高中数学一轮复习理科笔记

理科数学笔记

第一篇 集合与常用逻辑用语
1、集合元素特点：①确定性②互异性③无序性
2、集合的表示方法：①自然语言法②大写字母表示③描述法④列举法⑤Venn
图
3、集合元素的基本关系：①元素∈集合（属于）②集合
?
集合（含于）（子
集） < br>4、
集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为
2
个，真子集
2n
2?2
个

非空真子集
nn
*
a?0,m,n?N且n?1
时 7、当
n
?
,
n
a
n
?a
a?0
?
?< br>a,n为偶数时
?
n为偶数时
，
?
n
?
?< br>a?R
?
,
n
a
n
?a

?
a,n为奇数时
?
n为奇数时
根式和分数指数幂互化：
a
1
n
m
n
?
n
a
m
（根指数在下）
?n
?1
个，
8、
a?
n
a
中，当
n
为偶数时，
a?0

5、集合运算：交（
?
）（且）、并（
?
）（或）、补
6、否命题 ：条件结论皆否，命题的否定：改量词，否结论
第二篇 函数、导数及其应用
1、函数三要素：定义域、对应关系、值域
2、（1）用定义法证明函数
f(x)
的单调性：
①取值：
x1
、x
2
来自定义域的某一区间且
x
1
?x
2
②作差变形：
f(x
1
)?f(x
2
)

?
b
??
a
?
9、正负指数幂互化
??
?
??

?
a
??
b
?
10、三类定义域限定①分母 （≠0）②偶次方根（≥0）③对数的真数（＞0）
11、零点：（1）①
f(x)?0的实数根，②零点不是点，是图像与
x
轴交点的
横坐标
（2）函数y?f(x)?g(x)有零点
?
函数
y?f(x)?g(x)
与x轴有 交点
?

方程
f(x)?g(x)?0
有根
?
函数 y?f(x)与y?g(x)
的图象有交点
nx
存在x,当x?x时，logx?x ?a
00a
12、（指数爆炸）
x
y?a(a?0，且a?1)
1 3、指数函数
n
?
?0，减函数
③判断符号：
f(x
1)?f(x
2
)
?
④下结论
?
?0，增函数
（2）复合函数的单调性：同增异减
3、（1）判断函数< br>f(x)
的奇偶性：①函数
f(x)
的定义域关于原点对称
y轴对称）
?
f(?x)?f(x)，偶函数（关于
②
?

称)
?
f(?x)??f(x)，奇函数（关于原点对
（2）在公共定义域内 ：
奇?奇?奇，偶?偶?偶，奇?奇?偶，偶?偶?偶，奇?偶?奇
4、周期函数
f (x)?f(x?T)
的常用结论：
设函数y?f(x),x?R,a

?0.

(1)若函数f(x?a)?f(x?a),则函数的周期为2a;
(2)若函数f(x?a)??f(x),则函数的周期为2a;
1
(3)若函数f(x?a) ?,则函数的周期为2a;

f(x)
1
(4)若函数f(x?a)??,则 函数的周期为2a
f(x)
5、若对于R上的任意
x
都有
f(2a? x)?f(x)或f(?x)?f(2a?x),则y?f(x)
的
图象关于直线
x? a
对称。
6、










①图像：在第一象限，越往上底数越大
②定义域：R
（0，??）
③值域
④定点（0，1）
⑤单调性：
?
当a?1时，在

R上单调递增

?
?
当0?a?1时，在R上单调递减

y?log
a
x(a?0，且a?1，x?0)
14、对数函数

①图像：在第一象限，越往右底数越大

（0，??）
②定义域：

③值域R

④定点（1，0）

⑤单调性：

?
当a?1时，在(0,??)上单调递增

?
当0?a ?1时，在(0,??)上单调递减
x
?
与对数函数
y?log
a< br>x(a?0且a?1)
互为反函15、指数函数
y?a(a?0且a?1)

1

数，它们的图像关于直线
y?x
对称。
16、图像变换
（1


）平移变换










（2

）对称变换
①y

?f(x)与y??f(x)关于x轴对称；
②

y?f(x)与y?f(?x)关于y轴对称；

③

y?f(x)与y??f(?x)关于原点对称；

（3）翻折变换








（4）伸缩变换














17、幂函数
y?x
?
(其中
?
为常数)

