高一数学备课笔记

2020年9月21日发(作者：胡秉方)

【课题】4．3 对数
【教学目标】
知识目标：
⑴ 理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；
⑵ 掌握利用计算器求对数值的方法；
⑶ 了解积、商、幂的对数．
能力目标：
⑴ 会进行指数式与对数式之间的互化；
⑵ 会运用函数型计算器计算对数值；
⑶ 培养计算工具的使用技能．
【教学重点】
指数式与对数式的关系．

【教学难点】
对数的概念．

【教学设计】
⑴ 实例引入，引起学生的兴趣；
⑵ 理解定义，研究指数式与对数式的字母对应关系；
⑶ 利用计算器进行对数的计算；
⑷ 利用定义介绍对数的定义，导出积、商、幂的对数；
⑸ 通过思考、讨论、学习与运用知识，培养计算工具的使用技能和计算能力．
【课时安排】
2课时．(90分钟)










- 1 -

【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
4.3对数．
*创设情景 兴趣导入
问题
2的多少次幂等于8？
2的多少次幂等于9？
推广
已知底和幂，如何求出指数，如何用底和幂表示出指数的
问题．
解决
为了解决这类问题，引进一个新数——对数．
*动脑思考 探索新知
概念
如果
a
b
?N(a?0,a?1)
，那么 b叫做以a为底N的对
数，记作
b?log
a
N
，其中a叫做对数的底，N叫做真数．


说明




思考


理解



记忆



领会



明确


对数
定义
写法
与指
数式
的转
换都
比较
抽象
需要
仔细
分析
讲解
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍



质疑
提问


说明

了解



思考



了解


利用
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲











5


















15
例如，
2
3
?8
写 作
log
3
8?2
，3叫做以2为底8的对数；
举例
1
9
2
1
1
?3
写作
log
9
3?
，叫做以9为底3的对数；
10
?3
?0.001
2
2

仔细
分析
讲解
关键
点


引导


写作
log
10
0.001 ??3
，?3叫做以10为底0.001的对数．
形如
a?N
的式子叫做指 数式，形如
log
a
N?b
的式子
叫做对数式．
当
a?0,a?1,N?0
时


b
a
b
?N?
log
a
N?b


对数的性质：
（1）
log
a
1?0
；
（2）
log
a
a?1
；
（3）N >0，即零和负数没有对数．
- 2 -

教 学
过 程
*巩固知识 典型例题
例1 将下列指数式写成对数式：
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间


1



观察


思考

主动
求解



思考



理解



讨论



求解



思考



动手


安排
与知
识点
对应
的例
题巩
固新
知

分析
转化
式子
各量
的位
置关
系


利用
性质
应用
加强
记忆


及时
了解
学生
知识
掌握


























30








11
（1）
()
4
?
； （2）
27
3
?3
；
216
1
（3）
4
?3
?
； （4）
10
x
?y
．
64
分析 依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系．
解 （1）
lg
1
1
1
?4
； （2）
log
27
3?
；
16
3
2

质疑


说明

讲解




说明
提问


引领


介绍

分析
（3）
log
4
1
??3
； （4）
log
10
y?x
．
64
例2 将下列对数式写成指数式：
1
（1）
log
2
32?5
； （2）
log
3
??4
；
81
（3）
log
10
1000?3
； （4）
log
2
1
??3
．
8
分析 依照上述公式，由右至左对应好各字母的位置关系．
解 （1）
2
5
?32
； （2）
3
?4
?
（3）
10
3
?1000
； （4）
2
?3
?
例3 求下列对数的值．
(1)
log
3
3
； (2)
log
7
1
．
1
；
81
1
．
8
分析 （1）题可以利用性质（2）；（2）题可以利用性质（1）．

解 （1）由于底与真数相同，由对数的性质（2）知
log
3
3
=1．

（2）由于真数为1，由对数的性质（1）知
log
7
1
=0．
*运用知识 强化练习
教材练习4.3.1
1． 将下列各指数式写成对数式：
(1)
5?125
； (2)
0.9?0.81
；
(3)
0.2
x
?0.008
； (4)
343
?
1
3
3
2
明确



提问



巡视
?
1
．
7
2．把下列对数式写成指数式：
- 3 -

教 学
过 程
(1)
log
1
4??2
； (2)
log
3
27?3
；
2
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间





指导



介绍

说明



了解

记忆
求解




交流
情况




纠错
答疑


强调
对数
的写
法

动手
操作


交流
讨论



锻炼
学生
动手
探究
能力

提高
计算
工具
使用
技能


质疑


思考


动手
操作

通过
计算
器的
验证
明确
对数







45






50











60







1
(3)
log
5
625?4
； (4)
log
0.01
10??
．
2
3．求下列对数的值：
(1)
log
7
7
； (2)
log
0.5
0.5
；
(3)
log
1
1
； (4)
log
2
1
．
3
*动脑思考 形成新知
以10为底的对数叫做常用对数，
log
10
N
简记为
lgN
．如
log
10
2
记为
lg2
．
以无理数e （e=2．71828?，在科学研究和工程计算中被
经常使用）为底的对数叫做自然对数，
l og
e
N
简记为
lnN
．如
log
e
5< br>记为
ln5
．
*自我探索 使用工具
准备计算器，观察计算 器上的按键并阅读相关的使用说明
书，小组完成利用计算器计算对数的方法．
计算下列各式的值（精确到0．0001）：
（1）
lg2
； （2）
lg3
； （3）
ln10
；
（4）
ln1.2
； （5）
log
3
4
； （6）
log
0.2
0.36
．
教材练习4.3.2
1．用计算器计算下列各式的值（精确到0.0001）：
（1）
lg38
； （2）
lg5.6
； （3）
ln2.84
；
（4）
ln1.96
； （5）
log
2
0.37
； （6）
log
0.2
85
．
*创设问题 自我探究
问题
等式
lg2?lg5
=
lg7
、
lg2?lg5
=
lg10
是否成立？
等式
log
2
12?log
2
4?log
2
8
、
log
2
12?log
2
4?log
2
3
是否
成立？

质疑

巡视

指导

提问

明确



引导
- 4 -

教 学
过 程
等式
3log
3
2?log
36
、
3log
3
2?log
3
8
是否成立？
解决
请利用计算器验证．
结论
lg2?lg5
=
lg10

log
2
12?log
2
4?log
2
3

教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间



说明

讨论
结果
运算
的特
点不
同于
实数
运算







65


总结
归纳


理解

领会

记忆



观察


思考




领会
动手

求解

交流


通过
例题
进一
步理
解掌
握对
数的
运算
法则
了解
学生
知识
掌握
情况
培养

特别
强调
法则
中的
关键
要点







70










75




80

3log
3
2?log
3
8

*动脑思考 探索新知
概念
对数的运算法则
法则1：
lgMN?lgM?lgN
（M>0，N>0）；
法则2：
lg

M
；
强调
?lgM?lgN
（M>0，N>0）
N
关键
法则3：
lgM
n
= n
lgM
（n为整数，M>0）．

*巩固知识 典型例题
例5 用
lgx
，
lgy
，
lgz
表示下列各式：
xy
x
（1）
lgxyz
； （2）
lg
； （3）
lg
3
．
yz
z
2


说明

强调


引领

讲解

提问

巡视

指导

分析 要正确使用对数的运算法则．
解 （1）
lgxyz
=
lgx
+
lgy
+
lgz
；
（2）
lg
（3）
lg
x
（lgy?lgz）
=< br>lgx?lgyz?lgx?
=
lgx?lgy?lgz
；
yzx
2
y
z
3
=
lgx
2
+
l gy
?lgz
3
=2
lgx
+
1
lgy
? 3lgz
．
2
*运用知识 强化练习
教材练习4.3.3
用
lgx
，
lgy
，
lgz
表示下列各式：
（1）
lgx
； （2）
lg
*归纳小结 强化思想
xy
y
； （3）
lg()
2
．
z
x
- 5 -

教 学
过 程
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.3；
(2)书面作业： 练习册习题4.3；
(3)实践调查： 探究计算器的其他计算功能方法．

教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
引导


提问

回忆


反思
交流
学生
总结
反思
学习
过程
能力


说明


记录







85



90
【教学反思】


















- 6 -

【课题】4．4 对数函数
【教学目标】
知识目标：
⑴ 了解对数函数的图像及性质特征；
⑵ 了解对数函数的实际应用.
能力目标：
⑴ 观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养观察能力；
⑵ 通过应用实例的介绍，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力.
【教学重点】
对数函数的图像及性质.

