高中数学复习提纲(总)

2020年9月21日发(作者：穆僖)

v1.0 可编辑可修改
第一章 集合与简易逻辑 ............. .................................................. .......................................... 2

第二章 函数 ...................................... .................................................. ....................................... 5

第三章 数列 ..................................... .................................................. .................................... 13

第四章 三角函数 .................................... .................................................. ............................... 18

第五章 平面向量 ............................................. .................................................. ...................... 28

第六章 不等式 ....... .................................................. .................................................. .............. 33

第七章 立体几何初步 ............ .................................................. ............................................... 37

第八章 直线和圆的方程 .......................... .................................................. ............................. 51

二.直线与直线的位置关系 ................................. .................................................. .................... 52

（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。 ...................................... 52

1、当直线不平行于坐标轴时，直线与圆的位置关系可根据下表判定 ................................ 52

l
1
：y=k
1
x+b
1
.......... .................................................. .................................................. .................. 52

l
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0 ...................... .................................................. ................................................. 52

平 行 .................................. .................................................. .................................................. ... 52

K
1
=k
2
且b
1
≠b
2
.. .................................................. .................................................. ....................... 52

A
1
B
1
C
1
............... .................................................. .................................................. ...... 52

??
A
2
B
2
C
2
重 合 ..... .................................................. .................................................. ................................ 52

K
1
=k
2
且b
1
=b
2
.. .................................................. .................................................. ......................... 52

相 交 ........ .................................................. .................................................. ............................. 52

K
1
≠k
2
........................ .................................................. .................................................. ............... 52

A
1
B
1
.. .................................................. .................................................. ............................. 52

?
A
2
B
2
垂 直 ................ .................................................. .................................................. ..................... 52

K
1
k
2
=-1 ...................... .................................................. .................................................. ............... 52

A
1
A
2
+B
1
B
2
=0 .. .................................................. .................................................. ............................. 52

2、当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。 ............................................ 53

(二)点到直线的距离、直线与直线的距离 ................... .................................................. ........ 53

1、

点P(x
0
,y
0
)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=
Ax
0
?By
0?C
A
2
?B
2
(A
2
?B
2
?0)
....... 53

2、直线l
1
∥l
2，且其方程分别为l
1
：Ax+By+C
1
=0,l
2
：Ax+By+C
2
=0, ................................... 53

则l< br>1
与l
2
的距离为：d=
C
1
?C
2
A
2
?B
2
(A
2
?B
2
?0)
................................................ .............. 53

（三）两条直线的交角公式 ........... .................................................. ........................................ 53
若直线l
1
的斜率为k
1
，l
2
的斜率为k
2
，则 ........................................... .................................. 53

（1）

直线l
1
到l
2
的角满足：tan
?
?
k
2
?k
1
(k
1
k
2< br>??1)
. ....................................... 53

1?k
1
k
2

11

v1.0 可编辑可修改
（2）直线l
1
与直线l
2
所成的角（简称夹角）< br>?
满足：tan
?
?
0
k
2
?k
1
(k
1
k
2
??1)
.... 53

1?k
1
k
2
说明：（1）当l
1
和l
2
的斜率都不存在时，所成的角为0；（2）当l
1
与l
2
的斜率有一个
存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）l
1
到l
2< br>的角
?
1
不同
于l
2
到l
1
的角< br>?
2
，它们满足：
?
1
?
?
2
?< br>?
. ........................................ ............................... 53

（四） 两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的
解的个数。 .... .................................................. .................................................. ......................... 53

三.线性规划 ...... .................................................. .................................................. ..................... 53

第九章 圆锥曲线方程 ..... .................................................. .................................................. .... 56

第十章 导数及其应用 ...................... .................................................. ..................................... 63

第十一章 统计和概率 .................................. .................................................. ......................... 65

第十二章 复数 .. .................................................. .................................................. ............... 78

第一章 集合与简易逻辑

集合及其运算
一．集合的概念、分类：
二．集合的特征：
⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性
三．表示方法：
⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法
四．两种关系：
从属关系：对象
?
、
?
集合；包含关系：集合
?
、
五．三种运算：
交集：
AB?{x|x?A且x?B}

并集：
AB?{x|x?A或x?B}

补集：
U
A?{x|x?U且x?A}

六．运算性质：

22
集合

v1.0 可编辑可修改
⑴
A??
A
，
A??
?
．
⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．
⑶ 若
A?B
，则
AB?
A
，
AB?
B
． < br>?
?
，
A（
U
A）?
U
，
（?A
． ⑷
A（
U
A）
UU
A）
（U
A）（
U
B）?（
⑸
U
AB）（
U
A）（
U
B）?（
，
U
AB）
．
⑹ 集合
{a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
}
的所有子集的个数为
2
n
，所有真子集的个数为
2< br>n
?1
，所有非空真子集的个数为
2
n
?2
，所有二 元子集（含有两个元素
2
的子集）的个数为
C
n
．
简易逻辑
一．逻辑联结词：
1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正 确的称为真命题，判断为
错误的为假命题．
2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”． < br>3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结
词构成的命题叫复 合命题．
4．真值表：
p
真
真
假
假
q
真
假
假
真
真
假 假 假
假
假
真
真
非p p且q
真
P或q
真
二．四种命题：
1．原命题：若
p
则
q


33

v1.0 可编辑可修改
逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论；
否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．
2．四个命题的关系：
⑴ 原命题为真，它的逆命题不一定为真；
⑵ 原命题为真，它的否命题不一定为真；
⑶ 原命题为真，它的逆否命题一定为真．
三．充分条件与必要条件
1．“若
p
则
q
”是真命题，记做
p?q
，
“若
p
则
q
”为假命题，记做
pq
， 2．若
p?q
，则称
p
是
q
的充分条件，
q< br>是
p
的必要条件
3．若
p?q
，且
p
若
p
q
，则称
p
是
q
的充分非必要条件；
q
，且
p?q
，则称
p
是
q
的必要非充分条件；
若
p?q
，且
p?q
，则称
p
是
q
的充要条件；
若
pq
，且
pq
，则称
p< br>是
q
的既不充分也不必要条件．
4．若
p
的充分条件是
q
，则
q?p
；
若
p
的必要条件是
q
，则
p?q
．







44

v1.0 可编辑可修改
第二章 函数
指数与对数运算
一．分数指数幂与根式：
如果
x
n
?a
，则称
x
是
a
的
n
次方根，
0
的
n
次方根为0，若
a?0
，则当< br>n
为
奇数时，
a
的
n
次方根有1个，记做
n
a
；当
n
为偶数时，负数没有
n
次方根，
正数a
的
n
次方根有2个，其中正的
n
次方根记做
n
a
．负的
n
次方根记做
?
n
a
．
1．负数没有偶次方根；
?
a
n为奇数
2．两个关系式：
(a)?a
；
a?
?

|a|
n为偶数
?
n
n
n
n
3、正数的正分数指数幂的意义：
a?
n
a
m
；
正数的负分数指数幂的意义：
a
4、分数指数幂的运算性质：
⑴
a
m
?a
n
?a
m?n
； ⑵
a
m
?a
n
?a
m?n
；
⑶
(a
m
)
n
?a
mn
； ⑷
(a?b)
m
?a
m
?b
m
；
⑸
a
0
?1
，其中
m
、
n
均为有理数，a
，
b
均为正整数
二．对数及其运算
1．定义：若
a
b
?N
(a?0
，且
a?1
，
N?0)
，则
b?log
a
N
．
2．两个对数：
⑴ 常用对数：
a?10
，
b?log
10
N?lgN
；
⑵ 自然对数：
a?e?2.71828
，
b?log
eN?lnN
．
?
m
n
m
n
?
1n
a
m
．

55

v1.0 可编辑可修改
3．三条性质：
⑴ 1的对数是0，即
log
a
1?0
；
⑵ 底数的对数是1，即
log
a
a?1
；
⑶ 负数和零没有对数．
4．四条运算法则：
⑴
log
a
( MN)?log
a
M?log
a
N
； ⑵
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
；
N
1
⑶
log
a
M
n
?nlog
a
M
； ⑷
log
a
n
M?log
a
M
．
n
5．其他运算性质：
⑴ 对数恒等式：
a
log
a
b
?b
；
⑵ 换底公式：
log
a
b?
log
c
a
；
log
c
b
⑶
log
a
b?log
b
c?log
a
c
；
log
a
b?log
b
a?1
；
⑷
log
a
m
b
n
?
n
log
a
b
．
m
函数的概念 < br>一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则
f
，对于集合A中的任意
一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为
从集合A到集合B的映射． < br>二．函数：在某种变化过程中的两个变量
x
、
y
，对于
x在某个范围内的每一
个确定的值，按照某个对应法则，
y
都有唯一确定的值和它对 应，则称
y
是
x
的函数，记做
y?f(x)
，其中
x
称为自变量，
x
变化的范围叫做函数的定
义域，和
x
对应 的
y
的值叫做函数值，函数值
y
的变化范围叫做函数的值
域．