①在第一象限，x?1时，越往上
?
越大；
②
?
?0时，f(x) 单调递增，
?
?0时，f(x)单调递减；

18、如果a?0，且a?1， M?0,N?0,那么①log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
②log
M
a
(
N
)?log
aM?log
a
N③log
n
a
M?nlog
a
M(n?R)
换底公式①log
1
log
②log
log
c
b
m
a
b?
a
b?③log
a
n
b
m
?log
a
b
b
alog
c
an
19、对勾函数
y?ax?
b
(a?0,
?
?
x
b?0)

①定义域
?
x|x?0
②值域y|y??2 ab或y?2ab
?
③定点(?
b
a
,?2ab)和(
b< br>
a
，2ab)

④渐近线：y轴（x?0）和y?ax
< br>20、导数的几何意义：(1)函数
y?f(x)
在点
（x
0
,f(x
0
)）
处的切线的斜率
k?f'(x
0
)
（点
（x
0
,f(x
0
)）
即为切点）
(2)已 知点
(x
1
,y
1
)
不为切点，则设切点为
（x< br>0
,f(x
0
)）
，切线斜率
k?f'(x
f(x< br>0
)?y
1
0
)?
x

0
?x
1
21、基本初等函数的导数公式：
①若f(x)?c,则 f
'
(x)?0；②若f(x)?x
?
,则f
'
(x)?< br>?
x
?
?1
；
③若f(x)?sinx,则f
'(x)?cosx；④若f(x)?cosx,则f
'
(x)??sinx;
2

区间[a,b]上的连续曲线y?f(x)和直线x?a,x?b(a?b),y?0所 围成的曲边梯形
⑤若f(x)?a
x
,则f
'
(x)?a
x
lna(a?0)；⑥若f(x)?e
x
,则f
'
(x)?e
x
；
b
面积为①若曲边梯形位于x轴上方，S?
?
f(x)dx；
11
''
a
⑦若f(x)?log
a
x,则f(x)?(a ?0且a?1)；⑧若f(x)?lnx,则f(x)?
b
xlnax
②若曲边梯形位 于x轴下方，S??f(x)dx
?
a
22、导数的运算法则：
?
f(x)?g(x)
?
'?f'(x)?g'(x)，
?
f(x)?g(x)
?
'?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)
?
f(x)
?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)
(g(x)?0)
?
g(x)
?
'?
2
g(x)
??

29、定积分的基本性质： （1）
?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx(k为常数)；
a a
bb
（2）
?
[f
1
(x)?f
2
(x )]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
( x)dx;
aaa
bbb


23、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 ，周期函数的导数还是
周期函数。 < br>24、函数的单调性与导数：（1）在某个区间
(a,b)
内，如果
f'(x)
>0，那么函
数
y?f(x)
在这个区间内单调递增，如果
f'(x )
<0，那么函数
y?f(x)
在这个
区间内单调递减。
(2) 函数
y?f(x)
在
(a,b)
上是增函数（或减函数），则
f'( x)?（或
在
0f'(x)?0）
(a,b)
内恒成立；
函数y?f(x)
在
(a,b)
上存在单调递增区间（或减区间），则
在(a,b)
内有解；
f'(x)?（或0f'(x)?0）
（3）函数
y?f(x)
在
(a,b)
内不单调即
y?f(x)
在
(a ,b)
内存在极值点，则
f'(x)
在
(a,b)
内有变号零点。
25、已知函数的极值点
x
0
，求解析式中的参数，常利用
f'(x )?0
列方程求参
数，求出参数后还要检验所求参数是否满足
x
0
的 极值点特征。
26、含全称，存在量词不等式恒成立问题的方法：
（1）存在
x< br>1
?A,任意x
2
?B,使f(x
1
)?g(x
2< br>)成立，则f(x
1
)
max
?g(x
2
)
max
；
（2）任意
x
1
?A,存在x
2
?B, 使f(x
1
)?g(x
2
)成立，则f(x
1
)
m in
?g(x
2
)
min
；
（3）任意
x
1
?A,x
2
?B,使f(x
1
)?g(x
2
) 成立，则f(x
1
)
min
?g(x
2
)
max< br>；
（4）存在
x
1
?A,x
2
?B,使f(x1
)?g(x
2
)成立，则f(x
1
)
min
?g(x
2
)
max
；
27、微积分基本定理：
(3)
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中 a?c?b).
aac
bcb

