0，利用基本不等式的性质可得：x+2y=2xy≤
解出即可得出最小值．由正实数x，y满 足x+2y﹣xy=0，可得x=
取值范围．

【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，

∴x+2y=2xy≤
时取等号．

则x+2y的最小值为8．

由正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，∴x=
∴y的取值范围是（1，+∞）．

故答案分别为：8；（1，+∞）．



＞0，∴y（y﹣1）＞0，解得y＞1．

，化为（x+2y）（x+2y﹣8）≥ 0，解得x+2y≥8，当且仅当y=2，x=4
，
＞0，解出即可得出y的

< br>请在下面A题和B题中任选一题【A】


17．设函数f（x）=mx
2
﹣mx﹣1．若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】通过讨论m=0成立，m≠0时，结合二次函数的性质求出m的范围即可．

【解答】解：m=0时f（x）=﹣1＜0成立，或

m≠0时，结合题意得：

，解得：﹣4＜m≤0，

因此实数m的取值范围（﹣4，0]．



【B】
18．已知函数f（x）=mx
2
﹣mx﹣1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜﹣ m+5恒成立，则m的取
值范围是 （﹣∞，） ．

【考点】3R：函数恒成立问题．

【分析】mx
2
﹣mx﹣1＜﹣ m+5恒成立?m（x
2
﹣x+1）＜6恒成立，继而可求得m＜
立，依题意，可求得 （）
min
=，从而可得m的取值范围．

恒成
【解答】解：依题意 ，x∈[1，3]，mx
2
﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立?m（x
2
﹣x+1 ）＜6恒成立，

∵x
2
﹣x+1=（x﹣）
2
+＞0，

∴m＜恒成立，x∈[1，3]，

又当x=3时，x
2
﹣x+1取得最大值7，

∴m＜（）
min
=，

即m的取值范围是：m＜．

故答案为：（﹣∞，）．



三、解答题（共5小题，满分58分）

19．已知不等式ax
2
+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．

（1）计算a、b的值；

（2）求解不等式x
2
﹣ax+b＞0的解集．

【考点】74：一元二次不等式的解法．

【分析】（1）根据不等式ax
2
+bx﹣1＜0的解集，不等式与方程的关系求出a、b的值；

（2）由（1）中a、b的值解对应不等式即可．

【解答】解：（1）∵不等式ax
2
+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，

∴方程ax
2
+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2，

将两个根代入方程中得
解得：a=，b=﹣；

（2）由（1）得不等式为x
2
﹣x﹣＞0，

即2x
2
﹣x﹣1＞0，

∵△=（﹣1）
2
﹣4×2×（﹣1）=9＞0，

∴方程2x2
﹣x﹣1=0的两个实数根为：x
1
=﹣，x
2
=1；

因而不等式x
2
﹣x﹣＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞1}．



20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积 为
（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，

（2）根据两角余弦公式 可得cosA=，即可求出A=
定理即可求出b+c，问题得以解决．

【解答】解： （1）由三角形的面积公式可得S
△ABC
=acsinB=
∴3csinBsinA =2a，

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，

∵sinA≠0，

∴sinBsinC=；

，

，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦
．

，

（2）∵6cosBcosC=1，

∴cosBcosC=，

∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，

∴cos（B+C）=﹣，

∴cosA=，

∵0＜A＜π，

∴A=
∵
，

===2R==2，

∴sinBsinC=
∴bc=8，

?===，

∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，

∴b
2
+c
2
﹣bc=9，

∴（b+c）
2
=9+3cb=9+24=33，

∴b+c=

∴周长a+b+c=3+


．
< br>21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超
过35微克立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克立方米．我市环保局随机抽
取了 一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克立方米）的监测数据，数
据统计 如表

组别

PM2.5浓度

（微克立方米）

第一组

第二组

第三组

第四组

（0，25]

（25，50]

（50，75]

（75，100]

3

12

3

2

0.15

0.6

0.15

0.1

频数（天）

频率

（1 ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克立方米的天数中，随机抽取2天，求恰
好有一天 PM2.5的24小时平均浓度超过75微克立方米的概率；

