长高中数学趣味小故事-如何挖掘高中数学教材
马鞍山市2018—2019学年度第二学期学业水平测试
高一数学必修⑤试题
考生注意：
1.
本试题卷共2页，22小题，满分100分；
2. 请在答题卡上答题，在本试题卷上答题无效. <
br>一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请在
答
题卡上按要求答题.）
1. 两数2与8的等比中项是（ ）
A. 4
B. 5 C. -4 D. -4或4
2.
不等式
x
2
?2x?3?0
的解集为（ ）
A.
x|x??3或x?1
C.
x|x??1或x?3
??
B.
?
x|?3?x?1
?
D.
?
x|?1?x?3
?
??
3. 在
?ABC<
br>中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.若
a?
A.
30?
B.
45?
C.
60?
2
，
b?3
，<
br>B?60?
，那么角
A
等于（ ）
D.
45?
或
135?
4. 设
x?R
，
a
?x
2
?4x?4
，
b?2x
2
?6x?5
，则（
）
A.
a?b
B.
a?b
C.
a?b
D.
a?b
5. 在
?ABC
中，角
A
，B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c，若
B?120?
，则
a
2
?ac?c
2
?b
2
的值（ ）
A. 等于0
6.
数列
?
a
n
?
中，
a
n
?
B.
大于0 C. 小于0 D. 不确定
5
，则下列说法正确的是（ ）
3n?10
B. 无最大项，有最小项
D. 既无最大项，也无最小项
A. 有最大项，无最小项
C. 既有最大项，也有最小项
7. 已知等比数列
?
a
n
?
的公比为2，前4项的和为1，则其前8项的和等于（
）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
8.
设
a?1?b??1
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
11
?
ab
B.
11
?
ab
C.
a?b
2
D.
a
2
?2b
9. 一艘海轮从
A
处出发，以每小
时
40nmile
的速度沿南偏东
40?
的方向直线航行，30分钟后到达<
br>B
处，
在
C
处有一座灯塔，海轮在
A
处观察灯塔，其
方向是南偏东
70?
，在
B
处观察灯塔，其方向是北偏东
65?，
那么
B
，
C
两点间的距离是（
）
A.
102nmile
C.
203nmile
B.
103nmile
D.
202nmile
10.
已知
x?0
，
y?0
，
x?2y?xy?
A.
5
，则
x?2y
的最小值（ ）
2
C. 2 D.
5
4
B.
3
2
9
4
11. 已知数列
?
a
n
?
满足
a1
?a
2
?a
3
?????a
n
?n
2
，则
A.
111
???????
（ ）
a1
?a
2
a
2
?a
3
a
9
?
a
10
8
17
B.
9
19
C.
10
21
D.
11
23
111
???????
（
）
a
1
a
2
a
10
12. 在等比数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?a
2
??
???a
10
?48
，
a
1
?a
2
?..
.?a
10
?32
，则
A. 12 B. 16 C. 24 D. 36
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.请在答题卡上答题.）
13. 已知数
列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，a
n
?a
n?1
?n
?
n?1
?
，则
a
4
?
______.
14.
函数
y?x?
4
?
x??1
?
的最小值是______.
x?1
7
，
B?60?
，则
BC?
______.
15.
在
?ABC
中，
AB?3
，
AC?
222
16.
正项数列
?
a
n
?
满足
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
，若
a
1
?1
，
a<
br>2
?2
，则数列
?
a
n
?
的通项公式为__
____.
17. 若对任意
x??1
，不等式
x?1
?a
恒成立，则
a
的取值范围是______.
2
x?2x?2
三、
解答题：（本题共5小题，共44分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请在答题卡上答题.） <
br>18.（1）已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且
S
2
?S
6
，
a
4
?1
，求
a
8
；
（2）在等比数列
?
b
n
?
中，若
b
1
?b
3
?5<
br>，
b
2
?b
4
?10
，求其通项
b
n
.
19. 在锐角
?ABC
中，角
A
，
B，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
3a?2csinA
.
（1）求角
C
的值；
（2）若
c?3
，且
S?ABC
?
33
，求
?ABC
的周长.
2
20. 已知数列
?
a
n
?
的前
n项和为
S
n
，且满足：
2a
n
?S
n
?1n?N
*
.
??
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）求数列
?
na
n
?
的前
n
项和
T
n
·
21. 如图所示，在梯形
ABCD
中，
ADBC<
br>，
AD?1
，
CD?5
，
AC?22
.
