数学笔记整理

函数
一些基本概念
1. 映射：一般地，设A,B为两个集合，如果按照某 种对应法则f，对于集合A中的任何一个元
素a，在集合B中都有唯一的元素b和它对应，那么这样的对 应叫做集A到集合B的映射，
记作f：A→B，这里b叫做a的像，a叫做b的原像。
2. 函数：设A,B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集
合B中都有 唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x).
3.
反函数：设函数y=f（x）（x∈A）的值域是根据这个函数中x,y的关系，用y表示得到
x=f（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么 < br>x=f（y）就表示y是自变量、x是因变量的函数，这样的函数叫函数y=f（x）（x∈A）的
反函数，记作x=f（y）.值得注意的是，函数y=f（x）只有满足是从定义域到值域上的一
一映 射时，才有反函数。并且，函数y=f（x）（x∈A）与其反函数x=f（y）的图象关于
直线y=x 对称。

-1
-1
-1
-1

函数的几个重要性质：
1. 单调性：包括单调递增和单调递减，这里不作过多介绍。
2. 奇偶性：
（1）奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(- x)=-f(x),那么函数
f(x)就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称；
（2）偶 函数：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数
f(x) 就叫做偶函数。偶函数的图象关于y轴对称；
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性。
3. 周期性：对于函数f(x )，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个数
时，f(x+T)=f(x)总成立 ，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期。如果函数
f(x)的所有周期中存在最小正 值T
0
，称T
0
为周期函数f(x)最小正周期。
4. 对称性：
（1）
如果f（a+x）=f（a-x），那么函数关于直线x=a对称；

（2）
如果f（a+x）=-f（a-x），那么函数关于点（a，0）成中心对称；

（3）
如果f（a+x）=-f（b-x），那么函数关于直线x= 对称；

2

（4）如果
f（a+x）=f（b-x）=2t，那么函数关于点（ ，t ）成中心对称。

实际上，（1）、（2）是（3）、（4）的特殊形式，前者更为常见。

函数与方成的关系
1. 函数零点的定义：
a?b
a?b
2
（1）对于函数y=f（ x）（x∈D），我们把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）
（x∈D）的零点 （2）
方程f（x）=0有实根?函数y=f（x）的图像与x轴有交点?函数y=f（x）有零< br>点。

2. 函数零点的判定：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的 图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）
＜0那么，函数y=f（x）在区间（a，b） 内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个
c也就是方程f（x）=0的根。

中档及以上难度的函数题，经常直接或间接地（在解题过程中有所体现）和求函数最值
相挂钩，以下先给出求最值的几种方法：
（1
）配方法：y=ax
2
+bx+c（a≠0），端值vs极值；
a
1
x
2
+b
1
x+c
1
（2）判别式 法：y=型，但容易产生增根，注意取最值x是否有解；
时
a
2
x2
+b
2
x+c
2
1
f（x）
1
（3 ）均值不等式法：y=f（x）+ 型；
f（x）
（4）利用函数单调性：特别注意y=f（x）- 型函数；
（5）利用函数有界性：形如y= 的函数，可先解出x，再利用x≥0求最值；
2
dx?c
dx?c
c
ax+b
22
（6）代数换 元法：形如y=ax+b+ 的函数，令 =t，求出x并注意定义域取值范< br>围，再代入将y表示成和t有关的函数，根据t的变化和函数类型求最值；
c
sin
?
b

（7）三角换元法：形如y=ax+
c?bx
2
的函数，可设x=
（8）
几何法：通过函数的集合背景解决问题。


导数的几何意义：
若函数y=f（x）在x=x
0
处可导，则它在该点的导 数等于曲线y=f（x）在点P（x
0
，f（x
0
））
处切线的斜率 。如果y=f（x）在x=x
0
处可导，则曲线y=f（x）在P（x
0
，f （x
0
））处的切线方
程
y?f（x
0
）?f
?< br>（x
0
）（x?x
0
）
为：
常用函数的导数：
?
?
?
?mx
m-1