（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．

①求图中a的值；

②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年 平均浓度考虑，判断该居民区的
环境质量是否需要改善？并说明理由．


【考点】B8：频率分布直方图．

【分析】（1）设PM2.5的24小时平均浓度 在（50，75]内的三天记为A
1
，A
2
，A
3
，PM2 .5的24
小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B
1
，B
2
，求出基本事件总数，符合条件的基本事件
总数，即可求得概率；

（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得a值；

②利用组中值 ×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否
需要改进．

【解答】解：（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A
1，A
2
，A
3
，

PM2.5的24小时平均浓度在（ 75，100）内的两天记为B
1
，B
2
．

所以5天任取2天的情况有：

A
1
A
2
，A1
A
3
，A
1
B
1
，A
1
B
2
，A
2
A
3
，A
2
B
1
，A
2
B
2
，A
3
B
1
，A
3
B
2
共10种． …

其中符合条件的有：A
1
B
1
，A
1
B
2
，A
2
B
1
，A
2
B
2
，A
3
B
1
，A
3
B
2
共6种． …

所以所求的概率P==． …

（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，

解得：a=0.004

②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.1 5+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5
（微克立方米）．…

因为42.5＞35，

所以去年该居民区PM2.5年平均浓度 不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改
进． …



22．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．


用煤（吨）

3

7

用电（千瓦）

产值（万元）

50

20

12

8

甲产品

乙产品

但国家每天分配给该厂的煤 、电有限，每天供煤至多47吨，供电至多300千瓦，问该厂如何
安排生产，使得该厂日产值最大？最 大日产值为多少？

【考点】7D：简单线性规划的应用．

【分析】由题意得出约束条件和目标函数，作出可行域，变形目标函数平移直线可得结论．

【解答】解：设生产甲、乙两种产品各x吨、y吨，日产值为z万元

由题意得x，y的约束条件为：，

目标函数z=12x+8y，作出可行域（如图阴影）

在图中作直线y=﹣x，当平移至过点A时，Z取最大值，

联立两直线方程可得A（4，5），代入计算可得Z的最大值为88，

故每天生产甲4吨，乙5吨，时日产值最大为88万元．



< br>23．某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建
公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年
多2万元， 同时该机器第x（x∈N
*
，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．

（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求 其最大
值；

（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末 出售挖掘机？说明理
由．

【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】（1）由题意可得总利润y等于总收入减去总成本（固定资产加上维护费），结合二次
函数的最值求法，即可得到最大值；

（2）求得年平均利润为，再由基本不等式，结合x为正 整数，加上即可得到最大值，及对
应的x的值．

【解答】解：（1）y=22x+（ 80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x）

=﹣x< br>2
+16x﹣20=﹣（x﹣8）
2
+44（x≤16，x∈N），

由二次函数的性质可得，当x=8时，y
max
=44，

即有总利润的最大值为44万元；

（2）年平均利润为=16﹣（x+
由x +≥2=4，当x=2
），设f（x）=16﹣（x+
时，取得等号．

），x＞0，

由于x为整数，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，

即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元．

故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机．



请在下面A题和B题中选做一题【A】

24．已知数列{a
n
}的 前n项和为S
n
，且a
1
=1，S
n+1
﹣2S
n
=1（n∈N
*
）．

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）若数列{b
n
}满足b
n
=n+，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）由 题意可得S
n+1
+1=2（S
n
+1），即有数列{S
n
+1}是以S
1
+1=2，2为公比的等比数列，
运用等比数列的通项公式和数列的递 推式，可得所求通项公式；

（2）求出b
n
=n+=n+n?（）
n﹣1
，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差

数列和等比数 列的求和公式，化简计算即可得到所求和．

【解答】解：（1）a
1
=1， S
n+1
﹣2S
n
=1，

即为S
n+1
+1=2（S
n
+1），

即有数列 {S
n
+1}是以S
1
+1=2，2为公比的等比数列，

则S
n
+1=2?2
n﹣1
=2
n
，

即S
n
=2
n
﹣1，n∈N*，

当n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n﹣1
=2
n
﹣1﹣（2< br>n﹣1
﹣1）=2
n﹣1
，

