高中数学选修2-1知识点笔记

数学选修2－1
第一章：命题与逻辑结构
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
2、真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
3、若原命题为“若
p< br>，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
， 则
?q
”.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的 否命题为“若
?q
，则
?p
”。
4、四种命题的真假性：
原命题
真
真
假
假

5、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）如果要判断一命题的真假，可以转化为其逆否命题的真假性.
6、若
p?q< br>，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的 必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充 分必要条件）．
7、逻辑连接词
（1）用联结词“且”把命题
p
和命题< br>q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q< br>两个命题中有一个命题
是假命题时，
p?q
是假命题．
（2）用联结 词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两
逆命题
真
假
真
假
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
假
假

个命题都是假命题时，
p?q
是假命题．
（3）对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
． 若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是真命题．
8、全称量词与特称量词
（1）短语“所有的”、“任 意一个”、“每一个”在逻辑中通常称为全称量词，
用“
?
”表示．
（2） 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”
表示．
9、全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题称为全称命题．
（2）含有存在量词的命题称为特称命题．
10、全称命题与特称命题的否定
（1 ）全称命题的否定：
p
：
?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x
?
。
全称命题的否定是特称命题。
（2）特称命题的否定
p：
?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
? p
：
?x??
，
?p
?
x
?
。
特 称命题的否定是全称命题。
第二章：圆锥曲线
1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：
建、设、限、代、化
①建立适当的直角坐标系；②设动点
M
?
x, y
?
及其他的点；③找出满足限制条
件的等式；④将点的坐标代入等式；⑤化简方程， 并验证
2、椭圆的定义：
平面内与两个定点
F
1
，
F< br>2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹
称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

3、椭圆的几何性质：
焦点的位
置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?b,0
?

顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?
，
a
最大
关于x轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
4、双曲线的定义：
平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）的
点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲
线的焦距。
MF
1
?MF
2
?2a
?
2a?2c
?

5、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
a
2
x??

c
x2
y
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
x??a
或
x?a
，
y?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?
，
c
最大
关于x轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
6、等轴双曲线
y??
b
x

a
y??
a
x

b
（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
（2）表达式：
x
2
?y
2
?
?
（
?
?0）

（3）性质：
e?2
渐近线方程：
y??x
两渐近线互相垂直

7、抛物线的定义：
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点
F称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
8、过抛物线的焦点作垂直于 对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为
抛物线的“通径”，即
???2p
．
9、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

图形

顶点
对称轴
?
p
?
F
?
,0
?
?< br>2
?

?
p?0
?


?
p?0
?


?
p?0
?


?
0,0
?

x
轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?
2
?

?
p
??
F
?
0,?
?
2
??
焦点
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?


y?
p
2

准线方程
离心率
范围

x??
p
2

x?
p
2

y??
p
2

e?1

x?0

x?0

y?0

y?0

第三章：空间向量
1、空间向量的概念：
?
1
?
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小.
uuur
uuur
，记作
??
．
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或长度）
?
4
?
模 （或长度）为
0
的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a
．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
rr
r
?
1
?
求两 个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．
?
2
?
求两个向 量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任
uuur
r
uuur< br>r
uuur
r
r
取一点
?
，作
???a，
???b
，则
???a?b
．
rr
3、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘 运算．
rr
当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相同；
rr
当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；
r
rrr
当
?
?0时，
?
a
为零向量，记为
0
．
?
a
的 长度是
a
的长度的
?
倍．
4、空间任意两个向量，数乘运算满足分配律及结合律．
r
r
r
r
rr
分配律：
?
a?b?
?
a?
?
b；结合律：
?
?
?
a
?
?
?
???
a
．
??
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量称为共
线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
rr
rr
r
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量
a
，
bb ?0
，
ab
的充要
??
r
r
条件是存在实数
?
，使
a?
?
b
．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点
?
位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuur
x
，
y
，使
???x???y? C
；或对空间任一定点
?
，有
??????x???y?C
；

