数学笔记知识点汇总

数学笔记知识点汇总
一、实数
2、平方根：
①如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。
②一个正数有2个平方根0的平方根为0负数没有平方。
③求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
3、算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根
4、立方根：
①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。
②正数的立方根是正数0的立方根是0负数的立方根是负数。
③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
a?0
10、非负数
a?0
a
2
?0
1
0
?p
11、零指数次 幂、负指数次幂
a?1(其中a?0)
a?
p
(p为正整数,a?0)
a
二 、代数式
3、整式运算：
乘法公式：①（a+b）（a-b）=a
2
-b
2
②(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个
多项式分解因 式
（2）方法：提公因式法运用公式法分组分解法十字相乘法 （一提二套三分组）
6、分式的运算：
①加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分 式先通分，化
为同分母的分式，再加减。

1

②乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
③除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

7、二次根式
22
aa
a?a
(a)?a(a?0)
?(a?0,b?0)
①性 质
ab?ab(a?0,b?0)
b
b
②运算 加减：化成同类二次根式，再合并。 乘 法
ab?ab(a?0,b?0)
aa
除法：
?(a?0,b?0)
b
b
③最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中 不含能开得尽的因数或因式。
④同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 < br>⑤有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化
因式。如：
a与a,a?b与ab,ax?by与axby
⑥分母有理化：把分母中的根号化去。（方法： 分子分母同乘以分母的有理化因式）
三、方程
（二）二次方程
1、概念 ①一 元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程
．．．．．
叫一元二次 方程
2、一元二次方程的解法：①直接开平方方法
②因式分解法
③配方法
④公式法
3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0) 的两个实数根为x
1
,x
2
bc
x
1
?x2
??,x
1
?x
2
?
则有
aa
如：x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
－2 x
1
x
2
x?x?(x?x)
2
?4xx
121212
4、根的判别式 △=b
2
-4ac ①△>0时，方程有两个不相等的实数根②△=0时，方程有
两 个相等的实数根③△<0时，方程没有实数根。


2

五、函数及其图象
（二）函数概念
1、变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，始终不变的量叫做常
量。
2、函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，
y都 有一个唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
3、函数中自变量的取值范围
4、函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值，该函数有唯一确定的对应值，此
对应值 为函数值。
5、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。
6、描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线 (有等号画实心，无等号画空心)
（三）一次函数
1、正比例函数：如果y=kx（k是常数，k≠0），那么y叫做x的正比 例函数；其图象是
过点(0,0)与(1,k)的一条直线。
2、一次函数：如果y=kx+ b（k、b是常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数。其图象是
b
过点(0,b)、( , 0)的一条直线。
?
k








3

3、正比例函数、一次函数的图象与性质：
解析式
k
b
图象

y=kx(k≠0)
k>0
b=0
k<0
b=0
k>0
b>0

y=kx+b(k≠0)
k>0
b<0

k<0
b>0

k<0
b<0

与x轴交
点
与y轴交
点
与y轴截
距
增减性
(0,0) (0,0) 负半轴 正半轴 正半轴 负半轴
(0,0) (0,0) 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴
0 0 b b b b
y随x的增y随x的增大y随x的增y随x的增y随x的增y随x的增
大而增大 而减小
二、四
大而增大 大而增大 大而减小 大而减小
一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 图象经过
象限

一、三
4、直线的位置与常数的关系：
①k>0则直线的倾斜角为锐角②k<0则直线的倾斜角为钝 角③图像越陡，|k|越大④b>0
直线与y轴的交点在x轴的上方⑤b<0直线与y轴的交点在x轴的 下方
5、一次函数的确定-----待定系数法：设、列、求。
6、一次函数与一次方程的关系：求两个一次函数的交点就是解两个一元一次方程构成的

4

方程组。
7、①直线y=k
1
x+ b与直线y=k
2
x+b平行，则k
1
=k
2
②直 线y=k
1
x+b与直线y=k
2
x+b垂直，
则k
1k
2
=1
（五）二次函数
1、定义：一般地，形如y=ax
2
+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫二次函数。
2、三式：
①一般式：y=ax
2
+bx+c(a≠0)
②顶点式：y=a(x-h)
2
+k(a≠0)
③交点式：y=a(x-x
1
)(x-x
2
)(a≠0)其中x
1
、x
2
是一元二次方程ax
2
+bx+c=0的两个实数根
3、二次函数解析式的确定：待定系数法
b4ac?b
2
b
(?, )
x??
4、二次函数的图象：是一条抛物线，其顶点坐标为 对称轴是直线
2a4a
2a
5、二次函数y=ax
2
+bx+c中 的a、b、c与抛物线的关系：
①开口方向与开口大小均由二次项系数a确定：

a
相同 则抛物线形状相同；当
a
越大，则开口越小，反之开口越大；
a>0则开口向上，且图象向上无限伸展；a<0则开口向下，且图象向下无限伸展
②与y轴 交点的位置由常数项c决定：c>0则交于y轴的正半轴上；c<0则交于y轴的负
半轴上；c=0则必 过原点。
③与x轴交点的位置由方程ax
2
+bx+c=0中的△=b
2< br>-4ac决定：
当△>0时，有两个交点；△=0时，有一个交点(或说两个相同的交点)；△<0时无交点。
④对称轴的位置由a和b联合决定(左同右异)：a、b同号则对称轴在y轴的左侧；a、b
异号则对 称轴在y轴的右侧。



