高一数学笔记

荿
第一章集合

1一般地，研究对象统称为元 素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称
集。

肆
2元素与集合的关系；

薁
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A

蝿
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作a?
A（或aA）（举
例）

羅
3常用数集及其记法

袄
非负整数集（或自然数集），记作N

*
蚁
正整数集，记作N或N
+
；

膀
整数集，记作Z

蚇
有理数集，记作Q

蚃
4任何一个集合是它本身的子集

蒇
螁
5真子集的概念 ：若集合
A?B
，存在元素
x?B且x?A
，则称集合A是集合B的真子集< br>（propersubset）。记作：AB（或BA）

薁
6空集的概念

肅
不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：
?


蚆
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

螀
7集合基本运算的一些结论：

螈
A∩B
?
A ，A∩B
?
B，A∩A=A，A∩
?
=
?
,A∩B=B∩A

袇
A
?
A∪B，B
?
A∪B，A∪A=A，A∪
?
=A,A∪B=B∪A

蒅
（CU
A）∪A=U，（C
U
A）∩A=
?

若A∩B=A，则A
?
B，反之也成立

袀

腿
若A∪B=B，则A
?
B，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

蕿

膄

羀
：
A?A

A?B
，且
B?C
，则
A?C

薀

第二章函数

羇
§1.2.2函数的表示法

1．函数的概念：

肀
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数
（function）．

羁
记作： y=f(x)，x∈A．

蝿
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义 域（domain）；与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数 的值域（range）．

羆
2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

膀
3一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于 集合A中的任意
一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B为从集合A到集
合B的一个映射（mapping）．

肈
记 作“f：A
?
B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截不同的 ．其
中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述

膆
补充：复合函数

螅
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)] =F(x)(x∈A)称为f、g
的复合函数。
羃

芀
1.3.1函数的单调性

蒈
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

袈

如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，
那么就说f (x)在区间D上是增函数（increasingfunction）．

薄
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

衿
注意：

莆
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

薆
必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
)．

蚄
2．函数的单调性定义

芀
如果函数y=f(x)在 某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具
有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：

肈
3．判断函数单调性的方法步骤

莅
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

螄
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；

蚁
作差f(x
1
)－f(x
2
)；

蒆
变形（通常是因式分解和配方）；

肄
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；

袃
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
薃

袈
§1.3.2函数的奇偶性

芈
1．偶函数（evenfunction）（偶函数的图象关于y轴对称）；
< br>一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶 函
数．
袃

羃
仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

艿
2．奇函数（oddfunction）（奇函数的图象关于原点对称）

蚆
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x) 就叫做奇
函数．

袆
注意：作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f( －x)－f(x)=0，则f(x)是
偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0 ，f(x)是奇函数．

肃
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要 条件．首先看
函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对
称，(1 )再根据定义判定;(2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判
定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

蚀
§1.3.1函数的最大（小）值

（一）函数最大（小）值定义

蚅
1．最大值

肃
一般地，设函数y=f(x)的定义域为
I
，如果存在实数M满足：

肁
（1）对于任意的x∈
I
，都有f(x)≤M；

袅
（2）存在x
0
∈
I
，使得f(x
0
)=M

蒄
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）．
< br>膃
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue） 的定义．（学生活
动）

膇
注意：

薇
函数最 大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x
0
∈
I
，使得f(x
0
)=M；

节
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任 意的x∈
I
，都有f(x)≤M（f(x)
≥M）．

芃
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

薈
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

肅
利用图象求函数的最大（小）值
莈

芅
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单 调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处
有最大值f(b)；

薄
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y =f(x)在x=b处
有最小值f(b)；
莃

莁
§2.1.1指数

蕿
（一）指数与指数幂的运算

肇
1．根式的概念
一般地，如果
x
n
?a
， 那么
x
叫做
a
的
n
次方根（nthroot），其中
n
>1，且
n
∈
N
*
．

羄

蝿
当
n
是奇数时，正数的
n
次方根是一个正数，负数的< br>n
次方根是一个负数．此时，
a
的
n
次方根
用符号< br>n
a
表示．

莇
式子
n
a
叫做 根式（radical），这里
n
叫做根指数（radicalexponent），
a
叫做被开方数
（radicand）．

膇
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数
a
的 正的
n
次方根
用符号
n
a
表示，负的
n
次 方根用符号－
n
a
表示．正的
n
次方根与负的
n
次 方根可以合并成±
n
a
（
a
>0）．

莅
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
．

蒁
思考：（课本P
58
探究问题）
n
a
n
=
a
一定成立吗？．（学生活动）

蒀
结论：当
n
是奇数时，
n
a
n
?a


膇
?
a(a?0)
当
n
是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?

?a(a?0)
?

蒂
．分数指数幂

芃
正数的分数指数幂的意义
规定：

芇
．有理指数幂的运算性质

袃


腿
（1）
a
r
·
a
r
?a
r?s

(a?0,r,s?Q)
；
蚁
（2）
(a
r
)
s
?a
rs

(a?0,r,s?Q)
；

羈
（3）
(ab)
r
?a
r
a
s

(a?0,b?0,r?Q)
．

莆
§2.1.2指数函数及其性质

莄
（一）指数函数的概念
一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数（ex ponentialfunction），其中x是自变量，

莃
函数的定义域为R．

螇
2．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

蒆
图象特征
螅
函数性质


袁
向x、y轴正负方向无限延伸
螀
函数的定义域为R

薆
图象关于原点和y轴不对称
袂
非奇非偶函数

+
薃
函数图象都在x轴上方
蕿
函数的值域为R


蚆
函数图象都过定点（0，1）

芃
自左向右看，
芈
自左向右看，

蚃
增函数
螂
减函数
肀
图象逐渐上升
螆
图象逐渐下降

莀
在第一象限内
螆
在第一象限内

的图象纵坐标都的图象纵坐标都
大于1 小于1

在第二象限内
膀
在第二象限内
的图象纵坐标都的图象纵坐标都
小于1 大于1
肄


蒅

函数值开始增
袂
函 数值开始减
聿
图象上升趋势
袆
图象上升趋势长较慢，到了某小极快，到了某< br>是越来越陡 是越来越缓 一值后增长速度一值后减小速度
极快； 较慢；

袈
课题：§2.2.1对数

羅
1．对数的概念

肄
一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
， 那么数
x
叫做以，记作：
．
a
为底
．．
N
的对数（Logarithm）

袂

a
—底数，
N
—真数，
log
aN
—对数式
说明：注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；

薇
对数的性质

蒅


聿
（1）负数和 零没有对数；（2）1的对数是零：
log
a
1?0
；
薄
（3）底数的对数是1：
log
a
a?1
；（4）对数恒等式：
a< br>log
a
N
?N
；

膂
（5）
log
a
a
n
?n
．

蚇
：§
（一）对数函数的概念
1．定义：函数
y?loga
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数（logarithmicfu nction）
其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意 ：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
x
5
都不是对数函数，而只能称其为对数型 函数．
对数指数对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且< br>a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：

log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
；
M
log
a
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R )
．
注意：换底公式
log
c
b
log
a
b?
（
a?0，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0）．
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论
1
n
（1）
log
a
b
n
?log
a
b
；（2）
log
a
b?
．
log
b
a
m
m
函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表
图象特征 函数性质

函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看， 自左向右看，
增函数 减函数
图象逐渐上升 图象逐渐下降
第一象限的图第一象限的图
象纵坐标都大象纵坐标都大
于0 于0
第二象限的图第二象限的图
象纵坐标都小象纵坐标都小
于0 于0