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人教版必修二高中数学笔记讲义

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 19:27
tags:高中数学笔记

上海哪里有上王后雄高中数学-河南省高中数学文科

2020年9月21日发(作者:颜君)



第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
¤学习 目标:认识柱、锥、台、球的结构特征,并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽< br>象概括能力.
¤知识要点:

结 构 特 征 图例
(1)两底面相互平行;(2)侧面的母
(1)两底面相互平行,
线平行于圆柱的轴;
棱其余各面都是平行四边圆
(3)是以矩形的一边所在直线为旋转
柱 形; 柱
轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的
(2)侧棱平行且相等.
几何体.

(1)底面是多边形,各(1)底面是圆;(2)是以直角三角形
棱侧面均是三角形; 圆的一条直角边所在的直线为旋转轴,其
锥 (2)各侧面有一个公共锥 余两边旋转形成的曲面所围成的几何
顶点. 体.

(1)两底面相互平行;
(1)两底面相互平行;
棱(2)是用一个平行于棱圆
(2)是用一个平行于圆锥底面的平面
台 锥底面的平面去截棱锥,台
去截圆锥,底面和截面之间的部分.
底面和截面之间的部分.

(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)是以半圆的直径所在直线为
旋转轴, 半圆面旋转一周形成的几何体.


¤例题精讲:
1.下列说法错误的是( )
A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形
分析:多面体至少应有四个顶点组成(否则至多3个顶点,而3个顶点只围 成一个平面图形),而四个顶点当然必须围成
四个面,所以A正确;棱柱侧面为平行四边形,其侧棱和侧 面的个数与底面多边形的边数相等,所以B正确;长方体、正
方体都是棱柱,所以C正确;三棱柱的侧面 是平行四边形,不是三角形,所以D错误.
答案:D
2.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为___________ cm.
分析:n棱柱有2n个顶点,由于此棱柱有10个顶点,那么此棱柱为五棱柱,又因棱柱的侧棱 都相等,五条侧棱长的和为
60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.
答案:12
3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是 ___________.
分析:棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形,因此本题 答案是开放的,作答时要考虑周全.
答案:棱锥、棱柱、棱台、圆锥
第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征
¤学习目标:认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
¤知识要点:观察周围的物体,大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的,这些几何体称为组合体.
¤例题精讲:【例1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解:在长方体
ABCD ?A'B'C'D'
中,取四棱锥
A'?ABCD
,它的四个侧面都是直角三角形. 选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为
r,R
,求球的半径.
解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得
梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为
(r?R)?(R?r)?2rR

所以,球的半径为
rR
.
22
第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图
¤学习目标:能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 )的三视图,能识别上述的三视图
所表示的立体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型.
¤知识要点:
1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自 物体的前面向后投影所得的投影图成为“正
视图”,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”,自上向 下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空
间物体的几何结构,称为“三视图”.


2. 画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚,确定一个正前方,从几何体的正前方、 左侧(和右侧)、正上方三个不
同的方向看几何体,画出所得到的三个平面图形,并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线
画出,被遮挡的部分用虚线表示出来.
¤例题精讲:
【例1】画出下列各几何体的三视图:

解:这两个几何体的三视图如下图所示.


【例2】画出下列三视图所表示的几何体.





解:先画几何体的正面,再侧面,然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.




【例3】如图,图(1)是常见的六角螺帽,图(2)是一个机器零件 (单位:cm),
所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.
解:图(1)为圆柱和正六棱柱的组合体. 图(2)是由长方体切割出来的规则组
合体.
从三个方向观察,得到三个平面图形,绘制的三视图如下图分别所示.






第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图
¤学习目 标:会用斜二侧法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图. 了解空间
图形的不同表示形式.
¤知识要点:“直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规 则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确
定点的位置的画法. 基本步骤如下:(1) 建 系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,得到直角坐标系
xoy
,直观图中
画成斜 坐标系
x'o'y'
,两轴夹角为
45?
.
(2)平行不变:已知 图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.
(3)长度规则: 已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
¤例题精讲:【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图,画出它们原来的图形.
解:依据斜二测画法规则,逆向进行,如图所示.
【例2】(1)画水平放置的一个直角三角形的直观图;(2)画棱长为4cm的正方体的直观图.
解:(1)画法:如图,按如下步骤完成.
第一步,在已知的直角三角形ABC中取直角边C B所在的直线为x轴,与BC垂直的直
线为y轴,画出对应的
x
?
轴和
y
?
轴,使
?x
?
O
?
y
?
? 45
.
第二步,在
x
?
轴上取
O'C'?BC
, 过
C'

y'
轴的平行线,取
C'A'?
第三步,连接A'O'
,即得到该直角三角形的直观图.

1
CA
.
2
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
2



(2)画法:如图,按如下步骤完成.
第一步,作水平 放置的正方形的直观图ABCD,使
?BAD?45
A
,
B?4c,m?AD 2
.
cm
第二步,过A作
z
?
轴,使
?BAz< br>?
?90
. 分别过点
B,C,D

z
?
轴 的平
行线,在
z
?
轴及这组平行线上分别截取
AA
?
?BB
?
?CC
?
?DD
?
?4cm
.
第三步,连接
A
?
B
?
,B
?
C
?,C
?
D
?
,D
?
A
?
,所得图形就 是正方体的直观图.
点评:直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水 平方向与垂直方向的坐标长度,然后
运用“水平长不变,垂直长减半”的方法确定出点,最后连线即得直 观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.
第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
¤学习目标:了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式);能运用柱、锥、台的表面积进行计 算和
解决有关实际问题.
¤知识要点:

表面积相关公式 表面积相关公式
棱柱
棱锥
棱台
S

?S

?2S


其中S

?l
侧棱长
c
直截面周长

圆柱
圆锥
圆台
S

?2?
r
2
?2
?
rh
(r:底面半径,h:高)
S

?
?
r
2
?
?
rl
(r:底面半径,l:母线长)
S

?
?
(r'
2
?r
2
?r'l?rl)

(r:下底半径,r’:上底半径,l:母线长)
S

?S

?S


S

?S

?S
上底
?S
下底

¤例题精讲:
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.
解:设圆台的母线长为
l
,则圆台的上底面面积为
S

?< br>?
?2?4
?
,圆台的上底面面积为
S

?
?
?5?25
?

所以圆台的底面面积为
S?S

?S

?29
?
.又圆台的侧面积
S

?
?
(2?5)l?7
?
l

于是
7
?
l?25
?
,即
l?
22
29
为所求.
7
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示,求这个正三棱柱的表面积.
解:由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为
23mm
.

设底面边长为a,则
3
a?23
, ∴
a?4
.

2
∴正三棱柱的表面积为
S?S

?2S

?3?4?2?2?
1
?4?23?24?83(mm
2
)
. < br>2
【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如右图所示,请你帮助算出 要搭建这样的一个蒙
古包至少需要多少平方米的篷布?(精确到0.01 m
2

解:上部分圆锥体的母线长为
1.2?2.5

22
5
其侧面积为
S
1
?
?
??1.2
2
?2.5
2
.
2
下部分圆柱体的侧面积为
S
1
?
?
?5?1.8
.
所以,搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
5m
12m
18m
5
S?S
1
?S
1
?
?
??1.2
2?2.5
2
?
?
?5?1.8?50.05
(m
2).
2
第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积
图2-3-12< br>点评:正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式,解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算,还是体积计算.
¤学习目标:了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式(不要求 记忆公式);能运用柱、锥、台的体积公式进行计算
和解决有关实际问题.
¤知识要点:1. 体积公式:

体积公式 体积公式
棱柱
棱锥
棱台
V?S

h


圆柱
圆锥
圆台
1
V?S

h


3
1
V?(S'?S'S?S)h

3
V?
?
r
2
h

1
V?
?
r
2
h

3
1
V?
?
(r'
2
?r'r?r
2
)h

3


2. 柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收 缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上
底面逐渐扩展到与下底面全等时,它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系:
11
S'?0S'?S
?

V

?(S'?S'S?S)h

????