【教学难点】
对数函数的应用中实际问题的题意分析．

【教学设计】
⑴ 实例引入知识，提升学生的求知欲；
⑵ “描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质；
⑶ 知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；
⑷ 实际问题的解决，培养学生分析与解决问题能力；
⑸ 小组的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神.
【课时安排】
2课时．(90分钟)










- 7 -

【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
4.4 对数函数.
*创设情景 兴趣导入
问题
某种物质的细胞 分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4
个，??，那么，知道分裂得到的细胞个数如何求得分裂次数< br>呢？
解决
设1个细胞经过y次分裂后得到x个细胞，则x与y的函数
关 系是
x?2
，写成对数式为
y?log
2
x
，此时自变量x 位于真
数位置．
*动脑思考 探索新知
概念
一般地，形如
y? log
a
x
的函数叫以
a
为底的对数函数，其
中a>0且a ≠1．对数函数的定义域为
(0,??)
R
，值域为R．
例如
y? log
3
x
、
y?lgx
、
y?log
1
x
都是对数函数．
2
?
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍

播放
课件
质疑

引导

分析

了解

观看
课件


思考

领悟
导入
实例
易于
学生
想象
领会
函数
意义











5


明确

讲解
举例


理解

记忆
领会
指导
体会
指数
函数
的特
点
复习
描点
作函
数图
像的
方法

计算
部分
可以
由学
生完






10














y
*运用知识 强化练习
利用“描点法”作函数
y?log
2
x
和
y?log
1
x
的图像．
2


提问



引导




说明



思考



计算






函数的定义域为
(0,??)
，取x的一些值,列表如下：
x
?
?
?
1

4
1

2
1
0
0
2
1
-1
4
2
-2
?
?
?
y?log
2
x

y?log
1
x

2
-2
2
-1
1
以表中x的值与函数
y?log
2
x
对应的值y为坐标 ，描出点
(x,y)
，用光滑曲线依次联结各点，得到函数
y?log
2x
的图像；
- 8 -

教 学
过 程
以表4-6中x的值与函数
y?log
1
x
对应的值y为坐标，描出点
2
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间


2


观察






体会


成

引导
学生
细观
函数
象的
特点














30
(x,y)
，用光滑曲线依次联结各点，得到函数
y?lo g
1
x
的图像，

展示





分析

如下图所示：



观察函数图像发现：

1．函数
y?log
2
x
和
y?log
1
x
的图像都在x轴的右边；
2
2．图像都经过点
?
1,0
?
；
3．函数y?log
2
x
的图像自左至右呈上升趋势；函数
y?log
1
x
的图像自左至右呈下降趋势．
2
*动脑思考 探索新知
一般地，对数函数
y?log
a
x
( a>0且a≠1)具有下列性质：
（1）函数的定义域是
(0,??)
，值域为R；


引导
总结

强调


体会
理解

记忆


结合
图形
自我
归纳







35
（2）当
x?1
时，函数值
y?0
；
（3）当a>1时，函数在
(0,??)
内是增函数；当0函数在
(0,??)
内 是减函数．
*运用知识 强化练习
例1 求下列函数的定义域：
（1）
y?log
2
(x?4)
； （2）
y?lnx
．


说明



观察


通过
例题
进一





- 9 -

教 学
过 程
分析 要依据“对数的真数大于零”求函数的定义域．
解 （1）由x+4>0得
x??4
，
所以函数
y?log
2
(x?4)
的定义域为
(?4,??)
；
?
lnx
…0,
?
x
…
1,
（2）由
?
得
?，
x?0.
x?0.
?
?
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
强调

引领

讲解




提问

巡视


指导


动手
求解




交流
思考


主动
求解

领会
步理
解对
数函
数的
定义
域


及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况







40











55
所以
y?lnx
的定义域为
[1,??)
．
*运用知识 强化练习
教材练习4.4.1
1．选择题:
（1）若函数
y?log
a
x
的图像经过点
?
2,?1
?
，则底
a
=( )．

A． 2 B． ?2
C．
11
D．
?

22
（2） 下列对数函数在区间(0,+
?
)内为减函数的是( )．
A．
y?lgx
B．
y?log
1
x

2
C．
y?lnx
D．
y?log
2
x

2．作出下列函数的图像并判断它们在
(0,??)
内的单调性．
(1)
y?log
3
x
； (2)
y?log
1
x
．

3
*创设情景 兴趣导入 < br>考古学家如何使用“放射性碳年代鉴定法”来进行年代鉴定
呢？大气中的碳-14和其他碳原子一 样，能跟氧原子结合成二
氧化碳．植物在进行光合作用时，吸收水和二氧化碳，合成体
内的淀粉 、纤维素??碳-14也就进入了植物体内．当植物死
亡后，它就停止吸入大气中的碳-14．从这时起 ，植物体内的碳
-14得不到外界补充，而在自动发出放射线的过程中，数量不
断减少．
研究资料显示，经过5568年，碳-14含量减少一半．呈指


质疑



引领




引导


思考



小组
讨论



领会

以学
生的
小组
讨论
教师
归纳
的形
式解
决实
际问












数衰减的物质，减少到一半所经历的时间叫做该物质的半衰
期．碳-14的半衰期是 5568年．因此，检测出文物的碳-14含
- 10 -

教 学
过 程
量，再根据碳-14的半衰期，就能进行年代鉴定．
问题
现有一种放射性物质经过衰变，一年后残留量为原来的
84%，问该物质的半衰期是多少（结果 保留整数）？
解决
设该物质最初的质量为1，衰变x年后，该物质残留一半，
则
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
分析




强调



讲解





理解



认知
题



注意
步步
引导
得出
结论











65


介绍


了解
题意


思考


领会

求解

计算




分析
实际
问题
题意
数据
含义

引导
学生
求解
计算

提问
巡视
指导


动手
求解
交流


反馈
学习
状态
培养
















75



80

1

0.84
x
?
，
2
1
于是
x?log
0.84
≈4（年）．
2
即该物质的半衰期为4年．
*巩固知识 典型例题
碳-14的半衰期为 5730年，古董市场有一幅达·芬奇（1452-1519）
的绘画，测得其碳-14的含量为原来的 94.1％，根据这个信息，
请你从时间上判断这幅画是不是赝品.（使用计算器）
解 设这幅画的年龄为
x
，画中原来碳-14含量为
a
，根据题
x
1
意有
0.941a?a()
5730
，
2
1

说明


引导



分析


讲解
消去a后，两边取常用对数，得
x

lg0.941?lg0.5
，
5730
lg0.941
?503
． 解得
x?5730?
lg0.5
因为
2009?503?1452?54
，这幅画约在达·芬奇54岁时完
成，所以从时间上看不是赝品.
*运用知识 强化练习
教材练习4.4.2
某钢铁公司的年产量为a万吨，计划每年比上一年增产
10% ，问经过多少年产量翻一番（保留2位有效数字）．
*归纳小结 强化思想
- 11 -

教 学
过 程
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.4；
(2)书面作业： 学习与训练3.4；
(3)实践调查： 了解半衰期在生活中的应用.

教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
引导


提问

回忆


反思
交流
学生
总结
反思
学习
过程
能力


说明


记录







85



90
【教学反思】























- 12 -

【课题】5．1 角的概念推广
【教学目标】
知识目标：
⑴ 了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵ 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．
能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；
（3）培养观察能力和计算技能．
【教学重点】
终边相同角的概念．
【教学难点】
终边相同角的表示和确定．
【教学设计】




（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；
（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【课时安排】
2课时．(90分钟)









- 13 -

【教学过程】
教 学
过 程
揭示课题
5.1角的概念推广
*创设情景 兴趣导入
问题1
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上， 小明与小
华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，
小华继续乘坐一圈．那么 ，小华走下来时，旋臂转过的角度是
多少呢？
问题2
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到
OB位置时，就形成一个角 ；在扳手由OA逆时针旋转一
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍


质疑


提问




说明



总结

了解


思考



求解



讨论


交流


理解
利用
实际
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲

生活
实例
有助
于学
生理
解角
的推
广的
意义



说明






思考




理解



- 14 -
















10
周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，

就形成大于 的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按
顺时针方向旋转，形成与上述方向 的角．
归纳
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°
?
360°范围的
角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的
概念进行推广．
*动脑思考 探索新知
概念
一条射线由原来的位置
OA
，绕着它的端点
O，按逆时针
（或顺时针）方向旋转到另一位置
OB
就形成角
?
． 旋转开始
位置的射线
OA
叫角
?
的始边，终止位置的射线
O B
叫做角
?
的终边，端点
O
叫做角
?
的顶点．


结合
图形
讲解
角的
图形
可以
加入
学生
的举












规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），
仔细
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线
分析
没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．
讲解

关键

教 学
过 程

类型
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零
角．
表示
除了 使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”
或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母?
、
?
、
?
、
?
来
表示角．
概念
数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐
标原点重合，角的始边 在
x
轴的正半轴，此时，角的终边在第
几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说 这个角在第几
象限）．
如图所示，30°、390°、?330°都是第一象限的角，120 °是
第二象限的角，?120°是第三象限的角，?60°、300°都是第四象
限的角．
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
点


引导


强调




引导



展示










记忆


明确




领会



观察








理解

思考
动手
求解
交流

动手
操作
例


明确
角的
类型
完成
角的
推广

象限
角可
以引
导学
生一
步步
自然
得出


强调
特殊
情况

























30
反馈
学习
状态
巩固
知识








40




强调
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角．
*运用知识 强化练习
教材练习5.1.1
2．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象
限的角：
⑴ 60°； ⑵ ?210°； ⑶ 225°； ⑷ ?300°．

*动手操作 实验观察
用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，
演示
将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时
操作
- 15 -

提问
巡视

指导

教 学
过 程
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间


思考

求解


领会



理解





明确

由具
体的
问题
实际
操作
引导
学生
一步
步的
体会
终边
相同
角的
含义
自然
得出
结论





















50

说明


强调

理解


记忆

强调
概念
的关
键点



安排
与知
识点
对应





55








质疑

提问


引导



分析



讲解


总结
针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．

*问题引导 实践探究
问题
在直角坐标系中作出390°、?330°和30°角，这些角的终边
有何关系？
探究
390°=30°+1×360° ； ?330°=30°+（-1）×360°．
即390°、?330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，它们
是射线绕坐标原点旋 转到30°角的终边位置后，分别继续按逆
时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角．
推广
与30°角终边相同的角还有：
750°=30°+2×360°； -690°=30°+（-2）×360°；
1110°=30°+3×360°； -1050°=30°+（-3）×360°；
…… ……
所有与30°角终边相同的角的度数，与30°角的度数之差都
恰好为360°的 整数倍数．它们（包括30°角）都可以表示为
(k?Z)
的形式．因此，与30°30°+< br>k?
360°角终边相同的角的
集合为
S?
｛
?
︱< br>?
?30
?
?k?360
?
,k?Z
｝．
*动脑思考 探索新知
一般地，与角
?
终边相同的角（包括角
?< br>在内），都可以
表示为
?
?k?360(k?Z)
的形式．
与角
?
终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
．
S ?
｛
?
︱
?
?
?
?k?360
?
,k?Z
｝
*巩固知识 典型例题
例1 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在
?360°～720°内的角写出来：⑴ 60°； ⑵ ?114°26′．
?



