职业高中数学笔记总结

高一下册
+d
1、 等差数列 (a
1
、a
2
、a
3
、···)
a
n+1
=a
n
+d (d为公差)
通项公式：a
n
=a
1
+(n-1)d
+d
前n项和的公式：s
n
=
,
s
n
=na
1
+d
等差数列{a
n
}中 ，对任意的m,n,p,q,只要m+n=p+q，那么a
m
+a
n
=ap
+a
q
等差中项：2a
2
=a
1
+a
3
q
×
q
2、等比数列 (a
1
、a
×
2
、a
3
、···)
a
n+1
=a
n
q (q为公比)
通项公式：a
n
=a
1
q
n-1
前n项和的公式：s
n
=
(q1),
s
n
=
(q1), 当q=1时s
n
=na
1
等比中项：=a
1
a
3
3、
平面向量
平面向量的加（减）法：
C




A

a
a+b
b
B
B
b
C
a-b
a
A
图（1） 图（2）
图（1） a+b=AB+BC=AC 图（2） a-b=CA-CB=CA+BC=BA
向量a+b的画法：向量a的头（箭头端）指向 向量a-b的画法：向量a的尾对向量b
向量b的尾，向量a+b则指向被加的那一方。 的尾，向量a-b则指向减数那一方。
平面向量的数乘运算：例 (a+b)=a+b
平面向量的坐标：A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
), AB=(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
)
线性运算的坐标：a+b=
(x
1
+x
2
, y
1
+y
2
)

a-b=
(x
1
-x
2
, y
1
-y
2
)

共线向量的坐标：?
x
1
y
2
- x
2
y
1
= 0

相交 ?
x
1
y
2
+ x
2
y
1
= 0

向量内积：
(|a||b|为向量a,b的模，为向量a,b的夹角)
A

O
0° 180°
B

b
内极坐标表示：a=(x1,y1), b=(x2,y2)
a
1 11

a·b=x1x2+y1y2
|a|=
Cos=
4、 直线和圆的方程
两点间的距离：|P
1
P
2
|=
=


线段中点坐标：
x
0
=




,
y
0
=
B
(x
2
,y
2< br>)


A
(x
1
,y
1
)

M
(x
0
,y
0
)

斜率：k=tan , k=

(x
1
x
2
)
点斜式方程：
y-y
0
=k(x-x
0
)
斜截式方程：y=kx+b (b为截距)
一般式方程：Ax+By+C=0 (其中A,B不全为零)
两直线平
两个方程的系数关系
K
1
k
2

行：
两直线的位置关系

相交


两直线相交：
L
1

L
2







(1)
图
(1) L
1

K
1
=k
2

b
1
b
2

平行
b
1
=b
2

重合
L
2


L
1


(2)
L
2
?k
1
·k
2
=-1

图
(2)
斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直
点到直线的距离：d=

圆的标准方程：(x - a)
2
+(y - b)
2
=r
2
圆心C( a , b )
2 11

圆的一般方程：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0 (其中D
2
+E
2
-4F>0) , 圆心() , 半径
()
直线与圆的位置：d>r (相离) , d=r (相切) , d 圆心C(a , b)到直线Ax+By+C=0的距离 d=
5、 平面

平面 性质1：如果直线L上的两个点都在平面内，那么直线L上的所有点都在平面
内。此时称直线L在平面内 或平面经过直线L，记作L 。

性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们一 定还有其他公共点，并且所有
公共点的集合是这个点的一条直线。此时称这两个平面相交，平面与平面相交，交线为L，记作 。

性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面。
三个结论：(1) 直线与这条直线外的一点可以确定一个平面。
(2) 两条相交直线可以确定一个平面。
(3) 两条平行直线可以确定一个平面。
直线与直线的位置关系：平行、相交、异面
在同一个平面内的直线叫做共面直线，不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。
平行直线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行。
D
1




ADC向上折成AD
1
C
C
D

此时ABCD
1
不在同一平面内

这时的四边形叫做空间四边形
B
A

直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

判定 直线与平面平行的方法：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么
这条直线与这个平面平行 。

直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平
面
和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。

判定平面与平面平行的方法：如果一 个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，
那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行。