30、三角形的内切圆半径
r?若f(x)是[a,b]上的连续函数，并且F'(x)?f(x),则
?
f(x)dx? F(b)?F(a)

a
b
28、
31、三角形的心：
*重心：三边中线相交的点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比
为2：1
外心：三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等
内心：三角形三条内角平分线的交点
垂心：三角形三边上的三条高或其延长线交于一点
第三篇 三角函数及解三角形 1、任意角
S?
?
?
|
?
?
?
?2k
?
,k?Z
?

l
2、弧度制：半径为
r
的圆的圆心角
?
所对的弧长为
l
，则
?
?

r
（180°=
?
rad）
11
3、扇形弧度制公式：弧长
l?
?
R
， 面积
S?
?
R
2
?lR

22
4、任意角的终边过点（x，y），三角函数
yxy
sin
?
?,cos
?
?,tan
?
?，r?x
2
?y2

rrx
?
5、诱导公式：
k??
?
（奇变 偶不变，符号看象限）
2
sin
??
?tan
?
（
?
??k
?
,k?Z）
6、同角三角函数：
sin
2?
?cos
2
?
?1，

cos
?
2
7、同角三角函数的基本关系的应用技巧
技巧 解读 适合题型
abc
2S
△
，外接圆半径
S?
a?b?c4S
△

3

切弦
互化
和积
转换
“1”的
变换
利用
sin
2
?
? cos
2
?
?1
实现正余弦的互
sin
?
化，利用
tan
?
?
可实现角的弦切
cos
?
互化
利用关系式
(sin
?
?cos
?
)
2
=
1?2sin
?
cos
?

进行变形、转化
关 于
sin
?
，
cos
?
的齐次式，或含有
sin< br>2
?
，cos
2
?
及
sin
?
co s
?
的式子求值
时，利用“
sin
2
?
?cos< br>2
?
?1
”代换后转
化为“切”后求解
表达式中含有
sin
?
，
cos
?
与
tan
?

奇偶
性
单调
性
奇函数
在
偶函数
在
?
?
?2k
?
，2
?
?2k
?
?
上递增
在
?
2k
?
，
?
?2k
?
?
上递减
（?
在
奇函数
?k
?
，?k
?
）
上
22
递增
无递减区间
??
表达式中含有
sin
?
?cos
?
或
sin
?
cos
?

表达式中需要利用“1”
转化
对称
轴
对称
中心


8、和角公式和差角公式
cos(
?
?
?< br>)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
，
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

?
?
?
?
??2k
?
，?2k
?
??
2< br>?
2
?
上递增
3
?
?
?
?
在
?
?2k
?
，?2k
?
?
2
?
2
?
上递减
?
x??k
?

2
（k
?
,0）

x?k
?

无
（
k
?
,0）

2
（?k
?
,0）

2
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?

1?tan
?
tan
?< br>；
1?tan
?
tan
?
2tan
?
9、倍 角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
tan2
?
?

2
1?tan
?
2222
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?1?2sin
?
?2cos
?
?1


10、表中
k?Z

y?cosx

函数
y?sinx

tan(
?
?
?
)?
a? ba?b
12、求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时不要
漏掉考虑 自身的定义域。
abc
???2R
其中R为△ABC的外接圆半径， 13、正弦定 理
sinasinbsinc
，
a:b:c?sinA:sinB:sinC

14、△ABC中，∠A＞∠B
?
a＞b
?
sinA＞sinB?
cosA＜cosB
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC, tan(A?B)??tanC

11、asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
（其中)sin
?
?
b
22
,cos
?
?
a
22

）
y?tanx

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
，cosB?，cosC?
15、余弦定理
cosA?
2bc2ac2ab

第四篇 向量
1、零向量：长度为0，单位向量：长度为1个单位
图像

定义
域
值域
最小
正周
期
R
[-1,1]
2
?



R
[-1,1]
2
?




?
??
?
x|x??k
?
,k?Z
?

2
??
R
?

2、平行向量：方向相同或相反的非零向 量（
0
与任一向量平行），也叫共线
向量
3、相等向量：长度相等且方向相同
4、向量加法的三角形法则：首尾相连，向量加法的平行四边形法则：起点相
同
?
5、a?b?a?b
????

