人教A版高中数学必修三笔记(全册)

人教A版必修三数学笔记
第一章 算法初步（略）

第二章 统计
2.1 随机抽样
1、总体和样本
（1）总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
（2）个体：把每个研究对象叫做个体．
（3）总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．
（4）样本容量：为了研究总体
x
的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
x
1
，
x
2
，
x
3
， ……，
x
n
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量.
．．．．．．
2、简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体包含有
N
个个体，从中逐个不放回地抽取
n
个个体作为样
本
(n?N)
，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样方法为简单
随机抽样.
（2）特点：
① 被抽取样本的总体个数
N
是有限的；
② 样本是从总体中逐个抽取的；
③ 是一种不放回抽样；
④ 每个样本被抽中的可能性相同（概率相等）；
⑤ 总体单位之间差异程度较小和数目较少时，采用简单随机抽样.
（3）常用的方法
?
?
①抽签法；
?
②随机数法.

3、系统抽样
（等距抽样或机械抽样）：
（1）定义：当总体中的个体较多时，可将 总体分为均衡的几个部分，然后按照预先定出的
规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种 抽样叫做系统抽样.
（2）步骤：
① 编号：先将总体的N个个体编号；
② 分 段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当
NNN
是整数时，取
k?
（当不是 整数
nnn
时，要先剔除零头）；
③ 确定第1个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号
l
；
④ 成样：按照 一定的规则抽取样本．通常是将
l
加上间隔k得到第2个个体编号（
l?k
） ，
再加
k
得到第3个个体编号（
l?2k
），依次进行下去，直到获 取整个样本．
1

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4、分层抽样
：
（1）定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的 比例，从各层独立地抽
取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做 分层抽样．
（2）步骤：
① 分层：根据题意，将总体分成互不交叉的层；
② 定抽样比：根据总体中的个体数
N
和样本容量
n
计算抽样比
k?n
；
N
③ 定各层抽取的数目：确定第
i
层应该抽取的个体数 目
n
i
?N
i
?k
；
④ 抽取个体：在各层中随机抽取该层确定的个体数目.
5、三种抽样方法的异同点
：
类别
简单随机抽样
均为不放
回抽样，且抽
样过程中每个
个体被抽取的
机会相等.
共同点 各自特点
从总体中逐个抽取
将总体均分成几部
分，按事先确定的规
则在各部分抽取
将总体分成几层，分
层进行抽取
相互联系
是后两种方法的
基础
在起始部分抽样
时采用简单随机
抽样
各层抽样时采用
简单随机抽样或
系统抽样
适用范围
总体中的个体数
较少
总体中的个体数
较多
系统抽样
分层抽样
总体由差异明显
的几部分组成
2

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2.2 用样本估计总体
1、频率、样本容量、频数的关系
频率?
频数频数
；
频数?频率? 样本容量
；
样本容量?
.
样本容量频率
2、作频率分布直方图的步骤
(1) 求极差，即计算最大值与最小值的差；
(2) 决定组距与组数；
(3) 将数据分组；
(4) 计算各小组的频率，列频率分布表；
(5) 画频率分布直方图.
3、众数、中位数、平均数
数字特征

众 数

定义

在一组数据中出现次数最多的数据.

将一组数据按大小顺序 依次排列，处在
最中间位置的一个数据(或最中间两个
数据的平均数).

一组数据的总和除以数据的个数得到的
商就是平均数.

特点
体现了样本数据的最大集中点，不
受极端值的影响，而且可能不唯一.
中位数不受极端值的影响，仅利用
了排在中间数据的信息.
反映了该组数据的平均水平.
中位数

平均数

4、平均数、方差、标准差
（1）平均数：
x?
2
x
1< br>?x
2
?x
3
???x
n

n
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?(x3
?x)
2
???(x
n
?x)
2
（2）方 差：
s?

n
（3）标准差：
s?s
2
?
1
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2?(x
3
?x)
2
???(x
n
?x)
2.
n
??
5、从频率分布直方图中估计众数、平均数、中位数
（1）众 数：最高矩形所在组的组中值即为众数的估计值.
（2）平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
（3）中位数：中位数左边和右边直方图的面积相等.
3

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2.3 变量间的相关关系
1、散点图
将样本中的
n
个数据点
(x
1
,y
1
)< br>，
(x
2
,y
2
)
，…，
(x
n< br>,y
n
)
描在直角坐标系中，所得到的图形
叫做散点图.
2、正相关与负相关
（1）正相关：从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内.
（2）负相关：从散点图上看，点分布在从左上角到右下角的区域内.
3、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关
关系，这条 直线叫做回归直线．
【重要结论】散点可能在回归直线上，也可能不再回归直线上，但样本点的中心< br>(x,y)
必在
回归直线上.（其中
x
、
y
分别为变 量
x
和
y
的平均数.）
4、最小二乘法
（1）定义：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
．． ．．．．．．．．．．．．．
?
x
?
a
?
?
b?
，则
（2）求法：设线性回归方程为
y
n
?
(x< br>i
?x)(y
i
?y)
?
?
?
?
i ?1
?
b?
n
?
2
(x?x)
?
i
?
i?1
?
?
x.
?
?y?b
?
a?
xy?nxy
ii
i?1
n
n
,
?
x
i
2
?nx
2
i?1