66

v1.0 可编辑可修改
三．函数
y?f(x)
是由非空数集
A
到非空数集B的映射．
四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．
函数的解析式
一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知
f(x?1)?x?2x
，求函数
f(x)
的解析式．
二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；
例如：已知
f(x)
是 一次函数，且
f[f(x)]?4x?3
，函数
f(x)
的解析式．
三．由函数
f(x)
的图像受制约的条件，进而求
f(x)
的解析式．
函数的定义域
一．根据给出函数的解析式求定义域：
⑴ 整式：
x?R

⑵ 分式：分母不等于0
⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0
⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0
二．根据对应法则的意义求函数的定义域：
例如：已知
y?f(x)
定义域为
[2,5]
，求
y?f(3x?2 )
定义域；
已知
y?f(3x?2)
定义域为
[2,5]
，求
y?f(x)
定义域；
三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．
函数的值域
一．基本函数的值域问题：
名称 解析式 值域

77

v1.0 可编辑可修改
一次函数
y?kx?b

R

4ac?b
2
,??)

a?0
时，
[
4a
4ac?b
2
]

a?0
时，
(??,
4a
二次函数
y?ax
2
?bx?c

反比例函数
指数函数
对数函数
y?
k

x
{y|y?R
，且
y?0}

y?a
x

y?log
a
x

{y|y?0}

R

{y|?1?y?1}

三角函数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

R

二．求函数值 域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义
域，因此求函数值域的方法往往取决于函 数解析式的结构特征，常用解法
有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单
调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．
反函数
一．反函数：设函数
y?f(x)(x?A)
的值域是
C
，根据这个函数中
x
，
y
的关
系，用
y
把
x
表示出 ，得到
x?
?
(y)
．若对于
C
中的每一
y
值，通过
x?
?
(y)
，
都有唯一的一个
x
与之 对应，那么，
x?
?
(y)
就表示
y
是自变量，
x
是自变
量
y
的函数，这样的函数
x?
?
(y)(y?C)
叫做函数
y?f(x)(x?A)
的反函
数，记作
x ?f
?1
(y)
,习惯上改写成
y?f
?1
(x)
．
二．函数
f(x)
存在反函数的条件是：
x
、
y
一一对应．
三．求函数
f(x)
的反函数的方法：

88

v1.0 可编辑可修改
⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域
⑵ 反解，用
y
表示
x
，得
x?f
?1
(y)

⑶ 交换
x
、
y
，得
y?f
?1
(x)

⑷ 结论，表明定义域
四．函数
y?f(x)
与其反函数
y?f
?1
(x)
的关系：
⑴ 函数
y?f(x)
与
y?f
?1
(x)
的定义域与值域互换．
⑵ 若
y?f(x)
图像上存在点
(a,b)
，则
y?f
?1
(x )
的图像上必有点
(b,a)
，即
若
f(a)?b
，则f
?1
(b)?a
．
⑶ 函数
y?f(x)
与
y?f
?1
(x)
的图像关于直线
y?x
对称．
函数的奇偶性：
一．定义：对于函数
f(x)
定义域中的任意一个
x
，如果满足
f(?x)??f(x)
，则
称函数
f(x)
为奇函数；如果满足
f(?x)?f(x)
，则称函数
f(x)
为偶函数．
二．判断函数
f(x)
奇偶性的步骤：
1．判断函数
f(x)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果
不对称；
2．验证
f (x)
与
f(?x)
的关系，若满足
f(?x)??f(x)
，则为 奇函数，若满足
f(?x)?f(x)
，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．
二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称．
三．已知< br>f(x)
、
g(x)
分别是定义在区间
M
、
N
(M
数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．
f(x)

g(x)

?f(x)

1

f(x)
N??)
上的奇（偶）函
f(x)?g(x)

f(x)?g(x)

f(x)?g(x)


99

v1.0 可编辑可修改
奇
奇
偶
奇
偶
偶

奇
奇

偶

偶
奇


偶
偶
奇
奇
偶
五．若奇函数
f(x)
的定义域包含
0
，则
f(0)?0
．
六．一次函数
y?kx?b(k?0)
是奇函数的充要条件是
b?0
；
二次函数
y?ax
2
?bx?c
(a?0)
是 偶函数的充要条件是
b?0
．
函数的周期性：
一．定义：对于函数
f(x)
，如果存在一个非零常数
T
，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f(x?T)?f(x)
，则
f(x)
为周期函数，< br>T
为这个函数的
一个周期．
2．如果函数
f(x)
所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做
f(x)
的最小正周期．如果函数
f(x)
的最小正周期为
T
，则函数
f(ax)
的
最小正周期为
T
．
|a|
函数的单调性
一．定义：一般的，对于 给定区间上的函数
f(x)
，如果对于属于此区间上的任
意两个自变量的值
x
1
，
x
2
，当
x
1
?x
2
时满足：
⑴
f(x
1
)?f(x
2
)
，则称函数
f(x)
在该区间上是增函数；
⑵
f(x
1
)?f(x
2
)
，则称函数
f(x)
在该区间上是减函数 ．
二．判断函数单调性的常用方法：
1．定义法：

1010

v1.0 可编辑可修改
⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：
*2．导数法：
⑴ 求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)
；
⑵ 解不等式
f'(x)?0
，所得
x
的范围就是递增区间；
⑶ 解不等式
f'(x)?0
，所得
x
的范围就是递减区间．
3．复合函数的单调性：
对于复合函数
y?f[g(x)]
，设u?g(x)
，则
y?f(u)
，可根据它们的单调性
确定复合函数y?f[g(x)]
，具体判断如下表：
y?f(u)

u?g(x)

y?f[g(x)]

增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．
函数的图像
一．基本函数的图像．

二．图像变换：
y?f(x)

?

y?f(x)?k

将
y?f(x)
图像上每一点向上
(k?0)
或向下
(k?0)
平移
|k|
个单
位，可得
y?f(x)?k
的图像
y?f(x)

?

y?f(x?h)

将
y?f(x)
图像上每一点向左
(h?0)
或向右
(h?0)
平移
|h|
个单
位，可得
y?f(x?h)
的图像

1111

v1.0 可编辑可修改
y?f(x)

?

y?af(x)

将
y?f(x)
图像上的每 一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸
(a?1)
或压缩
(0?a?1)
为原来的
a
倍，可得
y?af(x)
的图像
y?f(x)

?

y?f(ax)

将
y?f(x)
图像上的每 一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩
(a?1)
或拉伸
(0?a?1)
为原来 的
1
，可得
y?f(ax)
的图像
a
y?f(x)

?

y?f(?x)

关于
y
轴对称
y?f(x)

?

y??f(x)

关于
x
轴对称
y?f(x)

?

y?f(|x|)

将
y?f(x)
位于y
轴左侧的图像去掉，再将
y
轴右侧的图像沿
y
轴
对称 到左侧，可得
y?f(|x|)
的图像
y?f(x)

?

y?|f(x)|

将
y?f(x)
位于
x
轴下方 的部分沿
x
轴对称到上方，可得
y?
|f(x)|
的图像

三．函数图像自身的对称

关系
f(x)?f(?x)

图像特征
关于
y
轴对称

1212

v1.0 可编辑可修改
f(x)??f(?x)

f(a?x)?f(x?a)

f(a?x)?f(a?x)

f(x)?f(a?x)

关于原点对称
关于
y
轴对称
关于直线
x?a
对称
关于直线
x?
关于直线
x?
a
轴对称
2
a?b
对称
2
f(a?x)?f(b?x)

f(x)?f(x?a)


周期函数，周期为
a

四．两个函数图像的对称

关系
y?f(x)
与
y?f(?x)

y?f(x)
与
y??f(x)

图像特征
关于
y
轴对称
关于
x
轴对称
关于原点对称
关于直线
y?x
对称
关于直线
x?a
对称
关于
y
轴对称
y?f(x)
与
y??f(?x)

y?f(x)
与
y?f
?1
(x)

y?f(x?a)
与
y?f(a?x)

y?f(a?x)
与
f(a?x)


第三章 数列
数列的基本概念

1313

v1.0 可编辑可修改
一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列
的项．
二．如果数列
{a
n
}
中的第
n
项
a
n< br>与项数
n
之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通 项公事，它实质是定义在正整数集或其
有限子集的函数解析式．
三．数列的分类：
按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列
按项数可分为有穷数列和无穷数列
四．数列的前
n
项和：
S
n
?a
1
?a< br>2
?a
3
?????a
n?1
?a
n
?
S
1
S
n
与
a
n
的关系：
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
n? 1
n?2

五．如果已知数列
{a
n
}
的第1项( 或前几项)，且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
递推公式．递推公式也是 给出数列的一种方法．
如：在数列
{a
n
}
中，
a
1
?1
，
a
n
?
11
a
n?1
?1
，其中
a
n
?a
n?1
?1
即为数列
{a
n
}
22
的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同 时可根据数列
的前几项推断出数列
{a
n
}
的通项公式，至于猜测的 合理性，可利用数学归纳法
进行证明．
如上述数列
{a
n
}
，根据递推公式可以得到：
a
2
?
2
n
?1
31
a
5
?
，进一步可猜测
a
n
?
n?1．
2
16
3715
，
a
3
?
，a
4
?
，
248
等差数列
一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那

