高中数学必修五完整笔记含习题和答案

必修5知识点总结
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，则
有< br>abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形 公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
abc
，
sin??
，
sinC?
；③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
2R2R2R
a?b?cabc
???
④．
sin??sin?? sinCsin?sin?sinC
②
sin??
（正弦定理主要用来解决两类问题： 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角
和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a当bsinA当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin??absinC?acsin?
．
222
A
b
bsinA
D
a
C
4、余弦定理：在
???C
中，有
a
2
?b
2
? c
2
?2bccos?
，
b
2
?a
2
?c
2
?2accos?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ab
2ac
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余 的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
；
- 1 -

②若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
；③若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
．
正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,
但不能到达，在岸边选取相距
3
千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75
O
, ∠BCD=45
O
, ∠ADC=30
O
,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略


附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第 2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a
n+1
>a
n
）． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a
n+1
n
）．
13、常数列：各项相等的数列（即：a
n+1
=a
n
）．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
O
B
A
C D
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，
这个常数称为等差数列的公差．符号表示:a
n?1
?a
n
?d
。注：看数列是不是等差数列有以下三种方 法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)< br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
18、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看 成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若b?
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差 中项．
2
19、若等差数列
?
a
n
?
的首项是< br>a
，公差是
d
，则
a
1
n
?a
1< br>?
?
n?1
?
d
．
a
n
?a1
20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?< br>?
n?1
?
d
；③
d?
；
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1
d?
?1
；⑤④
n?
．
n?m
d
- 2 -

21、若
?
a
n
?
是等差数列， 且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
数列，且
2 n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
），则< br>2a
n
?a
p
?a
q
；若
?
an
?
是等差
?a
p
?a
q
．
n?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
S?na?d
．③
s
n
?a
1
?a
2
?
22、等差数列的前
n
项和的公式：①
n
；②
n1
2
2
23、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为< br>2n
?
n??
*
?
，则
S
2n
?a
n

?n
?
a
n
?a
n?1
?< br>，且
S
偶
?S
奇
?nd
，
S
奇a
?
n
．
S
偶
a
n?1
②若项数为
2n?1
?
n??
*
?
，则
S
2n?1< br>?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇?S
偶
?a
n
，
．
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）
24、如果一个数列从第
2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，
这个常数称为等比数列 的公比．符号表示：
号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)< br>
②
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1?0
)
S
奇
n
（其中
S
奇
?na< br>?
n
，
S
偶
n?1
a
n?1
?q< br>（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同
a
n
③
a
n< br>?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a< br>n
}成等比的充要条件是数列{
log
x
a
n
}（< br>x?1
）成等比数列.
25、在
a
与
b
中间插入一 个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则< br>G
称为
a
与
b
的等比中项．若
G
2
?ab
，
则称
G
为
a
与
b
的等比中项．（ 注：由
G
2
?ab
不能得出
a
，
G
，b
成等比，由
a
，
G
，
b
?
G
2
?ab
）
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
n?1
．
27、通项公式的变形：①
a
n< br>?a
m
q
n?m
；②
a
1
?a
n< br>q
?
?
n?1
?
；③
q
n?1
?< br>a
a
n
n?m
?
n
． ；④
q
a< br>m
a
1
28、若
?
a
n
?
是等比数 列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、< br>q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比数
列 ，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*< br>），则
a
n
2
?a
p
?a
q
．
- 3 -

?
na
1
?q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：①
S
n
?
?
a
1?
1?q
n
?
a?aq
．②
s
n
1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
?
s
1
?a
1
(n?1)
a?
30、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
n
?

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
?a
1
?a
2
??a
n

[注]： ①
a
n
?a
1
?
?
n?1?
d?nd?
?
a
1
?d
?
（
d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差
数列）→若
d
不为0 ，则是等差数列充分条件）.
d
?
2
?
d
?
d< br>②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?A n
2
?Bn?
?
??
n?
?
a
1
?
?
n
→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→
?
2
??
2
?
2
若
d
为零，则是等差数列的充分条件；若d
不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n
项和为< br>S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有两种方法：
一是求 使
a
n
?0,a
n?1
?
0
，成立的
n< br>值；二是由
S
n
?n
2
?(a
1
?)n利用二次函数的性质求
n
的值.
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列
等差数列
等比数列