质疑



观察


思考
分析 首先要写出与已知角终边相同的角的集合
S
，然后选取

整数
k
的值，使得
?
?k?360
在指定的范围内．
?

说明
- 16 -

教 学
过 程
解 ⑴ 与60°角终边相同的角的集合是
｛
?
︱
?
?60
?
?k?360
?
,k?Z
｝ ．
当
k??1
时，
60?(?1)?360??300
； 当< br>k?0
时，
60?0?360?60
；当
k?1
时，
60?1?360?420
．所以在
??????
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间



讲解






主动
求解



思考



理解






领会


求解



理解



明确
的例
题巩
固新
知




计算
部分
可以
教给
学生
完成




利用
观察
图像
加强
问题
的理
解



强调
规范
写法



































???
?360°～720°之间与60°角终边相同的角为
?300
?
、
60< br>?
和
420
?
．

⑵ 与?114°26′角终边相同的角的集合是
．
S?
｛
?
︱?
??114
?
26
?
?k?360
?
,k? Z
｝
当
k?0
时，
?11426
?
?0?360? ?11426
?
；
当
k?1
时，
?11426
?
?1?360?24534
?
；
当
k?2
时，
?11426
?
?2?360?60534
?
．
所以在?360° ～720°之间与
?114
?
26
?
角终边相同的角为
?1 1426
?
、
24534
?
和
60534
?
．
?
??
???
???
???
说明



引领






分析


例2 写出终边在
y
轴上的角的集合．
分析 在0°～360°范围内，终边在
y
轴正半轴上的角为90°，
终边 在
y
轴负半轴上的角为270°，因此，终边在
y
轴正半轴、
总结
负半轴上所有的角分别是
k?360??90??2k?180??90?
，



讲解



引领
k?360??270??(2k?1)?180??90?
，
其中
k? Z
．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°；(2)
式等号右边表示180°的奇数 倍再加上90°，可以将它们合并为
180°的整数倍再加上90°．
解 终边在
y
轴上的角的集合是
．
S?
｛
?
︱?
?n?180?90,n?Z
｝
当
n
取偶数时，角的终边在< br>y
轴正半轴上；当
n
取奇数时，
- 17 -
??

教 学
过 程
角的终边在
y
轴负半轴上．
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间


70


提问

巡视



指导


引导


提问


回忆


反思
交流


思考

动手
求解


交流


及时
了解
学生
知识
掌握
情况

培养
学生
总结
反思
学习
过程
能力


说明


记录










80







85



90
*运用知识 强化练习
教材练习5.1.2
1． 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指
出它们是哪个象限的角：
⑴ 405°； ⑵
?
165°； ⑶ 1563°； ⑷
?
5421°．
2． 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在
?360°～360°范围内的角写出来：
⑴ 45°； ⑵ ?55°； ⑶ ?220°45′； ⑷ 1330°．
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.1；
(2)书面作业： 学习与训练5.1；
(3)实践调查： 生活中角的概念的推广实例．

【教学反思】







- 18 -

【课题】5．2弧度制
【教学目标】
知识目标：
⑴ 理解弧度制的概念；
⑵ 理解角度制与弧度制的换算关系.
能力目标：
（1）会进行角度制与弧度制的换算；
（2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；
（3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
【教学重点】
弧度制的概念，弧度与角度的换算．
【教学难点】
弧度制的概念．
【教学设计】





（1）由问题引入弧度制的概念；
（2）通过观察——探究，明晰弧度制与角度制的换算关系；
（3）在练习——讨论中，深化、巩固知识，培养计算技能；
（4）在操作——实践中，培养计算工具使用技能；
（5）结合实例了解知识的应用．
【课时安排】
2课时．(90分钟)








【教学过程】
- 19 -

教 学
过 程
*揭示课题
5.2弧度制
*回顾知识 复习导入
问题
角是如何度量的？角的单位是什么？
解决
将圆周的
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍


质疑


了解


思考


明确



思考
了解



利用
复习
角度
制为
新知
识的
学习
做好
铺垫














5
1
圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°．
360

引领




讲解
说明
1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）．
以度为单位来度量角的单位制叫做角度制．
扩展
计算：23°35′26″+31°40′43″
角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来 单位
换算上的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运
算像10进位制数的加、减运 算那样简单呢？
*动脑思考 探索新知
概念
将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 做1弧度的角，记作
1弧度或1rad．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．




若圆的半径为
r
，圆心角
∠
AOB 所对的圆弧长为
2r
，那
么
∠
AOB的大小就是
2r
弧度?2弧度
．
r
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角
的弧度数为零．
分析
由定义知道，角
?
的弧度数的绝对值等于圆弧长
l
与半径
．
r
的比，即
?
?
（rad）
半径为
r
的圆的周长为
2πr
，故周角的弧度数为


说明






举例





仔细
分析
讲解
关键
- 20 -


理解



记忆








领会






弧度
概念
较为
抽象
讲解
时注
重分
析关
键点
弧长
与角
的对
应关
系




















l
r

教 学
过 程

2πr
(rad)?2π(rad)
．
r
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
点


归纳











明确







了解

强调
换算
的方
法引
领学
生加
强记
忆

简单
说明
对应
关系
















20


说明


思考


理解


求解



领会


计算



利用
例题
强化
换算
公式
方法


计算
方面
可由
学生
自我
主动


















由此得到两种单位制之间的换算关系：
360°=
2πrad
，即 180°=
πrad
．
换算公式
1°=
π
(rad)?0.01745rad

180

1rad?(
180
)??57.3??57?18
?
．
π
说明
1．用弧度制表示角的大小时，在不至于产生误解的情况
下，通常可 以省略单位“弧度”或“rad”的书写．例如，1 rad，2rad，
强调
ππ
rad，可以分别写作1，2，．
22
2．采用弧度制以后，每一个角 都对应唯一的一个实数；
反之，每一个实数都对应唯一的一个角．于是，在角的集合与
实数集之 间，建立起了一一对应的关系．
*巩固知识 典型例题
例1 把下列各角度换算为弧度(精确到0．001)：
⑴ 15°； ⑵ 8°30′； ⑶?100°．
说明


分析 角度制换算为弧度制利用公式1°=
π
(rad)?0.01745rad
．

180
解 ⑴
15??15?
π
?
π
?0.262
；
18012
强调


讲解



分析


引领
⑵
8?30
?
?8. 5??8.5?
π
?
17π
?0.148
；
180360
⑶
?100???100?
π
??
5π
??1.745
．
1809
例2 把下列各弧度换算为角度（精确到1′）：
3π
⑴ ； ⑵ 2.1； ⑶ ?3.5．
5
分析 弧度制换算角度制利用公式
1rad?(
180
)??57.3??57?18
?
．
π
解 ⑴
3π
?
3π
?
180?
?1 08
?
；

55π
- 21 -

教 学
过 程
⑵
2.1?2.1?
180 ?
?
378?
?120?19
?
；
ππ
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
求解 完成

30
⑶ ?3.5
??3.5?
180?630?
????200?32
?
．
ππ
*运用知识 强化练习
教材练习5.2.1
1． 把下列各角从角度化为弧度（口答）：
180°
?
； 90°
?
； 45°
?
； 15°
?
；
60°
?
； 30°
?
； 120°
?
； 270°
?
．
2． 把下列各角从弧度化为角度（口答）：



提问




巡视





指导


质疑

巡视
汇总



质疑


说明

讲解



思考




动手
求解




交流


及时
了解
学生
知识
掌握
情况



纠错
答疑
















40




50









π
?
；
πππ
?
；
?
；
?
；
248
2π
πππ
?
；
?
；
?
；
?
．
33612
3． 把下列各角从角度化为弧度：
⑴ 75°； ⑵?240°； ⑶ 105°； ⑷ 67°30′．
4． 把下列各角从弧度化为角度：
⑴
π
2π4π
； ⑵ ； ⑶
?
； ⑷
?6π
．
1553
*自我探索 使用工具
准备计算器．
观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成
计算器弧度与角度转换的方法．
利用计算器，验证计算例题1与例题2．
*巩固知识 典型例题
例3 某机械采用带传动，由发动机的主动轴带着工作机的从
动轮转动．设主动轮A的直径为100 mm，从动轮B的直径为
280 mm．问：主动轮A旋转360°，从动轮B旋转的角是多
少？（精确到1′）
解 主动轮A旋转360°就是一周，
所以，传动带转过的长度为π×100 = 100π（mm）．
再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B转过100π(mm)

