数学数列笔记整理

等差数列的充要条件：
an+1 - an =常数 {an}为等差数列
2an+1=an+an+2 {an}为等差数列
an=kn+b {an}为等差数列
Sn=pn?+qn {an}为等差数列
【n∈N+】

等差数列的相关性质：
①等差数列{an}中，am=an+（m-n）d，变式d=（am-an）（m-n）
②等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m -Sm，S3m -S2m，仍为等差数列
③等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，若 m+n=2p，则am+an=2ap
④等差数列{an}中，Sn=an?+bn （其中a=d2，d≠0）
⑤两个等差数列{an}和{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列
⑥若{an}是公差为d的等差数列，则其子列ak，ak+m，ak+2m 也是等差数列，且公差为md；
{kan}也是等差数列，且公差为kd

求数列的通项an及数列求和
求通项方法：
1.公式法
2.叠加法：
例题：若数列{an}，a1=2，且an+1 -an=n（n∈N+），求an
解： a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=3
a5-a4=4
an-an-1=n-1
将之相加，相加之后：
an-a1=(n-1)(n-1+1)2
an=2+n(n+1)2
3.叠乘法：
例题：若数列{an}，a1=2，且an+1an =n（n+1）（n∈N+），求an
解： a2a1 * a3a2 * a4a3 * ······*anan-1 =12 * 23 * 34 * ······* (n-1)n
ana1=1n
an=2n
4.构造法：
①设t构造：
例：若数列{an}，a1=2，且an+1=2an +1 （n∈N+），求an
解：设
an+1 +t=2（an +t）
an+1 +t=2an +2t
an+1=2an +t
(将上面得到的式子，跟题目中的式子对比)
得到：t=1
将t代入：

an+1 +1=2(an +1)
【此处，将an +1 看做一个整体】
{an +1}为等比数列
an +1=（a1 +1）*2^(n-1)
an +1=3*2^(n-1)
an=3*2^(n-1)-1
②除种构造：
例：若数列{an}，a1=2，且an+1=2an+2^(n+1) （n∈N+），求an
解：
an+12^(n+1) =2an2^(n+1) +1
an+12^(n+1) - an2^n =1
则： {an2^n}为等差数列
an2^n =a12 +(n-1)=n
an=n*2^n
③颠倒构造：
例：若数列{an}，a1=2，且an+1=2an(an+2) (n∈N+)，求an
解：
1an+1 =(an +2)2an =12 +1an
1an+1 -1an =12
则： {1an}为等差数列
1an =1a1 +(n-1)*12=n2
an=2n
5.利用an={Sn-Sn-1 （n>1） S1（n=1）
例：若数列{an}前n项和Sn=2n^2+3n+1，求an
解略去
6.利用周期求：
例：若数列{an}，a1=2，且an+1=1-1an （n∈N+），求a2011
解法：手写，求前几项的值，直到出来与前面某项重复的数值
此种方法应用于：an，n的数值很大的题目

求和方法
1.公式法
题目略去
2.倒序相加法
题目略去
3.错位相减法
题目略去
4.裂项相消法
题目略去
5.分组求和法：把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和
例：1+1，1a+4，1a^2+7，···，1a^(n-1)+3n-2，求各项之和
解：Sn=[1+1a+1a^2+···+1a^(n-1)]+[1+4+7+···+(3n-2)]
可以看出，前一部分是等比数列，公比为1a；后一部分是等差数列，公差为3
Sn=1(1-1a^n) (1-1a) +n*(1+3n-2)2

化简之即得
6.一些结论: ①1^2 +2^2 +···+n^2 =16 *n(n+1)(2n+1)
②1^3 +2^3 +3^3+···+n^3=14[n(n+1)]^2
③Cn0+Cn1+Cn2+···+Cnn=2^n

补充:
无穷递缩等比数列：
|q|<1, lim(n→∞)Sn=a11-q
例：a1 +a2=2,a2 +a3=1，求 lim(n→∞)Sn
解：一种简介的方法
∵an为等比数列
∴a1 +a2,a2 +a3,a3 +a4···都是等比数列
这个新数列的公比为q
q也是原数列的公比
根据题目，可以得到q=12
∴a2=a1+a12=2
∴a1=43
∴lim(n→∞)Sn=(43)(1-12)=83