数列
等差数列

等比数列

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项 公式以及前n项和看成是关于n的函数，
为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题：1、等差数列
分析：因为
中，，则 .
前n项和公式 对应函数
（时为二次函数）
通项公式

对应函数
（时为一次函数）
d
2
d
2
（指数型函数）
（指数型函数）
是等差数列，所以是关于n的一次函数，
- 4 -

一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，
所以利用每 两点形成直线斜率相等，即
例题：2、等差数列中，，前n项和为，若
，得=0（图像如上）
，n为何值时最大？分析：等
差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=
上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图
像开口向下，并且对称轴为，即当 时，最大。
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比数
列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
1
2
1
4
1
2
n
,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是 原两个数列的第一个相同
项，公差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥ 2的任意自然数,验证
a
n
?a
n?1
(
a
n)
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
a
n?1
2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
?
a
m
?0
3. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
的项数m使得
s
m
取
?
a
m?1
?0
最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时，满足的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意
转化思想的应用。
数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
?
c
?
2.裂项相消法:适用于
??
其中{
a< br>n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含
aa
?
n n?1
?
阶乘的数列等。
- 5 -

例题：已知数列{a
n
}的通项为a
n
=
11
解：观察后 发现：a
n
=
?

nn?1
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
s
n
?a
1
?a
2
?????a
n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)

223nn? 1
1
?1?
n?1
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列，
?< br>b
n
?
是各项不为0的等比数列。
例题：已知数列{a
n< br>}的通项公式为
a
n
?n?2
n
，求这个数列的前n项之和< br>s
n
。
解：由题设得：
s
n
?a
1?a
2
?a
3
?????a
n

=1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2n

即
s
n
=
1?2
1
?2?2< br>2
?3?2
3
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2
2
?2? 2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②，即：
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
2s< br>n
=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
得
?s
n
?1?2? 2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
2(1?2
n
)
??n?2
n?1
1?2
?2
n ?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2
∴s
n
?(n?1)2
n?1
?2

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
- 6 -

5.常用结论
n(n?1)
?
1
?
1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
2
3）
1
3
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?

2
?
2
?
2
4）
1
2< br>?2
2
?3
2
???n
2
?
1111111
1
n(n?1)(2n?1)
5）
???(?)

6）
1
pq
?
111
q?p
(
p
?
q
)


- 7 -

6
n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2
(p?q)

含参不等式
一、判别式法：
若所求问题可转 化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0,x?R)
,有
?
a?0
1）
f(x)?0
对
x?R
恒成立
?
?
；
?
??0
?
a?0
2）
f(x)?0
对
x?R
恒成立
?< br>?
。
??0
?
例1．已知函数
y?lg[x
2< br>?(a?1)x?a
2
]
的定义域为R，求实数
a
的取值范围 。
解：由题设可将问题转化为不等式
x
2
?(a?1)x?a
2< br>?0
对
x?R
恒成立，
1
即有
??(a?1)2
?4a
2
?0
解得
a??1或a?
。
3< br>1
所以实数
a
的取值范围为
(??,?1)?(,??)
。
3
若二次不等式中
x
的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设
f(x)?x
2
?2mx?2
，当
x?[?1,??)
时，
f(x)?m
恒成立，求实数
m
的取值范围。
解：设
F(x)?x
2
?2mx?2?m
，则当
x?[?1,??)
时，
F(x)?0
恒成立
当
??4(m?1)(m?2)?0即?2?m ?1
时，
F(x)?0
显然成立；
当
??0
时，如图，
F(x)?0
恒成立的充要条件为：
?
?
??0
?
?
F(?1)?0
解得
?3?m?? 2
。
?
?2m
?
???1
2
?
y
x
-1
O
x
综上可得实数
m
的取值范围为
[?3,1)
。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）
f(x)?a
恒成立
?a?f(x)
min

2）
f(x)?a
恒成立
?a?f(x)
max

- 8 -

例3．已知
f(x)?7x
2
?28x?a,g(x)?2x
3
?4x
2
?40x
， 当
x?[?3,3]
时，
f(x)?g(x)
恒成立，求实数
a的取值范围。
解：设
F(x)?f(x)?g(x)??2x
3
?3x
2
?12x?c
，则由题可知
F(x)?0
对任意
x?[? 3,3]
恒成立
令
F
'
(x)??6x
2
?6x ?12?0
，得
x??1或x?2

