教师资格证高中数学讲义

第一讲应试攻略
一、考情分析
数学学科知识与教学能力是高中学段教师资格 统考科目三的考试科目，主要考查
申请教师资格人员数学专业领域的基本知识，教学设计、实施、评价的 知识和方
法，运用所学知识分析和解决教育教学实际问题的能力。

考试内容：数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能

试题题型：选择题、简答题、解答题、论述题、案例分析题、教学设计题
二、题型解读
(一）单项选择题
主要考查学科知识和课程知识，知识点覆盖范围比较广。

在历年考试真题中，学科知识6-7道，课程与教学知识1-2道。

（二）简答题
简答题稳定在5题，前面3题一般是学科知识，后面2题是课程知识与教学知识，
总分值35分 。
（三）解答题
一般考大学数学专业基础课程相关知识，分步骤给分，如果不能够完全解答 ，只
要会的步骤，都要写在试卷上，阅卷老师看见答案中有相关步骤，都会给相应的
分数。

（四）论述题

一般考课程知识、教学知识、教学技能。在答题时一般需 要提出论点，并用论据
进行论证，最后得出结论。

(五）案例分析题
一般考查教学知识或教学技能。案例分析题是给出教学片段，然后提出问题 ，在
问题中要求考生阅读分析给定的资料，依据一定的理论知识，或作出决策，或给
出评价，或 提出具体的解决问题的方法或意见等。

（六）教学设计题
给出一个课题，按要求进行设计。一般从教学目标、教学重难点、教学过程几个
问题进行考查。
三、备考策略
（一）研究真题，把握考试脉搏
考纲是了解考点的依据，真题是掌握 考情的关键。对照教师资格考试大纲和近几
年考试真题，也可参照“考情分析”与“题型解读”。
（二）学记结合，强化记忆效果
利用笔记将“厚”书读“薄”，提高学习效率。
1、对教材的重点内容做摘要笔记，概括其要点。
2、复习过程中在教材相应位置做好批注，加强记忆。
3、对所学内容做好心得笔记，将学习 过程中的思考、分析、体会等随手记下来，
巩固对知识点的理解。
（三）系统总结，梳理知识脉络
在理解的基础上系统梳理每个模块知识的脉络，整理出清晰明 了的框架结构，加
强识记效果，以便在考试中看到相关题目时能快速在脑中搜索到相关知识点，得
出合理的答案。
（四）强化练习，及时查漏补缺
多做练习是检测复习效果的有效手段。进 行适当的练习，以及时查看对所学知识
点的掌握情况，对记忆模糊的知识点重新记忆，对薄弱环节进一步 巩固，查漏补
缺，科学备考。

第二讲考试大纲
一、考试目标
1、学科知识的掌握和运用。
掌握大学本科数学专业基础课程的知识、高中数学的知识。
2、高中数学课程知识的掌握和运用。
理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《义 务教育数学课程标准》规
定的教学内容和要求。
3、数学教学知识的掌握和应用。
理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。
二、考试内容模块与要求

（一）学科知识
大学本科数学专业基础课程：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统
计。
包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与
变换。
要求：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学
的问题。

高中数学知识：高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及
选修 3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变
换）、选修4—4（坐标 系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）。
要求：理解高学数学中的重要概念，掌握高学数学中的 重要公式、定理、法则等
知识，掌握中学数学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证 、
运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。
（二）课程知识
1、了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。

2、熟悉《新课 标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《新课标》对教学内容
的要求。

3、能运用《新课标》指导自己的数学教学实践。
（三）教学知识
1、掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。
2、掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。
3、了解包括备课、课堂教学、作 业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价
等基本环节的教学过程。
4、掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。
5、掌握数学教学评价的基本知识和方法。

（四）教学技能

1、教学设计
a、能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已
学知识的联系。
b、能够根据《课标》的要求和学生的认知特征确定教学目标、教学重点和难点。
c、能正确 把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质、
渗透数学思想方法，体现应用与创新 意识。
d、能选择适当的教学方法和手段，合理安排教学过程和教学内容，在规定的时
间内完 成所选教学内容的教案设计。
2、教学实施
a、能创设合理的教学情境，激发学生的数学学习兴趣，引导学生自主探索、猜
想和合作交流。
b、能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用教学方法和手段，有效
地进行数学课堂 教学。
c、能结合具体数学教学情境，正确处理数学教学中的各种问题。
3、教学评价 < /p>

a、能采用不同的方式和方法，对学生知识技能、数学思考、问题解决和情感态
度 等方面进行恰当地评价。
b、能对教师数学教学过程进行评价。
c、能够通过教学评价改进教学和促进学生的发展。
三、试卷结构



四、题型示例
1、单项选择题
a、学科知识模块
b、课程与教学知识模块
在某次测试中，用所有参加测试学生某题的平均分除以该题分值，得 到的结果是
（B）（2016年下半年真题）
A.区分度 B.难度 C.信度 D.效度
区分度：把不同水平的人区分开来。
信度：测试结果的一致性、稳定性及可靠性。
效度：所测量到的结果反映所想要考察内容的程度。

2、简答题
以“二项式定理”的教学为例，阐述数学定理教学的基本环节。（2016年
下半年真题）
解题思路：（1）介绍定理的背景或特殊情形。
（2）了解定理的内容，理解定理的含义，认识定理的条件
和结论，能 够解决什么问题。
（3）定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性。
（4）熟悉定理的使用。
（5）引申和拓展定理的运用。

3、解答题
设函数f(x)=x2在R上连续且可导。
（1）当f(x)=x2，且g(x)=exf(x)时，求证f(x)与g(x)有共同驻点。
（2）当f(a)=f(b)=0(a根。（2016年下半年真题）
4、论述题
函数的单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性
质。
（1）请叙 述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学
数学课程中函数单调性与哪些内容有关 （至少列举两项内容）。
（2）请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。（2016
年下半年真题）

5、案例分析题
概念同化指从已有概念出发，理解并接纳新概念的过程，实质是利 用演绎方式理
解和掌握概念。由于数学中大多数概念是以属概念加种差的方式定义的，所以适
宜 采用概念同化的方式进行教学。以“奇函数，，概念教学为例简要说明概念同
化的教学模式：

(1)向学生提供“奇函数”概念的定义
(2)解释定义中的词语、符号、式子所代表的含义
突出概念刻画的是：对定义域中的任意一个自变量，考察χ与-χ对应的函数值
f(χ)与f( -χ)之间的关系以f(-χ)=-f(χ)。因此函数的定义域应该关于原点对称，
满足这个条件后再 考察f(-χ)=-f(χ).

(3)辨别例证，深化概念
教师向学生提供丰富 的概念例证，例证中以正例为主，但也要包合适的反例，
尤其是一些需要考察隐含条件的例子。
(4)概念的运用
提供各种形式来运用概念，达到强化对概念的理解，促进概念体系的建构的 目的，
可以利用个别有一定综合性但难度不大的问题。
问题：(1)请举出反例说明(3)辨别例证，深化概念。(5分)
(2)请举例补充(4)概念的运用。(5分)
(3)请结合案例，总结出概念同化的教学模式的过程。(10分)

6、教学设计题
“对数的概念”是高中数学教材中的重要概念。教师在教学中，应基于 课程
标准和学生学情，确定教学目标，实现教学重点，突破教学难点，设计教学方法、
教学过程 、师生活动和教学评价等。
请完成下列任务：
（1）设计“对数的概念”的教学目标；
（2）写出“对数的概念”的教学重点和难点；
（3）设计“对数的概念”的引入过程（要求能够让学生认识到引入对数的概
念的必要性） 。（2016年下半年真题）

第一部分 数学学科知识
第三讲
第一章、数学分析
考点：1、掌握数列极限与函数极限的定义
2、求极限的方法
3、导数与微分的应用
4、求解定积分与不定积分
5、能够运用微积分基本定理求解问题
1、数列极限的定义：

设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N
时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记
作 或Xn→a（n→∞）
读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”．
若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列．
该定义常称为数列极限的 ε—N定义．
对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。
定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。
定理2：如果数列{Xn}收敛，则其 一定是有界的。即对于一切n（n=1,2……），
总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。
2、函数极限的定义：
设f(x)在x0点附近（除x0点以外）有定义，A是一定数，若对任意给定的 ε >0，
存在 δ >0

当


的时候，有
则称A是函数f(x)当x趋于xo的时候的极限，

记为 或者记为：

3、求极限的一般方法：
⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)
⑵约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g (x0)有意义，
则函数极限为g (x0)。
⑶ 有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再
约分，如所得g (x0)有意义，则极限为g (x0)。
⑷若x→∞，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时， 可将分子、分母同除以x
的最高次幂，再逐项求极限。

4、导数的应用
（1）求可导函数f(x)极值的步骤：



f'(x);
f'(x)=0的根；
f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右 的符号，如果在根的左侧附近为正，右
侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果 在根的右侧附近为正，
左侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值。
（2）函数的最大值和最小值
设y=f(x)是定义在区间[a,b]内有导数，求函数y= f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，
可分两步进行：

y=f(x)在（a,b)内的极值；
y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最
小的一个为最小值。
若函数f(x)在[a,b]上 单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；
若函数f(x)在[a,b]上单调 递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。
5、微分学基本定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理
这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理。
设函数 f (x) 满足：
(i) f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续;
(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.
那么在开区间（a,b）内 至少 存在一点

, 使得
-----拉格朗日公式.

注：当f(a)=f(b)时 ，拉格朗日定理就是罗尔定理，可见，罗尔定理是拉格朗日定
理的一个特例.
罗尔 ( Rolle ) 定理
Y=f(x)满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点

柯西中值定理
设函数f(x), g(x) 在区间[a,b]上满足
1) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续;

则在开区间（a,b）内必定 (至少) 存在一点 , 使得

三者关系



第四讲
第二章 高等代数
考点：1、掌握矩阵、行列式的性质，求解线性方程组的方法。
2、会化二次型为标准型，会判断二次型的正定性。
3、了解线性空间的定义及简单性质，线性变换的定义、性质及欧氏
空间的一些概念。
考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
2、在历年考试中，行列式的计算和性质、克莱姆法则、矩
阵的概念及运算、矩阵的性质、线性空间的定 义及简单性质是考查的重点，考生
在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活 运用。

1、行列式的性质：
性质1：行列互换，行列式不变。
性质2：

即一行的公因子可以提出
去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。

性质3：


即如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等 于两个行列式的和，而这两个
行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
性质4： 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行
的对应元素都相等。
性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2、矩阵：
（1）定义： 由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成 m行n列的数表，

叫做m行 n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，aij叫做
矩阵A的第i行第j列的元素。
上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij)
mxn矩阵A也记为Amxn


（2）矩阵的加法：两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得
到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即




注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法的运算律：



由此规定矩阵的减法为

（3）数与矩阵相乘：以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数λ与矩
阵A的积，记作λA或 Aλ，如果A=(aij)mxn ，那么


数乘矩阵的运算规律：

注意： 矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个
元素，行列式的 数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。
矩阵的特征值与特征向量
定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx (1)
成立，那么这样的数 λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ
的特征向量．（1）式也可写成，( A-λE)X=0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数
行列式| A-λE|=0 , (3)

3、线性空间
定义：设V是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素

总有唯一的一个元素
若对于任一数
与之对应，称为α与β的和，记作? = α+ β。
与任一元素 ，总有唯一的一个元素

与之对应，称为λ与α的积，记作δ= α+λ。

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那
么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．
3、线性空间

线性空间的性质： 1．零元素是唯一的．
2．负元素是唯一的．向量α的负元素记为 — α

4．如果 λα=0则λ=0或 α=0 .

4、欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函
数，记作
（ α、β ） 若（ α、β ）满足性质：

则称（ α、β ）为 α 和 β 的内积，并称这种定义了内积的
实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
考试真题
下列命题正确的是（ ）（2016年下半年真题）
A.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同
B.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例
C.若三阶行列式D中有6个元素为零，则D=0
D.若三阶行列式D中有7个元素为零，则D=0
解析：三阶行列式D中若7个元素为零，则 至少有一行（或列）的元素全是零，
所以它的值为0.


