复习笔记五 立体几何

立体几何
[基础知识要记牢]
1．简单几何体的表面积和体积
1
(1)S
直棱柱侧
＝c·h(c为底面的周长，h为高)．(2)S
正棱锥 侧
＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．
2
1
(3)S
正棱台 侧
＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．
2
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S
圆柱侧
＝2πrl(r 为底面半径，l为母线)，S
圆锥侧
＝πrl(同上)，
S
圆台侧
＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底的半径，l为母线)．
(5)体积公式
1
V
柱
＝S·h(S为底面面积，h为高)，V< br>锥
＝S·h(S为底面面积，h为高)，
3
1
V
台
＝(S＋SS′＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高)．
3
4
(6)球的表面积和体积 S
球
＝4πR
2
，V
球
＝
πR
3
.
3
2．两个作图规则
(1)三视图排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左) 视图放在正(主)视图的右
面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正 (主)俯一样长，
俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．
(2)画直观图的规则 < br>画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴
平行的线段 长度为原来的一半．
3．线、面位置关系判定的六种方法
(1)线面平行：
(2)线线平行：
(3)面面平行：



a∥b
?
?
α∥β
?
?
?
?a∥α，b?α
?
?a∥α，
?
a?β
?
a?α
??


α⊥β
?
?
a⊥β
?
?a∥α.
a?α
?
?
a∥α
?
?
a⊥α
?
?
?
? a∥b，
a?β
?
?a∥b，
?
b⊥α
?
α∩β＝ b
?
?


α∥β
?
?
a∥b
?
?
?
?b∥c. < br>α∩γ＝a
?
?a∥b，
?
a∥c
?
β∩γ＝b?
?

a?α，b?α
?
a∩b＝O
?
a⊥α
?
α∥β
?
??
??
?α∥γ.
?
?α ∥β，?α∥β，
??
a⊥β
?
γ∥β
?
a∥β，b∥β< br>?
?

a⊥α
?
?
?
?a⊥b. (4)线线垂直：
?
b?α
?
α⊥β
?
??
α∥β
?
a∥ b
?
??
??
(5)线面垂直：
a∩b＝O
?
?l ⊥α，
α∩β＝l
?
?a⊥β，?a⊥β，
??
a⊥α
?< br>a⊥α
?
l⊥a，l⊥b
?
a?α，a⊥l
?
??< br>a?α，b?α
?





?b⊥α.
a?β
?
a∥β
?
??
??
?α⊥β. (6)面 面垂直：?α⊥β，
??
a⊥α
?
a⊥α
?
[易错易混要辨 明]
1．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可
见 轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般以正
(主)视图和俯 视图为主．
[针对练1] 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )



ππ
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－
24
2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几 何体的底面积和所有
1
侧面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公 式中的系数.
3
[针对练2] 一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧 视图、俯视
图均是边长为2的正方形，如图所示，该多面体的表面积是( )

A．12＋43 B．8＋23 C．12＋23 D．8＋43

3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定
理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为
忽视 面面垂直的性质定理中m?α的限制条件．
[针对练3] 设α，β分别为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形 ，弄清楚变
与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中< br>的位置与数量关系．
[针对练4]

如图是正方体的平面展开图，在这个 正方体中，①AN与BG平行；②AN与EF是异面
直线；③AN与DM成60°角；④DM与EF平行 ．以上四个命题中正确的命题是( )
A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①③

[查缺补漏不可少]
1．已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n； ②若α∥β，l?α，则l∥β；
③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ④若m，n为异面直线，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β.
其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
2．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( )
A．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
3．如图，已知三棱柱ABC- A
1
B
1
C
1
的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长 为1
的正三角形，点P是A
1
B
1
上一动点(异于A
1，B
1
)，则该三棱柱的侧(左)视图是( )

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A．64 B．72 C．80 D．112
5.

如图所示，在正方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，M，N，P，Q分别是 AA
1
，A
1
D
1
，CC
1
，BC
的中点，给出以下四个结论：
①A
1
C⊥MN；②A
1
C∥平面 MNPQ；③A
1
C 与PM相交；④NC与PM异面．
其中不正确的结论是( )
A．① B．② C．③ D．④
6．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体最长的一条侧棱的长度是( )

A．5 cm B.27 cm C.29 cm D.31 cm

7．三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三
棱锥P- ABC的体积等于________．
8.

如图，A，B，C，D为空间中的四 个不同点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2.等边
三角形ADB以AB为轴运动．当平面AD B⊥平面ABC时，CD＝________．

9.

如图，三棱柱A BC-A
1
B
1
C
1
的侧棱AA
1
⊥底面 ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC
1
的中点，
F是AB的中点，AC＝BC＝1 ，AA
1
＝2.
(1)求证：CF∥平面AEB
1
；
(2)求三棱锥C-AB
1
E在底面AB
1
E上的高．
1 0．正三角形ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC的中点(如
图1)．现 将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2)．在图2中：
(1)求证：AB∥平面DEF；
(2)求多面体D-ABFE的体积．