小组
讨论
探究
培养
使用
计算
器能
力



观察


思考

主动


安排
实际
问题
使学
生了
解弧
度制
- 22 -

教 学
过 程
l
的长度，那么，应用公式
?
?
，从动轮B转过的角就等于
r
100?5
???128
?
34
'
．
1407
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间




说明
提问


引领


介绍

分析


求解



思考



理解



讨论



求解
应用


重点
分析
题目
中各
数据
的处
理

计算
部分
交给
学生
完成



















65


提问





思考



动手
求解

交流

回忆


培养
学生
总结


及时
了解
学生
知识
掌握
情况










80




5
答 从动轮旋转
π
，用角度表示约为128°34′．
7
例4 如下图，求公 路弯道部分
AB
的长
l
（精确到0．1m．图
中长度单位：m）．




分析 知道圆心角和半径，求弧长时，要首先将圆心角换算为
弧度制．
π
解 60°角换算为弧度， 因此
明确
3

l?
?
R?
π
?45
?3. 142?15?47.1
（m）．
3
答 弯道部分
AB
的长
l
约为47.1 m．
*运用知识 强化练习
教材练习5.2.2
1．填空：
⑴ 若扇形的半径为10cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长
l?
，扇形面积
S?
．
⑵ 已知1°的圆心角所对的弧长为1m，那么这个圆的半径是
巡视

m．
指导
2．自行车行进时，车轮在1min内转过了96圈．若车轮的半

径为0.33m，则自行车1小时前进了多少米（精确到1m）？
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？


引导


- 23 -

教 学
过 程
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.2；
(2)书面作业： 学习与训练5.2；
(3)实践调查：了解弧度制的实际应用．
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
提问

反思
交流
反思
学习
过程
能力


说明


记录




85



90
【教学反思】





















- 24 -

【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【教学目标】
知识目标：
⑴ 理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵ 理解三角函数在各象限的正负号；
⑶ 掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴ 会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵ 会判断任意角三角函数的正负号；
⑶ 培养学生的观察能力．
【教学重点】
⑴ 任意角的三角函数的概念；
⑵ 三角函数在各象限的符号；
⑶ 特殊角的三角函数值．

【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【课时安排】
2课时．(90分钟)


【教学过程】


- 25 -

教 学
过 程
*揭示课题
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
*构建问题 探寻解决
问题
在
Rt
?
ABC
中，
sin
?
?
、
cos
?
?
、
tan
?
?
．
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间


介绍



质疑

(B
P(x,y)
)
提问

r
y



x

x
M
(C

)



引导


了解



思考

回答






领会


利用
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲


变换
角度

















5





















c
B
a
C
y
?

A


拓展
b
?

O
(A

)

将
Rt
?
ABC
放在直角坐标系中，使得点A与坐标原 点重
合，AC边在
x
轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作
横坐标x
说明

?
sin
?
?
、
cos
?
?
、
tan
?
?
．
P到原点的距离r

*动脑思考 探索新知
概念
设
?
是任意大小的角，点
P (x,y)
为角
?
的终边上的任意一点（不与原
点重合），点P到原点的距离 为
那么角
?
的正弦、余弦、
r?x?y
，
正切分别定义为
22

y
P(x,y)
r
M
O

引导
分析


思考


理解


记忆



领会



强调
任意
角三
角函
数概
念与
锐角
三角
函数
的区
别与
相同
点


?

x


讲解




说明




yxy< br>sin
?
?
；
cos
?
?
；
tan
?
?
．
rrx
说明

在比值存在的情况 下，对角
?
的每一个确定的值，按照相
应的对应关系，角
?
的正弦、 余弦、正切、都分别有唯一的比
值与之对应，它们都是以角
?
为自变量的函数，分别叫 做正弦
函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
由定义可以看出：当角
?
的终边在
y
轴上时，
- 26 -

教 学
过 程
?
?
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
明确






理解

记忆



了解
简单
介绍
三角
函数
的定
义域
学生
了解
即可















20


质疑


思考

感知


领会


理解


利用
对应
例题
加深
对知
识点
的理
解记
忆



提问

巡视


思考
动手
求解
及时
了解
学生
知识












25





π
仔细
?k
π(
k?Z
)
，终边上任意一点的横坐标
x
的值都等于0，
2
分析
y
此时
tan
?
?
无意义．除此以外，对于每一个确定的角
?
，三
讲解
x
关键
个函数都有意义．
点
概念

正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：

三角函数 定义域
R
R
引导
分析




说明
sin
?

cos
?

π
｛
?
︱
?
?k
π
?
,
k?Z
｝
tan
?

2
当角
?
采用弧度制时，角
?
的取值集合与实数集R之间具
有一一对应的关系，所以三角函数是以实数
?
为 自变量的函
数．
*巩固知识 典型例题
例1 已知角
?
的终边经 过点
P(2,?3)
，求角
?
的正弦、余弦、
正切值．
分析 已知角
?
终边上一点P的坐标，求角
?
的某个三角函数
值时，首先要根据关系式
r?x
2
?y
2
，求出点P到坐标原点< br>的距离
r
，然后根据三角函数定义进行计算．
解 因为
x?2，
y??3
，所以
r?2?(?3)?13
，因此
22

分析


引领


讲解
sin
?
?
y?333x2213
????
，
cos
?
??
，
r13r13
1313

tan
?
?
y3
??
．
x2
*运用知识 强化练习
教材练习5.3.1
已知角
?
的终边上的点P的座标如下 ，分别求出角
?
的正弦、
余弦、正切值：
- 27 -

教 学
过 程
13
?
． ⑴
P
?
3,?4
?
； ⑵
P
?
?1,2
?
； ⑶
P
?
,?
??
?
22
?
??
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
指导 交流 掌握
情况




引导



思考




领悟





明确


记忆


分析
一种
情况
后由
学生
自我
探究
其余
形式

总结
规律
特点
帮助
学生
记忆



















50
45
*动脑思考 探索新知
由于
r?0
，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P的
坐标来确定限．
x?0,y?0
，当角
?
的终边在第一象限时，点P在第一象限，
所 以，
sin
?
?0,cos
?
?0,tan
?
?0
；

分析
x?0,y?0
，

当角
?
的终边在第二象限时，点P在第二象限，
所以，
sin
?
?0,c os
?
?0,tan
?
?0
；
x?0,y?0
，

当角
?
的终边在第三象限时，点P在第 三象限，
所以，
sin
?
?0,cos
?
?0,tan?
?0
；
x?0,y?0
，当角
?
的终边在第四象限时，点P在第四象限，





总结

x
所以，
s in
?
?0,cos
?
?0,tan
?
?0
．
归纳
任意角的三角函数值的正负号如下图所示．
y y y





?

?

?

?

x
?
?

?

?

x
?

?

?

?

tan
?

sin
?


cos
?

*巩固知识 典型例题
例2 判定下列角的各三角函数正负号：

质疑


引领
分析

观察


思考


主动
求解




安排
与知
识点
对应
的例
题巩
固新
知











27?
（1）4327? ； （2）．
5
分析 判断任意角三角函数值的正负号时，首先要判断出角所
在的象限．
解 （1） 因为
4327?12?360?7
，所以，4327?角为第一
象限角，故
sin4327
?
?0
，
cos4327
?
?0
，
tan 4327
?
?0
．
（2）因为
???


讲解
27?
27?7?
，所以，角为第三象限角，

?2?2?+
5
55

- 28 -

教 学
过 程
故
sin
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
明确

理解

思考

主动
求解


结合
图形
符号
的特
点

提问
巡视

指导

思考

动手
求解
交流


引领


讲解






思考


理解




求解

记忆


讲解
分析
一种
情况
其余
由学
生计
算填
写完
成


纠错
答疑







60





65














70
质疑

引领
分析

观察

思考

主动
可以
由学
生自
我完
成组




75 27?27?27?
?0
，
cos?0
，
tan?0
．
555
例3 根据条件
sin
?
?0
且
tan< br>?
?0
，确定
?
是第几象限的角．
引导
分析 < br>sin
?
?0
时，
?
是第三象限的角、第四象限的角或
?
的终
边在y轴的负半轴上的界限角)；
tan
?
?0
时 ，
?
是第二或第四


象限的角． 同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围．
讲解
解
?
取角的公共范围得
?
为第四象限的角．
*运用知识 强化练习
教材练习5.3.2
1．判断下列角的各三角函数值的正负号：
19?3?
（1）525?；（2）-235 ?；（3）；（4）
?
． < br>64
2．根据条件
sin
?
?0
且
tan
?
?0
，确定
?
是第几象限的角．
*动脑思考 探索新知
探究
由于零角的终边与
x
轴的正半轴重合，所以对于角终边上
的任 意点
P(x,y)
都有
x?r,y?0
．因此，利用三角函数的定义，
有
sin0?
0r0
?0
，
cos0??1
，
t an0??0
．
rrr
同样还可以求得0、
归纳

sin
?