而
F(?1)??7a,F(2 )?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a,

∴
F(x)
m ax
?45?a?0
，∴
a?45
即实数
a
的取值范围为< br>[45,??)
。
x
2
?2x?a
,x?[1,??)，若对任意
x?[1,??)
，
f(x)?0
恒成立，求实数
a
的取值例4．已知函数
f(x)?
x
范围。
x
2
?2x?a
?0
恒成立， 解：若对任意
x?[1,? ?)
，
f(x)?0
恒成立，即对
x?[1,??)
，
f( x)?
x
考虑到不等式的分母
x?[1,??)
，只需
x
2
?2x?a?0
在
x?[1,??)
时恒成立而得
而抛物线
g(x)?x
2
?2x?a
在
x?[1,??)
的最小值
g
min
(x)?g(1)?3?a?0
得
a??3

注： 本题还可将
f(x)
变形为
f(x)?x?
a
?2
，讨论其 单调性从而求出
f(x)
最小值。
x
三、分离变量法
若所给的不 等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的
最值，进而求出参数 范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）
f(x) ?g(a)(a为参数）
恒成立
?g(a)?f(x)
max

2）
f(x)?g(a)(a为参数）
恒成立
?g(a)?f(x)
max

实际上，上题就可利用此法解决。略解：
x
2
?2x?a?0
在
x?[1,??)
时恒成立，只要
a??x
2
?2x
在x?[1,??)
时恒成立。而易求得二次函数
h(x)??x
2
?2x
在
[1,??)
上的最大值为
?3
，所以
a??3
。
例5．已知函数
f(x)?ax?4x?x
2
,x?(0,4]
时
f(x)?0
恒成立，求实数
a
的取值范围。
解： 将问题转 化为
a?
4x?x
2
对
x?(0,4]
恒成立，令
g(x)?
x
4x?x
2
，则
a?g(x)
min

x
由
g(x)?
4x?x
2
?
x
4
?1
可知
g(x)
在
(0,4]
上为减函数，故
g(x)
min
?g(4)?0

x
∴
a?0
即
a
的取值范围为
(??,0)
。
- 9 -

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行 “换位”思考，往
往会使问题降次、简化。
例6．对任意
a?[?1,1]
，不等式
x
2
?(a?4)x?4?2a?0
恒成立，求
x
的取值范围。
分析：题中的不等式是关于
x
的一元二次不等式，但若把
a< br>看成主元，则问题可转化为一次不等
式
(x?2)a?x
2
?4x?4 ?0
在
a?[?1,1]
上恒成立的问题。
解：令
f(a)?(x ?2)a?x
2
?4x?4
，则原问题转化为
f(a)?0
恒成立（
a?[?1,1]
）。
当
x?2
时，可得
f(a)?0
，不合题意。
?
f(1)?0
x?2
当时，应有
?
解之得
x?1或x?3
。
?
f(?1)?0
故
x
的取值范围为
(??,1)?(3, ??)
。
?
f(
?
)?0
注：一般地，一次函数
f(x)?kx?b(k?0)
在
[
?
,
?
]
上恒 有
f(x)?0
的充要条件为
?
。
f(
?
)?0
?
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“ 数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，
在不等式恒成立问题中它同样 起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）
f(x)?g(x)?< br>函数
f(x)
图象恒在函数
g(x)
图象上方；
2）
f(x)?g(x)?
函数
f(x)
图象恒在函数
g(x)
图象下 上方。
例7．设
f(x)??x
2
?4x
,
g(x) ?
4
x?1?a
,若恒有
f(x)?g(x)
成立,求实数
a
的取值范围.
3
y
解：在同一直角坐标系中作出
f(x)
及
g(x)
的图象 如图所示，
f(x)
的图象是半圆
(x?2)
2
?y
2< br>?4(y?0)

g(x)
的图象是平行的直线系
4x?3y?3?3a?0
。
-2
要使
f(x)?g(x)
恒成立，
则圆心
(?2,0)
到直线
4x?3y?3?3a?0
的距离
满足
d?
?8?3?3a
5
?2
，解得
a?? 5或a?
5
（舍去)
3
-4
-4
O
x < br>由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价
转 化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
- 10 -

一元二次不等式
一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．



??0

??0

??0


二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程

有两相异实根

2

有两相等实根
b
x
1
?x
2
??