?
?a
x
lna

（log
ax）
（x
m
）（a
x
）

1
xlna
(cosx)'=-sinx
(sinx)'=cosx

1
（ tanx）
?
?
2
（cosx）
?1

1
?
?ne
nx
(cotx)'=
?
（e
nx
）
（lnnx）?
2
（sinx）

x
这几个式子都可以用导数定义加以证明。
求导加法：
?
f1
(x)?f
2
(x)??f
n
(x)
?
?< br>?f
1
?
(x)?f
2
?
(x)??f
n< br>?
(x)
求导乘法：
f
1
(x)f
2
(x)

??
?
?f
?
（g（x））
复合函数求导 （f（g（x）））?g
?
（x）
以上公式经常用到，也不需要会推导，但一定要 记住。
32
xx
?
利用求导可以得到：①×≥
sinx
≥ x-及1≥
cosx
≥1-在[0，]上。
62
2
x
2
②x-≤
ln(1?x)
≤x在[0，+∞）。
2
在很多时候，利用导数得 到的这些小结果可以对
sinx
,
cosx
，
ln
''x
等进行一个合理的放缩。
在实数域上，f（x）的极值点为
f(x)
的零点，但
f(x)
的零点不一定是
f(x)
的极值点，如
f(x)
=
x
。（由极值点的定义，
f(x)
在极值点两端异号，所以
f(x)
在极值点的取值为0）
3
''

注：1·反函数求 导
y?f(x)
，则
y?
?1
'
1
，解：
x?f(y)
，两边对x求导，有
1?f'(y)?y'
，
'
f(x )
即
y?
'
1
。
'
f(x)
a'(t)
。
b'(t)
2·带参数的 函数求导
y?a(t),x?b(t)
，则
y'(x)?
三角函数与解三角形
1·诱导公式
sin(?a)??sina
，
cos(?a)?cos(a ),tan(?a)??tana

sin（π2+α）=cosα cos（π2+α）=—sinα tan（π2+α）=－cotα
sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα
sin（3π2+α）=－cosα cos（3π2+α）=sinα tan（3π2+α）=－cotα
若把a看成锐角，则角
a?2k
?
(k ?z)
，
?
?a,
?
?a,?a
分别可看成第一，二，三， 四象限
角，这几组角的记忆口诀是：函数名不变，符号看象限。

1
·
y ? Asin(?x ???) 和y ? A cos(?x ???) 的最小正周期都是T ?
2
·
y ? A tan(?x ???)的最小正周期是T ?
2
?
?

?

?
3·平移时遵循左加右减, 即y ? Asin( ?x ???) 向左平移x
0
个单位时, 函
数变为y ? A sin[?(x ? x
0
) ???], 向右平移则反之

Ⅲ、三角恒等式
①和与差的三角函数
sin(????? ) ? sin ? cos ??? cos? sin ??
sin(????? ) ? sin ? cos ??? cos? sin
cos(????? ) ? cos? cos ??? sin ? sin ??
cos(????? ) ? cos? cos ??? sin ? sin ??
tan(????? ) ?
tan
?
? tan
?
1 - tan a tan
?
, tan(????? ) ?
tan
?
? tan
?
1 ?tan a tan
?
?
②倍角公式（半角公式
sin 2??? 2 sin ? cos??
cos 2??? cos ??? sin ??? 2 cos ???1 ? 1 ? 2 sin ??
tan 2???
③恒等式
2222
2tan
?
?
2
1 - tan a
22222
sin x ? cos x ? 1,1 ? tan x ? sec x,1 ? cot x ? csc
④万能公式
2
1?tan
2
x
2tanx2tanx
sin 2x ?????cos 2x ??????tan 2x ??
1?tan2x
1 ? tan
2
x1?tan
2
x

⑤另外几个重要公式
1 ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)
1 ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)
2
2
2
2
(sin x ? cos x) ? (sin x ? cos x) ? 2
⑥和差化积、积化和差公式
sin x ? sin y ?
2sin
x?yx?y
?
22
sin x ? sin y=2cos
x?y
sin
x?y
?
22
cos
?

?
?