第五讲
第三章 空间解析几何
1、空间直角坐标系及有关概念
(1) 空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：
x轴，y轴，z轴．这时建立了空间 直角坐标系Oxyz，其中点O叫做原点．x轴，
y轴，z轴统称 坐标轴 ．由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
(2)空间一点M的坐标为有序 实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，
其中x叫做点M的横坐标 ，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

2、空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实
数λ，使得a ＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充
要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角






②两向量的数量积

已知空 间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，
即a·b ＝|a||b|cos〈a,b〉．
(2)数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝ a1b1+a2b2+a3b3
(2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3) ，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，
a3＝λb3，a ⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．



5、两平面的相关位置
定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.（通常取锐角）



按照两向量夹角余弦公式有
?
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
z?D
1
?0,
?
n
1
?{A
1
,B
1
,C
1
},
?
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
z?D
2
?0,
?
n
2
?{A
2
,B
2
,C
2< br>},

（两平面夹角余弦公式）
两平面位置特征：
(1)?
1
??2
??A
1
A
2
?B
1
B
2
?C
1
C
2
?0;



(2)?
1

?
2
A
1
B
1
C
1
????.
A
2
B
2
C
2






6、直线与平面的关系
定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角

设
称为直线与平面的夹角．
L:
x?x
0
y?y
0
z?z< br>0
??,
mnp

?:Ax?By?Cz?D?0,


直线与平面的夹角公式
< br>sin
?
?
|Am?Bn?Cp|
A?B?C?m?n?p
2 22222
7、空间两直线的相关位置
定义：两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）
设：L1: x?x
1
y?y
1
z?z
1
??,
m
1
n
1
p
1

L2:

x?x
2
y?y
2
z?z
2??,
m
2
n
2
p
2

两直线的位置关系：

两直线的夹角公式:


第四章 概率论与数理统计
1、随机事件
定义：一个随机试验E中可能 发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件
（简称事件）通常用字母A、B、C等表示。
事件的运算规律：（1）交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC)
（3）分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C) (A∪B)C＝(AC)∪(BC)
(4)德摩根公式：


概率的公理化定义:设E是随机试验，Ω是E的样 本空间，对于E的每一个事件A
对应唯一的实数值，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P (A)满足下列
条件：

（1）非负性：
（2）规范性：
（3）可列可加性： 是任意无穷多个互不相容的事件，
有
则称P(A)为事件A的概率。

随机事件的独立性定义：设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，若满足
，则称事件A、B互相独立
2、随机变量的数字特征
随机变量函数的数学期望定理：设 X 为随机变量，y=g(x)为实函数，
（1）设 x为离散型随机变量，概率分布为


若 绝对收敛，则存在，且


（2）设x为连续型随机变量，密度函数为 f(x)，若
绝对收敛，则 存在，且

注：为求y=g(x)的 数学期望，可以不必通过求y的概率分布（离散）或密度函数
（连续），而只需直接利用x的概率分布或 密度函数。
3、随机变量的方差的计算
（1）定义法 离散情形
若x为离散型随机变量，概率分布为
则


连续情形：若x为连续型随机变量，概率密度函数为 f(x),则


（2）公式法

4、常用离散型分布的数学期望和方差
分布名称 概率分布 数学期望 方差
0-1分布 p(x=1)=p,p(x=0)=q p pq
二项分布 np npq
泊松分布
几何分布
退化分布 p(x=c)=1 C 0
指数分布

正态分布






Ⅱ、高中数学学科知识
第六讲
第一章 集合、逻辑与算法初步 第二章 函数
第三章 不等式与数列 第四章 立体几何
第五章 解析几何 第六章 向量与复数
第七章 推理证明与排列组合 第八章 统计与概率
第九章 数学史
第一章、集合、逻辑与算法初步
考点：1、掌握集合之间的运算法则
2、能够使用常用的逻辑用语
3、能够运用算法基础知识求解实际问题

考点聚焦：
1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出
现。
2、在历年考试中，逻辑用语中的充分条件、必要条件、充分

必要条件的运用，算法中的 框图是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，
要与第二部分课程知识内容结合起来，在掌握理论的 基础上灵活运用。
1、集合的基本概念：
一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合 ，也简称集，通常用大写字母
A、B、C表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母 a、b、c…
表示
集合中元素的性质 ：
确定性、互异性、无序性
集合间的基本关系：
全集：一般地，如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那 么就称
这个集合为全集，通常记作U.
子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的 任意一个元素都是集合B
中的元素，我们就称两个集合有包含关系，称A为B的子集，记作
“A包含于B”
读
真子集： A包含与B,A不等于B
2、集合间的基本运算
交集：定义：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集。记
作
即 读作“A交B”。
并集：定义：由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记
作
即 读作“A并B”。
补集：定义：设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A 的元
素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作

（1）交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC)
（3）分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C) ，
(A∪B)C＝(AC)∪(BC)


3、命题：可以判断真假的语句叫做 命题。判断为真的语句叫做真命题，判断为
假的语句叫做假命题。真命题为真，假命题一定为假，真命题 为假，假命题一定
为真。
四种命题：原命题：若p则q；逆命题：逆命题若q则p；否命题：若
q；逆否命题：若 q则 p
p则

结论：（1）互为逆否的命题，同真同假； （2）原命题与逆命题，原命题与否
命题，它们的真假性没有关系。
4、充分条件与必要条件
1．若p
若p
2．如果p
q，则p叫做q的充分条件，则q叫做p的必要条件；
q,则p叫做q的充分必要条件，简称为充要条件.
q且q p,我们称p为q的充分不必要条件，如果p q 且

q p，则我们称p为q的必要不充分条件.
3.判断充要条件的方法
(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；
(2)原命题为假，逆命题为真时p是q的必要不充分条件；
(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充分必要条件；
(4) 原命题与逆命题都为假时，p是q的即不充分也不必要条件.
真题再现

（2015年上半年真题）
A.充分条件但不是必要条件
B.充分必要条件
C.必要条件但不是充分条件
D.以上都不是


第二章 函数
考点：1、熟练掌握高中数学函数部分基础知识
2、把握函数、基本初等函数的分类
3、深入理解三角函数的性质
考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题、解答题的形式出现。
2、在历年考试中，函数的性质及应用尤其是三角函数的应用是考查
的重点，考生在复习的时候，注意准 确理解、灵活运用。
1、函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的
任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A→B
为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，与
x值相对应的y值叫做函数值.
2、函数的基本性质

A、奇偶性
（1）定义：如果对于函 数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇
函数；如果对于函数f( x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：



确定f(－x)与f(x)的关系；
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数：

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对
称； 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
②设f(x),g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶 ×偶=偶

B、单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区
间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），
那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
（2）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
C、最值
（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的 x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是
函数y=f(x )的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实

数M满足 ：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那
么，称M是函数y=f(x)的最大值。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（ 小）值的方法:①利用二次函数的性质
（配方法）求函数的最大（小）值;②利用图象求函数的最大（小 ）值；③利用
函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a， b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值f(b)； 如 果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]
上单调递增则函数y=f(x)在 x=b处有最小值f(b)；
D、周期性
（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有
f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；
（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作 若f (x)的周期中，
存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期 为T，
则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为
2、三角函数
A.特殊角的三角函数值：
。


B.弧长及扇形面积公式：
弧长公式：扇形面积公式:S=
a---- 是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径

C.任意角的三角函数
设a是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=
正弦sina= 余弦cosa= 正切tana=
D.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系： （2）商数关系：
E.诱导公式： (奇变偶不变，符号看象限。)

(口诀：函数名称不变，符号看象限．)

(口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．)
F.三角函数公式：
两角和与差的三角函数关系：

倍角公式：

G.正弦定理 ：

余弦定理：


三角形面积定理



真题再现
（2014年下半年真题）
A.f(x)在〔a,b〕上单调递增，且f(b)＞0
B.f(x)在〔a,b〕上单调递减，且f(b)＜0
C.f(x)在〔a,b〕上单调递减，但f(b)的正负无法确定
D.f(x)在〔a,b〕上单调递增，但f(b)的正负无法确定

第七讲
第三章 方程、不等式、数列与极限
考点：1、掌握一元二次方程、一元三次方程根与系数关系及方程根的判别法。
2、把握函数与不等式的关系，深入认识函数知识的应用。
3、掌握等差数列和等比数列的求和公式。
4、理解极限的含义，熟练掌握极限的计算。
考点聚焦：
1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出
现。
2、在历年考试中，一元三次方程根与系数关系、不等式的求
解、等差数列和等比数列的应用、极限的运 算是考查的重点，考生在复习时要注
意多加练习，以便灵活运用。
1、一元二次方程
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程
叫做一元二次方程。标 准形式:ax?+bx+c=0（a≠0），设其两根为x1,x2，则x1+x2=-b
／a,x1x 2=c／a,Δ=b?-4ac;当Δ＞0，方程有两相异实根，当Δ=0，方程有一根，
当Δ＜0，方 程无解。
四种解法：
（1）直接开平方法
形如 x2=p 或 (nx+m)2=p(p≥o)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二
次方程。
如果方程化成 x2=p 的形式，那么可得 x= √p.
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（2）配方法
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解

一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右
边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果n≥0，用两边开平方来求方程的解；如果n＜0，则原方程无解。
配方法的理论依据是完全平方公式
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1 ，然后在方程两边
同时加上一次项系数一半的平方。
（3）公式法
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
在 Δ=b?-4ac≥0 的前提下，把a、b、c的值代入公式
进行计算，求出方程的根。
（4）分解因式法
利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因 式分解化为两个一
次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元
一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元
一次方程的问题（数学 化归思想）。
2、一元三次方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为 3（即“次”）
的整式方程叫做一元三次方程。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程
经整理都能得到的形式）是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，
且a ≠0）。
一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0根与系数的关系：

3、不等式
A.两个实数比较大小的法则：
如果a-b是正数，那么a>b；如果a- b是负数，那么aa=b；反之亦成立。即a-b＞0
a＜b.
B.不等式的基本解法
分式不等式：分式不等式的解法就是整式化。
①当分母的值可以确定正负时，可直接去分母解之；
②当分母的值不能确定正负时：
不等式 f(x)／g(x)＞0(或<0)与不等式f(x).g(x)＞0(或<0)同解。
a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0
不等式 f(x)／g(x)≥0(或≤0)与不等式组
同解。
无理不等式：转化为有理不等式，首先考虑不等式两边的未知数的取值范围，然
后在考虑把不等式同解变形为需要的形式。

不等式 √f(x) ≥g(x)的同解不等式组是：
不等式√f(x)≤g(x) 的同解不等式组是：
指数不等式：

af(x)＞ag(x)(a ＞0 且a ≠ 1）的同解不等式是：
当a>1时， f(x)＞g(x)；当0对数不等式：皆需化为型如：logaf(x)＞logag(x)(a ＞0 且a ≠1）的同解不等式，
与该不等式同解的不等式组是：当a>1时，

;
当0
。
含有绝对值不等式：化原不等式为等价的不含绝对值的不等式或不等式组，一般
有以下方法：
①｜f(x)｜＞a
②｜f(x)｜＞｜g(x)｜
f(x)＞a或f(x)＜-a，｜f(x)｜＜a
f2(x)＞g2(x)
-a＜f(x)＜a
③ ｜x+a｜-｜x+b｜＞ c 可采用零点法讨论求解。
4、等差数列
A.定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母< br>d表示．
B.通项公式 ：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝
(n－m)d ＝p.
C.等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x
和 y的等差中项，则A＝
x?y
2

D.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N* )．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq(m，n,p,q∈N* )．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N* )是公
差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.

E.等差数列的前n项和公式
若已 知首项a1和末项an，则Sn＝n（a1＋an）／2，或等差数列{an}的首项是a1，
公差是d ， 则其前n项和公式为Sn＝na1＋n（n－1）／2× d.
F.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝d／2 ×n2＋（a1－d／2）×n， 数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2
＋Bn(A，B为常数)．
G.判断或证明数列是等差数列的方法有：
1、定义法：an＝a1＋(n－1)d(n∈N* ，d是常数）
2、中项法：2an+1=an+an+2 (n∈N*)
3、通项公式法： an=kn+b（k,b是常数）
项和公式法：sn=An2+Bn （A,B是常数，A≠0 ）
2、等比数列
A.定义：
{an}为等比数列
B.通项公式 ：
an=a1qn-1=akqn-k （a1，q≠0）
C.求和公式
na1 (q=1)
an+1／an=q (q为常数）
｛an｝是等差数列；
｛an｝是等差数列；
｛an｝是等差数列；
｛an｝是等差数列；

sn= a1(1-qn)／1-q=a1-anq／1-q (q≠1)
D.中项公式:
G2=ab推广：an2=an-m×an+m
E.性质：
（1）若m+n=p+q则aman=apaq
（2）若｛Kn｝成等差数列 （其中kn∈N），则｛akn｝成等比数列。
（3）sn,s2n-sn,s3n-s2n成等比数列。
（4）qn-1=an／a1,qn-m=an／am(m ≠ n)
F.判断和证明数列是等比数列常用的方法：
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an／an-1为同一常数；
(2)通项公式法；
(3)中项公式法:验证an+12=anan+2,n∈N都成立；
(4) 若{an}为等差数列，则{aan}为等比数列（a>0且a≠1）；
若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0且a≠1）。

第四章、立体几何
考点：1、掌握立体几何中基本的位置关系（平行、垂直）
2、掌握立体几何中的度量关系（面积、体积）。
考点聚焦：
1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
2、在历年考 试中，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间中的
角、距离、面积及体积的计算是考查的重点，考生 要注意理解和运用。
（一）空间直线、平面之间的位置关系
A.空间中直线与直线之间的位置关系
（1）共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；

（2）异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
注：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（判断空间两条直线平行的依据。）