如果直线L和平面内的任意一条直线都垂直，
那么就称直线L与平面垂直，记作L 。直
A
3 11
线L叫做平面的垂线，垂线L与平面的交点
叫做垂足。

P
斜线L与它在平面内的射影L
1
的夹角，叫做直
线L与平面所成的角。

L
B

L
1

A
直线与平面垂 直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那
么这条直线与这个平面垂直。

直线与平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直。

平 面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另
一个平面垂直。
6、 几何图形
棱柱
正棱柱的侧面积：
S
正棱柱侧
=ch

(c
表示正棱柱底面周长 ,
h
表示高
)

全面积(表面积)：
S
正棱柱全
=ch+2S
底

体积：
V
正棱柱
=S
底
h

棱锥 图
(1)

正棱锥的侧面积：
S
正棱锥侧
=ch
1
(h
1
表示斜高
)
全面积(表面积)：
S
正棱锥全
=ch
1
+S
底

h
1

(1)

体积：
V
正棱锥
=S
底
h

圆柱
母线
L
S
圆柱侧
=2rh S
圆柱全
=2r(h+r) V
圆柱
=r
2
h
圆锥 图
(2)

h
S
圆锥侧
=rL S
圆锥全
=r (L+r) V
圆锥
=
球 图
(3)

r
2
h
(2)

r=
d
O
R
d为球心到截面的距
离，R为球的半径，r
为截面上圆的半径。
4 11

O
1

r
S
球
=4R
2
V
球
=
7、 概率初步
R
2

(3)

分类计数原理：
N=k
1
+k
2
+ …+k
n
(
种
)

分步计数原理：
N=k
1
·k
2
·…·k
n
(
种
)

随机事件；必然事件，用表示；不可能事件，用表示。
基本事件：不能再分的最简单的随机事件。
复合事件：可以用基本事件来描绘的随机事件。
频率：

(m为频数) n次重复试验中，事件A发生了m次 ()
概率：P(A)=
(
古典概型
)
B)=P(A)+ P(B)
概率加法公式：
P(A















高二
1、 三角公式及应用
两角和与差的余弦公式：
cos()=coscos
sinsin

)=sin
sincos

5 11
sinsin
cos()=coscos
两角和与差的余弦公式：
sin(sincos
sin()=sin

两角和与差的余弦公式：
tan()=


sin
2


tan()=
二倍角公式：
sin2=2sincos , cos2=cos
2
cos2=2cos
2
1 或 cos2=12sin
2

sin
2
= 或 cos
2
=
tan2=
正弦型函数：y=Asin(

) (A>0 , >0) , 定义域为R,周期为T=

y
x
正弦型曲线： 利用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的图像。
(1) Y=sinx , T=2
x 0

1
0
0
0

0
2

-1 0



1


0

2

-1
O
0
-1
所谓“五点法”是指将sin内的数值取0, , ,
可。
y=Asin() (x
A为振动的振幅
[0,+),A>0 , >0)
, 2这五个点，然后求出x与y的值即


1
O
-1
1
Y=sinx 0
(2) Y=sin2x , T=
x
2x
Y=sin2x



y
x
振动的周期：T =


振动的频率：f =
=

)的形式
相位： 当x=0时的相位叫初相
将函数y=asinx+bcosx (a>0 , b>0) ,转化为y=Asin(
6 11

A= , =
正弦定理：
==

余弦定理：
a
2
=b
2
+c
2
2bccosA ? cosA=
b
2
=a
2
+c
2
2accosA ? cosB=
c
2
=a
2
+a
2
2abcosA ? cosC=
注：






2、 椭圆
y

M



F
2

F
1

O


(1)
0°
0
1
0
30°



1
45°




60°

90°
1
0
—

120°



-1
135°


150°



y
F
2

O
x
180°
0
-1
0
F
1
, F
2
是椭圆的焦点
F
1
到F
2
的距离叫做焦距 2c (c > 0)
F
1
, F
2
距离之和为2a (a > 0) (长轴)
2b (短轴)
x
离心率：e=
a
2
c
2
=b
2

M

(0 < e < 1)
F
1

椭圆标准方程： (1)

(a > b > c > 0)
(2)
(2)
3、 双曲线





F
1




(a > b > c > 0)
F
1
, F
2
是双曲线的焦点
F
1
到F
2
的距离叫做焦距 2c (c > 0)
|MF
1
||MF
2
|= 2a (a > 0) (实轴)
2b (虚轴)
虚线部分为渐近线
x
y
F
2

y
M
O
F
2

图(1)渐近线为 y=

O
F
1

M
x
图(1)渐近线为 y=
7 11

(1)
(2)
双曲线标准方程： (1)