2a


ax?bx?c?0
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

无实根

R


?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
xx??
??

2a
??

?


?
xx
1
?x?x
2
?


?


解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=
ax
2
?bx?c
>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式
?
，分析不等式的解的情况：
?
若A?0，则x? x
1
或?x
2
；
ⅰ.
?
>0时，求根
x< br>1
<
x
2
，
?

?
若A?0，则x
1
?x?x
2
.
?
若A?0，则x?x
0
的一切实数；
?
ⅱ.
?
=0时，求根
x
1
＝
x
2
＝
x
0
，
?
若A?0，则x?
?< br>；

?
若A?0，则x?x.
0
?
?
若A? 0，则x?R；
ⅲ.
?
<0时，方程无解，
?

?
若A?0，则x?
?
.
③ 写出解集.
一元二次方程a x
2
+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
设ax< br>2
+bx+c=0的两根为
?
、
?
，f(x)=ax
2
+bx+c,那么：
- 11 -

y
< br>?
??0
?
①若两根都大于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
?
?
?
?0

?
?
?
?
?0
?
o
?

x



对
?
称轴x=
?
b

2a
?
?? 0
?
b
?
②若两根都小于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
??0

?
2a
?
?
f(0)?0





③若两根有一根小于0一根大于0，即
?
?0?
?
，则有
f(0)?0




④若两根在两实数m,n之间，即< br>m?
?
?
?
?n
，
y
y
y
?

对称轴x=
?
?

b

2a
o x
?

o x
?

?
??0
?
b
?
?n
?
m??
则有
?
2a
?
f(m)?0
?

?

o
m
?
?
b
?
f(n)?0
X=
?

2a
⑤若两个根在三个实数之间，即
m?
?
?t?
?
?n< br>，
y
n
x
?
f(m)?0
?
则有
?
f(t)?0

?
f(n)?0
?



- 12 -

o m
?
X=
?
t
?

n
x
b

2a

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如：若方程
x
2
?2(m?1)x?m
2
?2m?3?0
有两个正实数根，求
m的取值范围。
?
4(m?1)
2
?4(m
2
?2m? 3)?0
?
??0
?
m??1
??
?
解：由①型得
?
?
?
?
?0
?
?
2(m?1)?0?
?
m??1
?
m?3

?
?
??
?0
?
m??1,或m?3
?
m
2
?2m? 3?0
??
?
所以方程有两个正实数根时，
m?3
。
又如 ：方程
x
2
?x?m
2
?1?0
的一根大于1，另一根小于 1，求
m
的范围。
?
55
22
?
??0
(?1)?4(m?1)?0
?
?
?m?
?
?
解：因为有两 个不同的根，所以由
?
?
?
2
?
?
22
?
?1?m?1

2
?
?
f(1)?0
?
1 ?1?m?1?0
?
?1?m?1
?

训练：二次方程
ax
2
?bx?c?0
的两根为
?2
，
3
，且
a?0
，那么
ax
2
?bx?c?0

的解集为（ C ）.
（A）
xx?3或x??2
（B）
xx?2或x??2
（C）
?
x?2?x?3
?
（D）
?
x?3?x?2
?

练习：
1.下列不等式：①
x
2
?0
；②
?x
2
?x?5
；③
ax
2
?2
；④
x
3
?5x?6?0
；
⑤
mx
2
?5y?0
；⑥
ax
2
?bx?c?0
.其中是一元二次不等式的有（ C ）个.
（A）
5
（B）
4
（C）
3
（D）
2

2.不等式
?
x?1
??
2?x
?
?0
的 解集为（ C ）.
(A)
?
?2,1
?
(B)
?
?1,2
?
（C）
?
??,?1
?
?
?
2,??
?
（D）
?
??,?2
?
?
?
?1,??
?

3.已知
x
2
?5x?6?0,M?x
2
?5x?6
，则
M
的取值范围是（ C ）.
(A)
M?20
(B)R （C）
20?M?30
（D）
0?M?30

4.已知二次不等式
ax
2
?bx?1?0
的解集为
?
x? 2?x?1
?
，则
a,b
的值为（ D ）.
1
（A ）
a??1,b??2
（B）
a??2,b??1
（C）
a?1,b ?2
（D）
a?b??