V

?Sh
.
V

?Sh

? ??
33
¤例题精讲:【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6 ,则长方体的体
积是 .解:设长方体的长宽高分别为
a,b,c
,则
ab?2,ac?3,bc?6

三式相乘得
(abc)?36
.所以,长方体的体积为6.
【例2】一块边 长为10
cm
的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加 工成一个
正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为
xcm
.
2
1

Rt?EOF
中,
EF?5cm,OF?xcm
,
2
1
2
1
2
1
2
所以
EO?25?x
, 于是
V?x25?x
.
434
依题意函数的定义域为
{x|0?x?10}
.
【例3】一 个无盖的圆柱形容器的底面半径为
3
,母线长为6,现将该容器盛满水,
稳缓慢地将容 器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的
A
E
D
O
B
CF
然后平
5
时,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .
6< br>22
解:容器中水的体积为
V?
?
rl?
?
?(3) ?6?18
?
.
2V'2?3
?
5
流出水的体积为
V'?(1?)V?3
?
,如图,
l'???2
.
2
2
?
r
6
?
?(3)
设圆柱的母线与水平面所成的角为α,则
tan
?
?
23
?3
,解得
?
?60?< br>.
2
所以,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.
点评:抓住流水之后空出部分的特征,它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度,解
直角三角形而得所求角.
第7讲 §1.3.2球的体积和表面积
¤学习目标:了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式); 能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决
有关实际问题.
¤知识要点:1. 表面积:
S
球面
?4
?
R
(R:球的半径). 2. 体积:
V
球面
?
¤例题精讲:
【例1】有一种空心钢球,质 量为
142g
,测得外径等于
5
cm
,求它的内径(钢的密度为7.9gcm
,精确到
0.1cm
).
解:设空心球内径(直径)为
2x
cm
,则钢球质量为
2
2
4
3
?
R
.
3
4547.9?[?
?
?()
3
?
?
x
3
] ?142

A
323
5
3
142?3
3

x?()??11.3
, ∴
x?2.24

A
27. 9?4?3.14
∴直径
2x?4.5
,即空心钢球的内径约为
4.5cm< br>.
A
【例2】表面积为
324
?
的球,其内接正四棱柱的高 是
14
,求这个正四棱柱的表面积.
解:设球半径为
R
,正四棱柱 底面边长为
a
,则作轴截面如图,
AA
?
?14

AC?2a

A
'
'
D
'
B
'
D
O
C
'
C
B
C
'
O
C
又∵
4
?
R?324
?
,∴
R?9
,∴
A C?

S

?64?2?32?14?576
.
2
AC
?
2
?CC
?
2
?82
,∴
a?8

【例3】(04年辽宁卷.10)设A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内, AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面
的距离是球半径的一半,则球的体积是( ).
A.
86
?
B.
646
?
C.
242
?
D.
722
?

【解】由已知可得,A、B、C、D在球的一个小圆上.
∵ AB=BC=CD=DA=3, ∴ 四边形
ABCD
为正方形. ∴ 小圆半径
r?
32
.
2
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
4



32
2
R
)?()
2
,解得
R?6
.
22
44
∴ 球的体积
V?
?
R
3
??
(6)
3
?86
?
. 所以选A.
33
222
点评:解答球体中相关计算,一定要牢记球的截面性质
R?r?h
,体积和表面 积公式.
第8讲 §2.1.1 平面

R?r?h

R ?(
222
2
¤学习目标:能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”;理解 平面的无限延展性;正确地用图
形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握文字语言、 图形语言与符号语言三种语言之间的
转化;理解可以作为推理依据的三条公理.
¤知识要点:
1. 点
A
在直线上,记作
A?a
;点
A
在平面< br>?
内,记作
A?
?
;直线
a
在平面
?
内,记作
a?
?
.
2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:

公理1 公理2 公理3



如果一条直线上的两点在过不在一条直线上的三点, 有如果两个不重合的平面有一个公
文字
一个平面内,那么这条直线且只有一个平面. 共点,那么它们有且只有一条过该
语言
在此平面内. 点的公共直线.
A?l,B ?l
?
A,B,C不共线?
?
??
?l
符号
?l?
?
P?
?
,P?
?
?

??
语言
A?
?
,B?
?
?
P?lA,B,C确定平面
?
?
3.公理2的三条推论:
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
¤例题精讲:
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面?(P
56
A组5题)
解:根据公理2的推论3,可知两条平行直线确定一个平面,又由公理1可知,与两条平行 直线相交的第
三条直线在这个平面内,所以一条直线与两条平行直线都相交时,这三条直线是共面的关系 .
【例2】空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,已知EF 和GH交于P
点,求证:EF、GH、AC三线共点. (同P
58
B组3题) < br>解:∵P
?
EF,EF
?
面ABC,∴P
?
面ABC . 同理P
?
面ADC.
∵ P在面ABC与面ADC的交线上,
又 ∵面ABC∩面ADC=AC, ∴P
?
AC,即EF、HG、AC三线共点.
【例3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知:直线
AB,BC,CA
两两相交,交点分别为
A,B,C

求证:直线
AB,BC,CA
共面.
证明:因为A

B

C三点不在一条直线上,所以过A

B

C三点可以确定 平面α.
因为A∈α,B∈α,所以AB α. 同理BC α,AC α.
所以AB

BC

CA三直线共面.
图形
语言
C
?
B
A
点评:先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面,再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言
给出的证明题,先根据题意画出图形,然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理,进行“共面”问
题的证明.
【例4】在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
(1)
AA
1

CC
1
是否在同一平面内?(2)点
B,C
1
,D
是否在同一平面内?
(3)画出平面
AC
1
与平 面
BC
1
D
的交线,平面
ACD
1
与平面
BDC
1
的交线.
解:(1)在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,

AA
1
CC
1
, ∴由公理2的推论可知,
A A
1

CC
1
可确定平面
AC
1


AA
1

CC
1
在同一平面内.
( 2)∵点
B,C
1
,D
不共线,由公理3可知,点
B,C
1
,D
可确定平面
BC
1
D
,∴ 点
B,C
1
,D
在同一平面内.
(3)∵
ACBD?O

D
1
CDC
1
?E
, ∴点
O?
平面
AC
1

O?
平面
BCD
1
, < /p>



C
1
?
平面
AC
1
C
1
?
平面
BC
1
D
, ∴ 平面
A C
1
同理平面
ACD
1
平面
BDC
1
?O E

平面
BC
1
D?OC
1

点评: 确定平面的依据有公理2(不在同一条直线上的三点)和一些推论(两条平行直线、两条相交直线、直
线 和直线外一点). 对几条公理的作用,我们必须十分熟练.

第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
¤学习目标:了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定 义,掌握平行公理,掌握等角定理,
掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.
¤知识要点:
?
?
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
??
1. 空间两条直线的位置关系:
?

?
平行直线:同一平面 内,没有公共点;
?
?
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
2. 已知两条异面直线
a,b
,经过空间任一点
O
作直线
a
?< br>a,b
?
b
,把
a
?
,b
?
所成的 锐角(或直角)叫异面
直线
a,b
所成的角(或夹角).
a
?,b
?
所成的角的大小与点
O
的选择无关,为了简便,点
O通常取在异面直线的
一条上;异面直线所成的角的范围为
(0,90?]
,如果两 条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,
记作
a?b
. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算.
¤例题精讲:
【 例1】已知异面直线a和b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与
a、b所成角都是30° 的直线有且仅有( ).
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解:过P作
a
?
∥a,
b
?
∥b,若P∈a,则取 a为
a
?
,若P∈b,则取b为
b
?
.这时
a?

b
?
相交于P点,它们的两组对顶角分别为50°和130°.

a
?

b
?
所确定的平面为β,那么在平面β内 ,不存在与
a
?

b
?
都成30°的直线.
过 点P与
a
?
,这直线在平面β的射影是
a
?
,其
b
?
都成30°角的直线必在平面β外,
b
?
所成对顶角的平分线.< br>中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和
l
?
,射影是130°对顶角平 分线的直线不存在.故答案选B.
【例2】如图正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
中,E、F分别为D
1
C
1
和B
1
C
1
的中点,P、Q分别为AC与BD、A
1< br>C
1
与EF的交点. (1)求证:D、B、F、E四点共面;
(2)若A
1
C与面DBFE交于点R,求证:P、Q、R三点共线.
证明:(1)∵ 正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
BB
1

DD
1
,∴BD

B
1
D
1
.
又 ∵
B
1
D
1
C
1
中,E、F为中点,
A
1
D
A
P
B
D
1
E
Q
B
1
C
F
C
1
1
B
1
D
1
. ∴
EFBD
, 即D、B、F、E四点共面.
2
(2)∵
Q?平面AC
1

Q?平面BE
,< br>P?平面AC
1

P?平面BE


EF


平面AC
1

AC
1
平面BE?PQ
.
平面BE?R
, ∴
R?平面AC
1

R?平面BE
, ∴
R?PQ
. 即P、Q、R三点共线
【例3】已知直线abc,直线d与a、b、c 分别相交于A、B、C,求证:a、b、c、d四线共面.
证明:因为ab,由公理2的推论,存在平 面
?
,使得
a?
?
,b?
?
.
c
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1,
d?
?
.
c'
C
B
b
假设
c?
?
,则
c
?
?C
, 在平面
?
内过点C作
c
?
b