(a > 0 , b > 0)
(2)
4、 抛物线

y

P


E
O



(a > 0 , b > 0)

M
x
|EF|=P , 焦点F的坐标为( , 0 )
直线L为抛物线的准线
|MF|=M到准线L的距离
(抛物线上任意一点到焦点的距离等于此点到准线的距离)
离心率：e=1
抛物线的标准方程：y
2
=2px ( p > 0 )
F

5、 排列与组合
表示从n个不同元素中，取出m ( mn )个元素的所有排列的个数


=n(n1) (n2) … (nm
=n(n1) (n2) … 32
1) (mn) 例：=5
3
(51)=20

21=24

1 (m=n) 例：=4
=n!
=

(m=
8 11
=
12

n!
叫做
n
的阶乘 (1到n的正整数连乘积) (
0!=1
) 例：
5!= 5

表示从n个不同元素中取m ( m
4321=120

n )个不同元素的所有组合的个数

=
=
=
=

或


( m
=

性质1 ：
性质1 ：
组合(
6、 二项式
n ) 例：
=

=


( mn ) 例：
)与排列()的区别：组合中m个元素不用排序，排列中m个元素需要排序
二项式定理：
(a+b)
n
=
为二项式系数
(
二项展开式
)

二项式的通项公式：
=

二项式系数的性质：
(1)

每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的。
(2)

每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等。
(3)

如果二项式(a +b)
n
的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间一项
的二项式系数最大；如果n是奇 数，那么二项式展开式中间两
项的二项式系数最大，并且相等。
（剩下部分）
高一上册
= (3)
(a+b)
1
… 1 1
(a+b)
2
… 1 2 1
(a+b)
3
… 1 3 3 1
(a+b)
4
… 1 4 6 4 1
……
杨辉三角

1、 运算法则
(1)= (2)=
当a > 0 ,p ,q为有理数时
= = =
2、 幂函数
叫做幂函数，为常数，为自变量
当>0时，函数图像经过原点( 0 , 0 )与点( 1 , 1 )；当<0时，函数图像不经过原点( 0 ,
0 )，但经过( 1 , 1 )点。
3、 指数函数
, 值域(0,
性质：当x=0时，函数值y=1；
当a>1时，函数在()内是增函数；当0) , D=R
9 11

数。
4、 对数
b=log
a
N (以a为底N的对数等于b)；a叫做对数的底，N叫做真数
a
b
=N 叫做指数式 log
a
N=b 叫做对数式
当时
(1) log
a
1=0 (2) log
a
a=1 (3) N>0, 即零和负数没有对数
以10为底 的对数叫做常用对数，log
10
N简记为lgN，如log
10
2简记为l g2
以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，log
e
N简 记为lnN，如log
e
5简记为
ln5
Lg(MN)=lgM+lgN ( M>0 , N>0 )
当M>0 , N>0时 lg
5、 对数函数

= lgM-lgN lgM
n
=nlgM
, D=(0,
性质：当x=1时，函数值y=0；
) , 值域为()
当a>1时，函数在()内是增函数；当0提示：求函数定义域时要注意“对数的真数大于零”的条件。
6、 角
角的概念
OA是始边，OB为终边，端点O叫做角的顶点

(1) 顺时针方向旋转所形成的角为负角
B

(2) 逆时针方向旋转所形成的角为正角


(3) 当射线没有任何旋转时，也认为形成了一个角，叫做零
A
O

角
终边相同的角 {}
与角终边相同的角有无限多个，所以组成的集合如上所示
终边在y轴上的角的集合是{}
终边在x轴上的角的集合是{}
弧度制
B

当角用弧度表示时，其绝对值等于圆弧长L与半径r的比，即||=


2r

2rad

O
7、 三角函数
r
弧长公式： 扇形面积公式：


y





O(A)



?

(
rad
)
?

由图得知：
(
rad
)

B
r

x
y
C
y
x
y



y


10 11

O
x
O
x
O
x








三
角
函
数
值
00°



0
1
0
90°
1
0
不存在
180°
0
-1
0
270°
-1
0
不存在
2
0
1
0

8、 同角三角函数的基本关系式



例：已知
解： 由
得
又

则
9、 诱导公式
,
且是第四象限角, 求


是第四象限角

,




?



和

?
当


时,
?



?






11 11