uuuruuuruuuruuur
或若四点
?
，
?
，
?
，
C
共面，则
???x???y???z?C?
x?y?z?1
?
．
uuur
r
uuur
r
r
r
???b
，9、已知两个非零向量
a
和
b< br>，在空间任取一点
?
，作
???a
，则
????
r< br>r
r
r
r
r
b
的夹角，称为向量
a
，记作
?a,b?
．两个向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
r
r
?
r
r
r
r
r
r
b
互相垂直，10、对于两个非零向量
a
和
b
，若
?a,b??
，则向量
a
，记作
a?b
．
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
bba
11、已知两个非零向量
a
和，则
abcos?a ,b?
称为
a
，的数量积，记作
?b
．即
r
rr
r
r
r
a?b?abcos?a,b?
．零向量与任何向量的 数量积为
0
．
r
r
r
r
r
r
r
rr
12、
a?b
等于
a
的长度
a
与b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
r
r
r
13若
a
，
b
为非零向量，
e为单位向量，则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?
；
r
r
r
r
rrr
2
rrr
?
2
?
a?b?a?b?0
；
?
3
?
a?a?a
，
a?a?a
；
r< br>r
r
a?b
r
r
r
r
r
?
4
?
cos?a,b??
r
r
；
?
5
?
a?b?ab
．
ab
rrrrrrr
14空间向量的运算律：
r
rr
r
?
1
?
a?b?b?a
； r
r
r
r
r
r
?
2
?
??
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；
????
?
3
?
?
r
r
rrr
r
r
a?b?c?a?c?b?c
．
?
r
r
rr
15、空间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c< br>不共面，则对空间任一向量
p
，
r
rrr
存在实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?zc
．
r
r
16 、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?
x
2
,y< br>2
,z
2
?
，则
r
r
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
r
r
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?< br>．

r
r
r
?
3
??
a?
?
?
x
1
,
?
y
1< br>,
?
z
1
?
．
?
4
?
a? b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
．
r
r
r
r
r
r
?
5
?
若
a
、
b
为非零向量，则
a?b? a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z< br>1
z
2
?0
．
r
r
r
r
r
r
?
6
?
若
b?0
，则
ab?a??
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
rrr
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
．
r
r
r
xx?yy?zz
a?b
r
?
8
?
cos?a,b??
r
r
?
2
1
2
2
2
12
2
12
22< br>．
ab
x
1
?y
1
?z
1
?x< br>2
?y
2
?z
2
?
7
?

?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z1
?
，
??
?
x
2
,y
2
, z
2
?
，则
d
??
????
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?< br>2
．
uuur
rr
17、直线
l
垂直
?，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．
r
r
r
r
18、若空间不重合两条直线a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
ab?ab?

r
r
r
r
r
r
a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
rrr
19、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
n
，且
a?
?
，则
a
?
?a
?

rrrrrrrrr
?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
． < br>r
r
r
r
b
，20、若空间不重合的两个平面
?，
?
的法向量分别为
a
，则
?

?
?a b?

r
r
r
r
r
r
a?
?b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
rr
21、设异面直线
a
，
b
的夹角为
?
，方向 向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
r
r
a?b
cos
?
?cos
?
?
r
r
．
ab
rr
r
22、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l
与
r
r
l?n
r
n
的夹角为
?
，则有
sin
?
?cos
?
?
r
r
．
ln
uruururuur
23、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹
角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
? l?
?
的平面角为
?
，

uruur
n
1
?n
2
则
cos
?
?
uruur< br>．
n
1
n
2
uuur
uuur
24、点< br>?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算．
r
25、在直线
l
上找一点
?
，过 定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定点
?到直
uuur
r
???n
uuuruuur
r
线
l
的距离为
d???cos???,n??
r
．
n
r< br>26、点
?
是平面
?
外一点，
?
是平面
?< br>内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，
uuur
r
???n
uuuruuur
r
则点?到平面
?
的距离为d???cos???,n??
r
．
n