A
a
?
d
因为bc


cc
?< br>,此与
cc
?
?C
矛盾. 故直线
c?
?
.
综上述,a、b、c、d四线共面.
点评:证明一个图形属于平面图形,需要紧扣公理2及其三条推论,寻找题中能确定平面的已知条件. 此
例拓展的证明先构建出一个平面,然后从假设出发,推出矛盾,矛盾的原因是假设不成立,这就是证明 问题的
一种反证法的思路.
【例4】如图中,正方体ABCD—A
1
B1
C
1
D
1
,E、F分别是AD、AA
1
的中 点.
(1)求直线AB
1
和CC
1
所成的角的大小;
(2)求直线AB
1
和EF所成的角的大小.
解:(1)如图,连结DC
1
, ∵DC
1
∥AB
1


苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
6



∴ DC
1
和CC
1
所成的锐角∠CC
1
D就是AB
1
和CC
1
所成的角.
∵ ∠CC
1
D=45°, ∴ AB
1
和CC
1
所成的角是45°.
(2)如图,连结DA
1
、A
1
C
1

∵ EF∥A
1
D,AB
1
∥DC
1
,∴ ∠A
1
DC
1
是直线AB
1
和EF所成的角.
∵ΔA
1
DC
1
是等边三角形, ∴ ∠A
1
DC
1
=60?,即直线AB
1
和EF所成的角是60?.
点评:求解 异面直线所成角时,需紧扣概念,结合平移的思想,发挥空间想象力,把两异面直线成角问题
转化为与两 相交直线所成角,即将异面问题转化为共面问题,运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等
几何 模型本身的性质,依照选点、平移、定角、计算的步骤,逐步寻找出解答思路.
第10讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系
¤学习目标:了解直线与平面的三种位置关系,理解 直线在平面外的概念,了解平面与平面的两种位置关系.
¤知识要点:
1. 直线与平面的 位置关系:(1)直线在平面内(有无数个公共点);(2)直线与平面相交(有且只有一个
公共点); (3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作:
l?
?

l
?
?P

l
?
.
2. 两平面的位置关系:平行(没有公共 点);相交(有一条公共直线).分别记作
?

?

?
¤例题 精讲:
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB和CD所成的
角的大小.
解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN,由三角形的中位线性 质知
PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角(如图所示).
连结MN、DN,设AB=2, ∴PM=PN=1.
而AN=DN=
3
,由MN⊥AD,AM=1,得MN=
2

?
?l
.
∴MN
2
=MP
2
+NP2
,∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.
【例2】在空间四边形A BCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分
别是CB、CD的中点,若AC + BD = a ,AC
?
BD =b,求
EG
2
?FH
2
.
解:四边形EFGH是平行四边形,
B
E
A
H
1
2
(a?2b)
.
2
【例3】已知空间四边形ABCD中,E

H分别是AB

AD的 中点,F

G
CFCG2
分别是BC

CD上的点,且??
.
CBCD3
求证:(1)E

F

G

H四点共面;(2)三条直线EF

GH

AC交于一点 .

EG
2
?FH
2
=2
(EF
2< br>?FG
2
)
=
(AC
2
?BD
2
) ?
证明:(1) 在△ABD和△CBD中,
∵ E

H分别是AB和CD的中点, ∴ EH

又 ∵
1
2
D
F
C
G
A
E H
D
F
1
BD.
2
G
C B
CFCG22
??
, ∴ FG

BD.
CBCD33
∴ EH∥FG. 所以,E

F

G

H四点共面.
第11讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定
¤学习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直 观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空间中线面平行的判定,掌握直线与平面平行判定定理,掌握 转化思想“线线平行
?
线面平行”.
¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.
2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.


符号表示为:
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
. 图形如右图所示.
¤例题精讲:
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E 、F分别为AB、
PD的中点,求证:AF∥平面PEC
证明:设PC的中点为G,连接EG、FG.
∵ F为PD中点, ∴ GF∥CD且GF=
1
CD.
2
∵ AB∥CD, AB=CD, E为AB中点,
∴ GF∥AE, GF=AE, 四边形AEGF为平行四边形.


∴ EG∥AF,
又∵ AF
?
平面PEC, EG
?
平面PEC, ∴ AF∥平面PEC.
【例2】在正方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别为棱BC、 C
1
D
1
的中点. 求证:
EF∥平面BB
1
D
1
D.
证明:连接AC交BD于O,连接OE,则OE∥DC, OE=
1
DC.
2
∵ DC∥D
1
C
1
, DC=D
1
C
1
, F为D
1
C
1
的中点,
∴ OE∥D
1
F, OE=D
1
F, 四边形D
1
FEO为平行四边形. ∴ EF∥D
1
O.
又∵ EF
?
平面BB
1
D
1
D, D
1
O
?
平面BB
1
D
1
D, ∴ EF∥平面BB
1
D
1
D.
【例3】如图,已知
E

F

G

M
分别是四面体的棱
AD

CD

BD

BC
的中点,求证:
AM
∥ 平面
EFG
.



证明:如右图,连结
DM< br>,交
GF

O
点,连结
OE


?BCD
中,
G

F
分别是
BD

CD< br>中点, ∴
GFBC


G

BD
中点, ∴
O

MD
中点,
B

?AMD
中, ∵
E

O

AD

MD
中点, ∴
EOAM

又∵
AM?
平面
EFG

EO?
平面
EFG
, ∴
AM
∥平面
EFG
.
点评:要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就
可以了. 注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用.
【例4】如图,已知P是平行四边形ABCD所在 平面外一点,M

N分别是AB

PC的中点
A
E
D
O
M
F
C

G
(1)求证:MN平面PAD;(2)若
MN?BC?4
,< br>PA?43
,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
解:(1)取PD的中点H,连接AH,由N是PC的中点,

∴ NH
?
1

AM,
DC
. 由M是AB的中点, ∴ NH
?
2
即AMNH为平行四边形. ∴
MNAH
.

MN?平面PAD,AH?平面PAD
, ∴
MN平面PAD
.
(2) 连接AC并取其中点为O,连接OM、ON,
11

PA, 所以< br>?ONM
就是异面直线PA与MN所成的BC,ON
?
22
角,且MO ⊥NO. 由
MN?BC?4

PA?43
, 得OM=2,ON=
23

所以
?ONM?30
0
,即异面直线PA与MN成30°的角

∴ OM
?
点评:已知中点,牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行. 求两 条异面直线所成角,
方法的关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角,通过解三角形而得 .
第12讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定
¤学习目标:以立体几何的定义、公 理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空间中面面平行的判定,掌握两个 平面平行的判定定理与应用及转化的思想.
¤知识要点:面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相 交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面
a?
?
,b?
?
,ab ?P
?
平行.用符号表示为:
?
?
?

?
.

a
?
,b
?
?
¤例题精讲:
【例1】 如右图,在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1< br>中,M、N、P分别是C
1
C、B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点,求证:平面MNP∥平面A
1
BD.
证 明:连结B
1
D
1
,∵P、N分别是D
1
C
1、B
1
C
1
的中点,∴ PN∥B
1
D
1
.
又B
1
D
1
∥BD,∴PN∥BD.
D
1
又PN不在平面A
1
BD上,∴PN∥平面A
1
BD.
同理,MN∥平面A
1
BD. 又PN∩MN=N, ∴平面PMN∥平面A
1
BD.
【例2】正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中.(1)求证:平面A
1
B D∥平面B
1
D
1
C;
A
1
(2)若E、F分 别是AA
1
,CC
1
的中点,求证:平面EB
1
D
1
∥平面FBD.

DD
1
,得四边形BB
1
D< br>1
D是平行四边形,∴B
1
D
1
∥BD, 证明:(1)由B
1
B
?

又BD ?平面B
1
D
1
C,B
1
D
1
?
平面B
1
D< br>1
C,∴BD∥平面B
1
D
1
C.
同理A
1
D∥平面B
1
D
1
C.而A
1
D∩BD=D,∴ 平面A
1
BD∥平面B
1
CD.

C
1
B
1
F
G
B
C
E
D

A
8
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴



(2)由BD∥B
1
D
1
,得BD∥平面 EB
1
D
1
.取BB
1
中点G,∴AE
P
∥B
1
G.
从而得B
1
E∥AG,同理GF∥AD.∴A G∥DF.∴B
1
E∥DF.
∴DF∥平面EB
1
D
1< br>.∴平面EB
1
D
1
∥平面FBD.
Q
【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点
M
M
N

Q分别在PA

BD

PD上, 且PM:MA=BN:ND=PQ:QD.
C
D
求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明: PM:MA=BN:ND=PQ:QD.
N
∴ MQAD,NQBP,
B A
而BP
?
平面PBC,NQ
?
平面PBC, ∴ NQ平面PBC.
又ABCD为平行四边形,BCAD, ∴ MQBC,
而BC
?
平面PBC,MQ
?
平面PBC, ∴ MQ平面PBC.
由MQNQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理, ∴ 平面MNQ∥平面PBC.
点评:由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行, 证得两条相交直线平行于一个
平面后,转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.
第13讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质
¤学习目标:通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行 的性质,掌握直线和平面
平行的性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,掌握“线线”“线 面”平行的转化.
¤知识要点:线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的a
?
?
β
a

?
平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 即:
a?
?
?
?ab
.
b


??
?b
?
?
¤例题精讲:
【例1】经过正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
的棱BB
1
作一平面交平面AA
1
D
1
D于E
1
E,求证:E
1
E∥B
1
B
证明:∵
AA
1
BB< br>1
,AA
1
?平面BEE
1
B
1
,BB1
?平面BEE
1
B
1

D
1
C
1

AA
1
平面BEE
1
B
1
.
E
1
A
1

AA
1
?平面ADD
1
A
1
,平面ADD
1
A
1
平面BEE
1
B
1
?EE
1

B
1
?


