数学核心素养之数学建模教学案例

数学核心素养之数学建模教学案例
1引言：新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是 数学课程目标的集中体现，是具
有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能 力。高中数学核心
素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表
达问题、 用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视
角发现问题、提出问题 ，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决
实际问题。数学模型构建了数学与外 部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应
用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发 展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试
基于现实 背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
特级教师张思明提出 “我们通过数学 建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的
环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题 、 自主解决问题的机会。 近年来，
数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已 经在转变传统的数学学科
体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、 教学观念改
革的结合。
2.中学数学模型的教学
2.1中学数学中常见的数学模型分类：
（1）与函数的最值相关问题。工程中的用料最省、 利润最大，列出所求量的函数解析
式，利用代数工具解函数最大值。
（2）线性回归直线、非 线性回归直线；如中学生身高和体重的关系，红铃虫产卵数与
温度的关系。
（3）与周期有关的三角函数模型建立。电路信号，音频震动，潮水涨落周期。
（4）线性规划问题。关于求解含有多个约束条件的，目标函数的最有解问题。
（5）抽样统计调查类，独立性假设检验。
2.2数学建模的课堂陷入几个误区。
（1）数学建模课堂，教师陷入了对数学建模理论的讲解，而数学建模的基本步骤是什
么，介绍集中常见 的数学建模工具，里面有大量的数学公式推到，学生对数学建模的思想领
会很少。

（2）数学建模能力的评价中，教师“编好”试验中的数据，或者抽样统计好的数据，学
生只需分析 问题，套用计算。而没有让学生经历发现问题，
3．数学建模案例教学设计
本人从学生的实 际认知特点出发，探索出基于案例教学的数学建模能力培养的一种教学
模式。我们在课堂上重现一些现实 生活中的一些场景，学生把自己投入到案例场景，通过讨
论研究，改进自己处理问题的各个步骤，最终达 到增强能力的效果。
生活背景：
新学期，学校教务处又到了采购粉笔的时候了，教 务处工作人员在网上浏览，发现新上
市了一种正六棱柱的粉笔，价格和以往采购的传统的圆柱形粉笔价格 相同。请尝试建立数学
模型，给教务处工作人员粉笔购买的建议。
模型的分析和建立的过程。
师：你站在学校教务处的角度想想，在购买粉笔的时候，最应该考虑的问题是什么呢？
生：粉 笔的质量，比如粉笔是不是容易断，粉笔写起来是否流畅，粉笔对人是否更环保，
对人更少的伤害。 < br>师：很好，这个同学从粉笔的质量谈了很多自己的想法。除了质量之外，作为一个学校
大批量采购 粉笔的用户，我们还考虑什么？
生：价格。
师：我们肯定都是希望，用最少的钱，办最大的 事。我们都感觉到这个问题非常的困难
了啊，所以，我们要要在建立基本的数学模型之前，做一些基本的 假设。
生：感觉考虑的因素太多了。
师：我们想想，粉笔是否易断，能够很快做出评价吗？ 让你比较两支粉笔，那个书写起
来更流畅，采用什么方法进行比较呢？
生：我们采用随即抽样 的方法试试，让学校书法社团的人同一个人在一个黑板上书写，
也许可以大概估计，哪种粉笔质量更好。
师：每个人都开动脑经，找到了自己的方法，但是，让人去判断，主观性还是很大的。
生：可 是每个人感觉是否流畅和是否这段，也跟每个人的书写习惯有关吧。教室陷入了
激烈的讨论中。
师：那我们能否可以假设两种粉笔出自同一条生产线，质量水平近乎相似，只是形状的
差别。
生：那我们只需要对每盒粉笔的价格分析就可以了。

师：可是现在，我们两盒粉笔的价格是相同的啊，怎么办呢？
生：那我们可以看看，同样是画直线，看哪一盒粉笔画的长，那么谁的性价比就高？
师：这个 同学提的这个思路非常正确，假设，一盒粉笔，总是不会被折断，一根全部用
完之后，再用下一根。那么 一盒粉笔的书写长度主要跟谁有关呢？
生：应该是跟一盒粉笔的总体积有很大的关系吧。
师 ：我们再假设，装粉笔的盒子都是边长为20cm的正方体，那么装满两个盒子的粉笔，
那个盒子中粉笔 的总体积多呢？
生：我们可以看图片发现，正六棱柱的粉笔，紧紧的靠在一起，没有任何的缝隙。而圆
柱形的粉笔相对而言有较大的空隙，所以，我们断定，同等价格下，正六棱柱的粉笔的体积
最多 。
师：分析的非常到位，那么现在问题来了，如果一盒圆柱形粉笔，定价5元，为了保证
两种 粉笔有相同的性价比，请问正六棱柱粉笔的价格应该定为多少呢？
生：性价比相同，每立方厘米的粉笔，所对应的价格要相同。
师：那我们应该怎么去判断呢？
生：我们只需让 总价格总体积 都相同，从而我们可以给另外一盒粉笔合理的定价了。
师：那么现在当务之急是干什么呢？
生：我们需要计算两种规格的各种粉笔的总体积，
师：那么我们按照一个怎样的流程去计算呢？

生：先构建一个边长为2 0cm的正方形，圆柱的半径是1cm，正六棱柱的地面正六边形，外接圆
恰好是半径为1cm的圆，看 一个正方形内，最多可以放多少个这样的圆和多少个这样的正六边形，
从而再计算相应的空间的利用率， 从而得出，谁的体积更大一些。
模型建立：