?3?
、
?
、、
2?
等三角函数值．
22
0
0
1
0
?

2
1
0
不存在
?

0
?1
0
3?

2
?1
0
不存在
2?

0
1
0
总结
cos
?

tan
?

*巩固知识 典型例题
例4 求值：

5cos180
?
?3sin90
?
?2tan0
?
?6sin270
?
；
分析 这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再
进行代数运算．
- 29 -

教 学
过 程
解
5c os180
?
?3sin90
?
?2tan0
?
?6sin 270
?

=
5?(?1)?3?1?2?0?6?(?1)??2
．

*运用知识 强化练习
教材练习5.3.3
1．计算：
5sin90?2cos0?3tan180?cos180
．
????
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
讲解

明确

提问
巡视

指导

引导


提问

求解

理解

思考
动手
求解
交流

回忆


反思
交流
培养
学生
总结
反思
学习
过程
能力


说明


记录

织交
流核
对


纠错
答疑




80







85



90
?? 1?3?
2．计算：
cos?tan?tan
2
?sin?cos?
．
24332
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.3；
(2)书面作业： 学习与训练5.3；
(3)实践调查： 探究计算器的计算界限角的三角函数值的方
法．

【教学反思】









【课题】5．4 同角三角函数的基本关系
- 30 -

【教学目标】
知识目标：
理解同角的三角函数基本关系式．
能力目标：
⑴ 已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值；
⑵ 会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值．
【教学重点】
同角的三角函数基本关系式的应用．

【教学难点】
应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定.
【教学设计】





（1）由实际问题引入知识，认识学习的必要性；
（2）认识数形结合的工具——单位圆；
（3）借助于单位圆，探究同角三角函数基本关系式；
（4）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（5）拓展应用，提升计算技能．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
5.4同角三角函数的基本关系式
*构建问题 探寻解决
问题
通常用坡度来表示斜坡的斜度，其数值往往 是坡角（斜坡
与水平面所成的角）的正切值．设坡角为
?
， 如果
tan
?
?0.8
，
小明沿着斜坡走了10 m，想知道升高了 多少米，就需要求出坡
角
?
的正弦值．这就需要研究同角三角函数之间的关系．
解决
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍



展示





了解



思考






领会
- 31 -




结合
图形
引导
学生
自主
探究
同角
公式













设角
?
的终边与单位圆的交点为
P(x,y)
，如图（1）所示，
分析
yx
那么
sin
?
??y
,
cos
?
??x
．
11

教 学
过 程
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间







理解




感知




推导
过程
可以
由学
生自
我完
成















15


思考


理解


记忆




观察

思考


安排
与知
识点
对应
的例


有意
识的
给出
公式
应用
方向











20







即角
?
的正弦值等于它的终边与单位圆交点
P
的纵坐标；讲解 角
?
的余弦值等于它的终边与单位圆交点
P
的横坐标．因此，

角
?
的终边与单位圆的交点
P
的坐标为
(cos
?
,sin
?
)
，如图所
示．




引领



（1） （2） < br>观察单位圆（如图（2））：由于角
?
的终边与单位圆的交
点为
P(c os
?
,sin
?
)
，根据三角函数的定义和勾股定理，可以得到

tan
?
?



讲解


ysin
?
，
sin
2
?
?cos
2
?
?r
2
?1
．
?
xcos
?


说明


仔细
分析
公式
*动脑思考 探索新知
概念
同角三角函数的基本关系：
sin
?
sin
?
?cos< br>?
?1
，
tan
?
?
．
cos
?
22
说明
前面的公式显示了同角的正弦函数与余弦函数之 间的平
方关系，后面的公式显示了同角的三个函数之间的商数关系，
利用它们可以由一个已知的 三角函数值，求出其他各三角函数
值．
*巩固知识 典型例题
特点


4
例1 已知
sin
?
?
，且
?
是第二象限的角, 求
cos
?
和
tan
?
．
5
质疑
分析 知道正弦函数值，可以利用平方关系，求出余弦函数值；

然后利用商数关系，求出正切函数值．
解 由
sin
?
?cos
?
?1
，可得
cos
?
??1?sin
?
．
22
说明
2


- 32 -

教 学
过 程
又因为
?
是第二象限的角，故
cos
?
?0
．所以

43
cos
?
??1?sin
?
??1?()
2
??
；
55
2
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
讲解




引领


强调
主动
求解




理解


明确
题巩
固新
知加
强对
公式
记忆

突出
符号
问题










30
4
sin
?
4

tan
?
??
5
=
?
．
cos
?
?
3
3
5
注意：利用平方关系
sin
2
?
?cos
2
?
?1
求三角函数值时，需要
进行开方运算， 所以必须要明确
?
所在的象限．本例中给出了
?
为第二象限的角的条件，如果 没有这个条件，就需要对
?
进
行讨论．
*运用知识 强化练习
教材练习5.4.1

提问
思考

动手
求解

交流



观察


思考

主动
求解

理解

领会

及时
了解
学生
知识
掌握
情况

利用
同角
三角
函数
基本
关系
进行
三角
式的
求值
与化
简应
用来






50

















1
1．已知
cos
?
?
，且
?
是第四象限的角， 求
sin
?
和
tan
?
．
2
巡视
3

2．已知
sin
?
??
，且
?
是第三象限的角， 求
cos
?
和
tan
?
．
5
指导
*巩固知识 典型例题
3sin
?
?4cos
?
例2 已知
tan
?
?2
,求的值．
2sin
?
?cos
?



质疑


说明
sin
?
?2
，即
sin?
?2cos
?
，所以
cos
?
分析 利用已知条件 求三角式的值问题的基本方法有两种：一
种是将所求三角函数式用已知量
tan
?来表示；另一种是由
tan
?
?2
得到
sin
?
?2cos
?
，代入所求三角函数式进行化简求
值．
解1 由已知
tan
?
?2
得

讲解

引领

介绍

分析
3sin
?
?4cos
?
3(2cos
?
)?4cos
?
10cos
?
1 0
??
． =
2(2cos
?
)?cos
?
3co s
?
3
2sin
?
?cos
?
解2 由
tan
?
?2
知
cos
?
?0
，所以
3sin
?
?4cos
?
3tan
?
?46?41 0
???
．
2sin
?
?cos
?
2tan?
?14?13
例3已知
?
为第一象限角，化简
1
?1
．
cos
2
?
- 33 -

教 学
过 程
分析 化简三角式一般是利用三角公式或化简代数式的方法
进行．
解
?
为第一象限角，故
tan
?
>0
，所以
原式=
1?cos
?
sin
?
??tan
2
??tan
?
．
22
cos
?
cos
?
22
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间


讲解


强调

求解


明确
巩固
公式


强调
符号
问题






75





80
培养
学生
总结
反思
学习
过程
能力


说明


记录








85


90
*运用知识 强化练习
教材练习5.4.2

提问
巡视
指导


思考
动手
求解
交流

回忆


反思
交流


纠错
答疑
sin
?
?4cos
?
已知
tan
?
?5
，求的值．
2sin
?
?3cos
?
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.4；
(2)书面作业： 学习与训练5.4．


引导


提问

【教学反思】







【课题】5．5 诱导公式
- 34 -

【教学目标】
知识目标：
了解 “
?
?k?360
?
”、“
?
?
”、“180°
?
?
”的诱导公式．
能力目标：
（1）会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数；
（2）会利用计算器求任意角的三角函数值；
（3）培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．
【教学重点】
三个诱导公式．

【教学难点】
诱导公式的应用．
【教学设计】
（1）利用单位圆数形结合的探究诱导公式；



（2）通过应用与师生互动，巩固知识；
（3）通过计算器的使用，体会数字时代科技的进步；
（4）提升思维能力，以诱导公式为载体，渗透化同的数学思想.
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
5.5诱导公式
*构建问题 探寻解决
问题
30?角与390?角是终边相同的角，
sin30
与
sin390
之间具< br>有什么关系？
解决
由于30?角与390?角的终边相同，根据任意角三角函数的
定义可以得到
sin30
?
=
sin390
?
．
推广
??
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍



质疑

提问




了解




思考






利用
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲












- 35 -

教 学
过 程
在单位圆 中，由于角
?
的终边与单位圆的交点为
P(cos
?
,sin
?
)
，当终边旋转
k?360
?
(k?Z)
时，点
P(cos
?
,sin
?
)
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
引领
分析
认知
领会


5


仔细
分析


思考

理解

记忆
领会

明确

自然
得出
公式
后分
析其
特点
说明
应用
方向
将解
决问
题的
主动
权交
给学
生调
动其
积极
性










10











15

提问
巡视
指导



- 36 -
又回到原来的位置，所以其各三角函数值并不发生变化．
*动脑思考 探索新知
概念
终边相同角的同名三角函数值相同．
即当
k?Z
时，有
sin(2kπ?
?
)?sin
?
tan(2kπ?
?
)?tan
?
说明
sin(k? 360??
?
)?sin
?
tan(k?360??
?
)? tan
?
讲解
关键


引导

cos(2kπ?
?
)?cos
?

cos(k?360??
?
)?cos
?