5

6、二次函数的性质：
函数
图象
开口

对称轴
顶点坐标
最值

x??
b

2a
y=ax
2
+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0
向上
向下



b
2a
b4ac?b
2
(?,)
2a4a
x??
a<0
b4ac?b
2
(?,)
2a4a
b4ac?b
2
当x??时y取最小值
2a4a
b4ac?b
2
当x??时y取最大值
2a4a
7、二次函 数的平移

y=ax
向右(h>0),向左(h<0)平移h个单位
2
向上(k>0),向下(k<0)平移k个单位
y=a(x-h)
2
+k
(口诀：上加下减，左加右减) 左加右减注意直对单独的x进行加减
六、图形的认识
（6）角的平分线：从一个角的项点引出的一条射线，把这个角分成两个相等 的角，这条
射线叫做这个角的平分线。
6、互余与互补：
（1）概念：如果两个角 之和等于90°则说这两个角互余；如果两个角之和等于180°则
说这两个角互补
（2）性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
7、相交线：
（1 ）邻补角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点，有一条公共边，且另一边互
为反向延长线的两个 角，互为邻补角。


6

（2）对顶角：两条直 线相交组成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，两边分别互为
反向延长线的两个角，互为对顶角。
（3）对顶角的性质：对顶角相等。`
10、平行线
（4）平行线的判定：同位角 相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，
两直线平行。
（5）平行线的性质 ：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，
同旁内角互补。
（二）三角形与多边形
3、三角形的“三条重要线段”
（1）三角形的角平分线： 三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点
和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形中线
（3 ）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的
线段叫做三角形的高 线，简称三角形的高
4、三角形的“四心”：内心→三角形的三条角平分线的交点；重心→三角形的三 条中线
的交点；垂心→三角形的三条高的交点；外心→
三角形三条边的垂直平分线的交点。
不等边三角形
?
?
5、三角形的分类：（1）按边：
三角形
?
?
底和腰不相等的等腰三角形
?
等腰三角形
?
等边三角形

?
?


（2）按角分类： < br>直角三角形
?
?
三角形
?
?
锐角三角形
?< br>
斜三角形
?
钝角三角形
?
?
7

8、等腰三角形：（1）定义：两边相等的三角形
（2）性质：等边对等角；三线合一
（3）判定：等角对等边
（4）等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形。
（5）等边三角形的性质：三边都相等，三角都相等，都等于60°
（6）等边三角形的判定 ：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等
3
3
2
a，面积为 腰三角形是等边三角形；边长为a的等边三角形的高等于
a
2
4
9、直角三角形 （1）定义：有一个角是直角的三角形
（ 2）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，30°的锐角所
对的直角边等于 斜边的一半。
七、图形的全等
4、全等形与全等三角形：（1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形
（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
5、全等三角形的对应元素 ：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互
相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做 对应角。
6、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（2）全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。
7、全等三角形的判定
（1）三边对应相等的两个三角形全等SSS
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA
（4）两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等H L

8

十一、四边形
（一）梯形
（1）定义：①一组对边平 行而另一组对边不平行的四边形叫梯形②两条腰相等的梯形叫
等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直 角梯形。
（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等、对角线相等
（3）等腰梯形的判定：①两腰相等的梯形②同一底上的两个角相等的梯形③对角线相等
的梯形

（二）平行四边形
（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
（2）性质：①平行四边形两组对边分别平行 ② 平行四边形的两组对边分别相等 ③平
行四边形的两组对角分别相等 ④平行四边形的对角线互相平分。⑤平行四边形关于对角
线的交点成中心对称图形
（3）判 定：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形②两组对边分别相等的四边形
是平行四边形③两组对角 分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是
平行四边形⑤一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形

（三）矩形
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）性质：①矩形的四个角都是直角② 矩形的对角线相等③矩形既是中心对称图形，也
是轴对称图形，有两条对称轴
（3）判定：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 ②有三个角是直角的四边形是
矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形

9

（四）菱形
（1）定义：邻边相等的平行四边形是菱形
（2）性质：①菱形的四条 边都相等②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一
组对角③菱形的面积等于对角线乘积的一半 ④菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，
有两条对称轴。
（3）判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②四条边都相等的四边形是菱形
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（五）正方形
（1）定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形。
（2）性质：①正 方形的四个角都是直角，四条边都相等②正方形的两条对角线相等，并
且互相垂直平分，每条对角线平分 一组对角。③正方形既是中心对称图形，也是轴对称
图形，有四条对称轴。
（3）判定：①平 行四边形+一组邻边相等+一个角为直角（定义法）②矩形+一组邻边相
等③矩形+对角线互相垂直④矩 形+一个角为直角⑤菱形+对角线相等

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