1414

v1.0 可编辑可修改
么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
d
表示．
二．通项公式：
若已知
a
1
、
d
，则< br>a
n
?a
1
?(n?1)d
；若已知
a
m< br>、
d
，则
a
n
?a
m
?(n?m)d

三．前
n
项和公式：
若已知
a
1
，
a
n
，则
S
n
?
n(n?1)
a
1
?a
n
d

?n
；若已知
a
1
、
d
，则
S
n
?na
1
?
2
2< br>注：⑴ 前
n
项和公式
S
n
的推导使用的是倒序相加法的方法．
⑵ 在数列
{a
n
}
中，通项公式
a
n
，前
n
项和公式
S
n
均是关于项数
n
的函数，
在等差数列
{a
n
}
通项公式
a
n
是关于
n
的一次函数关系，前
n
项和公式
S
n
是关于
n
的没 有常数项的二次函数关系．
⑶ 在等差数列中包含
a
1
、
d
、
n
、
a
n
、
S
n
这五个基本量，上述 的公式中
均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求
出其余基本量．
四．如果
a
、
b
、
c
成等差数列，则称
b
为
a
与
c
的等差中项，且
b?
五．证明数列
{a
n
}
是等差数列的方法：
1．利用定义证明：
a
n
?a
n?1
?d
(n?2)

2．利用等差中项证明：
b?
a?c

2
a?c
．
2
3．利用通项公式证明：
a
n
?an?b

4． 利用前
n
项和公式证明：
S
n
?an
2
?bn
六．性质：在等差数列
{a
n
}
中，
1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，

1515

v1.0 可编辑可修改
即：
若
m?n?2k
，则
a
m
?a
n
?2a
k
．
2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，
即：
若m?n?k?l
，则
a
m
?a
n
?a
k
?a
l
．
3．依次相邻每
k
项的和仍成等差数列，
即 ：
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S3k
?S
2k
成等差数列．
4．
a
n
，a
n?1
，
a
n?2
，…，
a
2
，< br>a
1
仍成等差数列，其公差为
?d
．
三．等比数列
一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，
那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇
母
q
(q?0)
表示．
二．通项公式：
若已知
a
1
、
q
，则< br>a
n
?
a
1
q
n?1
；若已知
a< br>m
、
q
，则
a
n
?
a
m
q
n?m

三．前
n
项和公式：
当公比
q?1
时，
S
n
?na
1

当公比
q?1
时，若已知
a
1
、
a
n
、< br>q
，则
S
n
?
a
1
?a
n
q

1?q
a
1
(1?q
n
)
若已知
a
1
、
q
、
n
，则
S
n< br>?

1?q
注：⑴ 等比数列前n项和公式
S
n
的推导使用的是错位相减的方法．
⑵ 在等比数 列中包含
a
1
、
q
、
n
、
a
n< br>、
S
n
这五个基本量，上述的公式中均
含有4基本量，因此在数列运算 中，只需知道其中任意3个，可以求出
其余基本量．
四．若
a
、
b
、
c
成等比数列，则称
b
为
a
与
c
的等比中项，且
a
、
b
、
c
满足

1616

v1.0 可编辑可修改
关系式
b??ac
．
五．证明数列
{a
n
}
是等比数列的方法：
1．利用定义证明：
a
n
?q
(n?2)

a
n?1
2．利用等比中项证明：
b
2
?ac

3．利用通项公式证明：
a
n
?aq
n

六．性质：在等比数列
{a
n
}
中，
1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，
即：
若
m?n? 2k
，则
a
m
?a
n
?a
k
2

2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，
即：
若
m?n?k?l
，则
a
m
?a
n
?a
k
?a
l

3．若数列公比
q??1
，则依次相邻每
k
项的和仍成等比数列，
即
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列。
4．
a
n
，
a
n?1
，
a
n?2
，…，
a
2，
a
1
仍成等比数列，其公比为

1
．
q
数列求和
1．常见数列的前n项和：
⑴ 自然数数列：1，2，3，…，n，…
S
n
?
n(n?1)

2
⑵ 奇数列：1，3，5，…，
2n?1
，…
S
n
?
n
2

⑶ 偶数列：2，4，6，…，
2n
，…
S
n
?
n(n?1)

⑷ 自然数平方数列：
1< br>2
，
2
2
，
3
2
，…，
n
2
，…
S
n
?
n(n?1)(2n?1)

6

1717

v1.0 可编辑可修改
2．等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式．
3．数列
{c
n< br>}
满足：
c
n
?a
n
?b
n
，其中
a
n
、
b
n
为等差或者等比数列．
方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）．
4．数列
{c
n}
满足：
c
n
?a
n
?b
n
，其中< br>{a
n
}
是公差为
d
的等差数列；
{b
n< br>}
是公比为
q
的等比数列．
方法：错位相减．
5．若数 列
{a
n
}
满足：
a
n
?
方法：裂项法， 设
a
n
?
定的参数．














1
，其中
k
、
a
、
b
均为常数．
(kn?a)?(kn?b)
111
?p(?)
，其中
p
为可确< br>(kn?a)?(kn?b)kn?akn?b
第四章 三角函数

一．角度与弧度制

1818

v1.0 可编辑可修改
1．弧度与角度的互化：
?
?180

2．终边相同角：与角
?
有相同终边的角的集合可以表示为：
{
?
|
?
?
?
?2k
?
,k?Z}

3．特殊角的集合：
⑴ 各个象限的角的集合
第一象限角：
{
?
|2k
?
?
?
?
第二象限角：
{
?
|
?
2
?2k
?
,k? Z}

?
2
?2k
?
?
?
?
?< br>?2k
?
,k?Z}

3
第三象限角：
{
?
|
?
?2k
?
?
?
?
??2k
?
,k?Z}

2
3
第四象限角：
{
?
|
?
?2k
?
?
?
?2?
?2k
?
,k?Z}

2
⑵ 角的终边在各个坐标轴上的角的集合
终边在
x
轴的角：
{?
|
?
?k?
?
,k?Z}

终 边在
y
轴的角：
{
?
|
?
?
?
2
?k
?
,k?Z}

终边在坐标轴上的角：
{
?
|
?
?k?
?
2
,k?Z}

终边在第一三象限角平分线上：
{
?
|
?
?
?
4< br>?k
?
,k?Z}

3
终边在第二四象限角平分 线上：
{
?
|
?
?
?
?k
?
,k ?Z}

4
4．弧长公式和扇形面积公式
设扇形的半径为
r
，圆心角为
?
，则
弧长
l?
|
?
|?r
， 扇形的面积
S?
11
?l?r??|
?
|?r
2

22

1919

v1.0 可编辑可修改
任意角三角函数的定义：
一．定义：以角
?
顶点为原点
O
，始边为
x
轴的非负半轴建立直角坐标系。在
角
?
的终边上任取不同 于原点
O
的一点
P(x,y)
，设
P
点与原点
O< br>的距离为
r
(r?0)
，则
|PO|?r?x
2
?y
2
，则角
?
的六
个三角函数依次为：

sin
?
?

yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?

rrx
rx
r
，
sec
?
?
，
cot
?
?

yy
x

csc
?
?
二．三角函数的定义域与值域：


定义域
R
R
{
?
|
?
?
值域
[?1,1]

[?1,1]

sin
?

cos
?

tan
?


?
2
?k
?
,k?Z}

R
三．三角函数值的符号：


sin
?

cos
?

tan
?

四．三角函数线

正弦线、余弦线

正切线

2020

v1.0 可编辑可修改
以 角
?
的终边与
单位圆的公共点
P
作
x
轴的垂线PM?x
过点
A(1,0)
作
x
轴的垂线交
?
的终边
或终边的延长线于
T
点，则：
轴，垂足为
M
，则

sin
?
?MP

cos
?
?OM

tan
?
?AT

同角三角函数基本关系式：
倒数关系：
sin
?
?csc
?
?1
、
cos
?
?sec
?
?1
、tan
?
?cot
?
?1

商数关系：
tan
?
?
sin
?
cos
?
、
cot
?
?

cos
?
sin
?
平方关系：
si n
2
?
?cos
2
?
?1

正弦、余弦的诱导公式：
2k
?
?
?

sin(2k
?
?
?
)?sin
?
；
cos(2k
?
?
?
)?cos
?
．
?
?
?


sin(
?
?
?
)?sin
?
；
cos(
?
?
?
)??cos
?
．

sin(
?
?
?
)??sin
?
；
cos(
?
?
?
)??cos
?
．
sin(2
?
?
?
)??sin
?
；
cos(2
?
?
?
)?cos
?
．
?
?
?

2
?
?
?

?
?


sin(?
?
)??sin
?
；
cos(?
?
)?cos
?
．

sin(?
?
)?cos
?
；
cos(?
?
)?sin
?
．
22

sin(?
?
)?cos
?
；
cos(?
?
)??sin
?
．
22
sin(< br>3
?
3
?
?
?
)??cos
?
；
cos(?
?
)??sin
?
．
22
2121
?
2
?
?

?
?

?
?
?
2
??
3
?
?
?

