安徽省合肥高一数学下学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷

一、选 择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目 要求的.
1．在△ABC中，一定成立的等式是（ ）
A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA
2．等差 数列{a
n
}中，a
4
+a
5
+a
6
=3 6，则a
1
+a
9
=（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
3．以下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．y=x+
C．y=1gx+
B．y=3+3
（0＜x＜1） D．y=sinx+（0＜x＜）
x﹣x
4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（ ）
A．﹣ B．4 C．﹣4 D．﹣8
5．若实数a，b满足+=
A． B．2 C．2 D．4
（n∈N
+
），则该数列的前10项的乘积a
1
? a
2
?a
3
…a
10
，则ab的最小值为（ ）
6．若数列{a
n
}满足a
1
=，a
n+1
=
等 于（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．关于x的不等式ax
2
+b x+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx
2
﹣ax﹣2＞0
的解集为 （ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
D．（﹣1，2）
8．数列1，
A．
，
B．
，…，
C．
的前n项和为（ ）
D．
9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
10．已知数列{a
n
} 满足{a
n
}=，若对于任意的n∈N
*
都有a
n
＞an+1
，则
实数a的取值范围是（ ）
1 15

A．（0，） B．（0，） C．（，） D．（，1）
11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
12． 已知正项等比数列{a
n
}满足：a
7
=a
6
+2a
5
，若存在两项a
m
，a
n
，使得
+
A．
的最小值为（ ）
B． C． D．
=4a
1
，则

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S
△ABC
=3，则角C= ．
14．已知数列{a
n
}为等比数列，前n项和为S
n
，且a< br>5
=2S
4
+3，a
6
=2S
5
+3，则此 数列的公比
q= ．
2
15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是 ．
16．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的
所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个
数列{a< br>n
}，若a
k
=2017，则k= ．


三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a＜0，解关于x的不等式ax
2
+（1﹣a）x﹣1＞0．
1 8．设数列{a
n
}的前n项和S
n
满足：S
n
=n
2
，等比数列{b
n
}满足：b
2
=2，b
5
= 16
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式；
（2）求数列{a
n
b
n
}的前n项和T
n
．
19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．
（1）若a=2，b=3，求c；
（2）若C=，求角B．
S
n
．求证： 20．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
=1，a
n+1
=
2 15

（1）数列{}成等比；
（2）S
n+1
=4a
n
．
21．滨湖区拟建一主题游戏 园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题
活动区，其中∠ACB=60°，∠ ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽
度），且∠ADC=120°，通道 AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．
（1）求AC的长度；
（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．

22．已知数列{a
n
}满足a
1
=，a
n
=（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b
n
=，求数列 {b
n
}的前n项和S
n
；
（3）设c
n
=a
n
sin
．

，数 列{c
n
}的前n项和为T
n
．求证：对任意的n∈N
*
， T
n
＜
3 15

2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．在△ABC中，一定成立的等式是（ ）
A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理表示出a，b，s inA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定
正确．
【解答】解：根据正弦定理得：
=，即asinB=bsinA．
故选C

2．等差数列{a
n
}中，a
4
+a
5
+a
6
=36，则a
1
+a
9
=（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列{a
n
}中，当p+q=2m时，a
p
+a
q
=2a
m
， 即可算出正确的结论．
【解答】解：在等差数列{a
n
}中，
∵a
4
+a
5
+a
6
=3a
5
=36，
∴a
5
=12；
∴a
1
+a
9
=2a
5
=24．
故选：C．

3．以下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．y=x+
C．y=1gx+
B．y=3
x
+3
﹣x

（0＜x＜1） D．y=sinx+（0＜x＜）
【考点】基本不等式．
【分析】根据基本不等式求最值的形式，逐个选项验证“一正，二定，三相等”即可．
【解答】解：A中不满足x＞0；
B中，y=3
x
+3
﹣x
≥2，当且仅当3
x
=3
﹣x
即x=0时取等号；
C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；
D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；
故选：B．

4．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（ ）
4 15

A．﹣ B．4 C．﹣4 D．﹣8
【考点】简单线性规划．
【 分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，联立方程组求得 最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（﹣2，2），
化目标函数z=x﹣3y为
由图可知，当直线
﹣2﹣3×2=﹣8．
故选：D．