利用公式，可以把任意角的三角函数转化为0°~360°范围
内的角的三角函数．
*巩固知识 典型例题
例1 求下列各三角函数值：


质疑

引导

讲解


明确


观察

思考

领会


求解
9?
11?
(1)
cos
； (2)
sin780
?
； (3)
tan(?)
．
4
6
分析 将任意角的三角函数转化为
[0,2?]
内的角的三角函数．
解 (1)
cos
9???2
?cos(2??)?cos?
；
4442
3
(2)
sin780
?
?sin(2?360
?
?60
?
)?sin60
?
?
；
2
(3)
tan(?

11??
?
?3
?
)?tan
?
(?1)?2??
?
?tan?
．
66
?
63
?
*运用知识 强化练习
教材练习5.5.1
求下列各三角函数值：

动手
求解
交流





纠错
答疑




20
7?
(1)
cos
； (2)
sin750
?
．
3
*构建问题 探寻解决
问题

教 学
过 程
sin30
?
与
sin(?30
?
)
之30?角与?30?角的终边关于
x
轴对称，
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
介绍


了解




思考




认知
领会

通过
具体
问题
结合
图形
研究
总结
一般
规律

回顾
同角
公式















25
间具有什么关系？
解决

点P与点
P
?
的横坐标相同，纵坐标互为相反数．由此得到
质疑
sin30
?
=
?sin(?30
?
)
．

提问



引领
分析
设单位圆与 任意角
?
,
?
?
的终边分别相交于点
P
和点
P
?
，
推广
则点
P
与点
P
?
关于
x
轴对称．如果点
P
的坐标是
(cos
?
,s in
?
)
，那么点
P
?
的坐标是
(cos
?
,?sin
?
)
．由于点
P
?
作
为角< br>?
?
的终边与单位圆的交点，其坐标应该是
(cos(?
?
) ,sin(?
?
))
．于是得到
cos(?
?
)?cos
?
,
sin(?
?
)??sin
?
．
由同角三角函数的关系式知
sin(?
?
)?sin
?
t an(?
?
)????tan
?
．
cos(?
?
)cos
?
*动脑思考 探索新知
概念


归纳
总结

说明

理解
记忆
领会

明确
分析
公式
特点
说明
应用
方向
安排
与知
识点
对应
的例
题巩
固新
知






30








35
sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?

tan(?
?
)?? tan
?
利用这组公式，可以把负角的三角函数转化为正角的三角
函数．
*巩固知识 典型例题
例2 求下列三角函数值：


质疑

说明


讲解


观察


思考

主动
求解

19?
(1)
sin(?60)
； (2)
cos(?)
； (3)
tan(?30
?
)
．
3
?
3
解 (1)
sin(?60)??sin60??
；
2
??
19?19???1
(2)
cos(?)?cos?cos(?6?)?cos?
；
33332
3
(3)
tan(?30)??tan30??
．
3
??
- 37 -

教 学
过 程
*运用知识 强化练习
教材练习5.5.2
求下列各三角函数值：
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

提问
巡视
指导




质疑


提问




引领

?
?

动手
求解
交流

纠错
答疑




40
?8?
（1）tan(?)
；（2）
sin(?390
?
)
；（3）
cos(?)
．
63
*构建问题 探寻解决
问题
30?角与2 10?角的终边关于坐标原点对称，
sin30
?
与
sin210
之 间具有什么关系？
?



了解


思考




认知
领会




理解

认知
领会




理解


利用
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲

结合
图形
分析
更易
于理
解


此种
情况
可以
教给
学生
推导



























50

解决
观察图形，点
P< br>与点
P
?
关于坐标原点中心对称，它们的横
坐标与纵坐标都互为相反数 ．由此得到
sin30
=
?sin210
．
推广
设单位 圆与任意角
?
、
π+
?
的终边分别相交于点
P
和点
P
?
，则点
P
和
P
?
关于原点中心对称． 如果点
P
的坐标是
(cos
?
,sin
?
)
,那么点
P
?
的坐标应该是
(?cos
?
,?sin?
)
．又由于
点
P
?
作为角
?
??< br>的终边与单位圆的交点,其坐标应该是
分析
(cos(
?
??),sin(
?
??))
．由此得到

cos(??
?
)??cos
?
,
sin(??
?
)??sin
?
．

由同角三角函数的关系式知 tan(??
?
)?
sin(??
?
)?sin
???tan
?
．
cos(??
?
)?cos
?

总结


引领

分析



总结

设单位圆与角
?
,π+
?
,π?
?
的终边分别相交于
P,P
?
,P
??
三
点，点
P
?
与点< br>P
??
关于x轴对称．它们的横坐标相同，纵坐标
互为相反数．由此得到 cos(??
?
)?cos(??
?
)??cos
?
,
sin(??
?
)??sin(??
?
)?sin
?
．
由同角三角函数的关系式知
tan(??
?
)?
sin(? ?
?
)sin
?
???tan
?
．
cos(??
?
)?cos
?
*动脑思考 探索新知

- 38 -

教 学
过 程
概念
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

理解
记忆


领会

明确

分析
公式
特点
说明
应用
方向









55





观察



思考


领会



主动
求解


提问

巡视
指导


动手
求解

交流
关注
学生
对知
识的
掌握
情况

通过
应用
诱导
公式
计算
三角
函数
值加
深知
识的
理解



















65





75

归纳


讲解
sin(π+
?
)??sin
?
sin（ π?
?
）?sin
?
cos(π+
?
)??cos
?

cos（π?
?
）??cos
?

ta n(π+
?
)?tan
?
tan（π?
?
）??tan?
说明
以上公式统称为诱导公式（或简化公式）．这些公式的正
负号可以用口诀 ：“
2kπ
加全为正，负角余弦正，
π
减正弦正，

利用它们可以把任意角的三角函数转化
说明
π
加正切弦正”来记忆．
为锐角的三角函数．
*巩固知识 典型例题
例3 求下列各三角函数值：

9?8?
??
(1)
cos
； (2)
tan
； (3)
cos870
； (4)
sin690
．
质疑
43
分析 求任意角三角函数值的一般步骤是，首先将其转化为绝
对值小于
2 π
的角的三角函数，然后将其转化为锐角三角函数
值，最后求出这个锐角三角函数值．
解 (1)
cos
(2)
9???2
?cos(2??)?cos?
；
4442


说明


分析
tan
8????????tan(2??)?tan()?tan(??)??tan??3
；
33333
???


引导

讲解

(3)
cos930?cos(2?360?210)?cos210?

3
?cos(180
?
?30
?
)??cos(?30
?< br>)??cos30
?
??
；
2
1
(4)
sin690?sin(2?360??30?)?sin(?30)??sin30??
．
2
???
*运用知识 强化练习
教材练习5.5.3
1． 求下列各三角函数值：
（1）
tan225?
；（2）
sin660?；（3）
cos495?
；
11π17π
7π
（4）
tan
；（5）
sin
；（6）
cos(?)
．
33
6
- 39 -

教 学
过 程
*自我探索 使用工具
准备计算器，观察计算器上的按键并 阅读相关的使用说明
书，小组完成计算器计算三角函数值的方法．
利用计算器，求下列三角函数值(精确到0.0001)：
（1）
sin(?
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间


质疑


巡视
指导


提问
汇总


小组
讨论

交流
探究


汇报


计算
器的
使用
方法
教给
学生
自我
研究












80

引导


提问


回忆


反思
交流
培养
学生
总结
反思
学习
过程
能力



说明



记录








85



90
3?
5?
（2）
tan227.6
?
； （3）
cos
；
)
；
5
7
?
（4）
tan4.5
； （5 ）
cos2722
?
11
??
；（6）
sin(?2008 )
．
教材练习5.5.4
2． 利用计算器，求下列三角函数值(精确到0.0001)：
（1）
sin
?
3?
3?
； （2）
tan432
?
26
??
； （3）
cos(?)
；
7
5
（4）
tan6.3
； （5）
cos527
?
； （6）
sin(?2009
?
)
．
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.5；
(2)书面作业： 学习与训练5.5；
(3)实践调查： 探究其他诱导公式.
【教学反思】






【课题】
5.6
三角函数的图像和性质

【教学目标】
- 40 -

知识目标：
(1) 理解正弦函数的图像和性质；
(2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；
(3) 了解余弦函数的图像和性质．
能力目标：
(1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；
(2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；
(3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．
【教学重点】
（1）正弦函数的图像及性质；
（2）用“五点法”作出函数y=sinx在
?0,2π
?
上的简图．
【教学难点】
周期性的理解．
【教学设计】
（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；
（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期；
（3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；
（4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；
（5）观察类比得到余弦函数的性质．

【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
5.6三角函数的图像和性质
*创设情景 兴趣导入
问题
观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个
小时后 ，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的
时间是多少呢？
??
．
解决
每间隔12小时，当前时间2点重复出现．
推广
类似这样的周期现象还有哪些？
- 41 -
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍

介绍



质疑

提问


了解





思考



领会
利用
问题
引起
学生
的好
奇心


引导
学生
思考

教 学
过 程
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

引导
5
*动脑思考 探索新知
概念
对于函数
y ?f(x)
，如果存在一个不为零的常数
T
，当
x
取



讲解


引导
分析


思考


理解


领会



记忆


周期
性比
较抽
象注
重引
导学
生不
断用
实例
理解
领悟














10
定义域
D
内的每一个值时 ,都有
x?T?D
,并且等式
f(x?T)?f(x)
成立，那么，函数y?f(x)
叫做周期函数，常
数
T
叫做这个函数的一个周期．
由于正弦函数的定义域是实数集
R
，对
?
?R
，恒有
?< br>?2kπ?R(k?Z)
，并且
sin(
?
?2kπ)=sin
?
(k?Z)
，因此正弦