2

v1.0 可编辑可修改
3
?
?
?

2

sin(
3?
3
?
?
?
)??cos
?
；
cos(?
?
)?sin
?
．
22
诱导公式可简 单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶
不变”的含义为：当
k
为奇 数时，
k?
偶数时，
k?
?
2
?
?
的三角 函数值为
?
的余函数，当
k
为
?
2
“符号看象限” 的含义为在
?
的
?
?
的三角函数值为
?
的原函数；
三角函数前加上一个把
?
看作锐角时原三角函数值的符号.

两角和与差的三角函数：
一．基本公式：

sin(
?< br>?
?
)?sin
?
?cos
?
?cos
?< br>?sin
?


sin(
?
?
?)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?


cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?


cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?



tan(
?
?
?
)?
二．常见关系：
tan?
?tan
?
tan
?
?tan
?

tan(
?
?
?
)?

1?tan
??tan
?
1?tan
?
?tan
?
1．辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?)

如：
sin
?
?cos
?
?2si n(
?
?)
；
sin
?
?cos
?
?2s in(
?
?)

44

sin
??3cos
?
?2sin(
?
?)
；
cosx?3si nx?2sin(?
?
)

36
2．两角和与差的正切公式的变形：

tan
?
?tan
?
?tan(
?< br>?
?
)?[1?tan
?
?tan
?
]


tan
?
?tan
?
?tan(
?< br>?
?
)?[1?tan
?
?tan
?
]

?
?
?
?

2222

v1.0 可编辑可修改
二倍角公式
一．基本公式：

sin2
?
?2sin
?
?cos
?


cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?< br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?


tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
二．常见关系式：
1．
1?sin2?
?(sin
?
?cos
?
)
2

1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2


1?cos2
?
?2sin
2
?

1?cos2
?
?2cos
2
?

2．
s in
2
?
?
1?cos2
?
1?cos2
?

cos
2
?
?

22
三角函数的图像：
一．正弦、余弦、正切函数的图像：
1．正弦函数
y?sinx

2．余弦函数
y?cosx


2．正切函数
y?tanx



2323

v1.0 可编辑可修改
二．三角函数的图象变换：

振 幅变换
?y?Asinx
：将
y?sinx
图象上各点横坐标保持不变，纵1 ．
y?sinx????
坐标拉伸
(A?1)
或压缩
(0?A?1)
为原来的
A
倍得到．
周期变换
?y?sin
?
x
：将
y?sinx
图象上各点纵坐标保持不变，横2．
y?sinx????
坐标压缩
(
?
?1)
或拉伸
(0?
?
?1 )
为原来的
1
倍得到．
?
相位变换
?y?sin(x?< br>?
)
：将
y?sinx
的图象向右
(
?
?0 )
或向左3．
y?sinx????
(
?
?0)
平移
|
?
|
个单位得到．
4．函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A,
?
?0,A?1)
的图象可以看作是由函数
y?sinx
的图
象分别经过下面的两种方法得到：
相位变换
?y?sin(x?
?
)
⑴
y?sin x????
周期变换
?y?sin(
?
x?
?
)

????
振幅变换
?y?Asin(
?
x?
?
)< br>
????
① 将
y?sinx
的图象 向左
(
?
?0)
或向右
(
?
?0)
平移< br>|
?
|
个单位，可得到
函数
y?sin(x?
?)
图象；
② 将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩
(
?
?1)
或拉伸
(0?
?
?1)
为原来的
1
倍，得 到函数
y?sin(
?
x?
?
)
图象；
?

2424

v1.0 可编辑可修改
③ 将新 图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸
(A?1)
或压缩
(0?A?1)
为原 来的
A
倍，可得函数
y?Asin(
?
x?
?
)< br>图象．
周期变换
?y?sin
?
x
⑵
y?sinx????
相位变换

?????y ?sin
?
(x?
?
)?sin(
?
x?
?
)

?
振幅变换
?y?Asin(
?
x?
?
)

????
① 将
y?sinx
图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩
(
?
?1)
或拉伸
(0?
?
?1)
为原来的
1
倍，可以得到函数
y?sin
?
x
图象；
?
|
?
|
② 将得到的图象向左
(
?
?0 )
或向右
(
?
?0)
平移
y?sin(
?
x?
?
)
图象；
?
个单位就得到函数
③ 将新的图象各点 横坐标保持不变，纵坐标拉伸
(A?1)
或压缩
(0?A?1)
为原来的A
倍，可得函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的 图象．
三．形如
y?Asin(
?
x?
?
)
的函 数图像的画法 —— 五点法，即根据
?
x?
?
分别
取
0< br>、
3
?
?
、
?
、、
2
?
时 对应的
x
与
y
的值描点作出
y?Asin(
?
x?
?
)
的
2
2
一个周期的图像．






三角函数的性质
函 数
名 称
正弦函数
y?sinx

余弦函数
正切函数
y?cosx

2525
y?tanx

v1.0 可编辑可修改
定义域
值 域
R
[?1,1]

R
[?1,1]

{
?
|
?
?
?
2
?k
?
,k?Z}

R
最 值
y
max
?1

y
min
??1

y
max
?1

y
min
??1


图 象
分 布

最小正
周 期
奇偶性
2
?

2
?

?

奇函数 偶函数 奇函数
对称轴
x?k
?
?
?
2
,k?Z

x?k
?
,k?Z


对 称
中 心
(k
?
,0)

(k
?
?
?
2
,0)

k
(
?
,0)

2
单
增
调
性
减
[2k
?
?
?
,2k
?
?]

2 2
?
[2k
?
,2k
?
?
?
]

(k
?
?
?
,k
?
?)

22< br>?
[2k
?
?
?
3
,2k
?
??
]

22
[2k
?
?
?
,2k?
?2
?
]


三角形中的边角关系
一．正弦定理：

2626

v1.0 可编辑可修改
在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直
径，即：
二．余弦定理：
三角形任意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的 余弦
的积的两倍．即：
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA


b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB


c
2
?a
2
?b
2
?2ab?cosC

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
推论：
cosA?
；
cosB?
；
cosC?

2bc2ac2ab
sinAsinBsinC
???2R

abc
三．相关结论：
在
?ABC
中，角
A
、< br>B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，
⑴
A?B?C?
?
，
A?B?
?
?C
，
A?B
?
C
??

222
⑵
sin(A ?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC
，
tan(A?B)?? tanC


sin
A?BCA?BCA?BC
?cos
，
cos?sin
，
tan?cot

222222
⑶ 根据正弦定理：
a?2RsinA
，
b?2RsinB
，
c?2Rs inC


a:b:c?sinA:sinB:sinC

⑷ 三角形面积公式：
① 三角形的面积等于三角形任意一边与对应边上的高的乘积的一半，
111
即：
S< br>?ABC
?a?h
1
?b?h
2
?c?h
3

222
② 三角形的面积等于三角形的任意两边与其夹角的正弦值乘积的一
1 11
半，即：
S
?ABC
?absinC?bcsinA?acsinB
222


2727

v1.0 可编辑可修改



第五章 平面向量
向量的基本概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示．
2．向量的长 度：向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（也称为
AB
的模），
记作
|AB|
．
3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作
0
，零向量的方向是任意的．
4．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量．
5．平行向量：方向相同或相反的向量叫做 平行向量，也叫做共线向量，若向量
a
、
b
平行，记作
ab
．
6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
向量的加法与减法：
1．两个向量的和：已知向量
a
、
b
，平移向量
b
，使< br>b
的起点与
a
的终点重合，
b
的终点为终点的向量叫做向量< br>a
与向量
b
的和．那么以
a
的起点为起点，求
两个向 量和的运算叫做向量的加法．
2．向量加法的三角形法则：根据向量和的定义，以第一个向量
a
的终点A为起
点作第二个向量
b
，则以
a
的起点O为起点 ，以
b
的终点B为终点的向量
OB
就是
a
与
b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．

2828

v1.0 可编辑可修改

3．向 量加法的平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量
a
、
b
为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线
AC
就是
a?b
，这种 作两个
向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
4．向量加法运算律：
⑴ 交换律：
a?b?b?a
⑵ 结合律：
(a?b)?c?a?(b?c)

5．相反向量：与向量
a
方向相反的向量叫做
a
的相反向量，记作
?a
．
规定：零向量的相反向量仍是零向量．
性质：⑴
?(?a)?a
⑵
a?(?a)?0

6．两个向量的差：
a
加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差，即：

a?b?a?(?b)

7．向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。 < br>法则：如图所示，已知向量
a
、
b
，在平面内任取一
点O，作
OA?a
，
OB?b
，则
BA?a?b
，即
a?b
表示
从向量
b
的终点指向
a
的终点的向量．
实数与向量的积：
1．实数与向量的积：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
，它的长度与
方向规定如下：
⑴
|
?
a|?|
?
|?|a|

⑵ 当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；

2929

v1.0 可编辑可修改
当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反
2．实数与向量的积所满足的运算律：设
?
、
?
为实数，那么：
⑴
?
?(
?
a)?(
??
)?a
；
⑵
(
?
?
?
)?a?
?
?a?
?
?a