AA
1
EE
1
.
AA
1
B B
1
?

?
?BB
1
EE
1
.
AA
1
EE
1
?
【例2】如图,
AB
?< br>,
ACBD

C?
?

D?
?
,求 证:
AC?BD
.
证明:连结
CD


ACBD

∴直线
AC

BD
可以确定一个平面,记为
?


C,D?
?

C,D?
?
,∴
?

AB
?

AB?
?

?

A BCD

又∵
ACBD

∴ 四边形
ACDB
为平行四边形, ∴
AC?BD
.
E
A
D
B
C
A B
β
D
?
?CD

?
?CD

?

C
第14讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质
¤学习目标:通过直观感知、操作确认、 思辨论证,认识和理解空间中面面平行的性质,掌握面面平行的
性质定理,灵活运用面面平行的判定定理 和性质定理,掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.
¤知识要点:
1. 面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线
平行. 用符号语言表示为 :
?

?
,
??
?a,
??
?b?ab.
2. 其它性质:①
?

?
,l?
?
?l
?
; ②
?

?
,l?
?
?l?
?

③夹在平行平面间的平行线段相等.
¤例题精讲:
【例1】如图,设平面α∥平面 β,AB、CD是两异面直线,M、N分别是AB、
CD的中点,且A、C∈α,B、D∈β. 求证:MN∥α.
A
?
M
E
C
N
D
?
B


证明:连接BC,取BC的中点E,分别连接ME、NE,
则ME∥AC,∴ ME∥平面α,又 NE∥BD, ∴ NE∥β,
又ME∩NE=E,∴平面MEN∥平面α,∵ MN
?
平面MEN,∴MN∥α.
【例2】如图,A,B,C,D四点都在平面?,?外,它们在?内的射影A
1
,B< br>1

C
1
,D
1
是平行四边形的四个顶点,在?内的 射影A
2
,B
2
,C
2
,D
2
在一条直线 上,求
证:ABCD是平行四边形.
证明:∵ A,B,C,D四点在?内的射影A
2
,B
2
,C
2
,D
2
在一条直线上,
∴A,B,C,D四点共面.
又A,B,C,D四点在?内的射影A
1
,B
1
,C
1
,D
1
是平行四边形的四个顶点,
∴平 面ABB
1
A
1
∥平面CDD
1
C
1

∴AB,CD是平面ABCD与平面ABB
1
A
1
,平面CDD1
C
1
的交线.
∴AB∥CD.同理AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形.
第15讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定
¤学 习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空 间中线面垂直的判定,掌握直线与平面垂直的定义,理解直线与平面垂直的判定定理,并会用定义和判定
定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.
¤知识要点:
1. 定义: 如果直线
l
与平面
?
内的任意一条直线都垂直,则直线
l
与 平面
?
互相垂直,记作
l?
?
.
l
-平

?
的垂线,
?
-直线
l
的垂面,它们的唯一公共点
P
叫做垂足.(线线垂直
?
线面垂直)
2. 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为:

l

m

l

n

m

n
=B,
m
?
?

n
?
?< br>,则
l

?

3. 斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所
成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)< br>→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”. 通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜
足的连线是产生线面角的关键.
¤例题精讲:
【例1】四面体
ABCD
中,
AC?BD,E,F< br>分别为
AD,BC
的中点,且
EF?
2
AC

?BDC?90
,求证:
2
BD?
平面
ACD
.

1
AC

FG
?

1
BD
. 证明:取
CD
的中点
G
,连结
EG,FG
,∵
E, F
分别为
AD,BC
的中点,∴
EG
?
22
11< br>AC
,∴在
?EFG
中,
EG
2
?FG
2< br>?AC
2
?EF
2

22

EG?FG< br>,∴
BD?AC
,又
?BDC?90
,即
BD?CD

ACCD?C


BD?
平面
ACD
. 【例2】已知棱长为1的正方体ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,E是A
1
B
1
的中点,求直线 AE与平面ABC
1
D
1
所成

AC?BD,
∴< br>FG?
的角的正弦值.
解:取CD的中点F,连接EF交平面
ABC
1
D
1
于O,连AO.
由已知正方体,易知
EO?
平面< br>ABC
1
D
1
,所以
?EAO
为所求.

Rt?EOA
中,
EO?
15
112

AE?()
2
?1
2
?

EF?A
1
D?
22
222
sin?EAO?
EO10
.
?
AE5
10
.
5
PB?AC

PO?
平面ABC,【例3】三棱锥
P?ABC
中,
PA?BC,
垂足为O ,
所以直线AE与平面
ABC
1
D
1
所成的角的正弦值为< br>求证:O为底面△ABC的垂心.
证明:连接OA

OB

OC,∵
PO?
平面ABC, ∴
PO?BC,PO?AC
.
PB?AC
, 又 ∵
PA?BC,
AC?平面PBO
,得
AO?BC,BO?AC
, ∴
BC?平面PAO,
∴ O为底面△ABC的垂心.
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
10



点评:此例可以变式为“已知
PA?BC,
,其思路是接着 利用射影是垂心的结论得到
PB?AC
,求证
PC?AB

OC?A B
后进行证明. 三条侧棱两两垂直时,也可按同样的思路证出.

第16讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定
¤学习目标:通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解 空间中面面垂直的判定,掌握二面角和两
个平面垂直的定义,理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定 定理证明平面与平面垂直的关系,会用所学知
识求两平面所成的二面角的平面角的大小.
¤知识要点:
1. 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle). 这条直线叫做二面角的
棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角
?
-AB-
?
. (简记
P-AB-Q

2. 二面角的平面角:在二面角
?
-l-
?
的棱
l
上任取一点
O
,以点
O
为垂足,在半平面
?
,
?
内分别作垂
直于棱
l
的射线
OA

OB
, 则射线
OA

OB
构成的
?AOB
叫做二面角的平面角. 范围:
0??
?
?180?
.
3. 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作
?
?
?
.
4. 判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直
?
面面垂直)
¤例题精讲:
【例1】已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC、CD的中点E、F, 连结AE、EF、AF,以AE、EF、
FA为折痕,折叠使点B、C、D重合于一点P.
(1)求证:AP⊥EF;(2)求证:平面APE⊥平面APF.
证明:(1)如右图,∵∠APE=∠APF=90°,PE∩PF=P,
∴ PA⊥平面PEF. ∵EF
?
平面PEF,∴PA⊥EF.
(2)∵∠APE=∠EPF=90°,AP∩PF=P,∴PE⊥平面APF.
又PE
?
平面PAE,∴平面APE⊥平面APF.
【例2】如图, 在空间四边形ABCD中,
AB?BC,CD?DA,

E,F,G
分别是< br>CD,DA,AC
的中点,求证:平面
BEF?
平面
BGD
.
证明:
AB?BC,G
为AC中点,所以
AC?BG
.
同理可证
AC?DG,

AC?
面BGD.
又易知EFAC,则
EF?
面BGD.
又因为
EF?
面BEF,所以平面
BEF?
平面
BGD
.

第17讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质
A
F
G
B
E
DC
¤学习目标:通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中
线面、面面垂直的有关性质,掌握两个性质定理及定理的应用.
¤知识要点:
1. 线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直
?
线线平行)
2. 面面垂直性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号 语言表
示为:若
?
?
?

??
?l
a?
?

a?l
,则
a?
?
.(面面垂直?
线面垂直)
¤例题精讲:
【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于 桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面
?
垂直,a是
?
内一条直线,若斜 边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?
A
解:
AC?
?
?
?

?
?
a?AC
?
a?
?
?

a?AB
?
?
a?平面ABC
?


?
?a?BC
?
a
AC
?
AB?A
BC?平面ABC
?

