-2018学年安徽省合肥七中高一分班考试数学试题及答案

数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共1 2小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1、设集合
A?x2?4
，集合
B?xy?lg
?
x?1
?
， 则
A?B?
（ ）
x
??
??
A.
?
1,2
?
B.
?
1,2
?
C.
?
2,??
?
D.
?
1,??
?

2、观察下表：
x

－3 －2 －1 1 2 3
f
?
x
?

g
?
x
?

5 1 －1 －3 3 5
1 4 2 3 －2 －4
则
f
?
?
g
?
3
?
?f
?
?1
?
?
?
?
（ ）
A．3 B．5 C．－3 D．4
3、下列函数中,最小正周期为
?
且为奇函数的是（ ）
A.
y?cos(2x?
?
)
B.
y?sin(2x?)

22
?
C.
y?sin2x?cos2x
D.
y?sinx?cosx

4、方程
sinx?x?0
解的个数为（ ）
A. 5 B.3 C. 1

5、已知
lg2?a,lg3?b
，则< br>log
2
15
可用
a,b
表示为（ ）
A.
b?a?1b?a?1b?a?1b?a?1
B. C. D.
aaaa
6、与向量
a?
?
12,5
?
平行的单位向量为（ ）

A．
?
5
?
5
??
12
?
12
，-
?
B．
?
?，-
?

13
?
13
?
?
13
?
13
C．
?
5
?
5
??
125
??
12
?
125
??
12
，?
或
?
?，?
?
D．
?
?，
?
或
?
，?
?

?
1313
?
?
1313
??
1313
??
1313
?
7、连掷两次骰子分别得到点数
m,n
，则向量
?
m,n
?
与向量
?
1,?1
?
的夹角
?
?90
?
的概率是 ( )
A.
5711
B. C. D.
121232

8、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A. 2 B.
2sin1
C.
2
D.
sin2

sin1
9、更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的 一种算法，
右图是该算法的程序框图，如果输入
a?102
，
b?238
，则输出
的
a
值是( )
A. 68 B. 17 C. 34 D. 36


ab
10、设
a?0
，
b?0
，
lg2
是
lg4
与
lg2
的等差中项，则
21
?
的最小值为（ ）
ab
A.
22
B. 3 C. 4 D. 9 11、在等差数列
?
a
n
?
中，前四项之和为40，最后四项之 和为80，所有项之和是210，
则项数
n
为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
12、函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x??
b
对称. 据此可 推测，对任意的非零实数
2a

a,b,c,m,n,p
，关于
x
的方程
m
?
f(x)
?
2
?nf(x)?p?0
的解集都不可能是（ ）
A.
?
1,2
?
B
?
1,4
?
C
?
1,2,3,4
?
D
?
1,4,16,64
?

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案写在答题卡上）
?
x ?y
≥
?1，
?
13、设变量
x
，
则目标函数z?4x?y
的最大值为
，y
满足约束条件
?< br>x?y
≥
1
?
3x?y?3．
?
14、已知
tan
?
?
?
?
?
?
2
?
?1
?
?
?
?
,tan
?
?
?
?
?
，则
tan
?
?
?
?
的值为____ ______
54
?
4
4
?
?
?
15、 已知设向量
a
，
b
不平行，向量
?
a?b
与
a?2b
平行，则实数
?
?
_________
2
16 、已知直角
?ABC
的两直角边
AB,AC
的边长分别是方程
x?2 (1?3)x?43?0
的两根,且
AB?AC
,斜边
BC
上有异于 端点
B,C
的两点
E,F
且
EF?1
,设
?EAF ?
?
,则
tan
?
的取值范围是

< br>三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余各题12分。请把正确答案写在答题卡对应 位
置上）
17、（本小题满分10分）
?
1
?
(1) 设
?
,
?
为方程
2x?3x?1?0
的两个根，求
??
?
4
?
2
?
?
?
?
1
?
?
??
的值
?
4
?
??
(2)已 知
x?y?12
，
xy?9
且
x?y
，求
x?y< br>x?y
1
2
1
2
1
2
1
2
的值
18、（本小题满分12分）
某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试， 学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人
的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女 生数学成绩的频率分布直方图．

（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少
（Ⅱ）在（Ⅰ） 中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有一名男
生的概率．




19、（本小题满分12分）
已知等差数列?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
a
4
?9
，
S
3
?15
．
（1）求
S
n
；
?
1
?
3
（2 ）设数列
??
的前
n
项和为
T
n
，证明：
T
n
?
．
4
?
S
n
?
20、（本小题满分12分）
已知向 量
a?(2cosx,2),b?(cosx,)
,记函数
f(x)?a?b?3si n2x.