2
????
5.若关于
x
的不等式
mx
2
?8mx?21?0
的解集为
?
x?7?x??1
?
，则实数
m
的取值范围是（ B ）.
(A)
1
(B)
3
（C）
7
（D）
8

6．若集合
A ?xx
2
?4x?3?0,B?
?
x
?
x?2
??
x?5
?
?0
?
，则
A?B?
?
x2?x ?3
?
.
- 13 -

??

7.函数
y?x
2
?x?12
的定义域是
?
x?4?x? 3
?
.
8.方程
x
2
?
?
m?3
?
x?m?0
有两不等个实根，则实数
m
的取值范围是
?
mm?1或m?9
?
.
9.不等式
ax
2?bx?2?0
的解集是
?
?
?
x?
11
?< br>2
?x?
3
?
?
，试确定
a?b
的值.
【小可爱老师说】注意“三”个二次之间的关系.
解：由解集的形式和韦达定理可知
?
?
1
?
1b

?
?< br>?
23
??
a
,
?
a??12,
?a?b? ?10
.
?
?
1
?
12
?
?
b ??2,
?
?
?
?
?
2
?
?
?< br>3
?
a
,
?
【小可爱老师说】注意一元二次不等式的解集与一 元二次方程根的关系.
10.求函数
f
?
x
?
?
lg
?
x?4
?
2x
2
?x?1
的定义域.
【小可爱老师说】以解析式给出的函数的定义域，是使解析式有意义的
x
的集合.
解：由函数的解析式有意义，
得
?
?
x?4?0,
?x??4,
?
?
x??4,
?
2x
2
?x?1 ?0,
即
?
?
?
2x?1
??
x?1
?< br>?0,
?
?
?
?
x??
1
2
或x? 1,

所以函数的定义域为
?
?
?
x?4?x??1
?
2
或x?1
?
?
.
【小可爱老师说】求定义域的实质就是解不等式组.
练习
1.若关于
x< br>的不等式
x
2
?ax?a?0的解为
?
??,?
?< br>，则实数
a
的取值范围是
?4?a?0
.
2.在R上定义 运算
?:x?y?x
?
1?y
?
,
若不等式
?x?a
?
?
?
x?a
?
?1
对任意实数
x
均成立，则（ C
（A）
?1?a?1
（B）
0?a?2

（C）
?
1331
2
?a?
2
（D）
?
2
?a?
2


- 14 -

. ）

均值不等式
设
a
、< br>b
是两个正数，则
a?b
称为正数
a
、
b
的 算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数

2
22
(2)若
a,b?R
，则
ab?
a?b 1. (1)若
a,b?R
，则
a
2
?b
2
?2ab

2. (1)若
a,b?R
*
，则
*
2
（当且仅当
a?b
时取“=”）
a?b
*
）
?ab
(2)若
a,b?R
，则
a?b?2ab
（当且仅当
a?b
时取“=”
2
2
a?b
?
( 当且仅当
a?b
时取“=”(3)若
a,b?R
，则
ab?
?
）
??
?
2
?
3.若
x?0
，则x?
若
x?0
，则
x?
1
?2
(当且仅当
x?1
时取“=”）
x
1
??2
(当且仅当
x??1
时取“=”）
x
xxx
若
x?0，则
x?
1
?2即x?
1
?2或x?
1
?-2
(当且仅当
a?b
时取“=”）
4.若
ab?0
，则
a
?
b
?2
(当且仅当
a?b
时取“=”）
ba
若
ab?0
，则
ababab
）
??2即??2或??-2
(当且仅当
a?b
时取“=”
bab aba
a?b
2
a
2
?b
2
5.若
a,b ?R
，则
(
（当且仅当
a?b
时取“=”）
)?
22