6、共线向量定理：向量
a
（
a?0
）与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，
????
4

使
b?
?
a

7、基底向量不共线。18、向量夹角
0??
?
?180?
（向量起 点相同时）
8、一个向量的坐标等于终点坐标减起点坐标
9、共线（或平行）向量
x
1
y
2
?x
2
y
1
，垂直向量
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
10、
a?x
1
?y
1
?
22
??

11、
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?a?bcos
?
??
????
a?b
cos
?
?
??
12、

a?b
?
??
5、
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
在等差数列中成等差，
q??1时
在等比数列中成等比
?
S,n?1
6、求通项公式的方法①公式法 ②观察归纳法 ③利用
a
n
?
?
1
；
?
S
n
?S
n?1
,n?2
a
④累加法
a
n
?a
n?1
?f(n)
⑤累乘法
n
?f(n)
a
n?1
；
11
??k(k为常数)?a
n
?a
n?1
? ka
n
?a
n?1

a
n?1
a
n
等比数列：当出现a
n?1
?pa
n
?q时，将式子化为a
n?1
?
?
?p（a
n
?
?
）的形式，

q
构成新的等比数列，其中
?
?
p?1
7、求前n项和
①公式法 ②分组求和与并项求和 ③裂项相消法 ⑤错位相减法
8、等比数列中，奇数项同号，偶数项同号


第七篇 立体几何
1、棱柱的结构特征：上下底面全等且平行，侧面是平行四边形
棱台的结构特征：上下底面相似且平行，侧面是梯形，侧棱延长后交于一点
圆台的结构特征：上下底面都是圆且平行
2、斜二测画法：原图中平行于x轴和z轴的线段长 度不变，平行于y轴的线
2
段长度变为原来的一半
S
直观图
?S原图形

4
3、表面积（
l
为母线）
2
?
rl
；
2
?
r
2
，
侧面积：
①圆柱：
上下底面积：
⑥构造新数列：
等差数列
13、A 、B、C三点共线，O为线外一点，则
OA?
?
OB?
?
OC，?
?
?
?1

14、向量的投影：
设
?为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是a?cos
?
,
向量b在a方向上 的投影是b?cos
?
第五篇 数列
1、

通项公式
前n项和
S
n
?
???
?????

等差数列
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

m?n?p?q时


n
?
a< br>1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?
na
1
,q?1
?na
1
?d
?
22
S
n
?
?
a
1
1?q
n

a
1
?a
n
q
?,q?1

?
1 ?q1?q
?
a
m
?a
n
?a
p
?aq

a
m
?a
n
?a
p
?a
q

等比数列
a
n
?a
1
q
n?1

??
?
S
n
?
??
a
?
也是等差数列， 且首相与
?
a
n
?
的首相相2、等差数列
n
的前n 项和满足
?
n
??
同，公差为
?
a
n
?< br>公差的一半。
2
??
a
S?An?Bn(A,B是常数，n?N*)

n
n
3、数列是等差数列的充要条件是
2
底面积：
?
r
圆锥：，
侧面积：
?
rl

②
4、等差数列的判定方法：定义法：
?
a
n
?
是等差数列

若a
n?1
?a
n
?d(d为常数)，则数列
等比数列的判定方法：定义法：
a
?
a
n
?
是等比数列

若
n? 1
?q(q为非零常数)，则数列
a
n
?
r
2
?< br>?
R
2
，
侧面积：
?
rl?
?
Rl
③圆台：
上下底面积：
1
4、体积：
V
柱体
?S h
，
V
椎体
?Sh

3
；
1
V< br>台体
?（S'?S'S?S)h
（
S',S为上下底面积，h为台体高
）
3
4
5、
V
球
?
?
R
3，
S
球
?4
?
R
2

3
6、点线面的位置关系：点∈线，点∈面，线
?
面
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
5

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
的公共直线
公理4 （空间平行线的传递性） 平行于同一条直线的两条直线互相平行
7、异面直线的夹角
0??
?
?90?

8、空间中直线与平面的位置关系：①直线在平面内②直线与平面平行③直线
与平面相交
9、空间中平面与平面的位置关系：①平行②相交
10、定理（线线平行
?
线面平行）
文字语言：平面外一条直线与平面内一条直线平行，
则该直线与此平面平行
符号语 言：
a?
?
,b?
?
,且a∥b?a∥
?

11、定理（线面平行
?
面面平行）
文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行
符号 语言：
a∥
?
,b∥
?
,a?b?P，a?
?
,b ?
?
?
?
∥
?