1
2
(Ⅰ)求函数
f(x)
的最值以及取得最值 时
x
的集合;
(Ⅱ)求函数
f(x)
的单调区间.

21、（本小题满分12分）
x
2
已 知函数
f(x)?
（
a,b
为常数）且方程
f(x)?x?12?0
有两个实根为
x
1
?3
，
x
2
?4
。
ax?b
（1）求函数
f(x)
的解析式；（2）设< br>k?0
，解关于
x
的不等式：
f(x)?






22、（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?2sin
?
x(0?
?
?1)
在
[0,
(k?1)x?k

2?x
?
2
]
上的最大值为
2
,当把
f(x)
的图象上的所有点向右平移
6
?
7
?
对称.
?
(0?
?
?)
个单位后,得到图像对应的函数
g(x)
的图像关于直线
x?
2
(Ⅰ)求函数
g(x)的解析式;
(Ⅱ)在
?ABC
中, 三个内角
A,B,C
所对 的边分别是
a,b,c
,已知
g(x)
在
y
轴右侧的第一个 零点为
C
,
若
c?4
,求
?ABC
的面积
S
的最大值.

数学答案
1
C

13、11 14、
2
B
3
A
4
C
5
B
6
C
7
A
8
C
9
C
10
D
11
B
12
D
31
15、
222
16 、
?
?
343
?
?
9
,
11
?< br> 。
??
思路分析：先算出
AB,AC
的值，建立坐标系，< br>tan
?
的变化是由F的位置变化引起的，这个设
?
?
3?
?
BF?
?
BC
?
?
?
?
0，,
?
?
，
?
用来限定F的位置。可以将
tan
?
表示为变量
?
的函数，再求解范围。
?
4
?
??
解析：由题可知
AB?2,AC?23
，
BC?AB
2
?AC
2
?4
,建立如图所示的坐标系，

易得,
?
?
3
?
?
A（0,0）,B (2,0),C(0，23)
，设
BF?
?
BC
?
?
?
?
0，,
?
?
，
?
4
?
? ?
?
3
1
?
3
?
?
BE?
??
?
?
BC
,则
F2?2
?
，23
?
,
E
?

?2
?
，23
?
??
??
4
22
??
??
??
所以
AE ?AF
?
(2?2
?
,23
?
)?
(?2
?
,23
?
?
3
2
3
)?

2< br>11111
3?4
?
?3
?
?4
?
2
?12
?
2
?3
?
?16
?
2
?4?
?3?16(
?
?)
2
??[,9)
,由题
A
到
BC
边的距
844
离
d
为定值
S?AEF
13
AB?AC
为定值.所以
?3
,则
?AE F
的面积
S
?AEF
?EF?3?
22
BC
AE? AF
1
AE?AF?sin
?
?
343
?
S
?AEF
3
1
2
?
?
?
?
,
? tan
?
，故
tan
?
?2
?
.
?911
2
AE?AFAE?AF
AE?AF?cos
?
??

?
33
?
23
?
,
E
?
方法二：由
F2?2
?
，
23
?
?
?
?
2
?2
?
，
?
，得
2
??
??
tan?FAB?
3
?
4
?
?1
?
3?
,
tan?EAB?
，所以
tan
?
?tan
?
?EAB??FAB
?

3?4
?
1?
??
343
?
?,
?
?

2
?
1
?
11
?
911
?
?
?
3
ta n?EAB?tan?FAB
??
2
1?tan?EABtan?FAB
16
?
?4
?
?3
3
16
?
?
??
8
?
?
?
4

17、
解:(1)由 韦达定理，得
?
?
?
??
3
2
,
???
1
2
,
?
?
???
?
31
所以
?
?
1
?
?
?
?
?
1?
?
?
2
?2
?
2
?
4
??
4
?
?
?
?
2
?2
?
2
?
17
2
.

