理科数学笔记三角恒等变换

三 角 恒 等 变 换
一 、 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式
1 ． 两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式

（ 1 ） C
(

（ 2 ） C
(

（ 3 ） S
(

（ 4 ） S
(

（ 5 ） T
(


α － β )
： cos(
α
－
β
) ＝ cos
α
cos
β
＋ sin
α
sin
β
．
： cos(
α
＋
β
) ＝ cos
α
cos
β
－ sin
α
sin
β
： sin(
α
＋
β
) ＝ sin
α
cos
β
＋ cos
α
sin
β
： sin(
α
－
β
) ＝ sin
α
cos
β
－ cos
α
sin
β
： tan(
α
＋
β
) ＝

α ＋

β

)

α

＋

β

)

α

－

β

)

α

＋

β

)
π
，
β
，
α
＋
β
≠ ＋
k
π，
k
∈Z
tan
α
＋tan
β
α
2
1－tan
α
tan
β
（ 6 ） T
( α － β )
： tan(
α
－
β
) ＝
π
，
β
，
α
－
β
≠ ＋
k
π，
k
∈Z
tan
α
－tan
β
α
2
1＋tan
α
tan
β
2 ． 二 倍 角 公 式
（ 1 ） S
2 α
： sin 2
α
＝
（ 2 ） C
2 α
2sin
α
π
k
π π
≠ ＋ ，且
α
≠
k
π＋ ，
k
∈Z
2tan
α
α
4 2 2
： tan 2
α
＝
2
1－tan
α
2
2sin
α
cos
α
2 2 2
： cos 2
α
＝ cos
α
－ sin
α
＝ 2cos
α
－ 1 ＝ 1 －
（ 3 ） T
2 α

3 ． 公 式 的 常 用 变 形
（ 1 ） 公 式 变 形 ： tan
α
± tan
β
＝ tan(
a
±
β
)(1 ? tan
α
tan
β
)
1－cos 2
α
2 2
1＋cos 2
α
（ 2 ） 降 幂 公 式 ： sin
α
＝

； cos
α
＝
； sin
α
2 2

1
cos
α=

2

sin 2
α
2
（ 3 ） 升 幂 公 式 ： 1 ＋ cos 2
α
＝ 2cos
α
， 1 － cos 2
α
＝
2sin
α
.
（ 4 ） 辅 助 角 公 式 ：
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝

2
a
＋
b
) ．
22
sin(
x
＋
φ
)( 其 中
b
sin
φ
＝

a
2
a
＋
b

2
， cos
φ
＝
a
＋
b

22
二 、 公 式 的 常 见 变 形
(1) 和 差 角 公 式 的 常 见 变 形
① sin
α
sin
β
＋ cos(
α
＋
β
) ＝ cos
α
cos
β
；
② cos
α
sin
β
＋ sin(
α
－
β
) ＝ sin
α
cos
β
；
③ tan
α
± tan
β
＝
(2)
tan(
α
±
β
) · (1 ? tan
α
tan
β
) ．
二 倍 角 正 、 余 弦 公 式 的 常 见 变 换 方 式
2 2
① 配 方 变 换 ： 1 ± sin 2
α
＝ sin
α
＋ cos
α
± 2sin
α
cos
α
＝ (sin
α
± cos
α
)；
② 因 式 分 解 变 换 ： cos 2
α
＝ 2cos
α
－
2
2
2
1 ＝ 1 － 2sin
α
＝ cos

2 2


α
－ sin
α
＝ (cos
α
＋ sin
α
)(cos
α
－ sin
α
) ；
1＋cos 2
α
2 2
1－cos 2
α
③ 降 幂 扩 角 变 换 ： cos
α
＝