向量问题



平面 向量是求角、距离等的重要工具，近几年常以填空选择压轴题的形式出现，
越来越受到重视。它不仅是个 热点问题，更是个难点问题。平面向量可以单独成题
考察，也可以结合三角函数、解析几何等知识考察， 主要考察平面向量的加减法和
数量积的基本运算、平面向量的基本定理、向量的几何意义等。

平面向量兼具“数”“形”二重性，解题时应从代数运算和几何意义两个
角度去思考。由此也可 以看出，平面向量题是存在套路的，具体主要有基底法、
坐标法以及寻找几何背景的数形结合法。在这一 章中，我们将通过一些具体的
题目来介绍一些常见套路。

一些基本概念及定理：

在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示
向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向；向量也可用字母 a、b、c 等表示，或用表
示向量的有向线段 的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记
作

a
，长度为

0

的向量叫做零向量，记作
0
．长度等于

1

个单位长度的向量，叫做单位向

量。
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量 a、b、c 平行，记作 a∥b∥c.零向量
．． ．．
长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，数学上规定零向量与任一向量平行。
．．．．．．．．．．

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量
a
与
b
相等，记作
a
=
b
。零向量
与零

向量相等。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起
．．．．．．．
点无关。
．．．

平面向量基本定理：如果
e
1
和
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内
的

任一向量
a
，存在唯一一对有序实数
(x,

y)
，使得
a

?

xe
1

?

ye
2
.

向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向
量

i, j
作为基底，
a
为坐标平面内的任意向量，以坐标原点

O

为起点作向量
OP ? a
.由平面
向

量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得向量
OP

?

xi

?

y j
.因此向量
a

?

xi

?

yi.

我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作
a

?

(x,

y).
显然，其中（x，y）就是点 P 的
坐标。

共线定理：
若b

?

0,

则a

b的充要条件是存在唯一实数?，使a ???b
.

O、A、B、C
是平面上四点，且
OC ???OA ???OB
，则
A、B、C
三点共

线
???+?=1
.

例 2 中所谓的推广实际上可以这样理解：

?
?
S
OA??
?
?
S
??
?
OAC
ABC
S
?OB?
S
?
O AC
ABC
?
?
?OC
?
?
?
?



?
b
?
c
?
?
OA???
OB?OB
?

a
?
a
?
经过这样 的变形，再由平面向量基本定理即可得到①式。但按照推广的
想法来解可以节省不少时间。

如果说以上两题可以视为平面向量基本定理的直接应用的话，那么基底法和
坐标法就是平面向量 基本定理的间接应用了。下面我们用几道题来介绍基底法和
坐标法。
例 3：在
?ABC中，AC

?

2，BC

?

6
,已知点
O是?ABC内一点
，满足
OA

?

3
OB
?

4
OC


???
? 0, 则
OC
?
BA
? 2
BC
?
______.
?

分析与解：注意到这道题中只有
AC,

BC
的长度是已知的， 因此我们应当努力将所求式与
??
?
?
?
?
?
AC
,
BC

联系起来，也就是将所求式中的量用
AC
,
BC

来表示。

由
OA

?

3
OB
?

4
OC

=0
得
OC

?

CA
?

3
OC

?

CB
?

4
OC

?

0

???
??< br>?
?
?
??
?
?
?
?
1
即 ：
OC
=
?
(
CA?
3
CB
)

8
??
?

55页全部56页全部60 1 62（括例题，除了62页例题4）
包
6

圆锥曲线中一些有用的结论：

三种圆锥曲线中的统一的极坐标公式：

极坐标的含义是用到原点的距离 和对应的角度来表示一个点的坐标。其中它的原点叫做
极点。圆锥曲线中的极坐标公式指的是以一个焦点 为极点，用焦点与曲线上一点连成的射线

与
x 轴正半轴所成角θ来表示该点到焦点的距离焦半径长ρ的方
法。这条公式的具体形式为：

p?
?
?
1??cos
?
,其中 e 是离心率（抛物线的离心率为 1），p 为焦准距，θ为焦半径
与 x 轴正半轴的夹角。
这条公式的一个简单应用是计算过焦点的焦点弦长：设过焦点的直线与该曲线交于 A,B
两 点，那么
PA?PB?
?
P
?
P2
?
?
= ,注意知道斜率就等于
?
1?
?
COS
?
1?
?< br>COS
?
1?
?
2
cos2
?
知道角度，所 以知道斜率，就可以用这个方法求出焦点弦。
另一个应用是：
11
1
?< br>?
COS
?
1
?
?
COS
?
2?
??