B.空间中直线与平面位置关系
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
C.直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面
平行。 简记为：线线平行，则线面平行。
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平 面与此平面的
交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。
D.直线与平面垂直
直线与平面垂直是指直线与平面内任何一条直线垂直
（1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此
平面垂直。
（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
（3）三垂线定理及逆定理：
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那
么它也和这条斜线垂直 。
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线
和斜线的射 影也垂直。
E.平面与平面之间的位置关系
空间两个平面的位置关系：相交、平行。
（1）平面与平面平行
判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行（线面平行，面面平行）
性质定理：

如果两个平面平行，同时和第三个平面相交，那么它们交线平行（面
面平行，线线平行）
（2）平面与平面垂直
判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，面
面垂直）
性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面（面面垂直，线线垂直）
（一）棱柱、棱锥与球
A.棱柱 （1）定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形
的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
（2）侧面积：S侧=cl（c为底面周长，l是高）利用直棱柱的侧面展开图为矩形
得出。
（3）表面积：侧面积+底面积
（4）体积：V=sh(s为底面积，h为高）
B.棱锥
（1）定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（2）表面积：侧面积+底面积
（3）体积：V=1／3sh(s为底面积，h为高）
C.球
（1）定义：空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。
球的截面是 一个圆面，截面的半径r=√R2-d2（R为球的半径，d为球心与截面的
圆心之间的距离）。
（2）表面积：S=4πR2
（3）体积：V=4／3πR3

第八讲
第五章 解析几何
考点：1、掌握解析几何中基本的位置关系(两条直线的位置关系、直线与圆的位
置关系）。
2、掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关
系。
3、灵活运用数形结合的思想求解数学问题。
考点聚焦：
1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出
现。
2、在历年考试中，直线与圆的位置关系、圆锥曲线一直是考
查的重点，考生要注意灵活运用数形结合的 思想。
1. 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：直线向上的方向 与x轴正方向所成的角,叫做直线的倾斜角.当直线l与x
轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.
②倾斜角的范围为0°≤α<1800
(2)直线的斜率
①当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满
足 .
(2)直线的斜率
②已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为 K=y2-y1／
x2-x1(x1≠x2)
③斜率图象：

2、点与直线
（1）两点间距离公式：
设p1(x1,y1)、p2(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，则
｜p1p2｜=√(x1-x2)2+(y1-y2)2
(2)点到直线距离公式： < br>平面内点p1(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=｜Ax1+By1+C｜／√A2 +B2
设平面两条平行线l1:Ax+By+C=0，l2：Ax+By+C=0，C≠D,则l1与 l2的距离为
d=｜C-D｜／√A2+B2

3、圆的方程

(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),其中圆心为(a,b)，半径为r。
(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0), 其中圆心为
（-D／2，-E／2),半径为r=1／2√D2+E2-4F
(3)圆的方程的确定 ：数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质，
能够使解题过程简化；待定系数法也是求圆的 方程常用的方法。
①几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求a,b,r;
②代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求D,E,F.
4、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
设直线l：Ax+By+C=0和圆C： (x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，圆心(a,b)到直线l的距离为
d，则d=｜Aa+ Bb+C｜／√A2+B2
（1）相交 d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2＜r（几何法） 或直线与圆的方程
组成的方程组，消去y或x转化为一元二次方程，其判别式?＞0（代数法）
（2）相切
（3）相离
d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2=r（几何法）或?=0（代数法）
d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2＞r（几何法）或?＜0（代数法）
5.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质

6、直线与圆锥曲线的关系
其判断方法都是利用代数方法，将直线l的方程与圆锥 曲线C的方程联立，消去
y得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0.
(1)当 a≠0时，若有?＞0，则l与C相交；若有?=0，则l与C相切；若有?<0，
则l与C相离。 < br>（2）当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则l与C相交，此时只有
一个公共点，若 c为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若c为抛物线，
直线l与抛物线的对称轴平行。
所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线l与双曲线、抛物线可能
相切，也可能相交。


第六章、向量与复数
考点：1、熟练掌握向量运算，把握向量的基本性质。
2、理解向量作为几何的研究对象的重要性，熟练运用向量进行代数

运算。
3、掌握复数的意义与运算。
考点聚焦：
1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
2、在历年考 试中，向量几何是考查的重点，考生要能熟练运用向量
及其运算研究几何图形的位置关系和度量关系。
1、平面向量
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量。常用一条有向线段的
的长度 表示向量的大小即向量的模（长度），记作|
为0的向量，记为0.
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。0与任一向量
平行。
向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法
设
表示，
|，长度

向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知
向量的始点重合的那条 对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向
被减向量.
（2） 三角形法则的特 点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向
量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向 量是从减向量的终点指向被减向
量的终点.
（3）向量的减法
① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。
②向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，记作a-b，即a-b=a+(-b).
（4）实数与向量的积：
①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）｜λa｜=｜λ｜｜a｜
（Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与的a方向相 同；当λ向相反；当λ=0时，λa=0，方向是任意的.
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
(5)平面向量的基本定理：
如果e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，
有且只有一对实数λ1,λ2使 ：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底.
2、空间向量及其运算
(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或 重合则这些
向量为共线向量或平行向量．
(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b( b≠0)，a∥b的充要条件是存在实
数λ使a＝λb
（3）共线向量定理的推论
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对任一点O，点P
在直线l上的充要条件是存在实数t，满足关系式OP＝OA＋t a
其中非零向量 a 叫直线l的方向向量

(4)共面向量：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
(5)共面向量定理
如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数
对x，y，使p＝xa＋ yb
（6）推论
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使
MP＝ xMA＋yMB ，或对空间任一定点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB。
3．空间向量基本定理
（1）基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意 一向量p，存
在唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc

(2)推论
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存
在唯一的有序实数组x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC
第九讲
第七章 推理证明与排列组合
考点：1、掌握运用推理与证明的方法。
2、熟练运用加法原理、乘法原理、排列组合等计数思想和方法。
考点聚焦：
1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出
现。
2、在历年考试中，排列组合等计数方法是考查的重点，推理
与证明贯穿数学课程始终，考生要熟练掌握 本章知识。
推理与证明知识结构

1、推理
（1）定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维
过程。
（2）合情推理
归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通
常称为归纳推理。（特殊到一般）
归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般
现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证
明和实验检验，因此，它不能 作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作 为进一步
研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
类比推理：
由两类对象具有 某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类
对象也具有这些特征的推理，简言之，类 比推理是由特殊到特殊的推理。
（3）演绎推理：
根据已有的事实和正确的结论（包括定 义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则
得到新结论的推理过程。（一般到特殊）

2、证明
（1）直接证明
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理 ，直接推证结论的真实
性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是< br>解决数学问题时常用的思维方法．
①综合法
从已知条件和某些数学定义、公理、定理 等出发，经过逐步的推理论证，最后达
到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果 法．
②分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结
论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这
种证明方法 叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．

（2）间接证明
①反证法的定义 一般地，由证明p?q转向证明：?q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题

矛盾．从而判断?q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
②反证法的特点
先假设原命 题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件
矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公 理、定理、公式或已被证明了的结论，或与
公认的简单事实等矛盾．
（3）数学归纳法
一个与自然数相关的命题，如果
(1)当n取第一值n0时命题成立；
(2)在假 设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命
题也成立，那么可以 断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．

排列组合与二项式定理
1、两个基本原理
（1）加法原理（分类计数原理）：做一件事情，完成它可以有n类方法， 在第
一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法...，在第
n类办 法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，即
N=m1+m2+m3....+m n。
（2）乘法原理（分步计数原理）：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一
步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法...，做第n步有mn种不
同的方法，那么完成这件事共 有N种不同的方法。即N=m1×m2×m3×...mn
2、排列
（1）排列的定义：一 般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素，按照
一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列。
（2）排列数定义：从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数， 叫做
从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示.
（3）排列数公式：Anm=n(n-1)...(n-m+1)=
3、组合
（1）组合的定义：从n个不同的元素中任取m（m≤n)个元素并成一组，叫做

从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（2）组合数定义：从n个不同的元素中取出m个元素的所 有组合的个数，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示.
（3）组合数公式：Cnm=

4、利用排列、组合的知识解决实际问题的常用方法
（1）直接法
（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法。 在直接法和间接法中
常用以下方法解决排列与组合的问题。
（a）枚举法：将所有排列的情形一一列举出来（适用于排列数较少的问题）
（b）捆绑法 ：适用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）的问题。
（例：看电影，一排六个座位，四个女 生，两个男生，女生要坐在一起，有多少
种坐法？）
（c）插空法：适用于两个（或更多）元素不相邻排列的问题。
（例： 看电影，一排8个座位，坐一排，6个学生，2个老师，老师在学生之间
且不相邻，有多少种坐法？）
（d）隔板法：适用于相同的元素分成若干部分，每部分至少有一个排列的问题。
(例：10个 三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同
分配方案？)

5、二项式定理
二项式定理：（a+b)n=Cn0anb0+Cn1an-1b+...+Cnna0bn
二项展开式的特点：（i）展开式共有n+1项；（ii）各项的次数之和等于n；
（iii）a的次数由n降到0，b的次数由0升
到n。
（2）二项展开式的系数：Cnr
（3）二项展开式的通项公式： Tr+1=Cnran- rbr,(r=0,1,2...n)表示二项展开式的第

（r+1）项。
第八章、统计与概率
考点：1、掌握统计与概率中的基本概念、正确理解和使用正态分布。
2、能够正确地理解和使用古典概型、几何概型、二项分布和超几何
分布。
3、能够正确地理解和使用回归分析、独立性检验、假设检验等统计
方法。

考点聚焦：
1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
2、在历年考 试中，运用随机思想和统计思想解决实际问题是考查重
点，考生需要在理解和识记的基础上灵活掌握知识 的运用。
1、统计
概念：指对某一现象有关的数据的搜集、整理、计算、分析、解释、表述等的活
动。
（1）抽样方法：
①总体与样本：总体：考察对象的全体 ； 样本：从总体中抽取一部分叫做总
体的一个样本。
②简单随机抽样：通过逐个不放回地抽取的 方法从中抽取一个样本，且每次抽取
时每个个体被抽到的概率相等，称这样的抽样为简单随机抽样。常用 方法有抽签
法和随机数表法两种 。
③系统抽样 ：当总体的个数数目较多时，可将总体 分成均衡的几个部分，然后
按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样抽 样
称为系统抽样。
④分层抽样：如果总体由差异明显的几部分组成，为了使样本更充分地反 映总体
的这种差异情况，在抽样时将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从
各层独立 抽取一定的数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽
样叫做分层抽样。

（2）正态分布：
①概念：如果连续型随机变量ξ的概率密度函数为
，x∈R，
其中σ，μ为常数，并且σ>0，则称ξ服从正态分布，记为ξ∽N（μ，σ2）。
期望Eξ=μ 方差Dξ=σ2
②性质：a.曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称。
b.曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线
逐渐降低。
c.曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，
曲线越“矮 胖”，反之越“高瘦”。
2、概率
①古典概型
定义：a.试验的所有可能结果(基本事件)只有有限个.
b.每一个试验结果(基本事件)出现的可能性相等.
计算公式:对于古典概型，若试验的所有基本事件数为 n，随机事件 A
包含的基本事件数为 m，那么事件 A 的概率为 P(A)＝ m ∕ n.
②几何概型
定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）
成比例，则这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型．
特点:
试验的结果是无限不可数的．
每个结果出现的可能性相等。
概率公式：
P(A)＝构成事件 A 的区域长度(面积或体积) ∕ 区域的全部结果所构成的区
域长度(面积或体积)

③二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件< br>恰好发生k次的概率是p(ξ=k)=Cnkpkqn-k,（其中k=0，1，...,n,q=1-p ),于是得到
随机变量ξ的概率分布如下：

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ∽B(n,p),其中n,p为参数。
二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布。
④几何分布
在独立重复试验中，某 试验第一次发生时，所做试验的次数ξ也是一个离散型随
机变量，那么在第k次独立重复试验时，事件首 次发生的概p(ξ=k)=qk-1p,于是
得到随机变量ξ的分布列：

我们称ξ服从几何分布，记作g(k,p),=qk-1p,其中q=1-p.
第十讲
第九章 数学史
考点：考点：1、了解早期算术与几何的历史。
2、了解古希腊数学与中国古代数学的历史。
3、了解平面解析几何产生及几何作图三大难题的历史。
4、了解微积分产生、集合论发展、随机思想发展与算法思想发展的
历史。
5、了解近代中学数学教育改革概况。