C B
?
α

注:若BC与a垂直,同理可得AB与a也垂直,其实质是三垂线定 理及逆定理,证明过程体现了一种重
要的数学转化思想方法: “线线垂直→线面垂直→线线垂直”.
【例2】如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的 两侧,试写出图中所有互相垂直的
各对平面.
解:(1)证明:∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点,AB是圆O的直径, ∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABC,BC
?
平面ABC,


∴BC⊥PA,从而BC⊥平面PAC.
∵ BC
?
平面PBC, ∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)平面PAC⊥平面ABCD; 平面PAC⊥平面PBC;平面PAD⊥平面PBD;平面PAB⊥平面ABCD;平
面PAD⊥平面A BCD.
第18讲 第3章 §3.1.1 倾斜角与斜率
¤学习目标:理解直线的倾斜角 和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线
斜率的计算公式.
¤知识要点:
1. 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角.当直线
l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角
?
的范围是
0?
?
?
?
.
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即
k?tan
?
. 如 果知道直线上两点
P(x
1
,y
1
),P(x
2
, y
2
)
,则有斜率公式
k?
y
2
?y
1< br>. 特别地是,当
x
1
?x
2

y
1
?y
2
时,直线与x轴垂直,斜率k不
x
2
?x
1
存在;当
x
1
?x
2

y
1
?y
2
时,直线与y轴垂直,斜率k=0.
注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率 k=0;当
0??
?
?90?
时,斜率
k?0
,随着α的增 大,斜率k也增大;当
90??
?
?180?
时,斜率
k?0
,随着α的增大,
斜率k也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.
¤例题精讲:
【例1】 如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°,求菱形ABCD各边和两条
对角线所在直线的倾斜角和斜率 .
解:
?
AD
?
?
BC
?60?
,< br>?
AB
?
?
DC
?0?

?
AC< br>?30?

?
BD
?120?
.
3

k
BD
??3
.
3
22
【例2】已知过两点
A(m?2,m?3)
,
B( 3?m
2
?m,2m)
的直线l的倾斜
角为45°,求实数
m
的值.
m
2
?3?2m
?tan45
0
?1
, 解: ∵
22
m?2?(3?m?m)
k
AD
?k
BC< br>?3

k
AB
?k
CD
?0

k< br>AC
?

m
2
?3m?2?0
,解得
m??1

?2
. 但当
m??1
时,A

B重合,舍去. ∴
m??2

【例3】已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.
解:
k
AB
?
7?(?9a)7?9a
7?25

k
BC
?
.
?
?
3?(?2)5
3?a3?a
∵ A

B

C三点在一条直线上, ∴
k
AB
?k
BC
, 即
57?9a2
, 解得
a?2

a?
.
?
3?a59
第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
¤学习目标:理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数 方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线
斜率的计算公式;能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
¤知识要点:
1. 对于两条不重合的直线
l
1

l< br>2
,其斜率分别为
k
1

k
2
,有: (1)
l
1
l
2
?
k
1
?k
2
;(2)
l
1
?l
2
?
k
1
? k
2
??1
.
2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于x轴;….
¤例题精讲:
【例1】四边形ABCD的顶点为
A(2,2?22)
B(?2,2)

C(0,2?22)

D(4,2)
,试判断 四边形ABCD
的形状.
解:AB边所在直线的斜率
k
AB
?BC边所在直线的斜率
k
BC
2?(2?22)22?(2?22)2
, CD边所在直线的斜率
k
CD
?
,
??
?2?224?2 2
(2?22)?2(2?22)?2
???2
,DA边所在直线的斜率
k< br>DA
???2
,
0?22?4

k
AB
?k
CD
,k
BC
?k
DA

∴ ABCD,BCDA,即四边形ABCD为平行四边形.
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
12



2
?(?2)??1
,∴ AB⊥BC,即四边形ABCD为矩形.
2
【例2】已知
?ABC
的顶点< br>B(2,1),C(?6,3)
,其垂心为
H(?3,2)
,求顶点
A
的坐标.
解:设顶点A的坐标为
(x,y)

又 ∵
k
AB
k
BC
?
?
k
AC
?k
BH

AC?BH,AB?CH
,∴
?
?
k
A B
?k
CH
1
?
y?3
?(?)??1
?
??1
?
x?65
, 即
?

y?11
??1
?
?(?)??1
?
x?23
?
?
y?5x?33
?
x??19
化简为
?
,解之得:
?
. ∴ A的坐标为
(?19,?62)
.
y?3x?5
y??62
??
【例3】(1)已知直线
l
1
经过点M(-3,0)、N(-15,- 6),
l
2
经过点R(-2,

l
2
是否平行?
(2)
l
1
的倾斜角为45°,
l
2
经过点P(- 2,-1)、Q(3,-6),问
l
1

l
2
是否垂直?
35
)、S(0,),试判断
l
1
22
0?(?6)1?

k
RS
?3?(?15)2
?6?(?1)
(2) ∵
k
1
?tan45??1

k
2
???1
k
1
k
2
??1
, ∴
l
1

l
2

3?(?2)
解: (1) ∵
k
MN
=
点评:当
l
1

l< br>2
的斜率存在时,
k
1
?k
2
?l
1
l
2

k
1
k
2
??1?l
1
?l
2
. 斜率不存在时,进行具体的分析.
由此先计算出斜率,根据斜率的相等或互为负倒数,从而判别平行或垂直.
53
?
22
?
1
. ∴
l

l

?
12
0?(?2)2
第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程
¤学习目标:根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的 点斜式、斜截式,体会斜截式与一次
函数的关系.
¤知识要点:
1. 点斜式:直 线
l
过点
P
0
(x
0
,y
0
)< br>,且斜率为k,其方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
.
2. 斜截式:直线
l
的斜率为k,在y轴上截距为b,其方程为
y?kx?b
.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线
l
过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°,
斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为
x?x
0
?0< br>,或
x?x
0
.
4. 注意:
y?y
0
?k

y?y
0
?k(x?x
0
)
是不同的方程, 前者表示的直线上缺少一点
P
0
(x
0
,y
0
)< br>,后者才是
x?x
0
整条直线.
¤例题精讲:
【例1】写出下列点斜式直线方程:
(1)经过点
A(2,5)
,斜率是4; (2)经过点
B(3,?1)
,倾斜角是
30
.
解:(1)
y?5?4(x?3)
(2)
k?tan
?
?tan30??
【例 2】已知直线
y?kx?3k?1
.
33

所以直线的点斜式方程为:
y?1?(x?3)
.
33
(1)求直线恒经过的定点;(2)当
?3?x?3
时,直线上的点都在
x
轴上方,求实数
k
的取值范围.
解:(1)由
y?k(x?3) ?1
,易知
x??3
时,
y?1
,所以直线恒经过的定点
( ?3,1)
.
?
k(?3)?3k?1?0
1
(2)由题意得?
,解得
k??
.
6
?
k3?3k?1?0
【例3】光线从点A(-3,4)发出,经过x轴反射,再经过y轴反射,光线经过点 B(-2,6),求射入
y轴后的反射线的方程.
解:∵A(-3,4)关于x轴的对称点A
1
(-3,-4)在经x轴反射的光线上,
同样A
1
(-3,-4)关于y轴的对称点A
2
(3,-4)在经过 射入y轴的反射线上,
∴k
A
2
B
=
6?4
=-2. 故所求直线方程为y-6=-2(x+2), 即2x+y-2=0.
?2?3


点评:由物理中光学知识知,入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题,也常常需要研究对称点的
问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线
l
经过点
P(?5,?4)
,且
l
与 两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线
l
的方程.
解:由已知得
l
与两坐标轴不垂直.
∵直线
l
经过点
P(?5,?4)
,∴ 可设直线
l
的方程为
y?(?4)?k[x?(?5)]
,即
y?4?k(x?5)
.
则直线
l

x
轴上的截距为
根据题意得
4
?5
,在
y
轴上的截距为
5k?4
.
k
14|?5||5k?4|?5
,即
(5k?4)
2
?10|k|
.
2k
28

k?0
时,原方程可化为
(5k?4)
2
?10k
,解得
k
1
?,k
2
?
; < br>55
2

k?0
时,原方程可化为
(5k?4)??10k< br>,此方程无实数解.
28
故直线
l
的方程为
y?4?(x? 5)
,或
y?4?(x?5)
.即
2x?5y?10?0

8x?5y?20?0
.
55
点评:已知直线过一点时,常设其点斜式方程,但需注 意斜率不存在的直线不能用点斜式表示,从而使用
点斜式或斜截式方程时,要考虑斜率不存在的情况,以 免丢解. 而直线在坐标轴上的截距,可正、可负,也可
以为零,不能与距离混为一谈,注意如何由直线 方程求其在坐标轴上的截距.
第21讲 §3.2.2 直线的两点式方程
¤学习目标:根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的两点式、截距式. 明白直线的点斜式、
斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性.
¤知识要点:
y?y
1
x?x
1