12、定理（线面平行
?
线线平行
）
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直
线平行。
13、定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
14、直线l
与平面
?
垂直，则
l
与
?
内的所有直线都垂 直
15、定理（线线垂直
?
线面垂直）
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
该直线与此平面垂直
符 号语言：
l?m,l?n,m?n?o，m?
?
,n?
?
?l??



16、线面角：斜线与射影（斜足与垂足的连线）的夹角
17、面面垂直：①二面角为90°
②定理（线面垂直
?
面面垂直）
文字语言：一个平面过另一个平面的
垂线，则这两个面垂直
符号语言：
A B?
?
,AB?
?
,则
?
?
?


18、定理 垂直于同一条直线的两直线平行
19、定理 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
6
a

3
22、空间向量的几何计算
?
?
?
?
?0，
?
：
?
（1） 、线线夹角
?
2
?
高
h?r
1
?r
2?
??
?
a和b分别为直线m和n的方向向量
cos
?
?cos?a,b??
?
??
a?b
?
a?b
?

?
?
?
?
?
?
0，
?
： （2） 、线面夹角
?
2
?
?
a为直线m的方向向量，b为平面
?< br>的法向量
??
?

sin
?
?cos?a,b??< br>??
a?b
?
a?b
?

?
?
?[0,]

?
?l?
?
?
?[0,
?
]
?
与
?
（3）二面角，：，
2
??
a，b分别为平面
?
和
?
的法向量
cos
?
?cos?a,b??
a?b
（正负看题目）
??
??
? ?
a?b
（3）点A到平面
?
的距离
d?
AP?n
?
??
（其中P为平面
?
内任意一点，
n
?
na
2
?b
2
?c
2
20、长方体共顶点的棱长为a,b ,c，其外接球半径为
r?

2
66
a
，内切球半径
r
2
?a
21、 棱长为a的正四面体，外接球半径
r
1
?
412
为平面
?< br>的法向量）
(5)证明平行①线线平行：两条直线的方向向量平行②线面平行：该直线的方向向量和平面的某一法向量垂直③面面平行：两个平面的法向量平行
(6)证明垂直①线线垂直： 两条直线的方向向量垂直②线面平行：该直线的方
向向量和平面的某一法向量共线（或者直线的方向向量 和平面内不共线的两
个向量垂直）③面面垂直：两个平面的法向量互相垂直
第八篇 圆锥曲线

y?yy?y
k?[0,
?
)
1、直线斜率< br>k?tan
?
?
21
?
12
，
x
2
?x
1
x
1
?x
2
2、两直线平行 重合 垂直
k
1
k
2
??1

k
1
?k
2
k
1
?k
2



b
1
?b
2
b?b
12
6

3、直线方程的五种形式
y?y
1
x ?x
1
①点斜式
y?y
0
?k(x?x
0
)
②斜截式
y?kx?b
③两点式
?
y
2
?y
1< br>x
2
?x
1

xyA
④截距式
??1
⑤一般式
Ax?By?C?0(斜率k??)

abB

x?xy?y
2
)
4、线段AB中点坐标
C(
12
,
1
22
(x
2
?x
1
)
2
? (y
2
?y
1
)
2
5、两点间距离公式
P
1
P
2
?
c
2b
2
?
b
? 3、离心率：
e??1?
??
?(0,1)
，通径： ，
焦距 ：2c
，轴
a
a
?
a
?
2
长：长轴2a，短轴2b
4、对称性：关于x轴、y轴成轴对称，个关于原点成中心对称
x
2
y
2
y
2
x
2
标准方程
??1??1
焦点在x轴
a
2
b
2
焦点在y轴
a
2
b
2

焦点
?a?x?a,?b?y?b

?b?x?b,?a?y?a

范围
(?a,0),(0,?b)

(?b,0),(0,?a)

顶点坐标
5、焦点位置不确定的椭圆方程可设为：
mx
2
?ny
2
?（1m,n?0,m?n）
（已知两点坐标专用）
二、双曲线： 1、定义：我们把平面内与两个定点
F
1
,F
2
的距离的差的绝 对值等于
常数（小于
F
1
F
2
）的点的轨迹叫做双曲线。
2、定义式:
PF
1
?PF
2
?2a?2c
（a= c时，图像为两条射线），
a、b、c
关系：
c
2
?a
2
?b
2
，
(a?b?0)
(?c,0)