考点聚焦：

1、本章知识在历年考试中大多以选择题的形式进行考查。
2、在 历年考试中，数学史常有考到，考生需要通过了解数学
的起源与发展，体会和认识数学对社会发展产生的 重大影响，对于关键人物的重
要学说需要重点识记。
1、早期算术与几何的历史
① 古埃及数学：埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复，他们能解决一些一
元一次方程的问题，并具备 等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分
数算法，即把所有分数都化成单位分数（即分子是1 的分数）的和。
②两河流域的数学：指美索不达米亚和古巴比伦的数学。苏美尔人会分数、加、
减、乘、除四则运算和解一元二次方程，发明了十进制法和十六进制法。古巴比
伦几何学的重要特征在 于它的代数性质。例如，涉及平行于直角三角形一条边的
横截线问题时引出了二次方程，讨论棱锥的平头 截体的体积时出现了三次方程。
2、古希腊数学的历史
①泰勒斯：在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。
②毕达哥拉斯：以发现勾股定理著称于世。
③欧几里得:被誉为“几何之父”，发现欧几里得几何。
④阿基米德：“力学之父”，利用“ 逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭
圆面积，后世的数学家将这种方法发展为近代的“微积分”。
3、中国古代的历史：
①刘徽：中国古典数学理论的奠基者之一。最早提出十进小数概念，利 用割圆术
科学地求出了圆周率π=3.1416。
②赵爽：将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。
③祖冲之：第一次将圆周率π值计算到小数点后6位，圆周率的祖先。
④秦九韶：著有《数书 九章》，完整保存了中国算筹式记数法及其演算式，论述
了自然数、分数、小数、负数，还第一次用小数 表示无理根。


4、平面解析几何产生的历史：
①笛卡尔：创立了解析 几何学，为微积分的创立奠定了基础。还发现了凸多面体

边、顶点、面之间的关系，后人 称之为欧拉—笛卡尔公式，微积分中常见的笛卡
尔叶形线也是他发现的。
②费马：独立于笛卡 尔发现了解析几何的基本原理。费马在求曲线围成的图形面
积的过程中，提出用微分子法求极大、极小的 步骤，这也是早期微积分的雏形。

5、微积分产生的历史：
①牛顿：最伟大的成就就是发明了微积分。
②莱布尼茨：和牛顿先后独立发明了微积分。牛顿 从物理学出发，运用集合方法
研究微积分；莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念 、得
出运算法则。
6、几何作图三大难题的历史：
①三大难题：a.三等分角问题：将任一给定的角三等分。
b.立方倍积问题：求作一个正方形的棱长，使这个正方形
的体积是已知正方形体积的二倍。
c.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆
的面积相等。
阿贝尔：利用置换群的理论证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是
不存在的。 < br>伽罗瓦：在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归
结为置换群及其子 群结构的分析。

7、集合论发展的历史：
①集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
②罗素悖论提出指出了集合论的漏洞，这就是数学史上的第三次数学危机。
③策梅洛提出公理化集合论。
④康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格
处理。
8、随机思想发展的历史：
概率论的起源与赌博问题有关，其中一个问题是“赌金分配问题” ，帕斯卡和费

马最终解决了这个问题，直接推动了概率论的产生。
①伯努利创立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定理。
②棣莫弗和拉普拉斯导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。
③拉普拉斯明确给出了概率的古典定义。
④切比雪夫、马尔可夫建立了大数定律及中心极限定理的一般形式。
9、算法思想发展的历史：
①算法思想的历史：刘徽的《九章算术注》开创了中国传统数学构造性和机械化
的算法模式。
②计算机算法：算法是对计算机上执行的计算过程的具体描述。

10、近代数学史上的两大巨匠：
①欧拉:把微积分应用于物理学的先驱者之一。第一个使用 “函数”一词来描述
包含各种参数的表达式的人，发现了著名的欧拉公式。
②高斯：有“数学王子”之称。重要贡献是证明了代数基本定理，发现了著名的
柯西积分定理。
11、近代中学数学教育改革概况：
①贝利—克莱因运动：英国数学家贝利提出“数学教育应 该面向大众”“数学教
育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、< br>内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不
断进行改革。第一 次课程改革发生在20世纪初，史称“贝利—克莱因运动”。
②新数学运动：继美国、欧洲推进数学教 育现代化后，非洲、拉丁美洲、东南亚
地区都相继成立了地区性的机构，召开会议推进“新数学运动”， 于是“新数学
运动”波及全球，于1960年形成高潮。
③回到基础运动：
与“新 数学运动”的轰轰烈烈成鲜明对比的是，“回到基础”几乎是悄无声息的
进行的，既没有响亮的口号，也 没有统一的纲领，其出发点是希望重新引起对基
本技能的重视，但令人遗憾的是，回到基础不但没有提高 教学水平，反而使数学
教学回落到历史的最低谷。
④多样化改革的发展：

a.大众数学
b.问题解决
c.服务性学科



第二部分 课程知识
第十一讲
第一章 高中数学课程概述（上）
考点：1、了解高中数学课程的性质，基本理念。
2、了解高中数学课程的总目标和具体目标。
3、熟悉高中数学课程的课程结构。
考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题和简答题的形式进行考查。
2、在历年考试中，高中数学课程的性质、基本理念、目标是考查重点。考生在复习过程中要注意理解和识记。
第一节 高中数学课程的性质和基本理念
一、高中数学课程的性质
1、对数学与数学教育的认识
2、对高中数学课程的认识

1、对数学与数学教育的认识
①对数学的认识
数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学是人类文化的重要组成部分，数 学
素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
②对数学教育的认识
数学教育是教育的组成部分，在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。

作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活
和学习中所需要的数学 知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能
力方面的不可替代的作用。

2、对高中数学课程的认识
（1）高中数学课程是普通高级中学的一门主要课程，它包含了数 学中最基本的
内容，是培养公民素质的基础课程。
（2）高中数学课程对于认识数学与自然界 、数学与人类社会的关系，提高提出
问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识 具有基础性
的作用。
（3）高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形 成解决
简单实际问题的能力。
（4）高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一 步学习的基础。
同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民
族素质具有重要意义。
二、高中数学课程的基本理念
1、高中数学课程的定位
（1）面向全体学生
高中数学课程要体现时代性、基础性和选择性，为不同兴趣和志向、不同 发展方
向、进入不同高校不同专业学习的学生提供适合他们的数学基础。
（2）不是培养数学 专门人才的基础课，要为学生提供宽广的数学视野，为学生
提供基础、重要、丰富的数学内容，供学生根 据各自兴趣进行选择，为今后的发
展奠定好基础。
2、高中数学增加了选择性
（1）选择性是整个高中课程的基本理念
选择性是整个高中课程的基本理念，也是高中课程改革的最大变化之一。
高中阶段是培养学生 选择能力的最佳时期。新的高中课程方案提出了在高中阶段
培养学生的人生规划能力的目标。学会选择正 是培养学生人生规划能力的需要。
在数学教学大纲中，将普通高中的课程分为必修课和选修课两大部分， 设置了文

科系列和理科系列的课程。在新课程标准中，加大了培养选择性的力度，这是本
次改革最大的变化之一。
（2）选择性为学生发展、培养自己的兴趣和特长提供了空间
高中数学课程为了帮助学生发现培养自己兴趣，为学生发展提高帮助，设置了选
修课程。 高中数学课程中选修课的设置体现了选择性：新课程标准中将高中数学课程知识
内容分为必修和选修 两大部分。对于选修部分，包括4分系列。系列1是为那些
希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设 置的；系列2则是为了那些希望在
理工、经济等方面发展的学生而设置的。除此之外，为对数学有兴趣和 希望进一
步提高数学素养的学生设置了系列3和系列4.
高中数学课程中选修课的设置就是希 望从不同的角度激发学生学习数学的兴趣，
帮助学生发现、培养自己的兴趣、特长，希望数学能为学生的 发展提供帮助，这
是高中数学新课程的最高追求。


3、让学生成为学习的主人
（1）倡导自主学习、合作学习；
自主学习是社会发展 对20世纪人的基本要求。当今时代，具有团队精神，合作
交流的意识已成为学生必备的基本素质。
（2）帮助学生养成良好的学习习惯。
在教学中，更重要的是帮助学生养成良好的数学学习习惯，培养发现问题、提出
问题的习惯。
4、提高应用意识
（1）发展学生的应用意识是数学科学发展的要求；
（2）发现学生的应用意识有助于培养学生的创新能力；
（3）发展学生的应用意识是培养学习兴趣的需要；
（4）发展学生的应用意识是培养自信心的需要；
（5）数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。

5、强调培养创新意识
（1）强调发现和提出问题
（2）不仅要重视演绎推理，更要重视归纳推理
强调归纳、演绎并重
（3）强调数学探究和数学建模：
数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习
的过程。
数学建模就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。
《新课标》要求在高中阶段每个学生至少安排较为完整的一次数学探究、一次数
学建模活动。
6、注重数学基础知识和基本技能
（1）强调概念、结论产生的背景
（2）强调经历知识产生发展的过程
（3）强调体会概念和结论中所蕴涵的数学思想方法

7、强调数学的文化价值
（1）数学是人类文化的重要组成部分
数学已经融入人类的文化发展进程，成为人类文化的重要组成部分。
（2）高中数学课程中数学文化价值的体现
《普通高中数学课程标准（实验）》强调了数学文 化的重要作用，要求将其尽可
能与高中数学课程内容有机结合。
8、全面地认识评价
新课程标准中提倡评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的
进程；既要关注学生数 学学习的水平，也要关注他们在教学活动中所表现出来的
情感态度的变化。



第十二讲

第一章 高中数学课程概述（下）
第二节 高中数学课程的目标
一、高中数学课程的总目标
二、高中数学课程的具体目标
三、过程与方法
四、五大基本能力
一、高中数学课程的总目标：
使学生 在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数
学素养，以满足个人发展与社会 进步的需要。
二、高中数学课程的具体目标
1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解 基本的数学概念、数学结论的本
质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和 方法，
以及它们在后续学习中的作用。
2、提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3、提高数学的 提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独
立获取数学知识的能力。
< br>4、发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行
思考和作出判断。
5、提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科
学态度。 6、具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形
成批判性的思维习惯 ，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步
树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
（六条目标整体体现了知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的三维目标）
三、过程与方法
把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。
“过程与方法”是课程目标，学生只有在学习的过程中才能不断的积累基本活动
经验，才能保证“过程” 作为目标的实现。

四、五大基本能力：
《新课标》中提出了五个 基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、
抽象概括能力、数据处理能力。
后增加 抽象概括能力和数据处理能力反映了对数学课程认识上的变化。因此，增
加抽象概括能力和数据处理能力 反映了数学课程从单纯的强调演绎，到强调归纳
与演绎并重。
数学有三个基本特征：抽象性、严密性、应用的广泛性。

第三节 高中数学课程的结构
一、高中数学课程的内容结构
1、课程框架
2、必修课程
3、选修课程
1、课程框架
高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成 ；选修课程有4个系列，
其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成。

2、必修课程
必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。
数学1：集合、函数概念与基本初等函数1。
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。
数学3：算法初步、统计、概率。
数学4：基本初等函数2、平面上的向量、三角恒等变换。
数学5：解三角形、数列、不等式。
3、选修课程
对于选修课程，学生可以根据自 己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课
程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。
二、高中数学课程的内容建议

学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同高校、 不同专业对学生数学方面的要求
也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。
据此，学生可以选择不同的课程组合，选择以后还可以根据自身的情况和条件进
行适当的调整。


第十三讲
第二章 高中数学的内容主线（上）
考点：1、熟 悉《普通高中数学课程标准（实验）》所规定教学内容的知识体系，
掌握《普通高中数学课程标准（实验 ）》对教学内容的要求
2、了解《普通高中数学课程标准（实验）》各模块知识编排的特点。
3、能运用《普通高中数学课程标准（实验）》指导自己的数学教学
实践。
考点聚焦：1、本章知识在历年考试中多以简答题和论述题的形式进行考查。
2、在历年考试中，新课程标准所规定的教学内容的知识体系是考查重点，考生需要熟悉高中数学的课程内容主线，并与后面的教学内容结
合起来，指导自己的 数学教学实践。
第一节 函数主线
函数思想、算法思想、随机思想等都是高中数学课程的 主线，它们彼此之间有着
密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想。
一、对函数的认识
二、高中数学所研究的函数性质
三、具体函数模型
四、函数与其他内容的联系

一、对函数的认识
1、函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型
函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型， 通过探索、理解可以用变量与变量

之间的依赖关系反映事物规律。
2、函数是联结两类对象的桥梁
函数是联结两类对象的桥梁，即映射关系。
3、函数是“图形”
在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。从某种意义上说，研究函数 就是研
究曲线的性质，研究曲线的变化。
二、高中数学所研究的函数性质
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。函数的变化特征反映了它所刻画的
对象的特征。
单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。
（反映的是某个范围内函数的变化）
周期性是中学阶段学习函数的另一个基本的性质。
（反映了函数变化周而复始的规律）
奇偶性也是在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性
质。
（反映了函数的对称性质）原点和y轴
三、具体函数模型
了解函数的形式定义仅仅 是理解函数的一部分，理解函数的一个重要方法，就是
在头脑中有一些具体函数的模型。
幂函 数、指数函数、对数函数、三角函数是基本的初等函数，这些函数是最基本
的，也是最重要的。

三、具体函数模型
1、线性函数
线性函数y=ax+b的图形是一条直线，它是函数关系中最常见的，也是最简单的。
2、正整数指数幂函数
正整数指数幂函数y=xn也是基本的函数，它们的代数和就是我们熟 悉的多项式
函数，这些函数都是“好”的函数。
（“好”：具有任意阶导数，非常“光滑”。 在一定范围内都可以用多项式函数