例1：已知变量x和y的统计数据如下表：
x
y
6
2
8
3
10
5
12
6
?
?0.7x?a
?
，据此可预测，当x=15时，y的值为（ ） 根据上表得到回归直线方程为
y
A. 7.8 B. 8.2 C. 9.6 D. 8.5

例2：为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随 机抽取了5天，其开业天数与每天
的销售额的情况如下表所示：
开业天数
销售额（万元）
10
62
20
●
30
75
40
81
50
89
?
?0.67x ?54.9
，由于表中一个数据模糊不清，请你推断该根据上表得到回归直线方程为
y
数据的值为（ ）
A. 67 B. 68 C. 68.3 D. 71
例3：【2014全国2卷理18】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入< br>y
（单位：千元）
的数据如下表：
年份
年份代号（x）
2007
1
2008
2
2009
3
3.6
2010
4
4.4
2011
5
4.8
2012
6
5.2
2013
7
5.9 人均纯收入y 2.9 3.3
（1）求
y
关于
x
的线性回归方程；
4

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（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至 2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变
化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收 入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
?
?b
?
(x?x)(y
i
i?1
n
i
i?1
n
i
?y)
2
?
x
.
?
?
y
?b
，
a
?
(x?x)
?
的公式）：根据题意，列表如下 ： 解：（1）方法一（利用第一个
b
x
y
1
2.9
-3
-1.4
4.2
2
3.3
-2
-1
2
3
3.6
-1
-0.7
0.7
4
4.4
0
0.1
0
5
4.8
1
0.5
0.5
6
5.2
2
0.9
1.8
7
5.9
3
1.6
7
x?4

y?4.3



x
i
?x

y
i
?y

(x
i
?x)(y
i
?y)

4.8
?
(x?x)(y?y)?14

ii
i?1
(x
i
?x)

2
9
n
4 1 0 1 4 9
?
(x
i?1
7
i< br>?x)
2
?28

?
?
所以，
b
?
(x?x)(y
i
i?1
n
i
i?1
i
? y)
?
2
?
(x?x)
14
?
x
?4.3 ?0.5?4?2.3
.
?
?
y
?
b
?0.5< br>，
a
28
?
?0.5x?2.3
. 所以，线性回归方程为
y
?
的公式）：根据题意，列表如下： 方法二（利用第二个
b
x
y
1
2.9
2.9
1
2
3.3
6.6
4
3
3.6
1.8
9
4
4.4
17.6
16
5
4.8
24
25
6
5.2
31.2
36
7
5.9
7
x?4

y?4.3

x
i
y
i

x

2
i
41.3
49
?
xy
i
i?1
i
?134.4

?
x
i?1
7
2
i
?140

?
?
所以，
b
?
xy
i
i?1
n
n
i
?nxy
?
?nx
2
?
x
i?1
2
134.4?7?4?4.3
?
x
?4.3?0.5?4?2.3
.
?
?
y
?
b
?0.5
，
a
2
140?7?4
i
?
?0.5x?2.3
. 所以，线性回归方程为
y

?
?0.5x?2.3
是增函数，所以， 2007年至2013年该地区农村居民（2）由于线性回归方程
y
家庭人均纯收入逐年增加.
?
?0.5?9?2.3?6.8
，即该地区2015年农村居民家庭人均纯收201 5年对应的x=9，此时
y
5

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入约为6.8千元.

第三章 概率
3.1 随机事件的概率
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件叫相对于条件S的随机事件；
（5 ）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试
验中事件A出现的 次数n
A
为事件A出现的频数；称事件A出现的比例
f
n
(A)?< br>n
A
为事件A出现
n
的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次 数的增加，事件A发生的频率
f
n
(A)
稳定在某
个常数上，把这个 常数记作
P(A)
，称为事件A的概率.
（6）频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
2、事件的关系与运算
关系
包含关系
这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）.
相等事件
并（和）事件
件A与事件B的并事件（或和事件）.
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事
交（积）事件
件为事件A与事件B的交事件（或积事件）.
互斥事件
对立事件
与事件B互为对立事件.
【注】：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件.
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥.
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然 事件，那么称事件A
若B?A且A?B，那么称事件A与事件B相等.
若某事件发生当且仅当事件A发生或B发生，称此事件为事
（或A?B）
A＝B
A∪B
（或A＋B）
A∩B
（或AB）
A∩B＝
?

A∩B＝
?

且A∪B＝
?

定义
对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，
符号语言
B?A
3、概率的基本性质
（1）任何事件的概率0≤P(A)≤1；
（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
（3）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
6

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（4）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事 件，所以P(A∪B)=1，P(A)=1—P(B).
3.2 古典概型 3.3 几何概型

1、基本事件
（1）概念：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基 本事件，它是试验中不可再分的
最简单的随机事件，在一次试验中只能有一个基本事件发生.
斥的；
?
①任何两个基本事件是互
（2）特点
?

件）都可以表示成几个基本事件的和.
?
②任何事件（除不可能事
2、古典概型
（1）定义：我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．
① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
② 每个基本事件出现的可能性都相等．
（
2
）古典概型概率公式

P(A)?
事件A包含的基本事件的个数
.

基本事件的总数
3、几何概型
（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度（面积或体积）成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
结果（基本事件）有无限个；
?
①无限性，即每次试验的
（2）特点
?

②等可能性，即每个基本事件发生的概率都相等.
?
（
3
）计算公式
:
P(A)?
构成事件A的区域长度（面积或体积）
.

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
7