??
pAPB
?
?
?
?这两个结论往往可以极大地简化运算。
x
2
y
2
b
2
椭圆公式：
2
?
2
?1
的左右顶点是

A，B，
P(x
0
, y
0
)
为椭圆上一点，则有
k
AP
? k
BP
? -
2
aba
双曲线公式：

x
2
y
2
b
2
?
2
?1
的左右顶点是

A，B，
P(x
0
, y
0
)
为双曲线上一点，则有
k
AP
? k
BP
?
2

2
aba
二次曲线统一的切线和切点弦方程：
已知二次曲线
Ax

?

Bxy

?

Cy

?

Dx

?

Ey

?

F

?

0

若
P(x
0

,

y
0

)
是其上一点，则过这一点的切线方程为：
22
xy
0
?x
0
yx?x
0
y?y
0
?Cyy
0
? D?E?F?0

222
若
P(x
0

,

y
0

)
是其外一点，则关于这一点的切点弦方程为：
xy?xyx?x
0
y?y
0
Axx
0
?B
00
?Cyy
0
?D?E?F?0< br>
222
Axx
0
?B


圆锥曲线的光学性质：椭圆上一点的切线是两焦点与之所成的角的外角平分线。

双曲线上一点的切线是两焦点与之所成的角的平分线。

抛物线上一点的切线是该点到准线的垂线与该点到焦点的连线所成角的平分线。



抛物线是三种圆锥曲线中几何意义最为丰富的。我们在这里介绍一些抛物线的简单的几
何性质：
设抛物线
y

?

2

px
（p＞0），焦点 F(

准线 l，则
H

(?

2
p
,0),
P(x
0

,

y
0

)
，作 PH 垂直于
2
pp
,

y
0

)
，连 FH，交 y 轴于点 M，则 M
(0,

)
，为 PH 中
22
点。由 PH=PF，M 为 HF 中点，所以 PM 垂直于 FH。又 PM 平分∠FPH，故 PM
是抛物线在 P 点的切线。于是有抛物线在某点的切线与 y 轴的交点
的纵坐标为该
点的一半。












我们再来看抛物线上两点的性质。
设抛物线设抛物线
y

?

2

px
（p＞0），焦点 F(
2

p
2
,0)，抛物线上的点
A(x
1

,

y
1

)
，




这条式子可以说是解抛物线问题最为重要的一个技巧。它的好处如下：
１、将 A,B 两个点的所有信息各用一个未知数来完全表示了（即
y
1
和
y
2
）；
２、方程中就没有再出现分式、根式等，这使计算变得简单。

可以说，正是因为这个表示让抛物线题的计算量无法达到椭圆、双曲线的层次。


然后，我们再看看抛物线的焦点弦的一些简单性质：
B(x
2
, y
2
)
。则有：过这两点的直线方程为
( y
1
? y
2
) y ? 2px ? y
1
y
2

p
,0
），抛物线上的点A（
x
1
,y< br>1
），
2
p
B（
x
2
,y
2
），AB过抛物线的焦点F（
,0
），则有：
2
p
1·由AB 的方程为
(y
1
?y
2
)y?2px?y
1
y2
，AB过点（
,0
），所以有
2
设抛物线
y
2
?2px(p?0)
，焦点F（
2
y
1
2
y< br>2
p
2
?
y
1
y
2
??p
，
x
1
x
2
?
2p4
2

2·
设 A,B 在准线
l
上的射影为
A
1
,
B
1
,O 为原点，则∠
A
1

FB
1
=90°
3·M 为 A1 B1 中点，则∠AMB=90°
4·
AB?AA
1
?BB
1

5·分别过 A,B 作抛物线的切线，则这两条切线的交点在ｌ上。
高考中的解析几何主要是考查计算能力，所以说这一题 上的计算量是无法避免的。出卷
人也会避免应用某一个技巧就在大大简化技巧的情况下完成这个题目。所 以我不强调在解析
几何大题中过多应用技巧（笔者自己在做题时就有这样的感受，用了和别人很不一样的 方法，
但最后其实计算量差不多）。可以说，只要找对了计算的方向，这个题就不会有问题。

解析几何问题的填空选择更多的会涉及一些几何性质，因篇幅问题，我在这里无法用很多
题来说 明，只能交给你们自己积累了。我在这里提示一句，不可以把死算大题的思路也用
于解决小题。