(a?b?0)
(0,?c)

6、点
(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离
d?
7、 两平行线间的距离公式
d?
Ax
0
?By
0
?C
A ?B
22

C
1
?C
2
22
A?B
8、圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2< br>，
圆心（
a,b
），半径r
9、圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
圆心（
?
DE
,?< br>），
22

1
D
2
?E
2
?4F ，
半径
r?
其中
D
2
?E
2
?4F?0< br>
2
10、圆与圆的位置关系：
d
为圆心距①外离
d?R?r
②外切
d?R?r
③内切
d?R?r
④相交
R?r?d?R ?r
⑤内含
0?d?R?r

11、两圆公共弦所在的直线方程：
两圆方程相减
（D
1
?D
2
）x?（E
1
?E2
）y?F
1
?F
2
?0

c
2b
2
?
b
?

焦距 ：2c 3、
离心率：
e?
a
?1?
?
a
?
?(1,? ?)
，通径：
a
??
，
2
12、直线被圆截得弦长①几何 法
l?2r
2
?d
2
（d为弦心距）
②代数法：
d?1?k
2
x
1
?x
2
?(1?k
2
) [(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]

13、直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离
max?d?r,min?d?r

其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径
轴长： 实轴2a，虚轴2b


4、对称性：关于x轴、y轴成轴对称，
y
2
x
2
标准方程
焦点在x轴
x
2
?
y
2
?1(a,b?0)
焦点在y轴
2
?
2
?1(a,b?0)

22
焦点
范围
顶点坐标
渐近线
ab
(?c,0)

ab
(0,?c)

x??a或x?a,y?R

(?a,0)

y??
b
x

a
y??a或y?a,x?R

(0,?a)

y??
a
x

b
一、椭圆：
1、定义：我们把平面内与两个定点
F
1
, F
2
的距离的和等于常数（大
于
F
1
F
2
）的点的轨迹叫做椭圆。
2、定义式：
PF
1
?PF
2
? 2a?2c
（a=c时，图像为一条线段）
222

a、b、c
关系：
a?b?c

5、焦点位置不确定的双曲线方程可 设为：
mx
2
?ny
2
?（1m?n?0）

（已知两点坐标专用）
6、双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长。
7

三、抛物线的
1、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线
l
（
l
不经过点
F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
2、顶点坐标：
(0,0)
离心率：e=1，通径：,2p，
3、焦点弦的的常用结论：
设AB是过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点F的弦，若A,B
（x
1
,y
1
）
b?
^
?
(x
i?1
n
n
i
?x)(y
i
?y)
?
?
xy
i
i?1
n
i?1
n
i
?nxy
2
，a?y?bx,y?bx?a^^^^
2
(x?x)
?
i
i?1
?
x
i
?nx
2
（x,y）为样本点的中心，经过线性回归方程。

（x
2
,y
2
）
,则
（1）
x
p
2
2
1
x
2
?
4
,y
1
y
2
??p
；
（2）弦
AB?x
2p
1
?x
2
?p?
sin
2
?
(
?
为弦AB 的倾斜角)


标准方
y
2
?2px(p?0)

y
2
??2px(p?0)x
2
?2py(p?0)

x
2
??2py(p?0)
程

图
形
焦点



?
?
p
?
?
2
,0
?
?
?

?
?
?
p?
?
?
p
?
2
,0
?
?

?
0,
?
2
?
?

?
p
?
?
0,?
2
?
?

准线
x??
p
2

x?
p
y??
pp
2

2

y?
2

范围
x?0,y?R

x?0,y?R

y?0,x?R

y?0,x?R

对称性 关于x轴对称 关于y轴对称

第九篇
1、秦九韶算法：多项式最高次数为n，则需要n次乘法，n次加法
2、进制数
3、由频率分布直方图求①众数：最高矩形上端中点横坐标
②中位数：左右两侧的直方图的面积相等
③平均数：每个小矩形的面积（频率）乘以小矩形底边中点的横坐标之和
4、用最小二乘法求线性回归方程