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小 值，当两个正数的和为定植时，可以求它
们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的 取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应
用』
a?b
?ab
． 均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有：
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y
4时，和
x?y
取得最小值
2p
．
例：已知
x?
解：∵
x?
51
，求函数
f(x)?4x?2?
的最大值。
44x?5
5
，∴
4x?5?0
，由原式可以化为：
4
- 15 -

f(x)? 4x?5?5?2?
1
5?4x?
4x?5
??(5?4x)?
11 1
?3??[(5?4x)?]?3??(5?4x)??3??1?3?2
5?4x5?4x 5?4x
当
13
，即
(
时取到“=”号也就是说当
x?1< br>时有
f(x)
max
?2

5?4)x
2
1 ?
?
x?1，或x?(舍去）
5?4x2
应用一：求最值

例1：求下列函数的值域
11
（1）y＝3x
2
＋
2x
2
（2）y＝x＋
x

1
解：(1)y＝3x
2
＋
2x
2
≥2
1
3x
2
·
2x
2
＝6 ∴值域为[6 ，+∞）
1
x·
x
＝2；
1
x·
x
=－2
1
(2)当x＞0时，y＝x＋
x
≥2
11
当x＜0时， y＝x＋
x
= －（－ x－
x
）≤－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧
技巧一：凑项
5
例 已知
x?
，求函数
y?4x?2?
1
的最大值。
4
4x?5
解：因
4x?5?0
，所以首先要“调整” 符号，又
(4x?2)
1
不是常数，所以对
4x?2
要进
4 x?5
行拆、凑项，
5
11
??
x?,?5?4x?0
，
?y?4x?2???
?
5?4x?
?
?3
??2?3?1

4
4x?55?4x
??
1
，即
x?1
时，上式等号成立，故当
x?1
时，
y
max
?1
。
5?4x
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
当且仅当
5?4x?
例1. 当
解析：由
时，求
y?x(8?2x)
的最大值。
知，，利用均值 不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个
式子积的形式，但其和不是定值。注意到
2x?(8?2x)?8
为定值，故只需将
y?x(8?2x)
凑上一个系
数 即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，
y?x(8?2x)
的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等 式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最
大值。
- 16 -

变式：设
0?x?
3
，求函数
y?4x(3?2x)
的最大值。
2
2
3
2x?3?2x9
??
解：∵
0?x?
∴
3?2x?0
∴
y?4x(3?2 x)?2?2x(3?2x)?2
??
?

2
22
??当且仅当
2x?3?2x,
即
x?
技巧三： 分离
3
?
3
?
?
?
0,
?
时等号成立。
4?
2
?
x
2
?7x?10
(x??1)
的值域 。 例3. 求
y?
x?1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑 出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,
y?2（x?1)?
4
?5?9
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
x?1
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
(t?1)
2
?7(t?1）+10t
2
?5t?44
y?=?t? ?5

ttt
当,即t=时,
y?2t?
4
?5?9
（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将 式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式
求最值。即化为
y?mg(x)?
最 值。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数
f(x)?x?< br>例：求函数
y?
a
的单调性。
x
A
?B(A?0, B?0)
，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求
g(x)
x
2
?5
x?4
2
的值域。
1
?t?(t?2)

t
x
2
?4
1
2
解：令
x
2?4?t(t?2)
，则
y?
x?5
?x
2
?4?x
2
?4
11
因
t?0,t??1
，但
t?< br>解得
t??1
不在区间
?
2,??
?
，故等号不成立 ，考虑单调性。
t
t
15
因为
y?t?
在区间
?
1,??
?
单调递增，所以在其子区间
?
2,??
?
为单调递增函数，故
y?
。
t2
- 17 -

?
5
?
所以，所求函数的值域为
?
,??
?
。
?
2
?
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
1
1
x
2
?3x?1
y?2sinx?,x?(0,
?< br>)

y?2x?,x?3
,(x?0)
（2）（1）
y?
(3)
sinx
x?3
x
2．已知< br>0?x?1
，求函数
y?x(1?x)
的最大值.；3．
0?x?条件求最值
1.若实数满足
a?b?2
，则
3
a
?3
b
的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而 且
3
a
?3
b
定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：
3
a
和3
b
都是正数，
3
a
?3
b
≥
23
a
?3
b
?23
a?b< br>?6