， sin
α
＝ ；
2 2


④ 升 幂 缩 角 变 换 ： 1 ＋ cos
α
＝ 2cos

2
α
，
2
1 － cos
α
＝ 2sin
2
α
；
2

sin 2
α
⑤ 公 式 变 换 ： cos
α
＝

2sin
α

sin 2
α
， sin
α
＝
2cos
α
.
三 、 三 角 函 数 式 的 化 简
1 ． 化 简 原 则
（ 1 ） 一 看 角 之 间 的 差 别 与 联 系 ， 把 角 进 行 合 理 的 拆 分 ，
正 确 使 用 公 式 ；
（ 2 ） 二 看 函 数 名 称 之 间 的 差 异 ， 确 定 使 用 的 公 式 ， 常 见
的 有 “ 切 化 弦 ”；
（ 3 ） 三 看 结 构 特 征 ， 找 到 变 形 的 方 向 ， 常 见 的 有 “ 遇 到分 式
要 通 分 ”，“ 遇 到 根 式 一 般 要 升 幂 ” 等 ．
2 ． 化 简 要 求
（ 1 ） 使 三 角 函 数 式 的 项 数 最 少 、 次 数 最 低 、 角 与 函 数 名称 的
种 类 最 少 ；
（ 2 ） 式 子 中 的 分 母 尽 量 不 含 根 号 .
3 ． 化 简 方 法
（ 1 ） 切 化 弦 ；
（ 2 ） 异 名 化 同 名 ；
（ 3 ） 异 角 化 同 角 ；
（ 4 ） 降 幂 或 升 幂 ．

例 1 ： 化 简 ： sin
α
sin
β
＋ cos
α
cos
β
－
2

2 2 2 2
1
cos 2
α
cos 2
β
＝
________ ．
解 析 ：

1＋cos 2
α
1＋cos 2
β
1
1－cos 2
α
1－cos 2
β
cos 2
－
法 一 ： 原 式 ＝ ·
＋
·
2 2 2 2 2

α
cos 2
β
1－cos 2
β
－cos 2
α
＋cos 2
α
cos 2
β
1＋cos 2
β
＋cos 2
α
＋cos 2
α
cos 2
β

＝ ＋ －
4 4

1
2

cos 2
α
cos 2
β
＝

1
2
1
2
＋
1
2
1
cos 2
α
cos 2
β
－
2
cos 2
α
cos 2
β
＝

.
1
2 2 2 2
法 二 ： 原 式 ＝ (1 － cos
α
)(1 － cos
β
) ＋ cos
α
cos
β
－
2

(2cos
α
2
－ 1)(2cos
β
－ 1)
＝ 1 － cos
β
－ cos
α
＋ cos
α
cos
β
＋ cos
α
cos
β
－
2

2
2 2 2 2 2 2
1

(4cos
α
cos
β
2 2
－ 2cos
α
－ 2cos
β
＋ 1)
＝ 1 － cos
β
－ cos
α
＋ 2cos
α
cos
β
－ 2cos
α
cos
β
＋ cos
α
＋ cos

1
β
－
2

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
＝

1
2
.
1
2 2 2 2
法 三 ： 原 式 ＝ sin
α
sin
β
＋ cos
α
cos
β
－
2
(cos
α
－ sin

2 2

α
)

· (cos
β
－ sin
β
)
2 2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
＝ (2sin
α
sin
β
＋ 2cos
α
cos
β
－ cos
α
cos
β
＋ cos
α
sin
β
＋ sin
2

α
cos
β
－ sin
α
sin
β
)

2 2 2
＝
1
2
1
2
1
2
[sin
α
(sin
β
＋ cos
β
) ＋ cos
α
(sin
β
＋ cos
β
)]
2 2 2 2 2 2

＝

(sin
α
＋ cos
α
)
2 2
＝

.
1
答 案 ：
2
四 、 三 角 函 数 的 求 值 问 题
1 ． 给 角 求 值
给 角 求 值 中 一 般 所 给 出 的 角 都 是 非 特 殊 角 ， 从 表 面 上 来 看是 很
难 的 ， 但 仔 细 观 察 会 发 现 非 特 殊 角 与 特 殊 角 之 间 总 有一 定 的 关
系 ． 解 题 时 ， 要 利 用 观 察 得 到 的 关 系 ， 结 合 公 式将 非 特 殊 角 的
三 角 函 数 转 化 为 特 殊 角 的 三 角 函 数 ， 从 而 得解 .
2 ． 给 值 求 值
已 知 三 角 函 数 值 ， 求 其 他 三 角 函 数 式 的 值 的 一 般 思 路 ：
（ 1 ） 先 化 简 所 求 式 子 ．
（ 2 ） 观 察 已 知 条 件 与 所 求 式 子 之 间 的 联 系 ( 从 三 角 函 数名 及 角
入 手 ) ．

（ 3 ） 将 已 知 条 件 代 入 所 求 式 子 ， 化 简 求 值 ．
3 ． 给 值 求 角
通 过 求 角 的 某 种 三 角 函 数 值 来 求 角 ， 在 选 取 函 数 时 ， 有 以下 原
则 ：
（ 1 ） 已 知 正 切 函 数 值 ， 则 选 正 切 函 数 ．
（ 2 ） 已 知 正 、 余 弦 函 数 值 ， 则 选 正 弦 或 余 弦 函 数 ． 若 角

0，
π


2
的 范 围 是

， 则 选 正 、 余 弦 皆 可 ； 若 角 的 范 围 是 (0 ，

π
π
－ ，
2

2
π ) ， 则 选 余 弦 较 好 ； 若 角 的 范 围 为

， 则 选 正 弦
较 好 .