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
2. 截距式:直线
l
在x

y轴上的截距分别为a

b,其方程为
??1< br>.
ab
3. 两点式不能表示垂直x

y轴直线;截距式不能表示垂 直x

y轴及过原点的直线.
x
1
?x
2
y
1
?y
2
4. 线段
P
中点坐标公式
P
(,)
.
12
22
1. 两点式:直线
l
经过两点
P
1(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y< br>2
)
,其方程为
¤例题精讲:
【例1】已知△
ABC
顶点为
A(2,8),B(?4,0),C(6,0)
,求过点
B
且将△< br>ABC
面积平分的直线方程.
解:求出
AC
中点
D
的坐标
D(4,4)
,则直线
BD
即为所求,
由直线方程的两点式得
y?0x?4
,即
x?2y?4?0
. ?
4?04?4
【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6,并且分别位于x轴和y轴上 ,求菱
形各边所在的直线的方程.
解:设菱形的四个顶点为A、B、C、D,如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂
直且平分可知,顶点A、B、C、D在坐标轴上,且A、C关于原点对称,B、 D也关于原点对称.
所以A(-4,0),C(4,0),B(0,3),D(0,-3).
由截距式,得
xyxy
?
=1,即3x-4y+12=0;直线BC的方程 :
?
=1, 即3x+4y-12=0;
?4343
xyxy
直线AD方程:=1, 即3 x+4y+12=0;直线CD方程:
?
=1即3 x-4y-12=0.
?
?4?34?3
第22讲 §3.2.3 直线的一般式方程
直线AB 的方程:
¤学习目标:根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的一般式,体会一般式与直线 其它方程
形式之间的关系.
¤知识要点:
1. 一般式:
Ax?By?C?0
,注意A

B不同时为0. 直线一般式方程< br>Ax?By?C?0(B?0)
化为斜截式
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
14



方程
y??
ACAC
x ?
,表示斜率为
?
,y轴上截距为
?
的直线.
BBBB
2 与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线,可设所求方程为< br>Ax?By?C
'
?0
;与直线
Ax?By?C?0
垂直经过点
M
0
,且平行于直线l的直线方程是
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0

经过点
M
0
,且垂 直于直线l的直线方程是
B(x?x
0
)?A(y?y
0
)?0.
3. 已知直线
l
1
,l
2
的方程分别是:
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
A
1
,B
1
不同时为0),
l
2
: A?C?0

A
2
,B
22
x?
2
By< br>2
的直线,可设所求方程为
Bx?Ay?C
'
?0
. 过点< br>P(x
0
,y
0
)
的直线可写为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
.
不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别:
(1)
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2< br>?0
; (2)
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,AC
12
?A< br>2
B
1
?0

(3)
l
1
l
2
重合
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,AC
12
?A
2
B
1
?0; (4)
l
1

l
2
相交
?A
1< br>B
2
?A
2
B
1
?0
.
如果A
2
B
2
C
2
?0
时,则
l
1
l
2
?
A
1
B
1
C
1
ABCAB

l
1

l
2
重合
?
1
?
1
?
1

l
1

l
2
相交
?
1
?
1
.
??
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
¤例题精讲:
【例1】已知直线
l1

x?my?2m?2?0

l
2

mx? y?1?m?0
,问m为何值时:
(1)
l
1
?l
2
; (2)
l
1
l
2
.
解:(1)
l
1?l
2
时,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
,则
1?m?m?1?0
,解得m=0.
1m?2m?2
, 解得m=1.
??
m1?1?m
【例2】(1 )求经过点
A(3,2)
且与直线
4x?y?2?0
平行的直线方程; (2)求经过点
B(3,0)
且与直线
2x?y?5?0
垂直的直线方程 .
解:(1)由题意得所求平行直线方程
4(x?3)?(y?2)?0
,化为一般 式
4x?y?14?0
.
(2) 由题意得所求垂直直线方程
(x?3)? 2(y?0)?0
,化为一般式
x?2y?3?0
.
(2)
l1
l
2
时,
【例3】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求与直 线l平行且过点(-1,3)的直线的方程.
分析:由两直线平行,所以斜率相等且为
?解:直线l:3x+4y-12=0的斜率为
?
3
,再由点斜式求出所求直线的方 程.
4
33
,∵ 所求直线与已知直线平行, ∴所求直线的斜率为
?

44
3
又由于所求直线过点(-1,3) ,所以,所求直线的方程为:
y?3??(x?1)
,即
3x?4y?9?0
.
4
点评:根据两条直线平行或垂直的关系,得到斜率之间的关系,从而由已知直线的斜率及 点斜式求出所求
直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
而直接写出方程,即
3(x?1)?4(y?3) ?0
,再化简而得.
第23讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标
¤学习目标 :进一步掌握两条直线的位置关系,能够根据方程判断两直线的位置关系,理解两直线的交点
与方程的解 之间的关系,能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
?
A
1
x?B1
y?C
1
?0
¤知识要点:1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组
?
. 若方程组有
Ax?By? C?0
?
222
惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两 条直线无公共点,此时两条直线平行;
若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重 合.
?B?C)?0
2. 方程
?
(A
1
x?B
为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是
1
y?C
1
)?(A
2
x
2
y
2
A
1
x?B
1
y? C
1
?0

A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点.
¤例题精讲:【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交,求出交点坐标.
(1)直线l
1
: 2x-3y+10=0 , l
2
: 3x+4y-2=0; (2)直线l
1
:
nx?y?n?1
, l
2
:
ny?x?2n
.
?
2x?3y?10?0
?
x??2
解:(1)解方程组
?
, 得
?
. 所以,l
1
与l
2
相交,交点是(-2,2).
3x?4y?2? 0y?2
??
?
nx?y?n?1
(2)解方程组
?
,消y 得
(n
2
?1)x?n
2
?n
.
?
n y?x?2n



n?1
时,方程组无解,所以两直线无公共点,
l
1

l
2
.

n??1
时,方程组无 数解,所以两直线有无数个公共点,l
1
与l
2
重合.

n?1

n??1
,方程组有惟一解,得到
x?
n2n?1

y?
, l
1
与l
2
相交.
n?1n?1
n2n?1
,)
.
n?1n?1
【例2】求 经过两条直线
2x?y?8?0

x?2y?1?0
的交点,且平行于直线< br>4x?3y?7?0
的直线方程.
解:设所求直线的方程为
2x?y?8?< br>?
(x?2y?1)?0
,整理为
(2?
?
)x?(1?2< br>?
)y?
?
?8?0
.
∵ 平行于直线
4x?3y?7?0
, ∴
(2?
?
)?(?3)?( 1?2
?
)?4?0
,解得
?
?2
.
则所求直线方程为
4x?3y?6?0
.
第24讲 §3.3.2 两点间的距离
∴当
n?1
时,
l
1

l
2
;当
n??1
时,l
1
与l
2
重合;当
n ?1

n??1
,l
1
与l
2
相交,交点是
(
¤学习目标:探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明,初步了解由特殊到一般,再由一般到
特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.
22
¤知识要点:1. 平面内两点
P
1
(x
1
, y
1
)

P
2
(x
2
,y
2)
,则两点间的距离为:
|PP
12
|?(x
1
?x< br>2
)?(y
1
?y
2
)
.
特别地,当P
1
,P
2
所在直线与x轴平行时,
|PP
12
|?|x
1
?x
2
|
;当
P
1
,P2
所在直线与y轴平行时,
2
|PP
12
|?1?k|x
1
?x
2
|
.
12
|?|y
1
?y< br>2
|
;当
P
1
,P
2
在直线
y?k x?b
上时,
|PP
2. 坐标法解决问题的基本步骤是:(1)建立坐标系,用坐标 表示有关量;(2)进行有关代数运算;(3)
把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
¤例题精讲:
【例1】在直线
2x?y?0
上求一点
P
, 使它到点
M(5,8)
的距离为5,并求直线
PM
的方程.
解:∵ 点
P
在直线
2x?y?0
上,∴ 可设
P(a,2a)

根据两点的距离公式得
PM
2
? (a?5)
2
?(2a?8)
2
?5
2
,即5a
2
?42a?64?0
,
解得
a?2或a?
323264
, ∴
P(2,4)或(,)
. ∴
555
直线PM的方程为
y?8x?5y?8x?5
?或?