相关系数r：当r>0时，两变量正相关，当r<0时，两变量负相关；
当r?1且r越接近于1，相关程度越强，当r?1且r越接近于0，相关程度越弱。

?
n
(y
i
?
?
y
2
i
)5、线性回归模型：用
R
2
来刻画回归的效果，
R
2
? 1?
i?1
?
n
(y

i
?y)
2
i?1
因此
R
越大，残差平方和
?
n
2
(yi
?
?
y
2
i
)
越小，拟合效果越好；反之， 效
i?1
果越差。
6、不可能发生事件概率为0，必然事件概率为1，随机事件概率（0,1）
7、互斥事件：不可能同时发生的事件
8、对立事件：不可能同时发生的事件且只有两种情况

第十篇
n!
1、排列数公式
A
m
n
?
(n?m)!
(n,m?N,m?n),规定0！?1

2、组合数公式C
m
n
?
n!
m!(n?m)!
(n,m?N,m?n ),

性质1：
C
m
n
?C
n?m
n(n,m?N,m?n),
性质2：
C
m
n?1
?C
m m?1

n
?C
n
(n,m?N,m?n),


3、二项式定理：
(a?b)
n
?C
0n1n?1
?C< br>rn?rrnnr
n
a?C
n
ab???
n
ab?? ??C
n
b(C
n
叫二项式系数)

通项公式：
T
r
?C
rn?rr
?1n
ab（其中0?r?n,r?N.n?N* ）

二项式系数和公式：
C
0
C
12rnn
n?
n
?C
n
????C
n
????C
n
?2

4、分布列
8

X
P
x
1

p
1

n
x
2

p
2

……
……
x
n

p
n

复数z?a?bi?????复平面内的点Z(a,b)?????向 量OZ
向量OZ的模，叫做复数的模z?a?b
?
22
一一对应一一对应?

数学期望
E(X)?x
1
p
1
?x
2
p
2
????x
n
p
n
，E(aX?b)?a E(X)?b

方差：
D(X)?

5、条件概率：
P(B|A)?
P(AB)n(AB)

?
P(A)n(A)
kk
?k)?C
n
p(1?p)
n?k
( k?0,1,2,??，n)

22
(x?E(x))p，D(aX?b)?aD(X),标准差D（X）

?
ii
i?1
选考、极坐标与参数方程
1、极坐标与直角坐标的互化公式：
x?
?
cos
?
,y ?
?
sin
?
;
?
2
?x
2
?y
2
,tan
?
?
y
(x?0)

x
6、n次独立重复试验：
P(X


7、超几何分布：
?
x?a?rcos
?
2、圆的参数方程
?
(
?< br>为参数，点（a,b）为圆心坐标，r为半径)

?
y?b?rsin
?
?
x?acos
?
中心在原点的椭圆的参数方程
?
(?
为参数)
；
?
y?bsin
?
kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)?(k?0,1,2,??，m,其中m?min< br>?
M,n
?
,且n?N,M?N,n,
x
MN?N*)
?
,
x
?
n
0
?tcos
?
C
N
(t为参数)
?
?
y?y
0
?tsin
?


?
x?2pt
2
抛物线的参数方程
?
(t为参数)

?
y?2pt
3、经过点
M
0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
的直线的标准参数方程
8、二项分布：
P(X
kk
?k)?C
n
p(1?p)
n?k
(k ?0,1,2,??，n)

X~B(n,p),期望E(X)?np,方差D(X)?np( 1?q)(n?1时为两点分布)

9、正态分布：
X~N(
?
,< br>?
2
)，
?
为均值，
?
为标准差

4、直线的参数方程的应用的基本模型：
?
x?x
0
?at
（1）设直线l:
?
(t为参数)与曲线C交于A，B两点，
y?y?bt
0
?
A，B对应的参数分别为t
1
,t
2
,则A(x
0
?at
1
,y
0
?bt
1
),
B(x
0
?at
2
,y
0
?bt
2
),点M(x
0
,y
0
)在l上，根据两点间的距
离公式有：
①AB?a
2
?b
2
t
1
?t
2
(其中t
1
?t
2
?
?
(x)?
1
e
2
??
(x?
?
)
2
2
?
2
的图像为正态密度曲 线，
b
随机变量X满足P(a?X?b)?
?
?
(x)dx
a
?
t
1
?t
2
?
2
-4t
1< br>t
2
)
①图象关于直线
x?
?
对称
②
?
一定，
?
越小，数据越集中，图象越瘦高

第十一篇
1、复数集：
C?
?
a?bi|a,b?R
?< br>，对于复数
a?bi
，a与b分别叫做复数的实
部与虚部，
2、复数 的模
z?a
2
?b
2
；共轭复数（
z
）：实部相同 ，虚部互为相反数；
i
2
??1

3、复数的几何意义：

?
a
2
?b
2
t?t(t,t同号)
1212?
②MA?MB?a
2
?b
2
?
t
1
|?|t
2
?
?
?
22
?
?
a?bt1
?t
2
(t
1
,t
2
异号)
（同异 号判断看两根之积）
③MA?MB?a
2
?b
2
t
1
?t
2
。（t
1
与t
2
为l与C两方程联立的两根）④若A,B中点为M，则
t
1
?t
2
t?t
2
?0，否则，A,B中点对应的参数为
1
22
??