3tan 12°－3
2

例 2 ：

＝
________ ．
sin 12°（4cos12°－2）
3×－3
cos 12°

解 析 ： 原 式 ＝
sin 12°
2


sin 12°（4cos12°－2）
＝
3sin 12°－3cos 12°
2
2sin 12°cos 12°（2cos12°－1）


1 3
sin 12°－ cos 12°
2
2
3
2
＝
sin 24°cos 24°
2 3sin（12°－60°）
＝ － 4
＝
1
sin 48°
2


3 .

答 案 ： － 4 3
五 、 三 角 恒 等 变 换 的 综 合 应 用
1 ． 与 三 角 函 数 的 图 象 及 性 质 相 结 合 的 综 合 问 题
（ 1 ） 利 用 三 角 恒 等 变 换 及 辅 助 角 公 式 把 三 角 函 数 关 系 式
转 化 成
y
=
A
sin(
ω x
＋
φ
) ＋
t
或
y
=
A
cos(
ω x
＋
φ
) ＋
t
的 形 式 ．

2π
（ 2 ） 利 用 公 式
T
＝
ω

（
ω
>0 ） 求 周 期 ．
（ 3 ） 根 据 自 变 量 的 范 围 确 定
ω x
＋
φ
的 范 围 ， 根 据 相 应的
正 弦 曲 线 或 余 弦 曲 线 求 值 域 或 最 值 ， 另 外 求 最 值 时 ， 根据 所
给 关 系 式 的 特 点 ， 也 可 换 元 转 化 为 二 次 函 数 的 最 值 ．
（ 4 ） 根 据 正 、 余 弦 函 数 的 单 调 区 间 列 不 等 式 求 函 数
y
=
A
sin(
ω x
＋
φ
) ＋
t
或
y
=
A
cos(
ω x
＋
φ
) ＋
t
的 单 调 区 间 ．
2 ． 与 向 量 相 结 合 的 综 合 问 题
三 角 恒 等 变 换 与 向 量 的 综 合 问 题 是 高 考 经 常 出 现 的 问 题 ，
一 般 以 向 量 的 坐 标 形 式 给 出 与 三 角 函 数 有 关 的 条 件 ， 并 结合 简
单 的 向 量 运 算 ， 往 往 是 两 向 量 平 行 或 垂 直 的 计 算 ， 即
令
a
=(
x
=(
x
=
xxy
1
，
y
1
) ，
b
2
，
y
2
) ， 则
a · b
12
＋
y
12
，
a
∥
b
?
12
=
x
2
y
1
，
a
⊥
b
?
x
12
＋
y
12
=0 ， 把 向 量 形 式 化 为 坐 标 运 算 后 ， 接 下 来
的 运 算 仍 然 是 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 以 及 三 角 函 数 、 解 三 角形 等
知 识 的 运 用 .
3 ． 与 解 三 角 形 相 结 合 的 综 合 问 题
（ 1 ） 利 用 正 弦 定 理 把 边 的 关 系 化 成 角 ， 因 为 三 个 角 之 和等 于
π ， 可 以 根 据 此 关 系 把 未 知 量 减 少 ， 再 用 三 角 恒 等 变换 化 简 求
解 ；

（ 2 ） 利 用 正 、 余 弦 定 理 把 边 的 关 系 化 成 角 的 关 系 再 用 三角 恒
等 变 换 化 简 求 解 ．
注 ： 此 类 题 中 的 角 是 在 三 角 形 中 ， 每 个 角 范 围 限 制 在 (0 ，
π ) 内 ， 如 果 是 锐 角 三 角 形 ， 则 需 要 限 制 各 个 角 均 在

0，
π

2

内 ． 角 的 范 围 在 解 题 中 至 关 重 要 ， 做 题 时 要 特 别 注
意 .