高中函数笔记

高中函数（导数）、不等式的知识结合之
学习笔记


总结：杜老师

集合知识：（1）集合的表示（2）空集、子集和真子集（3）交集和并集、全集和补集
不等 式知识：（1）不等关系和不等式（2）基本不等式（3）一元二次或高次不等式解法（4）
不等式与简 单线性规划（体现代数与几何之间的转化）
函数基本知识：（1）映射与函数的概念（2）函数的表示 及三要素｛定义域、对应法则、值
域｝（3）抽象函数与法则符号的理解（4）函数的性质｛单调性、奇 偶性、周期性、对称性｝
（5）基本初等函数：初中｛一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数 ｝，高中｛三
角函数（反三角函数）、指数和对数函数、幂函数（二次函数）、反函数｝（6）函数与方 程、
函数图像：体现数型结合思想（8）从实际问题抽象出函数模型进而解决问题：学会数学建
模的实际应用
导数基本知识：（1）导数本质上是一个新的函数，符合函数的基本要求（2）深刻认识 导数
作为解决函数问题的一个工具性作用（2）基本求导公式（3）求函数极值和最值的解题过程
（4）深刻理解导函数（图像）和原函数的联系与区别
两个基本问题的解决：
（1）解不 等式问题：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符
号＞、＜、≥、≤、≠连 接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式
子，叫做不等式．
（2） 不等式恒成立问题：解不等式的逆问题，即知道不等式解集反过去求满足该解集的不
等式参数的问题。我 们处理的数学思想：转化思想；我们转化的目标：转化为最值问题，进
而（在解集或定义域内）求最值问 题；我们解决的手段或方法：利用函数观点解决最值问题，
利用不等式知识求解最值问题。我们的收获： 解决数学实际（综合）问题往往是将其转化为
与之关联的数学知识或模型进行研究，体现了利用旧知识解 决新问题的思维方式。数学学习
过程揭示了利用已有知识经验探索未知领域的自然规律。
【典例1】
已知函数
f(x)?ax?bx?c
在点
x?2
处取得极值
c?16
。
（Ⅰ）求
a,b
的值；
（Ⅱ） 若
f(x)
有极大值28，求
f(x)
在
[?3,3]
上的 最小值。












3

【举一反三1】
设
f( x)?2x
3
?ax
2
?bx?1
的导数为f′(x)，若f′(x )满足
f
'
(x)?f
'
(?1?x)
，且原函数
f(x)
的图像在点
(1,f(x))
处的切线与直线
y?m
(m为 常数)平行。
(1) 求实数a，b的值； (2) 求函数
f(x)
的极值．













a
n
【典例2】已知
a
为正实数，
n
为自然数，抛物线
y??x?
与
x
轴正半轴相交于点A
，
2
2
设
f(n)
为该抛物线在点
A
处的切线在
y
轴上的截距。
（Ⅰ）用
a
和
n
表示
f(n)
；
（Ⅱ）当
0?a?1
时，比较
111
??????
与
f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)
6?








f(1)?f(n?1)
的大小，并说明理由。
f(0)?f(1)
【举一 反三2】设函数
f(x)?x?In(x?1?x
2
)

(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若
x?0
时，恒有
f(x)?ax
，试求实数a的取值范围；

3

(3)令
a
n
?













1
11
6n
11
试证明：
a
1
?a
2
?a
3
?????a
n
?
.
( )?In[()
2n
?1?()
4n
](n?N
*
)
，
3
9222
【典例3】设函数f(x)= e
x
－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f
?
(x)+x+1>0，求k的最大值








‘x?1
【举一反三3】已知函数f(x)满足满 足f(x)=
f(1)e?f(0)x?
1
2
x

2
(1)求f(x)的解析式及单调区间；
(2)若f(x)
?



【典例4】已知函数
f(x)?(x?1)lnx?x?1
.
（Ⅰ）若
xf'(x)?x?ax?1
，求
a
的取值范围；
（Ⅱ）证明：
(x?1)f(x)?0
.

2
1
2
x?ax?b
，求（a+1）b的最大值
2

【举一反三4】设函数
f(x)?e
x
?1?x?ax
2
。
(1)若
a?0
，求
f(x)
的单调区间；
(2)若当< br>x?0
时
f(x)?0
，求
a
的取值范围