2
11
?
11
2 2
?
22
?
x?y
?
(2)∵
x?y
??
x?y?2
?
xy
?
1
2
11
?
1
?
，①
x
2
?y
2
?
1
?< br>x
2
?y
2
??
11
??
x
2?y
2
?
x?y
???
?
?
又∵
x? y?12
，
xy?9
，②
∴
?
x?y
?
2
?
?
x?y
?
2
?4xy?12
2
? 4?9?108
．
∵
x?y
，∴
x?y??63
．③
111
将②、③代入①式得
x
2
?y
2
2?9< br>2
11
?
12?
?63
??
3
x
2
?y
2
3

18、
解：（Ⅰ）由题可得，男生优秀人数为< br>100?
?
0.01?0.02
?
?10?30
人，
女生优秀人数为
100?
?
0.015?0.03
?
?10?45< br>人．

（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是
51
?
， 30?4515
所以样本中包含男生人数为
30?
11
?2
人， 女生人数为
45??3
人．
1515
设两名男生为
A
1< br>，
A
2
，三名女生为
B
1
，
B
2< br>，
B
3
．
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
?
A
1
,A
2
?
，
?
A
1
,B
2
?
，
?
A
1
,B
3
?< br>，
1
,B
1
?
，
?
A
?
A
2
,B
1
?
，
?
A
2
,B
2
?
，
?
A
2
,B
3
?
，?
B
1
,B
2
?
，
?
B
1< br>,B
3
?
，
?
B
2
,B
3
?
共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件
C
：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件
C
包含的基本事件有：
?
A
1
,A
2
?
，
?
A
1
,B
1
?
，
?
A
1
,B
2?
，
?
A
1
,B
3
?
，
?< br>A
2
,B
1
?
，
?
A
2
, B
2
?
，
?
A
2
,B
3
?
共7个．
所以
P
?
C
?
?
77
，即选 取的2人中至少有一名男生的概率为．
1010
a
4
?a
2
?2
，
2
19、
（1）
S
3
?3a
2
?15?a
2
?5
，
?d?
?a
n
?2n?1
，
S
n< br>?
3?2n?1
?n?n
?
n?2
?
；
2
（2）
T
n
?
11
??
1?32?4
?< br>11
?
11111
?
?
1??????
n
?
n?2
?
2
?
32435
11
?
???

nn?2
?
?
1
?
111
?3
1???
??
?
.
2
?
2n+1n?2< br>?
4
20、
f(x)?a?b?3sin2x
?1?2cos
2
x?3sin2x?cos2x?3sin2x?2
…………2分
π
?2sin(2x?)?2
.…………3分
6
(1)当且仅当< br>2x?
π3π
2π
(k?Z)
时，
f(x)
min< br>?0
，
?2kπ?
,即
x?k
π
?
62
3

此时
x
的集合是
?
x
|
x?k
π
?
?
?
2
?
π,k?Z
?
.…………5分
3
?
(2)当且仅当
2x?
πππ
?2 kπ?
，即
x?k
π
?
(k?Z)
，
f
?
x
?
max
?4
,
6
62
此时
x
的集合是
?
x|x?kπ?
?
?
?
?
, k?Z
?
.…………7分
6
?
(Ⅱ)由
2kπ－
πππππ
?
2
x??2kπ?
(
k?Z
)
，所以
kπ－?x?kπ?(k?Z)
,
26236
ππ
,kπ?
](
k?Z
)
.…………9分
36
∴函数
f(x)的单调递增区间为
[kπ-
由
2kπ+
ππ3ππ2π
?2x? ?2kπ?(k?Z)
，所以
k
π+
?x?k
π
?
(
k?Z
)

26263
π2π
,kπ?](k?Z)
.…………11分
63< br>∴函数
f(x)
的单调递减区间为
[kπ+
综上，函数
f(x )
的单调递减区间为
[kπ+
π2π
,kπ?](k?Z)
，单调递 增区间为
63
ππ
[kπ-,kπ?
](
k?Z
)
.…………12分
36

x
2
?x?12?0
得 21 解：（1）将
x
1
?3,x
2
?4分别代入方程
ax?b< br>?
9
??9
?
?
a??1
x
2
?< br>3a?b
解得
?
,所以f(x)?(x?2).

?
16b?2
2?x
?
?
??8
?
?
4a?b
x
2
(k?1)x?kx
2
?(k?1)x?k
?,可化为?0< br> （2）不等式即为
2?x2?x2?x
即
(x?2)(x?1)(x?k)? 0.

①当
1?k?2,解集为x?(1,k)?(2,??).