⑶
?
?(a?b)?
?
?a?
?
?b

3．向量共线的充要条件：
向量
b
与非零向量
a
共线的充 要条件是有且只有一个实数
?
，使得
b?
?
a
．
4．平面向量基本定理：
如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一
向量
a
，有且只 有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．
平面向量的坐标运算：
1．平面向量的坐标：分别取与
x
轴、
y< br>轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为
基底，对于一个向量< br>a
，有且只有一对实数x、
y
，使得
a?x?i?y?j
，则
称
(x,y)
为向量
a
的坐标，记做
a?(x,y)
．
2．向量
a
的坐标与起点为原点的向量是一一对应的关系，即：
向量
a?(x,y)
3．平面向量的坐标运算：
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
?
?R
，则：
⑴
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
；
⑵
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
；
⑶
?
a?(
?
x
1,
?
y
1
)
．
一一对应
向量
OA
一一对应
点
A(x,y)


3030

v1.0 可编辑可修改
若点
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y
2< br>?y
1
)
．
4．向量
a?(x
1
,y1
)
与
b?(x
2
,y
2
)
共线的充 要条件是
x
2
y
1
?x
1
y
2
? 0
．
平面向量的数量积及运算律：
1．两个向量的夹角：
已知两个非零 向量，作
OA?a
，
OB?b
，则
?AOB?
?
（
0?
?
?180
）叫
做向量
a
与
b
的夹角．
当
?
?0
时，
a
与
b
同向； 当
?
?180
时，
a
与
b
反向，如果
a< br>与
b
的夹角是
90
时，则称
a
与
b
垂直，记作
a?b
．
2．两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则数量
|a|?|b|?cos
?
叫做
a
与
b
的数量积，记作
a?b
，即 ：
a?b?|a|?|b|?cos
?
．
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即
0?a?0
．
3．向量数量积的几何意义：
|b|?cos
?
叫做向量
b
在
a
方向上的投影，其中当
?
为锐角时，它是正值，当
?
为钝角时，它是负值，当
?
?90
时，它是0，当
?
?0
时 ，它是
?|b|
．
a?b
的几何意义是：数量积
a?b
等 于
a
的长度
|a|
与
b
在
a
的方向上的投 影
|b|?cos
?
的乘积．
4．向量数量积的性质：
设
a
、
b
都是非零向量，
?
是
a
与
b的夹角，则：
⑴
e?a?a?e?|a|cos
?
（
e是与
b
方向相同的单位向量）
⑵
a?b

?

a?b?0

⑶ 当
a
与
b
同向时，
a?b?|a|?|b|
； 当
a
与
b
反向时，
a?b??|a|?|b|
；

3131

v1.0 可编辑可修改
特殊的，
a?a?|a |
2
，或者
|a|?(a)
2

⑷
cos
?
?
a?b

|a|?|b|
⑸
|a?b|?|a|?|b|

5．向量的数量积的运算律：
⑴
a?b?b?a
；
⑵
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)

⑶
(a?b)?c?a?c?b?c

6．向量数量积的坐标运算：
⑴ 设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
⑵ 若向量
a?(x
1< br>,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)< br>垂直的充要条件是
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
⑶ 若
a?(x,y)
，则
|a|?x
2
?y
2
．
⑷ 设
A(x
1
,y
1
)
，
B( x
2
,y
2
)
，则
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2．
线段的定比分点与平移
1．点
P
分
P
1
P
2
所成的比：
设
P
1
，
P
2
是直线
l
上的两点，P
是
l
上不同于
P
1
，
P
2
的任一点，存在实数
?
，
使
PP
1
P
2
所 成的比．
1
?
?
PP
2
，则
?
叫做点< br>P
分
P
2．定比分点坐标公式：
设
P
1
( x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2,y
2
)
，若点
P(x,y)
分
P
1
P
2
所成的比为
?
，则点
P(x,y)
的

3232

v1.0 可编辑可修改
?
?
x??
坐标满足：
?
?
y?
?
?
x
1?
?
x
2
1?
?
y
1
?
?< br>y
2
1?
?
．
3．中点坐标公式：
x
1
?x
2
?
x?
?
2
?
(x,y)
P(x,y)
若点
P(x,y)
为
P
，的中点，则．
?< br>111
222
y
1
?y
2
?
y?
?
?2
4．平移公式：
?
?
x
?
?x?h
若点
P(x,y)
沿向量
a?(h,k)
平移至点
P'(x',y' )
，则
?

?
?
y
?
?y?k






第六章 不等式
不等式的性质
1．两个实数比较大小的依据：
a?b?0

?

a?b


a?b?0

?

a?b


a?b?0

?

a?b

2．反对称性：如果< br>a?b
，那么
b?a
；如果
a?b
，则
b?a
．
3．传递性：如果
a?b
，且
b?c
，那么
a?c< br>．

3333

v1.0 可编辑可修改
4．加法性质：如果
a?b
，那么
a?c?b?c
．
推论1：如果
a?b?c
，那么
a?c?b
．
推论2：如果
a?b
，
c?d
，那么
a?c?b?d
．
推论3：如果
a?b
，
c?d
，那么
a?d?b?c
． < br>5．乘法性质：如果
a?b
，
c?0
，那么
ac?bc
；
如果
a?b
，
c?0
，那么
ac?bc
．
推论1：如果
a?b?0
，
c?d?0
，那么
ac?bd
．
推论2：如果
a?b?0
，那么
a
n
?b
n
(n?N
，且
n?1)
．
推论3：如果
a?b
，
ab?0
，那么
11
?
．
ab
ab
?
．
dc
*推论4：如果
a?b ?0
，
c?d?0
，那么
6．开方性质：如果
a?b?0
， 那么
n
a?
n
b
(n?N
，且
n?1)
．
7．
a
2
?b
2
?2ab
(a,b?R)
；
a?b?2ab
(a,b?0)
．
注：⑴ 当且仅当
a?b
时取到等号；
a
2
?b
2
a?b
2
⑵
ab?
；
ab?()
．
2
2
8．绝对值不等式的 性质：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
．
不等式的解法：
1．一元一次不等式：

ax?b

x?
b

a
ax?b

x?
b

a
a?0

a?0

b?0

?

b?0

R

3434

v1.0 可编辑可修改
b?0

a?0

2、一元二次不等式：

x?
b

a
R
b?0

x?
b

a
?

??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c


两个不等的实根

两个相等的实根

ax
2
?bx?c?0

x
1
、
x
2

b

x
1
?x
2
??
2a
{x|x??
b
}

2a
没有实数根
ax?bx?c?0

{x|x?x
1
,或x?x
2
}

2
R
ax
2
?bx?c?0

{x|x?x
1
,或x?x
2
}

R R
ax
2
?bx?c?0

{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

ax?bx?c?0

2
{x|x
1
?x?x
2
}

{x|x??
b
}

2a
?

3.高次不等式：穿线法：
例如：
f(x)?(x?3)(x?1)
2(1?x)(x?2)
3
(x?5)?0

第1步：将
f(x)
的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘
积，即：
(x? 3)(x?1)
2
(x?1)(x?2)
3
(x?5)?0


3535

v1.0 可编辑可修改
第2步：将方程f(x)?0
的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲
线，且奇穿过，偶回头。

第3步：根据曲线显示的
f(x)
的值的符号的变化规律，写出不等式的解集。

{x|?3?x??1
或
?1?x?1
或
2?x?5}


4．分式不等式：分式化整式：
1.
f(x)f(x)
?0

?
f(x)?g(x)?0
；
?0

?

f(x)?g(x)?0

g(x)g(x)
2.
?
f(x)?g(x)?0
?
f(x)?g(x)?0
f(x)f(x)
?0

?
?
?0

?

?
；
g(x)g(x)
g(x)?0g(x)?0
??
f(x)
?m

?
[f(x)?mg(x)]?g(x)?0

g(x)
f(x)
?m

?
[f(x)?mg(x)]?g(x)?0

g(x)
3.

5．含绝对值的不等式：
1.
|f(x)|?g(x)

?

?g(x)?f(x)?g(x)


|f(x)|?g(x)

?

f(x)?g(x),或f(x)??g(x)

2.
|f(x)|
?
|g(x)|

?

[f(x)?g(x)]?[f(x)?g(x)]?0

3.
|x?a|?|x?b|
?m

(a?b,m?0)

?
x?a
?
a?x?b
?
x?b

?
?
或
?
或
?

?
(a?x)? (b?x)?m
?
(x?a)?(b?x)?m
?
(x?a)?(x?b)? m



3636

v1.0 可编辑可修改
第七章 立体几何初步
一.空间直线与平面
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内无数个公共点；
（2）直线和平面相交有且只有一个公共点；
（3）直线和平面平行没有公共点——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为如下 ，符号分别可表示为
a?
?
，
a
?
?A
，
a
?
．
a
a
a
?
?
A
?