根据以上所有的基本假设，画出 粉笔盒中
的俯视图，如图建立坐标系我们根据两圆
外切的性质，建立层数与圆心所在直线的方程关系。
层数
1
2
3
……
n
圆心所在直线
Y=1
Y=1+
3

Y=1+
23


Y=1+(n-1)
3


又由于，边长为20cm的限制，而且最高层必须为完整的一层，我们确定1+10
3
=18.32。所以，在
圆柱形粉笔盒内有11层，我们再来观察第一层和第二层，第一层有 10个圆柱之后，第二层有9个。

第二种粉笔盒我们首先建立奇数列，正六边
形中心所在直线方程。
层数
1
2
3
……
n
中心所在直线
Y=1
Y=1+
3

Y=1+
23


Y=1+(n-1)
3

则奇数列可以放11层，我们再看偶数列中心所在直线方程
n=11时，y=19.1865，再加上
32
=0.866 为20.05,考虑到边界，
偶数列也可以放11层。
我们纵向来看。则n=13时，x=19,考虑到边界总共可以放13列。
列数
1
2
3
……
n
模型计算：
对应列中心所在直线
X=1
X=2.5
X=4

X=1.5n-0.5







3
……
n
Y=1+
532


Y=1+
(2n?1)32

层数
1
2
对应层中心所在直线
Y=1+
32

Y=1+
332

，s?
?
r?
?
，总共所有的圆柱数目为
10?6?9?5?105
，粉（ 1）圆柱粉笔计算总体积：
r?1
笔总共的体积为
105?S?H?105
?
H?329.85H

（2）六棱柱粉笔计算总体积：边长
a?1
，
S?6?
总共的正六棱柱的数目为
13?11?143

总共的粉笔的体积为：
2.5980?143H?371.524H

模型的结论与推广：
通过计算发现，生产正六棱柱的粉笔盒内的粉笔总体积：生产圆柱粉笔盒 内的粉笔总体积
=371:329，所以一盒普通的圆柱形粉笔卖5元话的，为了保证性价比的同意，正 六棱柱的粉笔，可以
卖5.63元。
师：模型中还有哪些重大问题，没有考虑呢？
生：我们精确的测量数据，粉笔盒的实际长度，与粉笔实际半径，已经市面上销售的正六棱柱的
粉笔，他 们的边长，跟我们假设的数据，有很大的出入，尺寸的不同，是否会影响我们的计算结果呢？
师：这个 同学提的问题非常的好，那么下来之后，我们同学在网上购买相同规格粉笔盒的两盒不
同的粉笔，测量实 际的数据，用我们同样的方法评价粉笔的性价比。
师：我们能否把我们的研究结果推广到其他的地方？
2
13
?1?1??2.5980

22

生 ：我们可以把我们的计算结果，推广到，用卡车装圆柱形的钢管数目的多少，香烟盒怎么设计，
可以装三 层香烟。
师：我们能够对我们研究的问题，你还能提出，与我们所研究问题类似的问题呢？
生：如果我们还是用硬纸板制作一个粉笔盒，单位面积的硬纸板，制作成圆柱形的好还是正方体
好呢？
师：这个同学很快把我们研究的问题就可以迁移出去，研究的方法，最终都会规则到平面几何的
方法中去。
4．案例教学的说明与启示：
在整个教学活动中，引导学生的思维，经历发现问 题，分析问题，基本假设，模型建立，模型求
解，模型结论，模型推广的全过程。特别是分析问题的过程 ，一定要让学生积极的参与进来，找准角
度建立尽可能简单的数学模型；在基本假设的探究过程中，根据 我们建立的简单数学模型，基本假设，
需要调动所有学生的积极性，引导学生尽可能全面的考虑问题，将 复杂情况简单化；模型建立的过程
中，指导学生用超级画板将所研究的问题，图形化，再引导学生用函数 思想求解问题，模型求解阶段，
先提前给出简单的数据，帮助学生求解，再引导学生去实际测量生活中的 数据，带入我们建立的模型
求解。模型推广中，让学生发散思维，让学生回顾我们所遇到的问题，在工程 和社会生活中还有哪些
可以迁移的地方，比如烟盒的设计与制作，货车运输钢管的模型，改进封闭的包装 盒等等，体会数学
中模型话解决问题的价值。
5.数学模型案例教学的价值：
高中 课堂中渗透数学建模案例教学，应该引导学生，引导学生积极的解答。鼓励学生独立思考。
传统的教学只 告诉学生怎么去做，怎么去记忆一些程序性的知识，不能够极大的调动学生的学习热情。
案例教学没人会 告诉你应该怎么办，而是要自己去思考、去创造，使得数学建模的过程变得生动活泼，
每个人都可以对老 师提出的问题发表自己的看法。中学数学建模案例教学正是为此而生并在实践的过
程中不断发展的完善的 。传统的教学方法是老师讲、学生听，学到的都是死知识。而在案例教学中，
学生拿到案例后，先要进行 消化，然后查阅必要的理论知识，经过缜密地思考，提出解决问题的方案。
同时他的方案随时需要教师加 以指导，这也促使教师加深思考，根据不同学生的不用方案，不断的去
某一特殊案例的教学设计，优化问 题流程，使教学进入良性的循环之中。
参考文献
[1]叶其孝.中学数学建模[M].长沙：湖南教育出版社，1998:1-31.
[2]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京教育出版社，1998:75-87. < br>[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].人民教育出版社，2003:1- 3,98-104.

[4]冯永明，张启凡.对“中学数学建模教学”的探讨[J] .数学教育学报，2000,9（2）：84-88