4?82?5
64
?8
32
?5
55

4x?3y?4?0或24x?7y?64?0
.
【例2】直线2x-y-4=0 上有一点P,求它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值.
解:找A关于l的对称点A′,A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设
A'(a,b)
, 则
?
b?1
?2??1
?
?
a?0
?
a?4
,解得, 所以线段
|A'B|?(4?1)2
?(3?0)
2
?32
.
?
?
?
b?1
?
2?
4?a
?
b?1
?4?0
?
?22
【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线,证明|AB|
2
+|AC|2
=2(|AO|
2
+|OC|
2
).
解:以O为坐标原点,BC为x轴,BC的中垂线为y轴,建立如图所示坐标系xOy.
设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),
A(a,b) y
由两点间距离公式得:
|AB|=
(a?c)
2
?b
2< br>,|AC|=
(a?c)
2
?b
2

|AO|=
a
2
?b
2
, |OC|=c.
∴ |AB|
2
+|AC|
2
=
2(a
2
?b
2
?c
2
)
, |AO|
2
+|OC|
2
=
a
2
?b
2
?c
2
.
∴ |AB|
2
+|AC|
2
=2(|AO|
2
+|OC|
2< br>).
B(-c,0) O C(c,0) x
第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离
¤学习目标:探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学
思想,培养研究探索的能力.
¤知识要点:1. 点
P( x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距 离公式为
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
A?B
2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线
l
1
:A x?By?C
1
?0

l
2
:Ax?By?C
2< br>?0
之间
.
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
16



的距离公式
d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22
,推导过程为:在直线
l2
上任取一点
P(x
0
,y
0
)
,则
Ax
0
?By
0
?C
2
?0
,即
Ax0
?By
0
??C
2
. 这时点
P(x
0,y
0
)
到直线
l
1
:Ax?By?C
1?0
的距离为
d?
¤例题精讲:
|Ax
0
?By0
?C
1
|
A?B
22
?
|C
1?C
2
|
A?B
22
.
110

l
2
:3x?y?0
的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.
33
解:设所求直线l的方程为
3y?x?10?
?
(3x?y)?0
, 整理得
(3
?
?1)x?(3?
?
)y?10?0
.
10
?1
, 解得
?
??3
. 由点到直线的距离公式可知 ,
d?
22
(3
?
?1)?(3?
?
)
【 例1】求过直线
l
1
:y??x?
代入所设,得到直线l的方程为
x ?1或4x?3y?5?0
.
【例2】在函数
y?4x
2
的图象上 求一点P,使P到直线
y?4x?5
的距离最短,并求这个最短的距离.
解:直线方程化为
4x?y?5?0
. 设
P(a,4a
2
)
, 则点P到直线的距离为
d?
|4 a?4a
2
?5|
4?(?1)
22
?
|?4(a?12)
2
?4|
17
?
4(a?12)
2
?4
1 7
.
417
11
时,点
P(,1)
到直线的距离最短,最短距离为. < br>17
22
【例3】求证直线L:
(m?2)x?(1?m)y?(6?4m)? 0
与点
P(4,?1)
的距离不等于3.
|(m?2)4?(1?m)(? 1)?(6?4m)||m?3|
解:由点线距离公式,得
d?
=.
222 2
(m?2)?(1?m)(m?2)?(1?m)

a?
假设
d? 3
,得到
(m?3)
2
?9[(m?2)
2
?(1?m)< br>2
]
,整理得
17m
2
?48m?36?0
.

??48
2
?4?17?36??140?0
, ∴
17m
2
?48m?36?0
无实根.

d?3
,即直线L与点
P(4,?1)
的距离不等于3.
点评:此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离,然后从“距离不等于3”的反面出发 ,假设
距离是3求m,但求解的结果是m无解. 从而假设不成立,即距离不等于3.
另解:把直线L:
(m?2)x?(1?m)y?(6?4m)?0
按参数m整理,

(x?y?4)m?2x?y?6?0
.

?
x?y?4?0x?2
,解得. 所以直线L恒过定点
Q(2,?2)
.
2x?y?6?0
y??2
?
点P到直线L取最大距离时, PQ⊥L, 即最大距离是PQ=
(2?4)
2
?(?2?1)
2
=
5< br>.

5
<3, ∴直线L与点
P(4,?1)
的距离不等于3.
点评:此解妙在运用直线系
?
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?(A
2< br>x?B
2
y?C
2
)?0
恒过一个定点的知识,其定点就是< br>A
1
x?B
1
y?C
1
?0

A< br>2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点. 由运动与变化观点,当直线PQ⊥L时,点线距离为最大.

第26讲 第4章 §4.1.1 圆的标准方程
¤学习目标:回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握 圆的标准方程;能用待定系数法、
几何法求圆的标准方程.
¤知识要点:
1. 圆 的标准方程:方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2(r?0)
表示圆心为A(a,b),半径长为r的圆.
2. 求圆的标准方程的常用方法:(1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程;
(2)待定系数法:先根据条件列出关于a、b、r的方程组,然后解出a、b、r,再代入标准方程.
¤例题精讲:
【例1】(01年全国卷.文)过点
A(1,?1)

B(?1,1)
且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ).
A.(x-3)
2
+(y+1)
2
=4 B.(x+3)
2
+(y-1)
2
=4
C.(x-1)
2
+(y-1)
2
=4 D.(x+1)
2
+(y+1)
2
=4
解:由圆心在直线x+y-2=0上可以得到A

C满足条件, 再把A点坐标(1,-1)代入圆方程. A不


满足条件. 所以,选C.
另解:设圆心C的坐标为(a,b),半径为r, 因为圆心C在直线x+y-2=0上, ∴b=2-a.
由|CA|=|CB|,得(a-1)
2
+(b+1)
2< br>=(a+1)
2
+(b-1)
2
,解得a=1,b=1.
因此,所求圆的方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=4. 选C.
【例2】求下列各圆的方程:
(1)过点
A(?2,0)
,圆心在
(3,?2)
(;2)圆心在直线
2x?y?7?0
上的圆C与y轴交于两点
A(0,?4),B(0,?2)

解:(1)设所求圆的方程为
(x?3)
2
?(y?2)
2
?r
2
. 则
?
2
2)r?
2

(?2?3
2
)?(0
, 解得
r
2
?29
. ∴ 圆的方程为
(x?3)
2
?(y?2)
2
?29
.
(2)圆心在线段AB的垂直平分线
y??3
上,代入直线
2x?y?7?0

x?2

圆心为
(2,?3)
,半径
r?(2?0)
2
?(?3?2)
2
?5
.∴ 圆C的方程为
(x?2)
2
?(y?3)
2
?5
.
【例3】推导以点
A(a,b)
为圆心,
r
为半径的圆的方程. < br>解:设圆上任意一点
M(x,y)
,则
|MA|?r
.由两点间的距离 公式,得到
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
.
化简即得圆的标准方程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

第27讲 §4.1.2 圆的一般方程
¤学习目标:回顾确定圆的几何要素 ,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程;能用待定系数法
求圆的一般方程.
¤知识要点:1. 圆的一般方程:方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

D
2
?E
2
?4F?0
)表示圆心是
(?
DE1
,?)
,半径长为
D
2
?E
2
?4F
的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标
(x,y)
满足的关系式.
222
¤例题精讲:
【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程.
解:设所求圆 的方程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
. 则
?
4?4?2D?2E?F?0
?
D??8
??
22
?< br>25?9?5D?3E?F?0
, 解得
?
E??2
. ∴ 圆的方程为
x?y?8x?2y?12?0
.
?
9?1?3D?E?F?0
?
F?12
?
?
【例2】设方程
x
2
?y
2
?2(m?3)x?2(1?4m
2
)y?16m
4
?7 m
2
?9?0
,若该方程表示一个圆,求m的取
值范围及圆心的轨迹方程.
2
解:配方得
?
x?(m?3)
?
?
?
?
y?(1?4m)
?
?
?1?6m
,该方程表示圆,则有
?
x?m?3
1
,消去m,得
y?4(x?3)
2
?1
1?6m?0
,得
m?(?,??)
,此时圆心的轨迹方程为
?
2
6
?
y?1?4m
2
2

m?(? ,??)
得x=m+3
?(
1
6
1717
,??)
. ∴所求的轨迹方程是
y?4(x?3)
2
?1

x?(,?? )

66
第28讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系
¤学习目标:能 根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决简单问题.
¤知识要点:1. 直线与圆的位置关系及其判定: 方法一:方程组思想,由直线与圆的方程组成的方 程组,
消去x或(y),化为一元二次方程,由判别式符号进行判别;
A?B
(1)相交
?d?r
?

??0
;(2)相 切
?d?r
?
??0
;(3)相离
?d?r
?
?? 0
.
2. 直线与圆的相切研究,是高考考查的重要内容. 同时,我们要熟记直线与圆的各 种方程、几何性质,也
|Ax
0
?By
0
?C|
要掌握一些 常用公式,例如点线距离公式
d?

22
A?B
¤例题精讲:【例1 】若直线(1+a)x+y+1=0与圆x
2
+y
2
-2x=0相切,则a的 值为 .
解:将圆x
2
+y
2
-2x=0的方程化为标 准式:(x-1)
2
+y
2
=1, 其圆心为(1,0),半径为1,由直线(1
|1?a?1|
?1
, ∴ a=-1. +a)x+y+1=0与该圆相切,则圆心到直线的距离
d?
2
(1?a)?1
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
18

方法二:利用圆心(
a,b
)到直线
Ax?By?C?0
的距离
d ?
|Aa?Bb?C|
22
,比较d与r的大小.