（1）求
cos?CAD
的值；
（2）若
cos?B?
3
，求
BC
的长.
522.（1）若不等式
mx
2
?mx?1?0
对
x?R
恒成立，求
m
的取值范围；
（2）解关于
x
的不等式
mx
2
?mx?1?0
.
高一数学必修⑤参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分.）
1-5：DBBDA 6-10：CBCAC 11-12：BC
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.请在答题卡上答题.）
13.【答案】10，考查数列的递推关系，简单题.
14.【答案】3，考查基本不等式，简单题.
15.【答案】1或2，考查正、余弦定理，简单题.
16.【答案】
a
n
?
3
n?
2
，考查等差数列的概念及应用，中等题.
17.【答案】
?
,??
?
，考查基本不等式的应用，中等题. <
br>三、解答题：（本题共5小题，共44分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.请在答题卡上答
题.）
?
1
?
2
?
?
18.【解析】
（1）设
?
a
n
?
的公差为
d
，
∵
S
2
?S
6
?S
6
?S
2
?
0?2
?
a
4
?a
5
?
?0
，
又∵
a
4
?1
，∴
a
5
??1
，∴
d??2
，
从而
a
8
?a
4
?4d??7
.
（2）设
?
b
n
?
的公比为
q
，
由
b
1
?b
3
?b
1
1?q
2
?5
，
b
2
?b
4
?b
1
q1?q
2
?10
，
得
????
b
2
?b
4
?q?2
， b
1
?b
3
b
1
?1
，∴
b
n
?2
n?1
.
19.【解析】
（1）
sinC?csinA3
?
?
，∵
C
是锐角，∴
C?
.
a2
3
133
absinC??ab?6
，
22
（2）
S
?ABC
?
c
2
?a
2
?b2
?2abcosC?9?a
2
?b
2
?15
， ∴
?
a?b
?
?a
2
?b
2
?2ab
?27?a?b?33
，
从而，周长
a?b?c?33?3
.
20.【解析】
（1）∵
2a
n
?S
n
?1
①
②
2
∴
2a
n?1
?S
n?1
?1
?
n?2
?
①－②得：
2a
n
?2a
n?1?a
n
?a
n
?2a
n?1
?
n?2
?
，
n?1
又由①可得
a
1
?1?0
，∴
?
a
n
?
是等比数列，从而
a
n
?2
.
012n?1
（2）
T
n
?1?2?2?2?3?2?????n?
2
①
②
2T
n
?1?2
1
?2?2
2
?????
?
n?1
?
?2
n?1
?n?2n
①－②得：
?T
n
?1?2?2
2
?????2
n?1
?n?2
n
?2
n
?1?n?2
n
?
?
1?n
?
?2?1
.
n
从而，
T
n
?
?
n?1
?
?2?1<
br>.
n
21.【解析】
AD
2
?AC
2
?
CD
2
1?8?52
（1）
cos?CAD?
.
??2AD?AC
2
2?1?22
（2）由（1）知，
?CAD?45?，
∵
ADBC
，
∴
cos?BAD??cos?B??34
，
sin?BAD?sin?B?
，
55
sin?BAC
?sin
?
?BAD??DAC
?
?sin
?
?BAD?4
5?
?
?sin?BADcos45??cos?BADsin45?
?<
br>2
?
43
?
72
，
?
?
?
?
2
?
55
?
10
由
22727
BCA
CAC
??
.
??BC??sin?BAC
?
4
102<
br>sin?BACsinBsinB
5
22.【解析】（1）当
m?0
时，
?1?0
，故成立；
当
m?0
时，不合题意；
当
m?0
时，由
??m
2
?4m?0??4?m?0
，
综上，
m?
?
?4,0
.
（2）
由（1）知，当
?4?m?0
时，解集为
R
；
当
m??4
时，解集为
?
x|x??
?
；
当
m??4
或
m?0
时，
??m
2
?4m?0<
br>.
记对应方程
mx
2
?mx?1?0
的根为
x1
??
?
?
?
1
?
2
?
1?
1?
?
，
x
2
???
，
22m22m
若
m??4
，则
x
1
?x
2
，不等式解集为
?
??,x
2
?
U
?
x
1
,??
?
.
若
m?0
，则
x
2
?x
1
，不等式解集为
?
x
1<
br>,x
2
?
.