来近视地表示。在高等数学中，也称为泰勒公式。
3、指数函数、对数函数
指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们 是用得最多
的函数，也是最基本的函数。也是“好”的函数。
多项式函数（例如，y=x2， x?0）、指数函数（底数大于1）、对数函数（底数大
于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增 加。但增长速度不同，对数增长
最慢，多项式函数快一点，指数函数最快。
4、三角函数 < br>周期现象是现实世界最基本的现象之一，三角函数是刻画周期现象最基本的模
型，三角函数包括正 弦函数、余弦函数、正切函数等等。

四、函数与其他内容的联系
函数作为高中数 学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。特别是在方程、不
等式、线性规划、算法、随机变量等内容 中都突出地体现了函数思想。
1、函数与方程
用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成 函数与x轴交点的横坐标，即函数
的零点，因此，解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)的零点， 函数零点个数就决定了
相应方程实数根的个数。
2、函数与数列
数列是特殊的函数 。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数
集，或者自然数集的子集。
在高中阶段，主要讨论一些特殊的数列——等差、等比数列的性质。
3、函数与不等式 函数y=f(x)的图象把坐标系的横坐标轴分为若干部分区域，一部分区域是使函数
值等于0，即 ｛x｜y=f(x)=0｝;一部分区域是使函数值大于0，即｛x｜y=f(x)?0｝；
一部分区域 是使函数值小于0，即｛x｜y=f(x)<0｝。
4、函数与线性规划
线性规划问题是最优化问题的一部分。
解线性规划问题，可归结为以下算法：

第一步，确定目标函数
第二步，确定目标函数的可行域
第三步，确定目标函数在可行域内的最值。
5、函数与算法
在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。
循环结构中的循环变量分为两种形式：
一种循环变量的值可以取“运算次数”，以此来控制循环次数。
另一种循环变量的值可以取“运算结果”，是控制结果精确度的变量。
循环变量体现了函数的 思想。“循环”的过程是依赖于循环变量取值的变化而一
步步实现的，这种依赖关系体现了函数的思想。

第二节 运算主线
运算：运算的对象，运算的规律。
运算对象：“数”“字母”“指数”“对数”“三角函数”“向量”等。
运算规律：“结合律”“交换律”“分配律”等。
一、对运算的认识
二、运算的作用
三、运算内容的设计

一、对运算的认识
运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线
索。
从数的运算到字母运算，是运算的一次飞跃。数的运算可以用来刻画具体问题中
的数量关系，解决有关数 量关系的具体问题。
从数的运算到向量运算，是认识运算的又一次飞跃。
二、运算的作用
1、运算与推理
运算的学习对于培养学生的逻辑推理能力具有重要作用。
2、运算与算法

在一定意义下，算法是通过计算机解决问题的，算法由计算机 实现，构成算法的
基本要素是运算。
3、运算与恒等变形
在解决数学问题的过程中，需要进行各种各样的恒等变形，把复杂问题变成简单
问题。
三、运算内容的设计
在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算，对 数运算，
三角函数运算，向量运算，复数运算，导数运算等等。
第三节 几何主线
一、几何的教育功能
二、中学几何研究的对象
三、几何研究图形的方法
四、几何内容的设计

一、几何的教育功能
在高中数学课程中，几何的作 用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能
力。这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理 解都是非常重要的。
培养学生的几何直观能力，包括空间形象力、直观洞察力、用图形的语言来思考
问题的能力等。
二、中学几何研究的对象
中学几何主要是研究图形的位置关系和度量。
最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。
图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。

三、几何研究图形的方法
中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析几何的方法，向量几何
的方法，函数的方法等 。
综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质
去研究组合 图形的性质。

解析几何的方法是利用代数的方法研究几何图形的性质。
向量几何的方法就是用向量及其运算来研究几何图形的位置关系和度量关系。
四、几何内容的设计
1、“把握图形”的能力
在讨论线性规划问题时，有两个关键 环境，一个是对可行域的理解；另一个是认
识目标函数的变化趋势。平面区域图形非常清晰地表达了可行 域的特征，等高线
直观地给出了目标函数的变化趋势。
2、高中数学课程中几何内容的设计
高中数学课程中的几何内容是分层设计的，大体上包括三大部分：一部分在必修
课中；一部分在 选修1，选修2课程中；一部分在选修3，选修4的课程中。


第十四讲
第二章 高中数学的内容主线（下）
第四节 算法主线
算法也是设计高中数学课 程的一条主线。有三个方面的问题应该特别注意：算法
的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。
一、算法的作用
二、算法的基本思想
三、算法的基本结构
四、算法的基本语句
五、算法内容的设计
一、算法的作用
1、算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力。
2、算法学习有助于学生全面的理解运算。
3、算法学习有助于提高学生的信息素养。
二、算法的基本思想
算法的基本思想是指按照确定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。

解一元一次方程的算法。
三、算法的基本结构
算法通常包括三种基本结构，这三种基本结构是：顺序结构、分叉（选择）结构、
循环结构。
1、顺序结构的算法的操作顺序是按照书写顺序执行的。
2、选择结构的算法是根据指定的条 件进行判断，由判断的结果决定选取执行两
条分叉路径中的一条。
3、循环结构的算法要根据条件是否满足来决定是否继续执行循环体中的操作。
四、算法的基本语句
在高中的数学课程中，不要求学习具体的算法语言，仅仅需要了解这些语 言中的
一些共同的基本语句：输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句。
五、算法内容的设计
在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分。
一部分主要 介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法的基本思想，
算法的基本结构、算法的基本语句。
另一部分是把算法的思想融入相关数学内容中。
第五节 统计概率主线
一、对统计概率的认识
目前我们的社会已经进入了信息时代，信息的主要载体是数据。收集数 据、整理
数据、分析数据、从数据中提取有用信息、利用数据中的信息说明问题，等等，
这些已 经成为人们的基本素质和能力。

二、统计内容的设计
1、数据处理的能力
2、统计注重过程
3、统计采用案例的教学方式
4、统计是一种归纳的思想

5、随机的思想
在统计的教学中，应该注意培养学生的随机思想。
第六节 应用主线
一、对应用的认识
1、发展学生应用意识的背景
发展学生应用意识是数学科学发展的要求。
发展学生的应用意识有助于培养学生的创新意识。
发展学生的应用意识是培养学生兴趣的需要。
发展学生的应用意识是培养学生自信心的需要。

2、高中数学教学中存在的问题
忽视数学与其他学科以及日常生活的联系，忽视培养学生的应用意识。
3、高中数学课程中如何体现数学的应用价值
学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练。

二、应用的层次
对于高中课程中数学的应用，可以分为三个层次来理解，分别是：知识的背景和
对实际问题的数 学描述；对数学模型的认识和在实际中的直接应用；经历数学建
模的过程。
1、知识的背景和对实际问题的数学描述
2、对数学模型的认识和在实际中的直接应用
3、经历数学建模的过程
1、知识的背景和对实际问题的数学描述
在高中数学课程 中，学习了一些重要的数学概念，例如，函数、数列、算法、统
计、线性规划、导数等，这些概念都有着 丰富的实际背景，了解这些实际背景对
于理解和应用这些数学概念是非常重要的，可以使这些抽象的数学 概念变得生
动、具体。
2、对数学模型的认识和在实际中的直接应用
近年来，数学 界特别强调模型的思想，也凸显出了数学模型在数学学习中的重要

性。
3、经历数学建模的过程
数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空 间，有助于
学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科
的联 系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。


第十五讲
第三章 高中数学课程内容的主要变化（上）

考点：1、知道高中数学课程有哪些新增的内容，对哪些内容作了新的处理。
2、能运用《普通高中数学课程标准（实验）》指导自己的数学教学
实践。
考点聚焦：1、本章知识在历年考试中多以选择题和简答题的形式进行考查。
2、在历年考试中，高中数学课程中新增的内容是考查重点，< br>考生在学习这部分知识的时候，要注意与具体的教学实践相结合，深入了解课程
变化的原因和内涵 。
第一节 集合
第二节 函数
第三节 向量
第四节 统计与概率
第五节 算法
第六节 常用逻辑用语和微积分初步

集合
高中数学课程中新增加了一些内容。如算法、框图、推理与证明、统计案例以及
选修3、 4的大部分专题，对一些内容作了新的处理，例如集合、逻辑、函数、
向量、立体几何、概率、导数等。 本节介绍集合内容在高中数学课程中的主要变
化。

一、高中数学课程中“集合”内容的定位
二、“集合”在中学作为语言来学
三、“集合”内容的教育价值
四、集合论
一、高中数学课程中“集合”内容的定位
在高中数学课程开始阶段，设置了“集合初步”的内容，介绍了一些规范的表述
方式，如集合， 子集合，补集，集合的并，集合的交，等等。
“集合初步”和“集合论初步”是不同的，“集合论”是 一个重要的数学分支，
它以“基数”和“序数”为基本研究对象，只有专门研究数学某些方向的人才需< br>要学习“集合论”。“集合初步”只是提供一种表述数学的语言。
二、“集合”在中学作为语言来学
高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学习集合初步 知识的目的主要在于
能够使用集合这一最基本的语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。数学中使用的语言有自然语言、图形语言、数表语言、符号语言等，
集合就是一种特殊的 符号语言。
三、“集合”内容的教育价值
1、培养运用数学语言学习数学、进行交流的能力
2、初步感受集合语言的价值
3、借助集合的学习，开始自主学习的体验
四、集合论
关于集合的理论叫做集合论，它在近代数学中是一个重要分支。
19世 纪末20世纪初，德国数学家康托把人们直观的或思维中某些确定的、可以
区分的对象汇合在一起，当做 一个整体来看待，称之为集合，组成集合的那些对
象称为这个集合的元素，并在此基础上创立了一门新的 数学学科——集合论。
第二节 函数
一、高中数学课程中函数内容的变化
判断 、确定一个函数和描述一个函数是不同的。在中学阶段，判断、确定一个函
数主要不是依赖数学，而是依 赖其它学科的知识和素养，以及日常生活的经验。
在中学阶段，描述函数有三种形式：图像法，列表法，解析式法。

二、函数是其他数学内容的载体
函数本身是重要的，即便如此，我们还应当关 注在函数内容里蕴涵的其他重要内
容，使函数学习发挥更大的效益。
在课程整体介绍中，我们已经明确了高中数学的六条主线，它们经常是共存于一
个内容中。
三、函数内容进入中学是数学教育改革的一个里程碑
函数不仅在中学数学教育中占有重要的基 础地位，而且在今后的数学学习中，它
依然扮演着重要的角色。
特别指出，函数所反映的是对 应与变化的思想，对于它的理解不是一蹴而就的。
只要结合实际，结合后面数学知识的学习，不断地去思 索，就会对“函数思想”
的理解越来越深。
第三节 向量
向量之所以被引入中 学，是因为向量在数学中占有重要的地位，在现代数学的发
展中起着不可替代的作用。
一、向量是刻画现实世界的重要数学模型
二、向量是集数、形于一身的数学概念
三、向量运算扩充了运算的对象和性质
四、向量是研究几何问题的基本工具
五、向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁
六、向量和物理有密切的联系

一、向量是刻画现实世界的重要数学模型
群、线性空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、 线性代数、泛函分析的重要
研究对象。因此，向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数 学
模型。
二、向量是集数、形于一身的数学概念
向量是近代数学中最重要、基本的 概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。
向量作为代数对象，可以像数一样进行运算；作为几何对象 ，向量有方向，可以
刻画直线、平面、切线等几何对象。

三、向量运算扩充了运算的对象和性质
向量是代数的对象，它可以进行多种运算，如向量加、减、数乘和数量积等。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
与数的运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。

四、向量是研究几何问题的基本工具
向量是几何的对象，它可以描述、刻画和替代几何中的基 本研究对象——点、线、
面；也可用来讨论空间中点、线、面之间的位置关系：判断线线、线面、面面的
平行与垂直关系；还可以表示空间中的曲线与曲面；并且可用来度量几何体中线
与面的长度、角 度，计算其面积、体积等。向量是研究几何问题的基本工具。
五、向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁
一方面，通过向量的运算可以解决几何中的问题。 例如，两直线是否垂直的问题，
就可以转化为两个向量的数量积是否为零的问题，这就实现了利用代数方 法来解
决几何问题的目的。
另一方面，对于代数问题，通过向量可以给予几何的解释。例如， 两个向量的数
量积为零，那么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的，等等。
六、向量和物理有密切的联系
向量又是连接数学和物理的一个桥梁。物理学研究的基本量之一 是矢量。物理学
中的矢量既有大小和方向，又有作用点。
向量简单易懂。向量的概念有着清晰 的物理背景，学生很容易懂。学习向量非常
有助于培养学生的数学能力和应用数学解决实际问题的能力。

第十六讲
第三章 高中数学课程内容的主要变化（下）
第四节 统计与概率
一、高中数学课程中统计与概率内容的变化
高中数学课程 对统计更加重视，为了突出学生对概率概念本质的理解，把计数安
排在概率初步的后面。