?
x? x
0
?at
（2）设直线l:
?
(t为参数)与直线交于点C，y?y?bt
0
?
点C对应的参数分别为t
3
,则C(x
0
?at
3
,y
0
?bt
3
),
点M(x
0
,y
0
)在l上，则M
0
C?a
2
?b
2
t
3
9

半
径
MFMF
2
?ex
0
?a

1
?ex
0
?a，
点M在左支时
MF
1
??ex
0
?a，
MF
2
??ex
0
?a

?
x?acos
?
（3）椭圆
?
(
?
为参 数)上的点P（acos
?
，bsin
?
）到直线l的距离为

?
y?bsin
?


Aacos
?
?Bbsin
?
?C
d?

22
A?B

圆锥曲线重要结论

x
2
y
2
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
双曲线
2
?
2
?1(a，b?0)

abab
a
2
准 线
x??
a
2

x??

cc
切 ①点
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆上，则①点
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线上，则
弦长公式：
AB?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?1?
1
?(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2

2
k





椭圆上有P，Q两动点，OP⊥OQ，
①
1
OP2
?
1
OQ
2
?
11
?
a
2
b
2

线

方

程
过
P
0
的椭圆的切线方程为
x
0
xy
0
yb
2
x
0
?
2
?1,斜率k??
2
2
abay
0
过
P
0
的双曲线的切线方程为
x
0
xy
0
yb
2
x
0
?
2
?1,斜率k?
2

2
abay
0
4a
2
b
2

②O P?OQ
min
?
2
a?b
2
a
2
b2
③
?
S
△OPQ
?
min
?
2a?b
2
22
??
②点
P
0
(x
0< br>,y
0
)
在椭圆外，则
过
P
0
作椭圆的两条 切线，
两切点为
P
1
，
P
2
，则切点弦
P
1
P
2
的方程为
x
0
xy
0
y b
2
x
0
?
2
?1,斜率k??
2
2
abay
0
②点
P
0
(x
0
,y< br>0
)
在双曲线外，则
过
P
0
作双曲线的两条切线，< br>两切点为
P
1
，
P
2
，则切点弦
P
1
P
2
的方程为
x
0
xy
0
yb
2
x
0
?
2
?1,斜率k?
2

2
abay
0
双曲线上有P，Q两动点，OP⊥OQ，
①
1
OP
2
?
1
OQ
2
?
11
?< br>a
2
b
2
中
点
弦
设
M
0
(x
0
,y
0
)
为椭圆的弦长设
M
0
(x
0
,y
0
)
为双曲线的弦长
AB的中点（AB 不与对称轴AB的中点（AB不与对称轴
平行），则 平行），则
b
2
k
AB
?k
OM
??
2
< br>a
M
0
(x
0
,y
0
)，F
1(?c,0),F
2
(c,0)
，
b
2
k
AB
?k
OM
?
2
a
M
0
(x
0
,y
0
)，F
1
(?c,0),F
2
(c,0)
，
4a
2
b
2

②OP?OQ
min
?22
b?a
a
2
b
2
③
?
S
△OPQ
?
min
?
2
b?a
2
已知圆(x?a)
2
?(y?b)
2
?1

22
??
①若切点P
0
(x
0
,y
0
)在圆上，其切线方程为(x ?a)(x
0
?a)?(y?b)(y
0
?b)?1

②< br>若切点P
0
(x
0
,y
0
)在圆外，过两切点的两切 点弦方程为(x?a)(x
0
?a)?(y?b)(y
0
?b)?1

焦

*
MFMF
2
?a?ex
0

点M在右支时
1
?a?ex
0
，
10

设AB是抛物线y
2
?2px的不平行于对称轴的弦，M
0
(x0
,y
0
)为AB的中点，k
AB
?
p
y0








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