5．若实数a，b满足+=
A． B．2 C．2 D．4
【考点】基本不等式．
【分析】由+=
解ab的最小值
【解答】解：∵+=
∴a＞0，b＞0，
∵
∴
解可得，ab
，
，
过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为
，则ab的最小值为（ ）
，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求
（当且仅当b=2a时取等号），
，
，即ab的最小值为2，
5 15

故选：C．

6．若数列{a
n
}满足a
1
=，a
n+1< br>=
等于（ ）
A．3 B．1 C． D．
【考点】数列递推式．
【分析】可判断数列{a
n
}的周期为4，从而求得．
【解答】解：∵a
1
=，a
n+1
=，
（n∈N
+
），则该数列的前10项的乘积a
1
?a
2
?a
3
…a
10
∴a
2
==3，
a
3
==﹣2，
a
4
=﹣，
a
5
=，
故数列{a
n
}的周期为4，
∵a
1
?a
2?a
3
?a
4
=1，
∴a
1
?a
2
?a
3
…a
10
=a
1
?a
2
= ，
故选C．

7．关于x的不等式ax
2
+bx+2＞0的解 集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx
2
﹣ax﹣2＞0
的解集为（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
D．（﹣1，2）
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】利用不等式的解集与方程根的 关系，求出a，b的值，即可求得不等式bx
2
﹣ax﹣2
＞0的解集．
【解答】解：∵关于x的不等式ax
2
+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），
∴﹣1，2是ax
2
+bx+2=0（a＜0）的两根
∴
∴a=﹣1，b=1
∴不等式bx
2
﹣ax﹣2＞0为x
2
+x﹣2＞0，
6 15

∴x＜﹣2或x＞1
故选B．

8．数列1，
A．
，
B．
，…，
C．
的前n项和为（ ）
D．
【考点】数列的求和．
【分析】利用的等差 数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求
出数列的前n项和．
【解答】解：∵
所以数列的前n项和为

=
=


故选B

9．在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
【考点】正弦定理．
【分析】利 用正弦定理及已知可求sinB=1，结合B的范围可求B为直角，即
可判断此三角形的解的情况．
【解答】解：∵在△ABC中，a=7，b=14，A=30°，
∴由正弦定理，得：sinB===1，
∴由B∈（0，180°），可得：B=90°，
∴C=180°﹣A﹣B=60°，
∴此三角形有一解．
故选：A．

10．已知数列{a
n
} 满足{a
n
}=，若对于任意的n∈N都 有a
n
＞a
n+1
，则
*
实数a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（，） D．（，1）
【考点】数列的函数特性．
7 15

【分析】对于任意的n∈N
*
都有a
n
＞a
n+1
，可知：数列{a
n
}单调递减，可得0＜a＜1．再分 类
讨论即可得出．
【解答】解：∵对于任意的n∈N
*
都有a
n< br>＞a
n+1
，∴数列{a
n
}单调递减，可知0＜a＜1．
①当
∴
②当时，n＞8，
时，n＞8，
，解得
单调递减，而
，因此．
（n≤8）单调递减，
单调递增，应舍去．
． 综上可知：实数a的取值范围是
故选D．

11．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
【考点】余弦定理．
222
【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c=a+b， 以及增加同样的长度为x，得到新的三
角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以 所对的角最大，然后根据余弦定理
判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．
222
【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c=a+b，c为最大 边；
新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．
2222
而（a+x）+（b+x）﹣（c+x）=x+2（a+b﹣c）x＞0，
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=
那么它为锐角三角形．
故选A

12．已知正项等比数列{a
n
}满足：a
7
=a
6
+2a
5
，若存在两项a
m
，a
n
，使得
+A．
的最小值为（ ）
B． C． D．
=4a
1
，则
＞0，则为锐角，
【考点】数列的应用．
【分析】设{a
n
}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a
7
=a
6
+2a
5
，求出q，代入
a
m
a
n
=16a
1
2
化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子 的范围，验证等号
成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．
【解答】解：设正项等比数列{a
n
}的公比为q，且q＞0，
由a
7
=a
6
+2a
5
得：a
6
q=a
6< br>+，
化简得，q
2
﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），
8 15

因为a
m
a
n
=16a
1
2
，所（a
1
q
m﹣1
）（a
1
q< br>n﹣1
）=16a
1
2
，
则q
m+n﹣2
=16，解得m+n=6，
+=×（m+n）×（+）=×（17++
，
＞，
）≥×（17+2）=，
当且仅当=，解得：m=，n=
因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +
验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．
故答案选：B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在锐角△ABC中，a=3，b=4，S
△ABC
=3，则角C= ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用三角形面积公式求得sinC，进而求得C．
【 解答】解：∵S
△ABC
=a?b?sinC=?3?4?sinC=3
∴sinC= ，
，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C=．
故答案为：