但是，过去中学的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对
概率本身的理 解。在新课程标准中，更强调了对随机现象的认识。
二、统计
1、统计的价值及研究对象
2、形成运用数据进行推断的思考方式
3、形成对数据处理过程进行初步评价的意识

1、统计的价值及研究对象
统计是一门关于用科学方法收集、整理、汇总、描述和 分析数据资料，并在此基
础上进行推断和决策的学科。统计学的应用非常广泛，凡是涉及数据分析的都可
以成为统计学的研究领域。
面对一个实际问题，我们关心的是：
（1）如何抽取数据；
（2）如何从数据中提取信息；
（3）所得结论的可靠性如何。

2、形成运用数据进行推断的思考方式
统计所研究的问题一般具有不确定性。例如，应用统计方法由部分推断总体具有
随机性。 在“统计”的学习中，学生将通过“随机抽样”，“样本估计总体”，“线性回
归”等内容的学习， 从统计的角度思考与数据信息有关的问题，体会统计思维与
确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性 ，并意识到统计推断是有可能犯错
误的。
3、形成对数据处理过程进行初步评价的意识 统计方法的作用，在于在数据所提供的信息的限度内，帮助人们作出尽可能正确
的归纳。而从现实世 界的角度看，作为推理方法，归纳高于演绎。
对相关的统计论断进行批判性思维是统计素养的一个重要 组成部分，让学生认识
到：统计思维不同于其他数学思维，统计调查是一个逐渐改进和完善的过程，是< br>逐渐靠近真理的过程。在这个过程中，逐步培养学生对统计论断进行批判性思维

的 能力。
三、概率
1、高中数学概率部分的定位
2、同一个现实对象可以用不同的模型来描述
3、借助于几何概型来介绍随机模拟
4、概率教学要重视对概率思想的认识

1、高中数学概率部分的定位
对 随机现象有一个较清楚的认识，成为每一个公民文化素质的基本要求，高中数
学概率部分的定位就是使学 生对随机现象的规律有个初步的认识。
1、随机现象是指在相同条件下，做重复试验出现的不确定现象。
2、频率和概率的关系。频率是随机的，概率是一个客观存在的常数。
3、概率反映的是“多次试验”中频率的稳定性。
4、出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。

2、同一个现实对象可以用不同的模型来描述
古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确 切描述。扔一个硬币，可以看成
只有两种结果:“国徽面朝上”和“国徽面朝下”。每个结果出现的可能 性相同，
从而符合古典概率的模型。
在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型。
3、借助于几何概型来介绍随机模拟
模拟是利用随机数再现随机现象的一种方法。
在高中新课程中，我们是借助于几何概型来介绍随机模拟的。几何概型讨论的是
连续型随机变量中的均匀 分布。由于历史上它的解最早是用几何方法来求的，因
此，人们把它称为几何概型。

4、概率教学要重视对概率思想的认识
概率是研究随机现象的学科，学生学习过概率后，应该 能对随机现象有一个较好
的理解，能对自己日常生活中碰到的问题给出解释。

为了更好地理解随机现象、理解古典概率，具体教学时，不要把计数的方法作为
重点，而要重视对概率思 想的认识。
第五节 算法
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算数学的重要基础。
为什么把算法加入数学课程？
一、时代的需要
二、与传统的内容有密切的联系
三、能引起学生的兴趣
四、对教师没有太大的难度
五、对未来的数学课程产生很大的影响



一、时代的需要
20世纪数学发生了很大的变化，这种变化有两个重要的标志，一 个是数学的应
用，另一个就是数学与计算机的同步发展。了解算法的基础知识和基本应用，对
一 个人的发展是非常重要的。
二、与传统的内容有密切的联系
算法并不是一个十分陌生的内容 。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名
词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透 到了大部分内容之中。
三、能引起学生的兴趣
算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允 许的学校可以让学生在计算机上实
现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。
四、对教师没有太大的难度
算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握。

五、对未来的数学课程产生很大的影响
算法进入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反应：
1、大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。

2、“算法”的内容 会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的
课题。
3、“算法”的内容进入高 中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通
性通法”，强调基本技能，淡化技巧。
4、“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。
第六节 常用逻辑用语和微积分初步
一、常用逻辑用语
1、常用逻辑用语和简易逻辑存在定位上的区别
2、常用逻辑用语中课程的重点
3、全称量词和存在量词
4、常用逻辑用语课程中的注意事项

一、常用逻辑用语
1、常用逻辑用语和简易逻辑存在定位上的区别
在常用逻辑用语中，课程的目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，避免产生错
误。
2、常用逻辑用语中课程的重点
在常用逻辑用语中，课程的重点放在理解充分条件、必要条件、充分必要条件在
数学中的含义。

3、全称量词和存在量词
在常用逻辑用语中，课程要求学生通过数学实例介绍两种 基本的逻辑用语——全
称量词和存在量词，帮助学生在数学学习和日常生活中正确地使用这两种逻辑用< br>语以及理解这两种量词的否定的含义。
4、常用逻辑用语课程中的注意事项
课程只要求学生能用逻辑联结词组成新的命题，不要求复合命题的分解。
二、微积分初步 < br>1、微积分思想是非常重要的思想，它可以帮助我们了解函数的变化，刻画现实
世界的规律，在日 常生活中，微积分的基本知识已经成为人们认识某些事物的常

识。
2、在数学上给出微积分的表述，对于理解这些实例和案例是必要的。
3、直接介绍微积分思想的难度不大，能为中学生所接受。
4、可以帮助学生了解导数和积分 的丰富背景和应用，建立一些具体的、特殊的
极限概念，初步形成对极限的感性认识，这些对于进一步学 习微积分理论是有帮
助的。
5、微积分的产生在人类文明史上有着重要的作用。

第十七讲
第四章 高中数学的教学与评价建议
考点：1、熟悉新课程标准实施建议中的教学建议和评价建议的内容。
2、能运用教学建议和评价建议指导教学。
考点聚焦：1、本章知识在历年考试中多以简答题、论述题的形式进行考查。
2、在历年考试中，运用新课程标准实施建议中的教学建议和评价建议的内容指导教学实践一直是考查的重点。考生在熟悉新课程标准中实
施建议内容的基础上 ，要注重领会运用。
第一节 教学建议
新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较 大变化，要实现数学课程改革
的目标，教师是关键。教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念 和目
标，以及自己在课程改革中的角色和作用。为了更好地实施新课程，教师应积极
地探索和研 究提高自身的数学专业素质和教育科学素质。
一、以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划
为了体现时代性、基础性、选择 性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的
数学，在教学上获得不同的发展，高中数学课程设置了必 修系列和四个选修系列
的课程。
二、帮助学生打好基础，发展能力
1、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
2、重视基本技能的训练

3、与时俱进地审视基础知识与基本技能
三、注重联系，提高对数学整体的认识
数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力。在高中 数学的教学中，要注重数
学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科
的联系。
四、注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力
在数学教学 中，应注重发展学生的应用意识，通过丰富的实例引入数学知识，引
导学生应用数学知识解决实际问题， 经历探索、解决问题的过程，体会数学的应
用价值。
五、关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成
数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的
动力。
在教学中，应尽可能结合高中数学课程的内容，介绍一些对数学发展起重大作用
的历史事件和人物，反 映数学在人类社会进步、人类文明建设中的作用，同时也
反映社会发展对数学发展的促进作用。
六、改善教与学的方式，使学生主动地学习
丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中 数学课程追求的基本理念。独
立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要 方式。
七、恰当运用现代信息技术，提高教学质量
应重视信息技术与数学课程内容的有机整合，整合的原则是有利于对数学本质的
认识。
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生
深刻的影响。
第二节 评价建议
数学教学的评价应有利于营造良好的育人环境，有利于数学教与学活动过 程的调
控，有利于学生和教师的共同成长。
一、重视对学生数学学习过程的评价
对 学生数学学习过程的评价，包括学生参与数学活动的兴趣和态度、数学学习的
自信、独立思考的习惯、合 作交流的意识、数学认知的发展水平等方面。

二、正确评价学生的数学基础知识和基本技能
评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿
以及复杂技巧。
下面给出一些具体评价内容的建议与要求：
1、评价对数学的理解，可以关注学生能否独立举 出一定数量的用于说明问题的
正例和反例。特别地，对核心概念学习的评价应该在高中数学学习的整个过 程中
予以关注。
2、评价应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知识的结构、体系。
3、对数学 基本技能的评价，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特
点进行合理选择，进而熟练运用。
4、数学语言具有精确、简约、形式化等特点，能否恰当地运用数学语言及自然
语言进行表达与 交流也是评价的重要内容。
三、重视对学生能力的评价
是否具有问题意识，是否善于发现和 提出问题；既能够独立思考，又能够与他人
很好地合作与交流；评价应当关注学生能否对自己提出问题和 解决问题的过程进
行自评与互评；在评价中，要注意肯定学生在数学学习中的发展和进步、特点和
优点。
四、实施促进学生发展的多元化评价
促进学生发展的多元化评价的涵义是多方面， 包括评价主体多元化、方式多元化、
内容多元化和目标多元化等，应根据评价的目的和内容进行选择。
主体多元化，是指将教师评价、自我评价、学生互评、家长和社会有关人员评价
等结合起来；
评价方式的具体建议：
1、评价应以尊重被评价对象为前提。
2、笔试仍是定量评 价的重要方式，但要注重考察对数学概念的理解、数学思想
方法的掌握、数学思考的深度、探索与创新的 水平以及应用数学解决实际问题的
能力等。
3、定量评价可以才去百分制或等级制的方式，评 价结果应及时反馈给学生，但
要避免根据分数排列名次的现象发生。

4、定性 评价可采取评语或成长记录等形式，应使用激励性语言全面、客观地描
述学生的状况。

五、根据学生的不同选择进行评价
1、学生选择了自己的课程组合以后，学校和教师应为学生 建立相应的学习档案，
当学生完成课程模块或专题的学习时，将反映学生水平的学习成果记入档案。 < br>2、当学生调整自己的课程组合时，学校和教师应及时地帮助学生做好已完成课
程的评价，以及一 系列转换工作。
3、学校和教师的这些评价，将成为学生进入社会求职或高等院校招生时评价学
生的依据。高等院校在录取时，应全面地考虑学校对学生在高中阶段数学学习的
评价。
（二） 课程知识

第一章 高中数学课程概述
第二章 高中数学的内容主线
第三章 高中数学课程内容的主要变化
第四章 高中数学的教学与评价建议

第三部分 教学知识
第十八讲
教学知识在教师资格考试中占有很重要的地位，是考查的重点。第三部分讲述了高中数学教师应具备的教学知识，帮助考生建立完善的教学知识结构，全面系统
地把握数学教学方法 、教学过程、数学学习方式等数学教学知识。
第一章 教学原则、过程与方法
考点：1、 理解数学教学的原则，包括抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结
合、理论与实际相结合、巩固与发展 相结合。
2、了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数
学教学评价等基本环节的教学过程。
3、掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方
法。
考点聚焦：1、本章考题多以论述题和简答题形式出现。
2、在历年考试中，教学原则、教学过程的基本环节和常见
的数学教学方法是考查的重点，考生要注意理 解和识记。
第一节 教学原则
一、抽象与具体相结合原则
二、严谨性与量力性相结合原则
三、理论与实际相结合原则
四、巩固与发展相结合原则
第一节 教学原则
数学教学原则，应根据数学教学目的和数学学科特点，以及学生学习数学的心理
特点来确定。
在中学数学教学中，主要应遵循如下基本原则：抽象与具体相结合原则；严谨性
与量力性相结合 原则；理论与实际相结合原则；巩固与发展相结合原则。
一、抽象与具体相结合原则
这一原则是数学教学中抽象思维与生动具体对象统一规律的反映。也就是说，在

数学 教学中既要促使学生通过各种感官去感知数学的具体模型，形成鲜明的表
象，又要引导学生在感知材料的 基础上进行抽象思维，形成正确的概念、判断和
推理。
这一原则，既来自数学内部，又符合学 生认知过程。它和数学的高度抽象性互为
表里，是辩证的统一。
从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。
如何在数学教学中贯彻抽象与具体相结合的原则？
（1）首先要着重培养学生的抽象思维能力 。所谓抽象思维能力，是指脱离具体
形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的 程度，可分
为经验型抽象和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，
因为 只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，
才有能力去解决问题。 （2）其次要培养学生的观察能力和提高他们的抽象、概括能力。在教学中，可
通过实物教具，利用 数形结合，以形代数等手段。例如，讲一次函数有关性质时，
可先画出图象，再观察图象抽象出有关性质 。
二、严谨性与量力性相结合原则
所谓数学的严谨性，就是指对数学结论的论述必须精确， 结论的论证必须严格、
周密，整个数学内容被组织成一个严谨的逻辑系统。
所谓量力性，简而 言之就是量力而行。在数学教学中，如何安排课程、处理教材、
设计方法等都必须考虑青少年的年龄特征 ，对数学的严谨性要有一个逐步适应、
逐步提高的过程。
如何有效地运用严谨性与量力性相结合的原则来进行教学？
1、认真钻研课程标准、教材，明 确的把握教材的严谨性要求。一般来说，课程
标准、教材对各部分的数学内容都有明确的要求，虽然对其 严谨性没有明确指出，
但通过分析思考课标、教材对各部分内容要求的深浅度，就可以把握其严谨性要< br>求的高低。当前数学教育界提出“淡化形式、注重实质”的口号实质也从一个侧
面反映出教学必须 坚持严谨性与量力性相结合。
2、在具体的概念和定理等内容的教学中，不要一下子和盘托出所要学习 的概念
和定理等全部内容，要体现出逐层逐步严谨的过程。