2．线面平行 的判定定理：如果不在一个平面内的一条直
线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行．
推理模式：
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
．
?
a
b
P
?
a
P
b
3. 线面平 行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面
和这个平面相交，那么这条直线和交 线平行．
推理模式：
a
?
,a?
?
,
??
?b?ab
．
?
a
b
4 定义：如果一条直线
l
和一个平面α相交，并且和平面α内的
任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
和平面 α互相垂直其中直
?
线
l
叫做平面的垂线，平面α叫做直线
l
的垂面交点叫做垂足
直线
l
与平面α垂直记作：
l
⊥α
5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两

3737

v1.0 可编辑可修改
条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
6．直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条
直线平行 < br>7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间
的距离叫做这个点 到这个平面的距离．
8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点< br>到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
9 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一
条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
P
O
A
10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
?
a
PO?
?,O?
?
?
?
推理模式：
PA
?
?A
?
?a?AO
．
a?
?,a?AP
?
?
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内
一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用

二.空间平面与平面
没有公共点——两平面平行
1.两个平面的位置关系有两种：
有一条公共直线——两平面相交
2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平< br>行于一个平面，那么这两个平面平行.
?
?
3838

a
b
c

v1.0 可编辑可修改
a?< br>?
?
?
定理的模式：
b?
?
?

?
ab?P
?
?
?

?
a
?
?
?
b
?
?
?
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一 个平面内的两条相交直
线，那么这两个平面互相平行．
推论模式：
ab?P,a?< br>?
,b?
?
,a
?
b
?
?P
?,a
?
?
?
,b
?
?
?
,aa
?
,bb
?
?
?

?

3.两个平面平行的性质:
（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
【附】
1. 证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再
导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两
个平面平行，这个定理可简记 为线面平行则面面平行。用符号表示是： a∩b，
a α，b

3939

v1.0 可编辑可修改
α，a∥β，b∥β，则α∥β．
（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α
∥β．
（4）平行于同一个平面的两个平面平行 .
?

?
,
?
?
?
?

?

2. 两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这
个定理可简记为：
“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a

4040

v1.0 可编辑可修改
α，则a∥β．
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这
个定理可简记为：
“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ
=b，则a∥b．
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面。
这个定理可用于证明线面垂 直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β．
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。
5．两个平面垂直的定义：
相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
6．两平面垂直的判定定理：（线面垂直
?
面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
7．两平面垂直的性质定理：（面面垂直
?
线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一
个平面。


4141

v1.0 可编辑可修改
三.空间向量及运算
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
?
?
OB?OA?AB?a?b

?
?
BA?OA?OB?a?b

?
OP?
?
a(
?
?R)

?
??
?
运算律：⑴加法交换律：
a?b?b?a

?
?
??
?
?
⑵加法结合律：
(a?b)?c?a?(b ?c)

⑶数乘分配律：
?
(a?b)?
?
a?
?
b

3 共线向量
?
?
?
?
表示空间向 量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共
?
?
?
?
线向量或平行向量．
a
平行于
b
记作
ab
．
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
当我们说向量
a
、
b
共线（或
a< br>b
a
b
a
bb
0
a
b
a
b
推论：如果
l
为经过
?
已知点
A
且平行于已知非零 向量
a
的直线，那么对于任意一点
O
，点
P
在直线
l
上的充要条件是存在实数
t
满足等式
?
OP?OA?t
a
．
?
其中向量
a
叫做直线
l
的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面
?
和向量
a
，作
OA?a
，如果直线
OA
平行于
?
或在
?
内，那么

4242

v1.0 可编辑可修改
我们说向量
a
平行于平面
?
，记作：
a
?
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果两个向量
a,b
不共线，
p
与向 量
a,b
共面的充要条件是存在实数
x,y
使
p?xa?yb

推论：空间一点
P
位于平面
MAB
内的充分必要条件是存在有序 实数对
x,y
，使
MP?xMA?yMB
或对空间任一点
O
，有
OP?OM?xMA?yMB

①
①式叫做平面
MAB
的向量表达式
7 空间向量基本定理：
如果 三个向量
a,b,c
不共面，那么对空间任一向量
p
，存在一个唯一的有序< br>实数组
x,y,z
，使
p?xa?yb?zc

推论：设O,A,B,C
是不共面的四点，则对空间任一点
P
，都存在唯一的三
个
有序实数
x,y,z
，使
OP?xOA?yOB?zOC

8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点< br>O
，作OA?a,OB?b，则
?AOB
叫
做向量
a
与
b
的夹角，记作
?a,b?
；且规定0??a,b??
?
，显然有
?a,b???b,a?
；若
?a,b??
?
2
， 则称
a
与
b
互相垂直，记作：
a?b
.
9．向量的模：
设
OA?a
，则有向线段
OA
的长度叫做 向量
a
的长度或模，记作：
|a|
.
10．向量的数量积：
a?b?
|a|?|b|?cos?a,b?
．
已知向量
AB?a
和轴
l
，
e
是
l
上与
l
同方向的 单位向量，作点
A
在
l
上的
射影
A
?
，作 点
B
在
l
上的射影
B
?
，则
A
?
B
?
叫做向量
AB
在轴
l
上或在
e
上的正射

4343

v1.0 可编辑可修改
影.
可以证明
A
?
B
?
的长度
|A
?
B
?
|?|AB|cos?a,e??|a?e|
．
11．空间向量数量积的性质：
（1）
a?e?|a|cos?a,e?
．（2）
a?b?a?b?0
．（3）
|a|
2
?a?a< br>．
12．空间向量数量积运算律：
（1）
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
．（2）
a?b?b?a（交换律）（3）
a?(b?c)?a?b?a?c
（分配律）．

四.空间向量的坐标运算
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的
x
轴是 横轴（对应为横坐标），
y
轴
是纵轴（对应为纵轴），
z
轴是竖轴（ 对应为竖坐标）.
①令
a
=(
a
1
,a
2
,
a
3
),
b?(b
1
,b
2
,b3
)
，则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
?
a ?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)
b?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3< br>?
?
b
3
(
?
?R)
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

a
∥
?
a
1
a
2
a
3
??

b
1
b
2
b
3
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
? a
3
b
3
?0

a?a?a?a
12
?a
2
2
?a
3
a
2
?a?a?a ?a?a
2
(用到常用的向量模与向量之间的转化：
)
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3< br>2
a
1
2
?a
2
2
?a
3
?
?
?
?
a?b
cos?a,b??
?
?
?
|a|?|b|
?b
1
22
?b
2
2
? b
3

②空间两点的距离公式：
d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
（2）法向量：若向量
a
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平面
?
，
记 作
a?
?
，如果
a?
?
那么向量
a
叫做平 面
?
的法向量.

4444

v1.0 可编辑可修改
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是 平面
?
的法向量，AB是平面
?
的一条射线，其中
A?
?< br>，则点B到平面
?
的距离为
|AB?n|
|n|
.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设
n
1
,n
2
分别是二面角< br>?
?l?
?
中平面
?
,
?
的法向量，则n
1
,n
2
所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
n
1
,n
2
方
向相同，则为补角，
n
1
,n
2
反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线
a??
平面
?
，
A?B?a,C?D?
?
，且CDE三点
不共线 ，则a∥
?
的充要条件是存在有序实数对
?
?
?
使
AB?
?
CD?
?
CE
.（常设
AB?
?
CD?
?
CE
求解
?
,
?
若
?
,
?
存在即证毕，若
?
,
?
不存在，则直线AB与平面相交）.
A
n
▲
B
B
?
C
A
▲
n
1
C
D
E
?
n
2
?
?


五.空间的角
1．异面直线
a,b
所成角的定义： 已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O
作直线a'
?
?
?
?< br>?
?
间距离
1．点到平面的距离：一点到它在一个平面内的正射线的距离叫做这一点到这个
平面的距离。
2．直线到平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这
条直线到平面的 距离。
3．两个平面的距离：两个平行平面的公垂线的长度，叫做两个平行平面的距离。
4．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的
距离。


4545

v1.0 可编辑可修改
七.空间角.空间距离综合

八.棱柱
1. 棱柱.
直棱柱侧 面积：
S?Ch
（
C
为底面周长，
h
是高）该公式是利用直 棱柱的侧面展
开图为矩形得出的.
斜棱住侧面积：
S?C
1
l（
C
1
是斜棱柱直截面周长，
l
是斜棱柱的侧棱长）该公
式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
{四棱柱}
?
{平行六面体}
?
{直平行六面体}
?
{长方体}
?
{正四棱柱}
?
{正方
体}.
{直四棱柱}
?
{平行六面体}={直平行六面体}.
底面是侧棱垂直底面 是
四棱柱平行六面体直平行六面体
底面矩形
平行四边形

棱柱具有的性质：
底面是
长方体
正方形
侧面与
正方体正四棱柱
底面边长相等
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的
各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
．．．．．．．．．．．．．
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多
．．
边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
．．．．．．．．．．．．．

4646

v1.0 可编辑可修改
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一 条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为
?
,
?
,
?
，则
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2?
?1
.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为
?
,
?
,
?
，则
cos
2
?
? cos
2
?
?cos
2
?
?2
.
[注]： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的
平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方
形的直棱柱才行） < br>．
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对
角线相等，推 不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两
条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

九.棱锥
棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥； 所以
V
棱柱
?Sh?3V
棱柱
.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧
棱相等）；底面为正多边形.