当
3
a
?3
b
时等号成立，由
a?b?2
及
3
a
?3
b
得
a?b?1
即当
a?b?1
时，
3
a
?3
b
的最小值是6．
2
，求函数
y?x(2?3x)
的最大值.
3
11
变式：若
log
4
x?log
4
y?2
，求
?< br>的最小值.并求x,y的值
xy
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
19
2：已知
x?0,y?0
，且
??1
，求
x?y
的最小值。
xy
错解：
．．
19
19
?
9
x?0,y ?0
，且
??1
，
?
x?y?
?
?x?y?22x y?12
故
?
x?y
?
min
?12
。
??
??
xy
xy
?
xy
?
错因：解法中 两次连用均值不等式，在
x?y?2xy
等号成立条件是
x?y
，在
1
?
9
?2
9
等号成立条
xyxy
件是
1 9
?
即
y?9x
,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等 式处理问题时，列出
xy
等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法 。
19
?
y9x
正解：
x?0,y?0,
1
?< br>9
?1
，
?x?y?
?
x?y
?
?
?
?
?
???10?6?10?16

xy
?
xy
?
xy
当且仅当
19
y9x
?
时，上式等号成立， 又
??1
，可得
x?4,y?12
时，
?
x?y
?
min
?16
。
xy
xy
?
变式： （1）若
x,y?R
且
2x?y?1
，求
1
?
1
的 最小值
xy
?
(2)已知
a,b,x,y?R
且
a
?
b
?1
，求
x?y
的最小值
xy
- 18 -

技巧七
y
2
已知x，y为正实数，且x＋
2
＝1，求x1＋y
2
的最大值.
2
a
2
＋b
2
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤
2
。
1
同时还应化简1＋y
2
中y
2
前面的系数为
2
， x1＋y
2
＝x
下面将x，
1y
2
2
＋
2
分别看成两个因式：
x＋(
2
2
1y
2
2
1
2
y
＋ )x＋ ＋
2222

3
2
＝ ＝ 即x1＋y ＝2 ·x
224
1＋y
2
2·
2
＝2 x·
1y
2
2
＋
2

x·
2
1y
2
2
＋
2
≤
1y
2
3
2
＋
2
≤
4

技巧八：
1
已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝
ab
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问 题，再用
单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来 说，
因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再
通过解不等式的途径进行。
30－2b30－2b－2 b
2
＋30b
法一：a＝ ， ab＝ ·b＝
b＋1b＋1b＋1
由a＞0得，0＜b＜15
－2t
2
＋34t－31
1616
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋
ttt
≥2
1
∴ ab≤18 ∴ y≥
18
当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab
令u＝ab 则u
2
＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32
1
∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥
18

a?b
?ab
（a,b?R
?
）
点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及 运算能力；②如何由已知不
2
等式
ab?a?2b?30
出发求得
a b
的范围，关键是寻找到
a?b与ab
之间的关系，由此想到不
（a,b?R
?
）
16
t·
t
＝8
- 19 -

a?b
?ab
（a,b?R
?
）
，这样将已知条件转换为含
ab
的不等式，进而解得
ab
的范围.
2
变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方
等式
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.
a＋ba
2
＋b
2
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，
2
≤
2
，本题很简单
3x ＋2y ≤2 （3x ）
2
＋（2y ）
2
＝2 3x＋2y ＝25
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用 基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向
“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W
2
＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )
2
·(2y )
2
＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ W≤20 ＝25
变式: 求函数
y?2x?1?5?2x(
1
?x?
5
)
的最大值。
22
解析：注意到
2x?1
与
5?2x
的和为定值。 y
2
?(2x?1?5?2x)
2
?4?2(2x?1)(5?2x)? 4?(2x?1)?(5?2x)?8

又
y?0
，所以
0?y?22

3
时取等号。 故
y
max
?22
。
2
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用均值不等式。
应用二：利用均值不等式证明不等式
当且仅当
2x ?1
=
5?2x
，即
x?
1．已知
a,b,c
为两 两不相等的实数，求证：
a?b?c?ab?bc?ca

222
1）正数a ，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
?
1??
1
??
1
?
例6：已知a、b、c
?R
?
，且
a?b?c?1
。求证：
?
?1
??
?1??
?1
?
?8

?
a
??
b
??
c
?
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得 三个“2”连乘，又
11?ab?c2bc
，可由此变形入手。
?1???
aaaa
解：a、b、c
?R
?
，
a?b?c?1
。
?
?1?
述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
- 20 -
1
a
12ac
1?ab?c2bc
12ab
。同理
?1 ?
，
?1?
。上
??
bb
aaa
cc