3、在教学中，要 有意识地逐步培养学生言必有据、思考缜密、思路清晰的良好
的思维习惯，这些思维习惯是学生的数学思 维严谨性程度高低的主要标志。
所谓言必有据，即要求教师无论在计算、推导、论证中，还是在作图中 ，每一步
过程都要有根有据，这些根据即是所学过的概念、公式以及定理等。
所谓思考缜密，就是考虑问题要全面、周密、准确，不能有漏洞。
所谓思路清晰，就是要求学 生对解决一个问题要分几个步骤才能完成、要从几个
方面进行思考、要分几类情形进行讨论、要从几个侧 面进行分析等都要心里有数、
有条不紊。因此，对于学生刚学习的新知识，要学生写出具体的程序、步骤 是很
必要的。
4、在平时，要在研究学生的年龄特点、个性特点、智力、能力水平方面下工夫 。
因为如果教师对学生的能力水平等问题估计不准确，就不可能贯彻好“严谨性”
和“量力性” 的原则。数学教育一方面要面向全体学生，不能只顾少数“尖子生”；
另一方面学生的能力水平又参差不 齐，差别很大，形成了尖锐的矛盾。要贯彻严
谨性与量力性相结合的原则确实有一定的难度。但只要我们 认真钻研教材、课程
标准，深入了解学生，就能处理好“严谨性”与“量力性”的问题。
三、理论与实际相结合原则
理论与实践相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论 中的一般原理。
在教学中要使教材上的理论知识，尽可能地联系实际来阐明，且通过一定的实践
活动使学生正确、深刻地理解理论实质。
这一原则是数学特点所决定的。数学虽是非常现实的，但舍去 了与数量关系和空
间形式无关的性质，以致它以高度抽象的形式出现。
此原则体现了严密的逻 辑系统这一数学特点。例如欲使学生掌握某一定理，如果
他对于推证时所用的其他定理全然无知，或对其 实质认识不深刻，那么他对这一
新的定理也无法掌握。

此原则也体现了应用广泛性 这一数学特点。在教学中，应随时让学生掌握基础知
识的简单用途和用法，为今后解决一般实际问题奠定 基础。
此原则也是为培养学生分析问题与解决问题能力所需要的。因为这个能力主要是
指如何 使学生把实际问题归结为数学问题的能力。

由于数学各项理论内容繁简与学生理解能力 强弱不同，故在教学中使理论与实践
结合穿插进行的密度也不一致，因此必须适当、有机地进行。
四、巩固与发展相结合原则
数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程， 巩固与发展不
能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。
这一原则 是符合当前数学教学实际的。数学教材以系统性强为其特点之一，数学
逻辑链条上的一个环节发生断裂， 就可能影响整个知识掌握，因此循序渐进，注
意知识的巩固是教师应特别重视的。
这一原则是 适合学生的心理发展规律的。在数学学习中，学生心理发展既有连续
不断的继承性特点，又有产生质变的 阶段性特点。


第十九讲
教学过程
数学教学工作是一项系 统工程，包括备课、上课、课外辅导、作业布置与检查、
成绩的考核与评价及教学研究等工作。
一、数学教学过程
二、数学教学过程的基本要素

一、教学过程
1、备课
2、课堂教学
3、课外工作
4、成绩的考核与评定
5、数学教学评价
1、备课
备课是教学的基础，对课堂教学质量起着决定作用。
备课的主要工作包括：

（1）分析教材和课程标准、阅读参考资料。
（2）深入了解学生。教师深入了解学生才能有的放矢、因材施教，以取得良好
的教学效果。教师应了 解所教学生的知识结构、学习能力、思维特点、心理特征、
兴趣爱好、学习习惯等。
（3）制定计划（学期计划、单元计划和教案）。
2、课堂教学
（1）课堂教学的五大环节
（2）中学数学教学过程中的几种关系

（1）课堂教学的五大环节
①组织教学：是指上课的铃响之后，教师进入教室、登上讲台、利 用口头语言或
形体语言等手段提示学生”开始上课“的准备环节。
②复习提问：是指教师在讲 授新课前，利用提问、练习或测验等方式，回顾旧知
识导入新课的环节。
③讲授新课：是指教 师在对复习提问做出讲评小节后，用简练的语句揭示新旧课
的内在联系，从而在引入新课，板书课题后进 行讲练活动，实现传授新知识技能
和发展学生的思维能力的任务的教学环节。

④巩固新课：是指教师在新授课后，当堂对所学知识进行检查、复习，达到强化
知识的环节。
⑤布置作业：是指教师在完成以上四个教学环节后，给学生布置需课后完成工作
的环节。
（2）中学数学教学过程中的几种关系
①间接经验和直接经验的关系：
在学校教育 中，学生学习数学的主要人物是学习间接经验，但是学习间接经验必
须以学生个人的数学直接经验为基础 。教师应注意处理好数学知识系统的启发讲
授和学生自主探究发现之间的关系。
②数学知识技能的掌握与能力发展的关系：
要让学生形成良好的能力，就要加强数学基础知识 和基本技能的培养，在打好抓

牢基础的前提下，训练和提高学生的能力，两者兼顾。
③数学知识技能的掌握和数学观：
在数学教学过程中，要引导学生用心体会数学知识和方法的 价值，只有学生用心
体会，才能树立正确的数学学习观和数学价值观。

④数学认知活动与非认知因素的关系：
非认知因素主要指学生学习的积极性、学习动机、兴趣 、情感、态度、意志品质
等。在教学活动中，教师要按照数学教学目标的认知要求，适当调节学生的非认
知因素，不可只注重数学认知活动而忽视非认知因素的培养，反之亦不可。
⑤教师主导作用与学生主体性的关系：
要防止忽视学生学习的主体性，不宜采取”教师讲，学 生听“、”教师问，学生
答“的模式，同时也要防止忽视教师的主导作用。
3、课外工作
（1）作业批改
（2）课外辅导
（3）数学课外活动
（1）作业批改
数学课的作业，有经常性的课内外作业、阶段性的复习作业、寒暑假作业等。
课内外作业又有 书面作业、口头作业、实践作业等。
（2）课外辅导
课外辅导分为集体辅导和个别答疑两种形式。
教师要加强备课，改进教学方法；学生要重视课堂听讲和 消化。只有尽可能提高
课堂教学质量，才能减轻教师的课外辅导工作，同时也能减轻学生的学习负担。

（3）数学课外活动
数学课外活动是指教学计划之外、不受教学大纲限制，在教师 指导下，学生自愿
参加的一种有计划、有目的、有组织的数学学习活动。
在重视课题教学的同 时，也应重视有计划地开展数学课外活动，二者密切配合、
相互促进，将是提高教学质量的最有效途径。

4、成绩的考核与评定
（1）成绩考核的目的与作用
（2）成绩考核类型
（3）命题与评分
（1）成绩考核的目的与作用
成 绩考核与评定是鼓舞和督促学生勤奋学习，使他们坚持进行系统学习和练习，
及时、准确完成各种作业的 有效手段。
（2）成绩考核类型
对学生考核从形式上分为口头考查和书面考核。口头考核主 要是通过课堂提问、
板演等方式评定平时成绩；书面考核又分为平时测验、期中考试和期终考试三种。

（3）命题与评分
命题：
①中学数学试题的类型 ：
a.客观性试题 b.计算类试题 c.证明题 d.应用性试题 e.开
放性试题 f.探究性试题
②编制数学试题的基本方法：
a.改编旧题 b.由某种情境直接命题 c.从生活实际中抽象出数学命
题

③命题应注意以下几点
a.明确考试的目的及不同类型考试的具体要求
b.要根据教学大纲的基本要求来命题
c.试题的难易程度要适当
d.试题的分量要恰当
e.试题安排顺序要由浅入深
评分
评定学生成绩是学校的重要工作之一，有时可能作为是否升级、毕业的科学依据。
5、数学教学评价

数学教学评价主要包括教与学两方面的评价，它是数学教学 工作经常性的重要课
题。其作用主要体现在：
①导向作用
②鉴定作用
③诊断作用
④信息反馈与决策调控作用
二、数学教学过程的基本要素
在 数学教学过程中，学生、教师、数学内容、教学方法、教学媒体、教学环境等
是影响数学教学效果的基本 要素。
1、数学教师和学生
2、数学教学中介

1、数学教师和学生
教学过程中，教师和学生都是活动的主体，但是两者在教学过程中的地位有所不
同。数学教师是 数学教学过程的主导因素。
新课程标准突出强调了数学教学活动应关注学生的个人知识和直接经验。教 师不
再处于权威地位，而是以组织者、引导者和合作者的身份介入学生的学习。
2、数学教学中介
数学教学中介是数学教学活动中教师作用于学生的全部信息，包括教学目标 、教
学内容、数学课程、数学教学方法、教学组织形式和教学环境等要素。

第二十讲
教学方法
数学教学方法就是根据数学学科的特点，在数学教学活动中， 为实现教学目的，
完成教学任务，运用教学手段而进行的，师生相互作用的活动。
一、数学教学方法
二、教学方法的选择
一、数学教学方法

1、讲授法
2、讨论法
3、自学辅导法
4、发现法
5、谈话法
1、讲授法
讲授法是教师运用口头语言结合适当的板书，向学生说明结 论或论证数学概念、
计算法则和知识规律的一种教学方法。

讲授法的要求是： < br>教师对教学内容作系统概括、精辟生动的讲解。在讲授中，教师的语言必须富有
启发性，讲述达到 层次清楚、重点突出、语言清晰、准确；还要善于运用分析、
综合、归纳、演绎和类比等科学方法，启发 学生独立思考；要针对学生情况，因
材施教。同时要求学生有较高的理解能力，能够保持较长时间的注意 力集中，具
有一定的随堂笔记能力，能够跟上教学中的演练进度。
教师要做到以下几点： < br>（1）科学性：讲授的内容具有科学性，做到准确无误，概念讲解明了，叙述要
求清楚，表达要准 确。
（2）系统性：讲述的内容要遵循学生的认识规律，体现循序渐进，具有系统性。
（3 ）启发性：讲授的过程中要善于运用启发性语言，善于运用分析、综合、归
纳、演绎和类比等思维方法， 启发学生独立思考，通过设疑和释疑来达到传授知
识的目的。

（4）量力性：讲授 的过程中应随时注意学生听课情况，根据学生思维的能力、
理解的程度、运算的速率随时调整讲解的进程 。
（5）艺术性：艺术性就是要善于运用通俗易懂、生动形象、引人入胜的语言，
简明扼要、 条理清楚、重点突出、富有启发性的板书，准确地表达出教学内容，
并力求板书与讲解同步，保证教学活 动和谐、连贯地顺利进行。

2、讨论法
讨论式教学法 是指在教师的指导下，学生以全班或者小组为单位，围绕中
心问题，并通过学生间的相互交流讨论，进一 步完善和深化对问题的理解、评价
或者判断而完成既定的教学任务的教学方法。
与其他教学方法相比，讨论法突出的特点就是彰显学生是学习的主体。
“学生是学习的主体”既是讨论法的特点，也是它的优点。
讨论法对学生的要求就是要积极 投入，勇于发表自己的观点，同时还需要
倾听别人的想法，具有合作精神。
3、自学辅导法
自学辅导法是中国科学院心理研究所卢仲衡教授在总结程序教学法的基础上提
出的。它是在教师 的指导下，学生进行自学获取知识技能，发展能力的教学方法。
教学过程包括：
1、通过思想动员，使学生肯自学；
2、教会学生阅读，使学生能自学；
3、加强指导，培养学生会自学；
4、重启发，促使学生爱自学。

4、发现法
发现式教学法又叫问题教学法，是美国著名心理学家布鲁纳于20世纪50年代首
先倡导的、让学生自己发现问题、主动获取知识的一种教学方法。
运用发现法进行教学具有很 大的灵活性，没有固定不变的模式可以套用。但通常
可以按下述一般步骤进行：
1、创设问题情境，激发学生学习的积极性和主动性。
2、寻找问题答案，探讨问题解法。
3、完善问题解答，总结思路方法。
4、进行知识综合，充实和改善学生的知识结构。