【例2】求直线
l:2x?y?2?0
被圆
C:(x?3)
2
?y
2
?9
所截得的弦长. (P
144
练习1题)
?2x?y?2?0
144
2
解:由题意,列出方程组
?
,消y得 ,得,.
5x?14x?4?0
x?x?xx?
1212
22
(x ?3)?y?9
55
?
设直线
2x?y?2?0
与圆
(x? 3)
2
?y
2
?9
交于点
A(x
1
,y< br>1
)

B(x
2
,y
2
)
,则
1442145
.
|AB|?(1?k
2
)|x
2
?x
1
|?(1?k
2
)(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
=
(1?2
2
)()
2
?4??
555
|2?3?0?2|45
?
另解 :圆心C的坐标是
(3,0)
,半径长
r?3
. 圆心到直线
2x?y?2?0
的距离
d?
.
5
5
所以,直线
2x?y?2?0
被圆
(x?3)
2
?y
2?9
截得的弦长是
2r
2
?d
2
?23
2?(
45
2
2145
)?
.
55
第29讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系
¤学习目标:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想,用解方程组判别位置关
系或求交点坐标.
¤知识要点:两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
,半径分别为
r
1
,r
2
,则:
(1)两圆 相交
?|r
1
?r
2
|?|O
1
O
2|?r
1
?r
2
;(2)两圆外切
?|O
1
O
2
|?r
1
?r
2
;(3)两圆内切
?|O
1
O
2
|?|r
1
?r
2
|

¤例题精讲:【例1】已知圆
C
1

x
2
?y
2
?6x?6?0
①,圆
C
2

x
2
?y< br>2
?4y?6?0


(1)试判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在的直线方程.
解:(1)∵圆
C
1
的圆心为(3,0),半径为
r
1
?15
,圆
C
2
的圆心为(0,2),半径为
r
2
?10


|C
1
C
2
|?13
,∴
|r
1
?r
2
|

|C
1
C
2
|?r
1
?r
2
, ∴圆
C
1

C
2
相交.
(2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为
3x?2y?0
.
【例2】求 经过两圆
x
2
?y
2
?6x?4?0

x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点,并且圆心在直线
x?y?4?0

的圆的方程.
解:设所求圆的方程为
x
2
?y
2
?6y?28?
?
(x
2
?y
2
?6x?4)? 0
,即
3
?
3
,?)
.
1?
?
1?
?
3
?
31
∵圆心在直线
x?y?4?0
上 , ∴
???4?0
,解得
?
??
.
1?
?
1?
?
7
∴ 所求圆的方程为
x
2

y
2
?x?7y?32?0

第30讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用
(1?
?
)x
2
?(1?
?
)y
2
?6
?
x?6y?28?4< br>?
?0
, 则所求圆的圆心为
(?
¤学习目标:能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数
方法处理几何问题的思想.
¤知识要点:坐标 法:建立适当的直角坐标系后,借助代数方法把要研究的几何问题,转化为坐标之间的
运算,由此解决几 何问题
¤例题精讲:
【例1】有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居 民从两地之一购得商品后运回的费
用是:每单位距离,A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B两地相 距10千米,顾客购物的标准是总费用
较低,求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线 上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
解:建立使A(-5,0)、B(5,0)的直角坐标系,设单位距离的运费是a元.
若在A地购货费用较低,则:价格+A地运费≤价格+B地运费

3a(x?5)
2
?y
2
?a(x?5)
2
?y
2
.
25
22
15
2
)+y≤() .
44
2515
∴ 两地购物区域的分界线是以点C(-,0)为圆心,为半径的圆.
44
∵ a>0,∴ 8x
2
+8y
2
+100x+200y≤0.得 (x+
所以,在圆 C内的居民从A地购物便宜,圆C外的居民从B地购物便宜,
圆C上的居民从A、B两地购物总费用相等 .
【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆
x
2
?y
2
?4x?4y?7?0
相切, 求光线l所在的直线方程.


解:由已知可得圆C:
(x?2)
2?(y?2)
2
?1
关于x轴对称的圆C的方程为
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
,其圆心

C(2,-2),易知l与 圆C

相切.

34
?1
,整理得12k
2
+ 25k+12=0, 解得
k??

k??
.
43
1?k
2
3 4
所以,所求直线方程为y-3=
?
(x+3)或 y-3=
?
(x+3),即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
43
点评:关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法.
设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.∴
如果由方程组思想,通过“
??0
”求切线方程也可, 但过程要复杂些.
5k?5
第31讲 §4.3.1 空间直角坐标系
¤学习 目标:通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐
标系刻 画点的位置.
¤知识要点:1. 空间直角坐标系:从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位 长度的数轴Ox、Oy、
Oz,这样的坐标系叫做空间直角坐标系O- xyz,点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个
坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向, 若
中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3. 空间直角坐标系中的坐 标:对于空间任一点M,作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影,
若射影在相应数轴上 的坐标依次为x、y、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标,
记作M(x, y, z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
4. 在xOy平面上 的点的竖坐标都是零,在yOz平面上的点的横坐标都是零,在zOx平面上的点的纵坐标
都是零;在O x轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在Oz轴上的点
的横坐 标、纵坐标都是零
¤例题精讲:【例1】在空间直角坐标系中,作出点M(6,-2, 4).
解:点M的位置可按如下步骤作出:
先在x轴上作出横坐标是6的点
M
1< br>,再将
M
1
沿与y轴平行的方向向
左移动2个单位得到点
M< br>2
,然后将
M
2
沿与z轴平行的方向向上移动4个
单位即得点 M. M点的位置如图所示.
【例2】在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=12,AD=8,< br>AA
1
=5,试建
立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解 :以A为原点,射线AB、AD、
AA
1
分别为x轴、y轴、z轴的正半
轴, 建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、
A< br>1
(0,0,5)、
B
1
(12,0,5)、
C
1< br>(12,8,5)、
D
1
(0,8,5).
【例3】已知正四棱锥P- ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立
适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
分析:先由条件求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立
适当的空间直角坐标系.


解:正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,
∴正四棱锥的高为
223
.
以正四棱锥的底面中心为原点,平行于AB、B C所在的直线分别为x
轴、y轴,建立如图示的空间直角坐标系,则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,223
).
z
M(6,-2,4)
4
6
O
y
M
2

2
M
1

x 点评:在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定的点的坐标.
第32讲 §4.3.2 空间两点间的距离公式
¤学习目标:通过表 示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距
离公式.
¤知识要点:
222
1. 空间两点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)

P
2
(x2
,y
2
,z
2
)
间的距离公式:
|PP12
|?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(z
1
?z
2
)
.
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
20



2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤:①在立体几何图形中建立空间 直角坐标系;②依题意确定各
相应点的坐标 ;③通过坐标运算得到答案.
3. 对称问题,常用对称的定义求解. 一般地,点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标
分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z);关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z);
关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).
¤例题精讲:
【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7),且|AB|=6,求x的值.
解:|A B|=6,∴
(x?5)
2
?(2?4)
2
?(3?7)
2
?6
, 即
(x?5)
2
?16
,解得x=1或x=9.
【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.
解:设点P关于坐标平 面xOy的对称点为
P
?
,连
PP
?
交坐标平面xOy于Q ,

PP
?
?
坐标平面xOy,且|PQ|=|
P
?
Q|,∴
P
?
在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合 ,
P
?
在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称,

P
?
与P的横坐标、纵坐标分别相同,竖坐标互为相反数,
∴ 点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).
【例3】在棱长为a的 正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,求异面直线
BD
1
与CC
1
间的距离.
解:以D为坐标原点,从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系. < br>设P、Q分别是直线
BD
1

CC
1
上的动点,其坐 标分别为(x, y, z)、(0,
a,z
1
),则由正方体的对称性,显然
有x=y. 要求异 面直线
BD
1
与CC
1
间的距离,即求P、Q两点间的最短距离.
设P在平面AC上的射影是H,由在
?
BDD
1
中,
∴ P的坐标为(a-z, a-z, z)
PHBH
z2a?2xa?x
,所以
?
,∴x=a-z,
?
?
aa
D
1
DBD
2a
a
2
a
2
∴ |PQ|=
(a?z)?z?(z?z
1
)
=
(z?z
1
)?2(z?)?

22
222
2
2
a
时,|PQ|取得最小值,最小值为
a
.
2
2
2
∴ 异面直线
BD
1
与CC
1
间的距离为
a
.
2
∴ 当
z?z
1
?
点评:通过巧设动点坐标,得到关于两 点间距离的目标函数,由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标
函数最值的研究,实质就是非负数最小为0.

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