14．已知数列{a
n
}为等比数列，前n项和为S
n
，且a
5
=2S
4
+3，a
6
=2S
5
+3，则此数列 的公比q=
3 ．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【分析】已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．
【解答】解：∵a
5
=2S
4
+3，a
6
=2S
5
+3，
∴两式相减 可得a
6
﹣a
5
=2（S
5
﹣S
4
），
∴a
6
﹣a
5
=2a
5
，∴a
6
=3a
5
，
∴公比q==3
故答案为：3．

15．对于任意的实数m∈[0，1]，mx
2
﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】不等式mx
2﹣2x﹣m≥2化为mx
2
﹣2x﹣m﹣2≥0，设函数f（x）=mx
2
﹣2x﹣m﹣2，
对于m∈[0，1]时f（x）≥0恒成立，
转化为g（m）=（x2
﹣1）m﹣2x﹣2在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；
9 15

讨论一次项系数x
2
﹣1的取值，求出g（m）的最小值，列出不等式即可求 出x的取值范
围．
【解答】解：不等式mx
2
﹣2x﹣m≥2可化为mx< br>2
﹣2x﹣m﹣2≥0，
2
函数f（x）=mx﹣2x﹣m﹣2，
2
则f（x）=（x﹣1）m﹣2x﹣2对于m∈[0，1]时，f（x）≥0恒成立，
即不等式（x
2
﹣1）m﹣2x﹣2≥0恒成立；
令g（m）=（x
2
﹣1）m﹣2x﹣2，
则函数g（m）在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；
2
因为函数g（m）的一次项系数为x﹣1，
2
当x﹣1=0时，x=±1，且x=1时，g（m）=﹣4不合题意；
x=﹣1时，g（m）=0满足题意；
当x
2
﹣1＞0时，有x＞1或x＜﹣1，
函数g（m）在区间[0，1]上单调递增，
g（m）的最小值是g（0）=﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣1，应取x＜﹣1；
2
当x﹣1＜0时，有﹣1＜x＜1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递减，
g（m）的最小值是g（1）=x
2
﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，此时x不存在；
综上，x的取值范围是x≤﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．

16 ．把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的
所有偶数，可得 如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个
数列{a
n
}，若a
k
=2017，则k= 1031 ．

【考点】归纳推理． < br>【分析】由题意可以得出，图1中第n行有2n﹣1个数，且每行的最后一个数恰好是行号
的平方 ，由此可以确定出a
k
=2017在图a中的位置，图b中每行的数字数等于行号，由此
可以计算出前n行共有多少个数字，结合图a即可求出2017在图b中的位置，从而得出k
的值．
【解答】解：由题意，图a中第n行有2n﹣1个数，
前n行有n×=n×n=n
2
个数，
=， 图b知各行数字个数等于行数， 故前n行共有n×
∵图a每行的最后一个数恰好是行号的平方，45×45=2025，
10 15

故2017是第45行倒数第9个数，
由图b知各行数字个数等于行数，故前45行共有45×=1035，
由于最后一个数是奇数，
按图b规则知，2017是第45行倒数第5个数，故k=1035﹣4=1031，
故答案为：1031．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
2
17．已知a＜0，解关于x的不等式ax+（1﹣a）x﹣1＞0．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】对a分类讨论，先判断其相应方程的解集的情况， 再把二次项的系数变为大于
0，进而可求出不等式的解集．
【解答】解：原不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＞0，∵a＜0，
∴（x+）（x﹣1）＜0，且不等式对应方程的两个实数根为﹣和1；
当﹣1＜a＜0时，﹣＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}；
当a=﹣1时，﹣=1，不等式为（x﹣1）＜0，其解集为?；
当a＜﹣1时，﹣＜1，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．

