高中数学笔记-3-三角函数

9、半角公式是：sin
1?cos
?
1?cos
?
?
?
=
?
cos=
?

22
22
tan
1?cos
?
1?cos
?
?
sin< br>?
=
?
==。
sin
?
1?cos
?2
1?cos
?
2
10、升幂公式是：
1?cos
?< br>?2cos
?
2
2

1?cos
?
?2sin
?
2
。
2
11 、降幂公式是：
sin
?
?
1?cos2
?
1?cos2< br>?
2

cos
?
?
。
222tg
12、万能公式：sin
?
=
?
2
?
2
1?tg
2
cos
?
=
?
2
tg
?
=
2
2tg
1?tg
?
2
?
1?tg
2
1?tg
2
?
2

2
13、 sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)=< br>sin
2
?
?sin
2
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)=
cos
2
?< br>?sin
2
?
，
?
=
cos
2
?
?sin
2
?
。
14、
4sin
?
sin(60
0
?
?
) sin(60
0
?
?
)
=
sin3
?
；

4cos
?
cos(60
0
?
?
) cos(60
0
?
?
)
=
cos3
?
；

tg
?
tg(60
0
?
?
)tg( 60
0
?
?
)
=
tg3
?
。
1 5、
ctg
?
?tg
?
=
2ctg2
?
。
16、sin18
0
=








5?1
。Sin15
0
=
，si n75
0
=


4
备注；1，注意值为1的公式的使用。 在圆锥曲线中参数方程的设定，不等式证明中换
元的使用。
2，角的变换； =（ ） （ ） （ ） （ ）
=

（ ） （ ）

2；（ ） 2=（ ）-
（ ）
18、正弦 定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：
22
2
19、由余弦定理第一形式，b
=
a?c?2accosB

abc
???2R
< br>sinAsinBsinC
a
2
?c
2
?b
2
由余弦定理第二形式，cosB=
2ac
20、△ABC的面积用S表示，外接圆 半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用

p表示则：
11
a?h
a
??

S?bcsinA??
； < br>22
abc
③
S?2R
2
sinAsinBsinC
；④
S?
；
4R
①
S?
⑤
S?p(p?a)(p ?b)(p?c)
；⑥
S?pr

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，
b?a?cosC?c?cosA
，
22、在△ABC 中，
A?B?sinA?sinB
，
23、在△ABC 中：

sin
A?BCA?BCA?BC
?cos

cos?sin

tg?ctg

222222

tgA

?tgB?tgC?tgA?tgB?tgC
24、积化和差公式：
1
[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?< br>?
)]
，
2
1
②
cos
?
?si n
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]
，
2
1
③
cos
?
? cos
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
??
?
)]
，
2
1
④
sin
?
?sin
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
。
2
①
sin
?
? cos
?
?
25、和差化积公式：
x?yx?y
?cos
，
22
x?yx?y
?sin②
sinx?siny?2cos
，
22
x?yx?y
?co s
③
cosx?cosy?2cos
，
22
x?yx?y
?sin
④
cosx?cosy??2sin
。
22
①
sinx?siny?2sin
26，反三角函数
1
、
y?arcsinx
的定义域是[-1，1]，值域是
[?
○
? ?
，]
，奇函数，增函数；
22
s
的定义域是[-1，1]，值域 是
[0，
?
]
，非奇非偶，减函数；
y?arccox
x

y?arctg
的定义域是R，值域是< br>(?
??
，)
，奇函数，增函数；
22
x
< br>y?arcctg
的定义域是R，值域是
(0，
?
)
，非奇非 偶，减函数。
2
、当
x?[?1，1]时，sin(arcsinx)?x，cos (arccosx)?x
； ○

sin(arc cosx)?1?x
2
，cos(arcsinx)?1?x
2

arcsin(?x)??arcsin x，arccos(?x)?
?
?arccosx


arcsinx?arccosx?
对任意的
x?R
，有：
?
2

tg(arctgx)?x，ctg(arcctgx)?x

arctg(?x)??arctgx，arcctg(?x)?
?
?arcctgx

arctgx?arcctgx?
?
2
11
，ctg(a rctgx)?
。
xx
当
x?0时，有：tg(arcctgx)?

3
，反三角函数的图像： ○

27、最简三角方程的解集：
a ?1时，sinx?a的解集为
?
；
a?1时，sinx?a的解集为xx?n
?
?(?1)
n
?arcsina，n?Z
a?1时，cosx?a的解集 为
?
；
??

?
xx?2n
?
?arcc osa，n?Z
?
；a?1时，cosx?a的解集为
?
xx?n
?
?arctga，n?Z
?
；a?R，方程tgx?a的解集为
?
x x?n
?
?arcctga，n?Z
?
。a?R，方程ctgx?a的解集为
28，常见函数性质
y=sinx+cosx

易错题；

例1．关于函数
f(x)?4sin(2x??
3
1
y=f(x)图象关于直线
x??)(x?R)
有下列命 题，○
?
6
对
2
y=f(x)的表达式可改写为
y?4cos(2x?
称 ○
?
6
3
y=f(x)的图象关于点
(?)
○
?
6
,0)
对称 < br>4
由
f(x)?f(x)?0可得x?x
必是
?
的整数倍。其 中正确命题的序号是 。 ○
1212
2
○
3
答案：○
2
○
3
○
4
错解：○
错因：忽视f(x) 的周期是
?
，相邻两零点的距离为
2
3
T?
?
。
22
?
对称，当x?[-
6
例2．已 知定义在区间[-?，
?
] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -
??
?
2
，
?
]时，函数f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,-22
3
6
2
(1)求函数 y=f(x)在[-?，
?
]的表达式；
3
(2)求方程f(x)=
2
的解。
2
2
??< br>?
)=2?，?=
36
解：(1)由图象知A=1，T=4(
2
?
?1

T
在x?[-


将(
f(
?
2
?
，]时
63
?
，1)代入f(x)得
6
??
)=sin(+?)=1
66
∵-
??
22
?

3

∴?=
∴在[-


?
2
?
，]时
63
?
)
3
?
对称
6
f(x)=sin(x+
∴y=f(x)关于直线x=-

∴在[-?，-
?
]时
6
f(x)=-sinx
x ?[?,]
?
?
63
?
sin(x?)
综上f(x)=?

3

?
?
x?[?
?
,?]< br>?
?sinx
6
?
2
?
(2)f(x)=
2

2
在区间[-
可得x
1
=
?
2
?
，]内
63
5x
?
x
2
= -
1212
∵y=f(x)关于x= -
∴x
3
=-
?
对称
6
?
3
?
x
4
= -
4
4
2
?
?
5
?
3
?
的解为x?{-,-,- ,}
412
124
2
∴f(x)=
3． 若
sin
?
cos
?
?
1
，求
sin
?
cos< br>?
的取值范围。
2
解：令
?
?sin
?
cos
?
，则有
?
1
?a?sin
?
(?
?
)
?
?
2
?
?
?
1
?a?sin
?
(?
?
)?
?
2
1
?
?1??a?1
?
?
2< br>
?
?
?
?1?
1
?a?.1
?2
?
11
???a?
22
(1)
(2)

说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出
?
3113
?a?
或
??a?
。
2222
原因是忽视了正弦函数的有界性。另 外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做
也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定 相同。这两点应引起我们的重视。