5、谈话法
教师通过问答、谈话的方式进行提问，启发学生积极思考，从而使学生 自己获得

新知识的教学方法叫做谈话法。
谈话法主要的优点是突出教学的双边 活动，有利于保持课堂的活跃气氛，有利于
教师及时了解学生的学习情况，有利于促使学生积极思考、努 力进取，有利于提
高学生数学语言的表达能力。

二、教学方法的选择
在 其他条件相对均衡的条件下，教学方法的使用对教学效果非常重要，教学方法
的使用一定要灵活，不能僵 化、教条。
1、教学方法的选择要考虑高中阶段的课程目标
教学方法的选择既要考虑整个学段的课程目标，也要考虑本节课的目标。
2、教学方法的选择要考虑教学内容的特点
教学内容的特点不同，选择的教学方法也不同。

3、教学方法的选择要考虑教学条件
教学方法的选择必须考虑自己所在学校的教学条件，尤其是教学设备等硬件设施
情况。
4、教学方法的选择要考虑学生的实际情况
学生是学习的主体，教学效果主要取决于学生掌握知识、能力水平、个性品质等
方面的收获。
5、教学方法的选择要考虑教学方法的特点，将各种教学方法进行有机结合。
每一种教学方法 都有优点，也有不足。在使用时，要注意扬长避短，将各种教学
方法有机结合起来。

第二十一讲
第二章 概念、命题、推理与问题解决
教学第一节 概念教学

考点：1、掌握概念教学、命题教学和推理教学的基本内容。
2、掌握问题解决教学知识的基本内容。
考点聚焦：1、本章知识在历年考试题中大多以选择题和简答题的形式进行考查。
2、在历年考试中，概念之间的关系、整体性策略、推理的
形式、问题解决的教学是考查重点，考生要注 意理解和运用。
第一节 概念教学
数学概念是数学科学知识体系的基础，同时，数学概念 又表现为数学思维的一种
形式。数学概念的学习与学生对数学知识的掌握、合理的数学认知结构的形成以
及数学能力的提高都密切相关。
一、概念的内涵和外延
二、概念间的逻辑关系
三、概念下定义的常见方式
四、数学概念获得的主要方式
五、对概念教学的认识

一、概念的内涵和外延
概念的内涵与外延，是概念的基本特征，是准确把握概念和 系统掌握知识的基础。
概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所反< br>映的事物的总和（或范围）。
概念的外延和内涵明确了，就可以更好地认识概念，把握概念，否 则就会出现错
误。要对概念加深认识，不仅要明确概念的内涵与外延，还要掌握概念的内涵与
外 延之间的关系。

二、概念间的逻辑关系
逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。
在形式逻辑中，两个概念的外延之间，主要有以下几种关系：
1、相容关系
2、不相容关系
1、相容关系
如果两个概念的外延交集是非空集合，即外延至少有一部分是重合的，则称二者
具有相容关系。
三种情形：
（1）全同关系—同一关系或者重合关系：如果两个概念A和B的外延完全重合，
那么就说这两个概念具有全同关系。
（2）交叉关系：外延只有一部分重合的两个概念A和B 之间的关系，称为交叉
关系，这两个概念称为交叉概念。
（3）从属关系：如果A概念的外延 包含B概念的外延，那么这两个概念间的关
系称为从属关系。

2、不相容关系 < br>如果两个概念是属于同一属概念下的种概念，并且它们的外延集合的交集为空
集，那么称这两个概 念间的关系是不相容关系、全异关系或排斥关系。不相容关
系又分为矛盾关系和反对关系。
（ 1）对立关系（反对关系）：在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延
之和小于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念
的关系为反对关系或者对立关系。
（2） 矛盾关系：在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概
念的外延，而且这两个种概念具 有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾
关系。
三、概念下定义的常见方式
在数学科学系统中，对于每一个数学概念都要给予确定的内容和定义。定义是揭
示概念内涵的逻辑方法。 任何定义都是由被定义项、定义项和定义联项三部分组

成的。被定义项就是其内涵被揭示 的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，
定义联项则是用来联结被定义项和定义项的，常用的定义联 项：“是”、“叫做”、
“称为”等。
1、属加种差定义法
2、揭示外延的定义方法
3、描述性定义法
1、属加种差定义法
中学数学中，有一系列概念属于同一类，这些概念之间的外延存在属种（从
属）关系。
给数学概念下定义常用属加种差定义的方式，其公式为：
被定义的概念=最邻近的属概念+种 差。在同一个属概念里，一个种概念与其
他种概念之间本质属性的差别，叫做这个种概念的种差。
邻近的属加种差定义方法有两种特殊形式，一是发生式定义法，二是关系定
义法。
2、揭示外延的定义方法
数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的定义。
揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，
因此也称为约定式定义方法。
3、描述性定义法
直接用简明、清晰的语言描述数学概念的属性的定义方式为描述性定义。
四、数学概念获得的主要方式
数学概念获得有两种主要方式：一种是学生由大量的同类事物的不同例
证中，独 立发现同类事物的关键特征，这种获得方式，在心理学上称为概念形成；
另一种是直接向学生展示定义， 利用原有认知结构中有关知识理解新概念，这种
获得概念的方式，心理学中称为概念同化。
五、对概念教学的认识
（一）我国概念教学活动
（二）对数学概念教学的认识和提高
（一）我国概念教学活动

我国 数学教育界历来重视中学数学概念的教学，但由于传统教育思想的影响，使
得在进行概念教学活动时存在 一些问题，直接影响着教学质量的提高。
（二）对数学概念教学的认识和提高
1、重视解释概念的内涵与外延，重视概念学习之间的迁移影响
2、数学概念教学是素质教育的重要内容
3、数学概念教学是一个完整的教学过程，不可有头有尾
4、数学概念教学要抓住关键，不可追求单一的教学模式
5、要在数学思想、方法的高度上进行数学概念教学
1、重视解释概念的内涵与外延，重视概念学习之间的迁移影响。
数学概念具有确定的内涵与 外延，教学的迁移要重视深入揭示概念的外延，把新
旧概念的由来和发展、区别和联系进行剖析、类比， 深刻理解、灵活运用、克服
负迁移、发挥正迁移。
2、数学概念教学是素质教育的重要内容
复习旧课，讲授新课，离不开概念，可以说概念教学贯穿于数学教学过程的始终。

3、数学概念教学是一个完整的教学过程，不可有头有尾
数学概念教学是一个过程，这个过程分为四个阶段：
（1）概括 （2）表述 （3）识别 （4）运用
4、数学概念教学要抓住关键，不可追求单一的教学模式
影响概念学习的因素：
（1）学生的年龄、经验与智力。 （2）感性材料或感性经验方面 （3）学生
的概括能力 （4）学生的语言表达能力

5、要在数学思想、方法的高度上进行数学概念教学
数学概念和其他数学知识一样 ，是中学数学的表层知识，而数学思想、方法是数
学的深层知识，深层知识蕴含于表层知识中，是表层知 识的本质，是分析、处理
和解决数学问题的策略和基本方法。
第二十二讲

第二节 命题教学
可以判断真假的语句叫做命题，不能判断真假的语句不是命题。
根据命题的形式可以将命题分为简 单命题和复合命题，没有逻辑联结词的命题
叫简单命题；把简单命题用逻辑联结词连接起来就构成复合命 题。
一、命题教学的基本要求
二、命题教学的一般过程
三、命题教学的策略
一、命题教学的基本要求
（一）使学生深刻理解数学命题
数学命题由条件、结 论、具体内容和表达形式几部分组成。使学生深刻理解数
学命题，就是要学生清楚地知道一个命题的条件 是什么，结论是什么，怎么证明
的，如何用数学符号表示以及使用范围如何。
（二）使学生了解命题的来龙去脉，能够灵活运用命题解决问题
数学是一门讲究逻辑的学科，一个命题的诞生总有一些历史渊源。
（三）使学生了解相关命题之间的内在联系，掌握命题的系统。
数学知识之间具有广泛的联系，这既是数学的特点，也是数学的优点。
二、命题教学的一般过程
（一）公理教学
（二）命题的教学过程
（一）公理教学
公理是作为 公理化出发点的公认的事实。公理的教学与概念的教学相类似，也
包含引入、明确、巩固和运用几个环节 。
公理不需要证明，公理教学的重点是使学生明确公理引入的必要性和真实性。
1、公理的必要性
2、公理的真实性

1、公理的必要性
关于 公理的必要性从数学逻辑要求阐述即可。在数学中，每一个命题都需要已经
证明的命题进行证明，那么， 一定存在若干命题，不能被其他命题证明，反而是

证明其他命题的基础，它们是少数客观 事实，这就是公理。
2、公理的真实性
关于公理的真实性，可以从两个方面进行教学，一个 是引导学生观察生活中的实
例，一个是借助学生实验。
（二）命题的教学过程
初中 阶段的数学命题包括公理、定理、公式、性质和法则等，其教学的过程分为
命题引入、命题证明、命题巩 固及命题应用四个阶段。
1、命题的引入
2、命题的证明
3、命题的明确
4、命题的巩固
5、命题的应用
1、命题的引入
命题的引入可以分为两 种形式。一种是直接向学生展示命题，另一种是向学生提
出一些供研究、探讨的素材。
命题教学中可采用的一些方法引入命题：
（1）用观察、实验的方法引入命题
（2）用观察、归纳的方法引入命题
（3）由实际的需要引入命题
（4）加强或减弱命题的条件引入命题
2、命题的证明
命题引入后，教师的重点工作转向对命题条件、结论的剖析，探讨其证明思路。
（1）注意对定理证明的思路分析
（2）注意命题的多种证法
（3）注意建立数学命题系统化体系
（4）注意揭示数学的思想方法
3、命题的明确
经过前两个环节的教学，猜想已经得到证明，获得了一个真命题，对其进行分 析
就是明确命题需要做的工作。明确命题就是要明确命题的条件、结论、表示、适

用范围等。
4、命题的巩固
命题的巩固可以采用当堂巩固和及时复习两种方式。

5、命题的应用
一般而言，数学中的定理、法则、公式等都是包摄程度较高的命题 ，应用它们可
以解决众多的数学问题。同时，命题的应用又是训练学生的逻辑推理能力、发展
学 生思维能力的必由之路，因而，命题的应用是命题教学中必不可少的重要环节。
三、命题教学的策略
数学命题的教学策略是指教师在一般学习理论和数学命题教学理论的指
导下，为 有效实现数学命题的教学目标而根据特定的教学情境和学生特点，有意
识对数学命题的教学活动进行计划 、调控的系统决策方案以及由此表现出来的行
为方式。
1、整体性策略
2、准备性策略
3、问题性策略
4、情景化策略
5、过程性策略
6、产生式策略
1、整体性策略
整体性策略是指在数学命题教学的过程 中，按知识结构的整体性进行组织
教学的一种策略。它作为贯穿数学命题教学过程始终的一项重要策略， 旨在加强
命题知识的横、纵向联系。
数学教学中的命题是一个有系统的知识体系， 弄清各个命题在数学体系中
的地位、作用，以及命题之间的相互关系，可以从总体上把握数学命题的全貌 ，
加深对数学命题的理解。
2、准备性策略
准备性策略是指在数学命题 的教学实施之前，教师准备教学所采用的一项
教学策略。教学是有计划、有目的的活动，数学命题教学同 样也是一种有目的、

有计划的活动。
实施准备性策略主要有三个 途径：一是对数学命题教学目标的把握；二是
对学生认识起点的测定；三是对数学命题学习模式的选择。
3、问题性策略
问题性策略是指在数学命题获得的教学中，教师为了引导学生注意 ，激发
学生学习动机，调动学生积极情感，有利于学生利用原有知识和经验学习当前新
命题而采 取的一种教学策略。
运用问题性策略主要基于两个理由：第一，任何数学命题都有其产生的 背
景，它往往建立在解决某些问题的需要的基础上；第二，由难度适当的问题而引
起的认识冲突 ，可以激发学生的求知欲和思维的积极性，提高学生的数学学习兴
趣。
4、情景化策略
情景化策略是指在数学命题引入的教学过程中，教师旨在创设一种有利于
引起学生思 考、引发学生积极学习动机、促进学生理解数学命题的教学策略。
在教学中，创设情境的途 径主要有：创设温故知新情境、创设实际问题情
境等。对不同的教学目标，不同的学生需要，甚至在不同 的事件、场合、条件下
选择和创设不同的情境，但也要具有相对的稳定性。
5、过程性策略
过程性策略是指在数学命题获得、证明和应用阶段，教师暴露数学命题产
生与证明及 变化的“所以然”过程，启发学生感受、体验数学命题产生、发展、
演变的动态过程，引导学生在命题学 习过程中积极主动地进行思维活动的一种教
学策略。
6、产生式策略
产 生式策略是指在数学命题应用的教学过程中，通过变式练习等多种方式，
促使学生对命题成立与应用的前 提条件和注意事项做到了如指掌，促进数学命题
灵活运用的一种教学策略。
变式的 来源很多，有命题的多样化表达、命题证明方法的变式以及推广和
引申命题等，其实质都在于想方设法用 不同方法建立所学命题与相关知识的联
系。