4747

v1.0 可编辑可修改
②正棱锥的侧面积：
S?Ch
'
（底面周长为
C
，斜高为
h
'
）
1
2
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：
S
侧
?c
S
底
cos
?
（侧面与底面成的二面角
为
?
）
l
a
b
附： 以知c
⊥
l
，
cos
?
?a?b
，
?为二面角
a?l?b
.
则< br>S
1
?a?l
①，
S
2
?l?b
②，
cos
?
?a?b
③
?
①②③
得
S
侧
?
1
2
1
2
S
底
cos
?
.
注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质： ①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的
高相等（它叫做正棱锥 的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、
侧 棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的
外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内
心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

4848

v1.0 可编辑可修改
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的
距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心
I
是四面体各个二面角的平分面的交点，到各
面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（ ×）
A
（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）
b
a
c
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
BC
简证：AB⊥CD，AC⊥BD
?
BC⊥AD. 令
AB?a,AD?c,AC?b

得
BC?AC?AB?b?a,AD?c ?BC?AD?bc?ac
，已知
a?
?
c?b
?
?0,b ?
?
a?c
?
?0

?ac?bc?0
则
BC?AD?0
.
D
D
E
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一
定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定
是正方形.
简证：取AC 中点
O'
，则
oo
?
?AC,BO
?
?AC?AC ?
平面
OO
?
B?AC?BO??FGH?
90°易知EFGH为平 行四边形
?
EFGH为长方形.若对
A
H
B
O'
G
角线等，则
EF?FG?EFGH
为正方形.

十.圆柱.圆锥

图形




4949

v1.0 可编辑可修改

定义

轴
有关线
母线
底面
平行于
底
的截面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形

直线
O'O


直线
SO

SA

A'A

圆
圆
圆
圆
有
关
面


侧面及
展开图
S
侧
?cl

?2
?
r?l

十一.球
球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：
S?4
?
R
2
.
②球的体积公式：
V?
?
R
3
.
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点
P
的纬度是指经过
P
点的球半径与赤道面所成的 角的度
数.
②经度：地球上
A,B
两点的经度差，是指分别经过这两点的经 线与地轴所确定

5050


S
侧
?
1
cl

2
?
?
r?l


4
3

v1.0 可编辑可修改
的二个半平面的二面角的度数 ，特别地，当经过点
A
的经线是本初子午线时，
这个二面角的度数就是
B点的经度.
附：①圆柱体积：
V?
?
r
2
h
（
r
为半径，
h
为高）
②圆锥体积：
V?
?r
2
h
（
r
为半径，
h
为高）
③锥形体积：
V?Sh
（
S
为底面积，
h
为高）
(3). ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，
h?
S
侧
?
3
2
a

4
R
O
1
3
1
3
3
2
6
a
，
S
底
?a，
3
4
得
3
2
63
2
13
2
2426
a?a?a?R??a?R?R?a3?a?3?a
.
43434 4344
注：球内切于四面体：
V
B?ACD
??S
侧
?R ?3?S
底
?R?S
底
?h

②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.

十二.立体几何综合问题

1
3
1
3
第八章 直线和圆的方程
一.直线的方程
1、倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做< br>直线的倾斜角，范围为
?
0,
?
?
.
斜率：当直线 的倾斜角不是90
0
时，则称其正切值为该直线的斜率，即
k=tan
?;当直线的倾斜角等于90
0
时，直线的斜率不存在。

5151

v1.0 可编辑可修改
2、过两点p
1
(x
1< br>,y
1
),p
2
(x
2
,y
2
)( x
1
≠x
2
)的直线的斜率公式:k=tan
?
?
若x
1
＝x
2
，则直线p
1
p
2
的斜率不 存在，此时直线的倾斜角为90
0
.
3.直线方程的种形式：
名称
斜截式
点斜式
两点式
方程
y=kx+b
y-y
0
=k(x-x
0
)
y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
y
2
?y
1

x
2
?x
1
适用范围
不含垂直于x轴的直线
不含直线x=x
0
不含直线x=x
1
(x
1
≠x
2
)和
直线y=y
1
(y
1
≠y
2
)

截距式
xy
??1

ab
不含垂直于坐标轴和过原点的直线


二.直线与直线的位置关系
（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。
1、当直线不平行于坐标轴时，直线与圆的位置关系可根据下表判定

条



关

平 行

重 合

相 交
垂 直 K
1
k
2
=-1
K
1
≠k
2

K
1
=k
2
且b
1
=b
2

方
件
系
程
l
1
：y=k
1
x+b
1

l
2
：y=k
2
x+b
2

l
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0
l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0
K
1
=k
2
且b
1
≠b
2

A
1
B
1
C
1

??
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1

?
A
2
B
2
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0

5252

v1.0 可编辑可修改

2、当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。
(二)点到直线的距离、直线与直线的距离
1、点P(x
0
,y
0
)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
(A
2
?B
2
?0)

2、直线l
1
∥l
2
，且其方程分别为l
1
：Ax+By+C
1
=0,l
2
：Ax+By+C
2=0,
则l
1
与l
2
的距离为：d=
C
1< br>?C
2
A
2
?B
2
(A
2
?B2
?0)

（三）两条直线的交角公式
若直线l
1
的 斜率为k
1
，l
2
的斜率为k
2
，则
（1）直线 l
1
到l
2
的角满足：tan
?
?
k
2< br>?k
1
(k
1
k
2
??1)
.
1 ?k
1
k
2
k
2
?k
1
(k
1< br>k
2
??1)

1?k
1
k
2
（2 ）直线l
1
与直线l
2
所成的角（简称夹角）
?
满足：ta n
?
?
说明：（1）当l
1
和l
2
的斜率都不存在 时，所成的角为0
0
；（2）当l
1
与l
2
的斜
率 有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）
l
1
到l
2
的角
?
1
不同于l
2
到l
1
的 角
?
2
，它们满足：
?
1
?
?
2
?
?
.
（四）两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成
的方程组的解的个数。

三.线性规划
1、二元一次不等式表示平面区域
(1)一般地，二元一次不等式
Ax?By?C?0
在平面直角坐标系中表示直
线
Ax?By?C?0
某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线．
不等式
Ax?

By?C?0
所表示的平面区域（半平面）包括边界线．
5353

v1.0 可编辑可修改
(2)对于直线
Ax?By?C?0
同一侧的所有点(
x,y
)，使得
Ax?
符号相同。因此,如果直线
Ax?By?C?0
一侧的点使
Ax?
侧的点就使
By?C
的值< br>By?C?0
，另一
Ax?By?C?0
。所以判定不等式
Ax?By ?C?0
（或
Ax?By?C?0
）所表示的平面区域时，只要在直线
Ax? By?C?0
的
一侧任意取一点(x
0
,y
0
)，将它的的 坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等
式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等 式，就表示这个
点所在区域的另一侧平面区域。
(3) 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平
面区域的公共部分．
2、线性规划
⑴ 基本概念
名 称 意 义
条件
目标函数
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
关于
x
,
y
的解析式
关于
x
,
y
的一次解析式
满足线性约束条件的解（
x
,
y
）叫做可行解
所有可行解组成的集合叫做可行域
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性约束条件 由
x
,
y
的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对
x
,
y
的约束
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤
①、设出所求的未知数
②、列出约束条件（即不等式组）
③、建立目标函数
④、作出可行域
⑤、运用图解法求出最优解

5454

v1.0 可编辑可修改

四.圆的方程
1、圆心为
C(a,b)
，半径为
r
的圆的标准方程为：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0)
.
特殊地，当
a?b?0
时，圆心在原 点的圆的方程为：
x
2
?y
2
?r
2
.
2、圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，圆心 为点
(?
DE
,?)
，半径
22
r?
D
2
?E
2
?4F
，其中
D
2
?E
2
?4F?0
.
2
3、二元二次方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，表示圆的方程的充要条件
是：①、
x2
项
y
2
项的系数相同且不为0，即
A?C?0
；②、 没有
xy
项，即
B=0；③、
D
2
?E
2
?4AF?0
.
?
x?a?rcos
?
4、圆
C:(x? a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的参数方程为
?(θ为参数).特殊
?
y?b?rsin
?
?
x?rcos?
地，
x
2
?y
2
?r
2
的参数方程 为
?
(θ为参数).
y?rsin
?
?