2
18 ．设数列{a
n
}的前n项和S
n
满足：S
n
=n，等比数 列{b
n
}满足：b
2
=2，b
5
=16
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式；
（2）求数列{a
n
b
n
}的前n项和T
n
．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由数列的通项和前n项和的关系，可得an的通项，由等比数列的通项可
得；
（2）由错位相减法，可得数列{a
n
b
n
}的前n项和T
n
．
【解答】解：（1）{a
n
}的前n项和S
n
满足： S
n
=n
2
，
n=1时，a
1
=S
1< br>=1，n＞1时，a
n
=S
n
﹣S
n﹣1
=n
2
﹣（n﹣1）
2
=2n﹣1，
n=1也成立．
故a
n
=2n﹣1，
等比数列{b
n
}满足：b
2
=2，b
5
=16，
q=
3
2
=8，解得q=2．
则有b
n
=b2
q
n﹣2
=2
n﹣1
；
（2）前n项和T
n
=1?1+3?2+5?4+7?8+…+（2n﹣1）?2
n﹣1
，
2 T
n
=1?2+3?4+5?8+7?16+…+（2n﹣1）?2
n
， < br>两式相减．得﹣T
n
=1+2?2+2?4+2?8+2?16+…+2?2
n ﹣1
﹣（2n﹣1）?2
n
，
即有﹣T
n
=1+﹣（2n﹣1）?2
n
，
11 15

则有．

19．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．
（1）若a=2，b=3，求c；
（2）若C=，求角B．
【考点】正弦定理；余弦定理．
22
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理 可得：a=b+bc，代入已知即可解得c的
值．
（2）由题意A+B=，可得sinA=c osB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：
． 2sin
2
B+s inB﹣1=0，解得sinB，即可求B=
【解答】解：（1）∵c﹣b=2bcosA．
∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×
∵a=2，b=3，
∴24=9+3c，解得：c=5．
（2）∵C=，∴A+B=
，整理可得：a=b+bc，
22
，可得sinA=cosB，cosA=sinB，
∴c﹣b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，
可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，
解得：co s
2
B+sin
2
B=2sin
2
B+sinB=1，即： 2sin
2
B+sinB﹣1=0，
可得：sinB=或﹣1（舍去）．即B=

20．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
=1，a
n+1
=
（ 1）数列{}成等比；
S
n
．求证：
．
（2）S
n+1
=4a
n
．
【考点】数列递推式；等比关系的确定．
【分析】（1）由a
n+1
=S< br>n
，知S
n
﹣S
n﹣1
=﹣，从而=，进而
，（n≥ 2），由此能证明{}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知S
n
=n?2
n﹣1
，a
n
=（n+1）?2
n﹣2
．由此能证 明S
n+1
=（n+1）?2
n
=4a
n
．
【解 答】证明：（1）∵数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
=1，a
n+1
=S
n
，
12 15

∴S
n
=，S
n﹣1
=，n≥2
∴a
n
=S
n
﹣S
n﹣1
=﹣，
即2n×
∵n≠0，∴
=
=
，
，
∴，（n≥2）
即： =2，
n=1时，
∴{
==1，
}是首项为1，公比为2的等比数列．
}是首项为1，公比为2的等比数列，
，∴ S
n
=n?2
S
n
=
n﹣2
n﹣1
（2） ∵{
∴=2
n﹣1
，
=（n+2）?2
n﹣1
， ∴a
n+1
=
∴a
n
=（n+1）?2．
∴S
n+1
=（n+1）?2
n
=4a
n
．

21．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC 为主题
活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不 考虑宽
度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休 憩．
（1）求AC的长度；
（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．

【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．
13 15

（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．
【 解答】解：（1）由已知由正弦定理，得
ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m． < br>，又∠ACB=60°，∠
（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ ，
在△ADC中，由正弦定理得到，
所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣
cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），
因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16m．

22．已知数 列{a
n
}满足a
1
=，a
n
=（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b
n
=，求数列 {b
n
}的前n项和S
n
；
（3）设c
n
=a
n
sin
．
，数列{c
n
}的前n项和为T
n
．求证：对任意的n∈N
*
，T
n
＜
【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．
【分析】（1）根据题意，对进行变形可得
，从而证得结论；
（2）根据（1）求出 数列a
n
，从而求得b
n
，利用分组求和法即可求得结果；
（3） 首先确定出数列{c
n
}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为
特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．
【解答】解：（1）∵
∴
又∵
∴数列
（2）依（1）的结论有
，
是首项为3，公比为﹣2的等比数列．
，
，
，
即．
14 15

bn
=（3?2
n﹣1
+1）
2
=9?4
n﹣1
+6?2
n﹣1
+1．
．
（3）∵，
∴
当n≥3时，
则
．
＜

=
∵T
1
＜T
2
＜T
3
，
∴对任意的n∈N，


*
．
．

15 15