函数是周期函数，并且
2π
，
4π
，
6π
，
?
及
?2 π
，
?4π
，
?
都是它的周期．
通常把周期中最小的正数 叫做最小正周期，简称周期，仍
用
T
表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正 周期．因
此，正弦函数的周期是
2?
．
*构建问题 探寻解决
说明
由周期性的定义可知,在长度为
2?
的区间（如
?
0 ,2?
?
，


介绍

强调



质疑

解决
把区间
?
0,2?< br>?
分成12等份，并且分别求得函数
y?sinx
在
各分点及区间端点 的函数值，列表如下：（见教材）
以表中的
x,y
值为坐标，描出点
(x, y)
，用光滑曲线依次联
结各点，得到
y?sinx在
?
0,2?< br>?
上
的图像．（见教材）
推广
将函数
y?sinx
在
?
0,2?
?
上的图像向左或向右平移
2?
，
- 42 -


说明
强调


了解

认知



思考


领会






渗透
化繁
为简
的思
想和
方法

建立
描点
作图
步骤



















?
?2?,0
?
,
?
2?,4?
?）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移
?
0,2?
?
上的图像得到． 因此，重点研究正弦函数在一个周期内，
即在
?
0,2?
?
上的图像 ．
问题
用“描点法”作函数
y?sinx
在
?
0,2?
?
上的图像．

分析
引导


演示

教 学
过 程
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
理解


20



思考



理解



领会




理解



记忆



充分
利用
图像
讲解
分析
函数
























30


质疑

引领



观察

思考


五点
可以
教给
学生






4?
，
?
，就得到
y?sinx在（-?,??）上
的图像，这个图
汇总
像叫做正弦曲线．（见教材）
*动脑思考 探索新知
概念
正弦曲线夹在 两条直线
y??1
和
y?1
之间，即对任意的角





讲解



说明



引导
x
，都有
sinx?1
成立，函数的这种性质叫做有界性．
一般 地，设函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上有定义，如果
存在一个 正数M，对任意的
x?(a,b)
都有
f(x)?M
，那么函
数y?f(x)
叫做区间
(a,b)
内的有界函数．如果这样的M不存
在， 函数
y?f(x)
叫做区间
(a,b)
上的无界函数．
显然，正弦函数是R内的有界函数．
归纳
性质





体会
数形
结合
数学
思想
的应
用
正弦函数
y?sinx
的定义域是实数集
R
．具有下面的性质：
分析
（1）是R内的有界函数，其值域为
?
?1,1
?
．当



归纳



??
x??2k?(k?Z)
时,
y
max
?1
；当
x???2k?(k?Z)
2?
时,
y
m in
??1
．
（2）是周期为
2π
的周期函数．
（3）是奇函数．
??
（4） 在每一个区间
(??2k?,?2k??
(
k?Z
)上都是增函
强调
22

数,其函数值由?1增大到1；在每一个区间

?3?
(?2k?,?2k??
(
k?Z
)上都是减函数，其函数值由1减小

22
到?1．
*动脑思考 探索新知
观察发现，正弦函数
y?s inx
在
?
0,2?
?
上的图像中有五个关
?
?< br>??
3?
?
键点：
(0,0)
,
?
,1
?
,
?
?,0
?
,
?
,?1
?
,
?
2?,0
?
． < br>?
2
??
2
?
描出这五个点后，正弦函数
y?sin x
,
在
?
0,2π
?
上
的图像的
- 43 -

教 学
过 程
形状就基本上确 定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先
描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来， 从
而得到正弦函数在
?
0,2π
?
上的简图．这种作图方法叫做“五 点
法”．
*巩固知识 典型例题
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
总结

体会

自我
发现
总结


35



观察



思考

主动
求解




理解



讨论

求解


思考


领会




安排
与知
识点
对应
例题
巩固
新知

注重
画图
时对
细节
的强
调和
引领

不等
式的
求解
过程
可以
教给
学生
独立
完成
































例1 利用“五点法”作函数
y?1?sinx
在
?
0,2π
?
上的图像．


?
分析
y?sinx
图像中的五个关键点的横坐标分别是0，，

2
说明
??
?
，，
??
，这里要求出
y?1?sinx
在 五个相应的函数值，

2
从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得
到图像．
解 列表

讲解

0
0
x

sinx

π

2
1
2
π

0
1
3π

2
?1
0

2π

0
1



引领



质疑

y?1?sinx

1

以表5-6中每组对应的x,y值为
坐标，描出点
(x,y)
，用光滑的曲
线顺次联结各点,得到函数
y?1?sinx
在
?
0,2π
?
上的图像．

例2 已知
sinx?a?4
, 求
a
的取值范围．
解 因为
sinx
≤
1
，所以
a?4
≤
1
，即
?1剟a?41
，
5
．

分析


归纳


强调

启发


解得
3剟a
故
a
的取值范围是
[3,5]
．
例3 求使函数
y?sin2x
取得最大值的
x
的集合，并指出最大
值是多 少．
分析 将
2x
看作正弦函数中的自变量，因此需要进行变量替
- 44 -

教 学
过 程
换．
解 设
u?2x
，则使函数
y?sinu
取得最大值1的集合是
?
π
?
?
uu??2kπ,k?Z
?
，
2
??
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
引导



讲解

明确



理解
引导
学生
体会
换元
数学
方法
思想






50
由
2x?u?
得
x?
π
?2kπ
,
2
π
?k
π
．
4
?
π
?
故所求集合为
?
xx??k
π ,
k?Z
?
，函数
y?sin2x
的最大
4
??< br>值是
1
．
*运用知识 强化练习
教材练习5.6.1 1．利用“五点法”作函数
y??sinx
在
?
0,2π
?上的图像．
2．利用“五点法”作函数
y?2sinx
在
?
0 ,2π
?
上的图像．
3．已知
sin
?
?3?a
， 求
a
的取值范围．
4．求 使函数
y?sin4x
取得最大值的
x
的集合，并指出最大值
是多少 ?
*构建问题 探寻解决
余弦函数的定义域是
R
．由于对
x? R
恒有
x?2kπ?R(k?Z)
并且
cos(x?2kπ)?
co sx
，可知余弦函数是


提问

巡视

指导


动手
求解

交流


关注
学生
知识
掌握
情况







55

















介绍

强调

质疑

分析


引导

演示


了解

认知

思考


领会


主动
求解
渗透
化繁
为简
的思
想和
方法


注意
图像
细节
处理
周期函数，其周期是
2π
．
问题
用“描点法”作出余弦函数
y?cosx
在
?
0,2π
?
上 的图像．
解决
把区间
?
0,2π
?
分成12等份，并且 分别求得函数
y?cosx
在各分点及区间端点的函数值，列表（见教材）．
以表中 的
x,y
值为坐标，描出点
(x,y)
，用光滑曲线顺次联
结各点， 得到函数
y?cosx在
?
0,2π
?
上
的图像（见教材） ．
推广
- 45 -

教 学
过 程
将函数
y?cosx在
?
0,2π
?上
的图像向左或向右平移
2π
，
,就得到余弦函数
y?cosx 在（-?,??）上
的图像（见
?
，
4π
，
教材）．这个图 像叫做余弦曲线．
*动脑思考 探索新知
归纳
余弦函数
y?cosx( x?R)
的定义域是实数集R，余弦函
数有如下性质：
⑴ 是有界函数，其值域为
?
?1,1
?
．当
x?2kπ(k?Z)
时,
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

总结

理解


65


讲解


引导
分析

归纳


强调





观察


思考




主动
求解


理解
领悟


强调
五点
的特
点


注意
作图
的步
骤和
方法





















思考


理解

领会



记忆
充分
利用
图像
讲解
分析
函数











70
y
max
?1
；当
x?(2k?1)π(k?Z)
时,
y
min
??1
．


⑵ 是周期为
2π
的函数．
⑶ 是偶函数．
⑷ 在区间
((2k?1 )π,2kπ)
(k?Z)
内是增函数，函数值从
?1
增加到
1；在区间
(2kπ,(2k?1)π)
(k?Z)
内是减函数，函数值从
性质


类比
正弦
函数
1
减少到
?1
．
*巩固知识 典型例题
例4 用“五 点法”作出函数
y??cosx
在
?
0,2π
?
上的图像．
质疑
?
分析
y?cosx
图像中的五个关键点的横坐标分别是0，，
?
，

2

??
，
??
，这里要求出
y??cosx在这五个关键点上的相应函
说明
2
数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个
点，得到图像．
解 列表




x

cosx

y??cosx


0

1
?1
π

2
0
0
π

?1
1
3π

2
0
0
2π

1
?1
引领
讲解


汇总
总结
以 表中的
x,y
值为坐标，描出点
(x,y)
，然后用光滑的曲线
顺次 联结各点，得到函数
y??cosx
在
?
0,2π
?
上的图像
- 46 -