上式对n=1也成立，

则数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2
n﹣1
，n ∈N*；

（2）b
n
=n+=n+n?（）
n﹣1
，

前n 项和T
n
=（1+2+3+…+n）+[1?1+2?（）+3?（）
2
+… +n?（）
n﹣1
]，

设M
n
=1?1+2?（）+3? （）
2
+…+n?（）
n﹣1
，

M
n
= 1?+2?（）
2
+3?（）
3
+…+n?（）
n
，

相减可得， M
n
=1++（）
2
+（）
3
+ …+（）
n﹣1
﹣n?（）
n

=﹣n?（）
n
，

化简可得M
n
=4﹣（n+2）（）
n﹣1
，

?
则T
n
=n（n+1）+4﹣（n+2）（）
n﹣1
．

?


【B】

25．设f
k
（n）为关 于n的k（k∈N）次多项式．数列{a
n
}的首项a
1
=1，前n项和为S
n
．对于任
意的正整数n，a
n
+S
n
=f
k
（n）都成立．

（I）若k=0，求证：数列{a
n
}是等比数列；

（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a
n
}能成等差数列．

【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定；8D：等比关系的确定．

【分 析】（Ⅰ）若k=0，不妨设f
0
（n）=c（c为常数）．即a
n
+Sn
=c，结合数列中a
n
与 S
n
关系

求出数列{a
n
}的通项公式后再证明．

（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由 已知a
n
+S
n
=f
k
（n） 考查数列通项公式求解，以及等差数列
的判定．

【解答】（Ⅰ）证明：若k=0，则 f
k
（n）即f
0
（n）为常数，

不妨设f
0
（n）=c（c为常数）．

因为a
n
+S
n
=f
k
（n）恒成立，所以a
1
+S
1=c，c=2a
1
=2．

而且当n≥2时，

a
n
+S
n
=2，①

a
n﹣1
+S
n﹣1
=2，②

①﹣②得 2a
n
﹣a
n﹣1
=0（n∈N，n≥2）．

若a
n
=0，则a
n﹣1
=0，…，a
1
=0，与已知矛盾，所以a< br>n
≠0（n∈N
*
）．

故数列{a
n
}是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．

（2）若k=1，设f
1
（n）=bn+c（b，c为常数），

当n≥2时，a
n
+S
n
=bn+c，③

a
n﹣1
+S
n﹣1
=b（n﹣1）+c，④

③﹣④得 2a
n
﹣a
n﹣1
=b（n∈N，n≥2）．

要使数列{a
n
}是公差为d（d为常数）的等差数列，

必须有a
n
=b﹣d（常数），

而a
1
=1，故 {a
n
}只能是常数数列，通项公式为a
n
=1（n∈N
*
），

故当k=1时，数列{a
n
}能成等差数列，其通项公式为a
n
=1（n∈N
*
），

此时f
1
（n）=n+1．

（3）若k=2，设f
2（n）=pn
2
+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），

当n≥2时，

a
n
+S
n
=pn
2
+qn+t，⑤
< br>a
n﹣1
+S
n﹣1
=p（n﹣1）
2
+q（n﹣1 ）+t，⑥

⑤﹣⑥得 2a
n
﹣a
n﹣1
=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），

要使数列{a
n
}是公差为d（d为常数）的等差数列，

必须有a
n
=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，

考虑到a
1
=1，所以a
n
=1+（n﹣1）?2p=2pn﹣2p+1（n ∈N
*
）．

故当k=2时，数列{a
n
}能成等差数列，

其通项公式为a
n
=2pn﹣2p+1（n∈N
*
），
< br>此时f
2
（n）=an
2
+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数） ．

（4）当k≥3时，若数列{a
n
}能成等差数列，根据等差数列通项公 式可知Sn是关于n的二次
型函数，

则a
n
+S
n
的表达式中n的最高次数为2，

故数列{a
n
}不能成等差数列．

综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a
n
}能成等差数列．