1
?
1
??
1
??
1
?2bc2ac2ab
a?b?c?
。当且仅当时取等号。
?1?1?1??8< br>??????
3
abcabc
??????
应用三：均值不等式与恒成 立问题
19
例：已知
x?0,y?0
且
??1
，求使不等 式
x?y?m
恒成立的实数
m
的取值范围。
xy
解：令< br>x?y?k,x?0,y?0,
?1?
19x?y9x?9y10y9x
??1
，
???1.????1

xykxkykkxky
103
?2?
。
?k?16
，
m?
?
??,16
?

kk
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
1a?b
)
，则
P,Q,R
的大小关系是 . 例：若< br>a?b?1,P?lga?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg(
22
分析：∵
a?b?1
∴
lga?0,lgb?0

1
（
lga?lgb)?lga?lgb?p

2
a?b1
R?lg()?lgab?lgab?Q
∴R>Q>P。
22

Q?


- 21 -

整式不等式（高次不等式）
穿根法（零点分段法）
求解 不等式：
a
0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n
?0(?0 )(a
0
?0)

解法：①将不等式化为a
0
(x-x1
)(x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式，并将各因 式x的系数化“+”；(为了
统一方便)
②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线（即从右向左、 从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表
示各根的点（为什么？）；
④ 若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,
则 找“线”在x轴下方的区间.







（自右向左正负相间）
例题：求不等式
x
2
?3x
2?6x?8?0
的解集。
+
+
1
+

X
1
+

—
X
2
X
3
X
n-2
+

X
n-1
—
X
n
+

X

?
-
?
4
x
解：将原不等式因式分解为：
(x?2)(x?1)(x?4)?0

由方程：
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1
??2,x
2
?1,x
3
?4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图
由图可看出不等式
x
2
? 3x
2
?6x?8?0
的解集为：
?
x|?2?x?1,或x?4< br>?

例题：求解不等式

(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。
(x?6)(x?4)

- 22 -

分式不等式




- 23 -

绝对值不等式

含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|?a?x?a
?

②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|x??a,或x?a
?

变型：
|ax?b|?c(c?0)型的不等式的解集可以由
?
x|?c? ax?b?c
?
解得。其中-c?
ax?b?c
组
?
在解-c?
ax?b ??c
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax?b?c ,或ax?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
- 24 -

④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题：求解不等式
|x?2|?1

例题：求解不等式：
|x?2|?|x?3|?10

解：零点分类讨论法：
分别令
x?2?0和x?3?0

解得：
x??3和x?2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当
x??3
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
3 2
x
11
?
?(x?2)?(x?3)?10
x??
?
11?

?
?
?
2
?
??x??3

2
?
x??3
?
x??3
?
②当
?3?x?2
时，（去 绝对值符号）原不等式化为：
?
?3?x?2
?
?3?x?2
?< br>?
?
?3?x?2

?
?(x?2)?(x?3)?10x? R
??
③当
x?2
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
x?2
?
x?2
9
?
2?x?

??
?
9
?
2
?
(x?2)?(x?3)?10
?
x?
?2
119
??
由①②③得原不等式的解集为：
?< br>x|??x?
?
（注：是把①②③的解集并在一起）
22
??
y
函数图像法：
令
f(x)?|x?2|?|x?3|

f(x)
=10
5
o
11
?3

2
?
?2x?1(x ??3)
?
?
则有：
f(x)?
?
5(?3?x?2)
?
2x?1(x?2)
?
?
?
2
9

2
x
在直角坐标系中作出此分段函数及
f(x)?10
的图像如图
119
??
由图像可知原不等式的解集为：
?
x|??x?
?

22
??
- 25 -

不等式关系
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b< br>．
不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc< br>，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
d?0ac
a
?bd
⑥
?
；⑦
?b?0?a< br>


n
?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
线性归纳

1、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C ?0
，坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?在直线
?x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
? x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
2、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
（一）由B确定：
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表 示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
②若
??0
，则
?x??y? C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
- 26 -

（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?
2x?y?5?0
?
例题：画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。
?
2y?x?5?0
?
解：略
3、线性约束条件：由
x< br>，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

- 27 -