教 学
过 程
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

75


*运用知识 强化练习
教材练习5.6.2

提问

动手
求解
交流

回忆


反思
交流
培养
学生
总结
反思
学习
过程
能力



说明



记录


纠错
答疑



80







85




90
用“五点作图法”作出函数
y?1?cosx
在
?
0,2π
?
上的图像．
巡视

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.6；
(2)书面作业： 学习与训练习题5.6；
(3)实践调查： 探究其他作图的方法．
指导

引导


提问

【教学反思】






【课题】5.7 已知三角函数值求角
【教学目标】
- 47 -

知识目标：
（1）掌握利用计算器求角度的方法；
（2）了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．
能力目标：
（1）会利用计算器求角；
（2）已知三角函数值会求指定范围内的角；
（3）培养使用计算工具的技能．
【教学重点】
已知三角函数值，利用计算器求角；
利用诱导公式求出指定范围内的角．
【教学难点】
已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．

【教学设计】
（1）精讲已知正弦值求角作为学习突破口；
（2）将余弦、正切的情况作类比让学生小组讨论，独立认知学习；
（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
5.7已知三角函数值求角
*构建问题 探寻解决
问题
已知一个角，利用计算器可以求出它的三角函数值，
利用计算器，求
sin
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

介绍



质疑

提问


引导


了解



思考



动手
操作


利用
问题
引起
学生
的好
奇心
并激
发其
独立
寻求












3?
= (精确到0.0001)：
7
反过来，已知一个角的三角函数值，如何求出相应的角？
解决
准备计算器．观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明
书．小组内总结学习 已知三角函数值，利用计算器求出相应的
- 48 -

教 学
过 程
角的方法．
利用计算器求出x：
sinx??0.78
，则x=
归纳
计算器的标准设定中，已知正弦函数值，只能显示出?90°~
90°（或
?
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

说明

探究
计算
器操
作的
欲望




10
ππ
,
）之间的角．
22



引导



思考

理解

记忆


引领
学生
得出
求角
方法
*动脑思考 探索新知
概念
已知正弦函数值，求指定范围内的角的主要步骤是：
（1） 利用计算器求出?90°~90°（或
?
?








15
ππ
,
）范围内的角；

22

（2） 利用诱导公式
sin(180?
?
)=sin
?
求出90°~ 270°（或
讲解
π3π
,
）范围内的角；
22
（3） 利用诱导公式
sin(
?
?k?360?)?sin
?
，求出指定范
围内的角．
*巩固知识 典型例题
例1 已知
sinx?0.4
，利用计算器求0°~360°范围内的角x（精
确到0.01°）．
分析 由于
sinx?0.4?0
，所以角x在第一或第二象限，即所
求的角为锐角或钝角．按照所介绍的 步骤，可以求出锐角，再
利用公式
sin(180
?
?
?
) ?sin
?
，求出对应的钝角．
解 按步骤计算，得到所求的锐角为x
1
=23.58°．
利用
sin(180?
?
)?sin
?
，得到所求的钝角为
=156.42°．
x
2
?180?
23.58°
故0° ~360°范围内，正弦值为0.4的角为23.58°和156.42°．
例2 已知
si nx??0.4
，求区间
[0,2π]
中的角x（精确到0.0001）．
分析 由于
sinx??0.4?0
，所以角x在第三或第四象限．按照
?
强调



质疑


说明

讲解




说明


引领



观察



主动
求解



思考



理解


安排
与知
识点
对应
例题
巩固
新知

复习
相关
的诱
导公
式


















?
ππ
所介绍的步 骤，可以求出
[?,]
内的角，利用公式
22
sin(2π?
?)?sin
?
和
sin(2π?
?
)=sin
?
分别求出指定区间的角．
- 49 -

教 学
过 程
ππ
解 按步骤计算，得到
[?,]
内的角为
x??0.4115
．
22
π3π
利用
sin(π??
)=sin
?
，得到
[,]
中的角为
22
x
1
?
?
?（?0.4115）
?3.5531
；
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间



讲解


汇总
总结



讨论



明确
利用
应用
加强
对求
角方
法的
掌握
记忆









30





35
利用
sin(2π?
?
)=sin?
得到
[
3π
,2π]
中的角为
2
x
2
?2??
?
???????
?
?5.8717
．
所以区间
[0,2π]
中，正弦值为?0.4的角为3.5531和5.8717．
*运用知识 强化练习
教材练习5.7.1
1．已知
sinx?0.2601
，求0°~ 360°
(或0~2π)
范围内的角
x
（精
确到0.01°）．
2．已知
sinx??0.4632
，求0°~ 360°
(或0~2π)
范围内的角
x
（精确到0.01°）．
*构建问题 探寻解决
问题
已知一个角，利用计算器可以求出它的三角函数值，




质疑

提问


引导


说明




思考



动手
操作


探究

提问
巡视
指导


思考
动手
求解

关注
学生
知识
掌握
情况



类比
已知
正弦
函数
值求
角进
行探
究













45
3?
利用计算器，求
cos(?)
= (精确到0.0001)．
5
反过来，已知一个角的三角函数值，如何求出相应的角？
解决
准备计 算器．观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明
书，小组内总结学习已知三角函数值，利用计算器求出 相应的
角的方法．
利用计算器求出x：
cosx?0.32
，则x= ．
归纳
计算器的标准设定中，已知余弦函数值，只能显示出0°~
(或0~π)
之间的角． 180°
*动脑思考 探索新知
概念









- 50 -

教 学
过 程
已知余弦函数值，求指定范围内的角的主要步骤是：
（1） 利用计算器求出0°~180°
(或0~π)
范围内的角；
（2） 利用诱导公式< br>cos(?
?
)?cos
?
求出
?180°~0°
( 或-π~0)
范围内的角；
（3） 利用公式
cos(
?
?k?3 60?)?cos
?
，求出指定范围内
的角．
*巩固知识 典型例题
例3 已知
cosx?0.4
，求?180°~180°范围内的角x（精确到0.01°）．
分析 因为
cosx?0.4?0
，所以角x在第一或四象限 ．利用计
算器按照介绍的步骤，可以求出0°~ 180°之间的角．利用诱导
公式
c os(?
?
)?cos
?
，可以求出知在?180°~ 0°内的角．
解 按步骤计算，得到在0°~180°范围中的角为x = 66.42°．
利用
cos(?
?
)?cos
?
,得到-180°~0°范围内的角为

x?
?66.42°．
因此在?180°~180°范围内余弦值为0．4的角为
?66.42?
．
*运用知识 强化练习
教材练习5.7.2
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
引导

讲解

强化
思考

理解

记忆
引领
学生
得出
求角
方法





50

质疑


说明

引领
讲解

汇总
总结

提问


观察

思考


主动
求解

理解

动手
求解
交流




思考



动手
操作


复习
相关
的诱
导公
式

加强
方法
记忆

纠错
答疑










55



60
已知
cosx?0.2261
，求区间
[0,2π]
内的角
x
（精确到0.01）．
巡视
指导
*构建问题 探寻解决
问题
已知一个角，利用计算器可以求出它的三角函数值，
利用计算器，求
tan43226
??
= (精确到0.0001)．
反过来，已知一个角的三角函数值，如何求出相应的角？
解决
准备计算器．观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明
?




质疑

提问

引导



继续
引导
学生
自主
完成
对问
题解
决方












书，小组内总结学习已知三角函数值，利用计算器求相应的角

的方法．
利用计算器求出x：
tanx?1.43
，则x= ．
- 51 -

教 学
过 程
归纳
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

探究
法的
探究

65
计算器的标准设定中，已知正切函数值，只能显示出?90°~
说明
90°（或
?
ππ
,
）之间的角．
22


引导



思考

理解

记忆


明确
求角
方法
步骤







70
*动脑思考 探索新知
概念
已知正切函数值，求指定范围内的角的主要步骤是：
ππ
（1）利用计算器求出?90°~90°（或
?,
）范围内的角；
讲解
22
（2）利用公式
tan(180??
?
)?ta n
?
，求出90°~270°（或
π3π
,
）的角；
22
（3）利用公式
tan(
?
?k?360?)?tan
?
， 求出指定范围内的
角．
*巩固知识 典型例题

观察

思考

主动
求解


理解

动手
求解
交流

回忆


复习
相关
的诱
导公
式

加强
记忆










75
例4 已知
tanx?0.4
，求0°~360°范围内的角（x精确到0.01°）．
质疑
分析 因为
tanx?0.4?0
，所以角x在第一或三象限．利用计
算器可以求出锐角，再利用周期性可以求得180°~270°范围中
的角．
解 按步骤计算，得到所求的锐角为x=21.80°．
利用周期性得到相应第三象限的角为

x
2
?180
?
?21.80
?
=201.80° ．
所以在0°~360°范围内，正切值为0.4的角为21.80°和
201.80°．
*运用知识 强化练习
教材练习5.7.3

提问


说明

引领
讲解

总结

纠错
答疑



80
已知
tanx??0.4，求区间
[0,2π]
内的角
x
（精确到0.01）．
巡视
指导
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？


引导

培养
学生
总结




- 52 -

教 学
过 程
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.7；
(2)书面作业： 学习与训练5.7；
(3)实践调查： 探究计算器的其他使用方法．

教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间

提问


反思
交流
反思
学习
过程
能力



说明



记录




85



90
【教学反思】





























- 53 -

高教版高一数学（基础模块）

（2013-2014学年度第二学期）


备
课
笔
记










任课教师：周学普
单 位:五河县双庙职业中学

- 54 -