数学笔记：集合

集合：把一些不同的，可以确定的对象看做整体。(明确表达、无序性、不重复)
1) 元素：我们把研究对象统称为元素。
集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。通常用大写拉丁字母A、B、C表
示。
2） 确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是
这 个给定的集合的元素。
互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归 入一
个集合时，仅算一个元素。
无序性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对 象，相同的对象归入一
个集合时，仅算一个元素。
3) a∈A 读作：a属于集合A
a?A 读作：a不属于集合A
4）数集
N：非负整数集（自然数集）
N*或N
+
：正整数集
Z：整数集（Zahlen）
Q：有理数集（quotient）
R：实数集(包括有理数和无理数）
C：复数集
? ：空集（不含有任何元素的集合）
5）集合的表示方法：
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。一般用于元
素个数较少、元 素为有限个的集合。

A={a,b,c,} B={（1,2）}
②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内
表示集合的方法。
数集{xy=x
2
} 点集：{（x,y）y=x
2
}
③图示法
⑴venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

⑵数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

④区间：
开区间：区间边界的两个值不包括在内；（a,b）
闭区间：区间边界的两个值包括在内。[a,b]
半开半闭区间:开区间一边的边界值不包括 在内，而闭区间一边的边界值包括在内。
[a,b）、（a,b]

集合与集合的关系：

子集
文字语言
对于集合A和B，如果集合A
的任意元素都属于集合B，那
么集合A叫做集合B的子集
若A?B，且存在x∈B，x?A，
则A是B的真子集。
相等 如果两个集合的元素相同，那
么这两个集合相等。
A?B且B?A，则A=B
符号语言
A?B 读作：A包含于B。
真子集
A?B，读作A真包含于B。
空集：不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集。空集
不是无；它是内部没有元素的集合。用符号?表示。


集合元素个数
n


集合的运算：
由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A和B的交集。
A∩B={xx∈A,且x∈B}
由所有属于集合A或者集合B的元素组成的集合叫做A和B的并集。
A∪B={xx∈A,或x∈B}
设U为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素 构成的集合叫做A在全集
U中的补集。
子集个数
2
n

非空子集个数
2
n
-1
真子集个数
2
n
-1
非空真子集个数
2
n
-2（n≥1）

C
u
A={xx∈U,且x?A}


运算：把一个或多个对象按规则生成一个新对象。