五.直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ， 圆心C
到直线L的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切
?
d=r
?
Δ＝0
相交
?
d?
Δ>0
相离
?
d>r
?
Δ<0
2、圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下关系：


外离
?
d>R＋r
5555

v1.0 可编辑可修改






外切
?
d＝R＋r
相交
?
R－r内切
?
d＝R－r
内含
?
d第九章 圆锥曲线方程
一.椭圆
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

定义
椭圆
1．到两定点F
1
,F
2
的距
离之和为定值
2a(2a>|F
1
F
2
|)的点的轨
迹
2．与定点和直线的距离
之比为定值e的点的轨
迹.（0图形
双曲线
1．到两定点F
1
,F
2
的距
离之差的绝 对值为定
值2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的
点的轨迹
2．与定点和直线的距
离之比为定值e的点的
轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等
的点的轨迹.
抛物线


5656

v1.0 可编辑可修改
标准
方
方程


参数
程
方程
范围
中心
顶点
x
2
y
2
?
2
?1
(a?b
>0)
2
ab
x
2
y
2
?< br>2
?1
(a>0,b>0)
2
ab
y=2px
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?< br>2
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─axa，─byb
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
|x| a，yR x

0
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0) (0,0)
对称轴 x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
x轴
焦点
焦距
离心率
准线
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
p
F(,0)

2
2c （c=
a
2
?b
2
）
e?
c
(0?e?1)

a
2c （c=
a
2
?b
2
）
e?
c
(e?1)

a

e=1
p

2
a
2
x=
?

c
a
2
x=
?

c
x??
渐近线
焦半径
通径

y=±
b
x
a

p

2
r?a?ex

2b
2

a
a
2

c
r??(ex?a)

r?x?
2b
2

a
a
2

c

2p

P
焦参数
2.椭圆的定义:

5757

v1.0 可编辑可修改
第一种定义:平面内 与两个定点F
1
、F
2
的距离之和等于常数(大于｜F
1
F
2
｜)的点
的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比
是小于1的正常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭
圆的准线.
3.椭圆的标准方程:
x
2
y
2
(1)
2
?
2
?1(a?b?0)
,焦点:F
1
(-c,0),F
2
(c,0),其中c=
a
2
?b
2
.
abx
2
y
2
(2)
2
?
2
?1(a?b ?0)
,焦点:F
1
(0,-c),F
2
(0,c),其中c=a
2
?b
2
.
ba
?
x?acos
?
4.椭圆的参数方程:
?
,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).
y? bsin
?
?
x
2
y
2
5.椭圆的几何性质:以标 准方程
2
?
2
?1(a?b?0)
为例:
ab
①范围:|x|≤a,|y|≤b;
②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);
③顶点A(a,0),A′( -a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′
|=2b;
④离心率:e=
c
,0a
a
2
⑤准线x=±;
c
⑥焦半径:|PF
1< br>|=a+ex,|PF
2
|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.

二.双曲线
1.双曲线的定义

5858

v1.0 可编辑可修改
(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F
1
、F
2
的距离差的绝对值等于常数
2a(0<2a<
｜F1
F
2
｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F
1
、F
2< br>是焦点，两焦点间的距离｜F
1
F
2
｜
是焦距，用2c表示. 常数用2a表示.
(2)双曲线的第二定义:若点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比< br>是一个常数e(e>1)
2.双曲线的标准方程
x
2
y
2
(1)焦点在x轴上:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
,焦 点坐标为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),
ab
c?a
2
?b
2
.
y
2
x
2
(2)焦点在y轴上:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
,焦点坐标为F
1
(0,-c),F
2(0,c).
ab
c?a
2
?b
2
.
x< br>2
y
2
3.双曲线简单几何性质:以标准方程
2
?
2
?1(a?0,b?0)
为例.
ab
(1)范围:|x|≥a;即x≥a,x≤-a.
(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).
(3)顶点:A
1
(-a,0),A
2
(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A
1
A
2
叫双曲线的实轴,B
1
B
2
叫双曲线的虚轴,其中B< br>1
(0,b),B
2
(0,b).|A
1
A
2
|=2a,|B
1
B
2
|=2b.
(4)渐近线:双曲线渐近线 的方程为y=
?
a
2
(5)准线:x=
?
;
c
b
x;
a
(6)离心率:e=
c
,e>1.
a
4.等轴双曲线:x
2
-y
2
=±a
2
,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率

5959

v1.0 可编辑可修改
e=2


三.抛物线
1.抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线,点 F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线,定点不在定直线
上.
2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：
相同点:(１)原点在抛 物线上;(２)对称轴为坐标轴;p值的意义表示焦点到准
线的距离;(3)p>0为常数;(4)p值 等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对
称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离 等于一次项系数的绝
对值的１／４,即2p4=p2.
不同点:

方程
y
2
=2px
y
2
= -2px(p>0)
x
2
=2py(p>0)
x
2
= -2py(p>0)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦点位置
x轴正半轴上
x轴负半轴上
y轴正半轴上
y轴负半轴上

四.直线与圆锥曲线的位置关系
1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的
坐标.
2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.
3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另

6060

v1.0 可编辑可修改
一未知数的一元二次方程,可用 根的判别式
?
来判断，注意直线与圆锥曲线相切
必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之 亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与
其有一公共点，可能是相交的位置关系.
4.直线与圆 锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲
线的弦;(2)易求出弦端点坐标 时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线
方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或 y)的一元二次方程,利用方
程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公
式:|AB |=
(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2< br>?4x
1
x
2
]
.
5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.
6.曲线关于直线对称问 题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直
线垂直;(2)中点在此直线上.
7．弦长公式
|AB|?1?k
2
|x
1
?x
2
| ?1?
8．焦点弦长：
1
|y
1
?y
2
|

k
2
|PF|
?e
（点
P
是圆锥曲线上的任意一点 ，
F
是焦点，
d
是
P
到
d
相应于焦点F
的准线的距离，
e
是离心率）

五.轨迹问题
1 .常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的
线段的垂直平分线.( 2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分
线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点 的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面
内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆 锥曲线.当常
数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1
时 表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到
定直线的距离等于某一定 值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.

6161

v1.0 可编辑可修改
2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动 点
M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹< br>图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.
3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.
4．相关点法 （代入法）：对于两个动点
P(x
0
,y
0
),Q(x,y)
，点
P
在已知曲线上
运动导致点
Q
运动形成轨迹时，只需根据条件 找到这两个点的坐标之间的
?
x
0
?f(x,y)
等量关系并化为< br>?
然后将其代入已知曲线的方程即得到点
Q
的
y?g(x,y)
?
0
轨迹方程．
5．参数法（交规法）：当动点
P
的坐标
x,y
之间的直接关系不易建立时，可适当
地选取中间变量
t
，并用
t
表示动点
P
的坐标
x,y
，从而动点轨迹的参数方程
?
x?f(t)
消去参数
t
，便可得到动点
P
的的轨迹的普通 方程，但要注意方程的等价
?
y?g(t)
?
性，即有
t
的 范围确定出
x,y
的范围．

六.圆锥曲线的应用
1．相关点法 （代入法）：对于两个动点
P(x
0
,y
0
),Q(x,y)
，点
P
在已知曲线上
运动导致点
Q
运动形成轨迹时，只需根据条件 找到这两个点的坐标之间的
?
x
0
?f(x,y)
等量关系并化为< br>?
然后将其代入已知曲线的方程即得到点
Q
的
y?g(x,y)
?
0
轨迹方程．
2．参数法（交规法）：当动点
P
的坐标x,y
之间的直接关系不易建立时，可
适当地选取中间变量
t
，并用t
表示动点
P
的坐标
x,y
，从而动点轨迹的参数方
?
x?f(t)
程
?
消去参数
t
，便可得到动点
P< br>的的轨迹的普通方程，但要注意方程
y?g(t)
?
的等价性，即有
t
的范围确定出
x,y
的范围．


6262

v1.0 可编辑可修改
第十章 导数及其应用
一.导数的概念与运算
⒈导数的概念：
⑴曲线的切线；
⑵瞬时速度；
⑶导数的概念及其几何意义．
1．设函数
y?f(x)
在
x?x< br>0
处附近有定义，当自变量在
x?x
0
处有增量
?x
时，
○
则函数
Y?f(x)
相应地有增量
?y?f(x
0< br>??x)?f(x
0
)
，如果
?x?0
时，
?y与
?x
的比
?y?y
（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个 常数，我
?x?x
x?x
0
们把这个极限值叫做函数
y?f(x)< br>在
x?x
0
处的导数，记作
y

f

( x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)< br>f
?
x
?
?f
?
x
0
?

?lim
x?x
0
?x
x?x
0
，即：
? x?0
2函数
y?f(x)
的导数
f'(x)
，就是当
?x ?0
时，函数的增量
?y
与自变量的增
○
量
?x
的 比
?y
的极限，即
?x

f'(x)?lim
?yf(x??x)?f(x)
．
?lim
? x?0
?x
?x?0
?x
3函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义，就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
○
处的切线的斜率．
⒉常用的导数公式：
⑴
C'?0
(
C
为常数)； ⑵
(x
n
)'?nx
n?1
(
n?Q
)；
⑶
(sinx)'?cosx
； ⑷
(cosx)'??sinx
；

6363

v1.0 可编辑可修改
⑸
*
(tanx)'?
11
*
2
； ⑹
?secx(cotx)'???csc
2
x
；
22
c osxsinx
⑺
(e
x
)'?e
x
； ⑻
(a
x
)'?a
x
lna
；
⑼
(lnx)'?
11
； ⑽
(log
a
x)'?log
a
e
．
xx
⒊导数的运算法则：
⑴两个函数四则运算的导数：
?
u< br>?
u'v?uv'
①
(u?v)'?u'?v'
； ②
(uv)'?u'v?uv'
； ③
??
?(v?0)
．
2
v
v
??
u'
x
． ⑵复合函数的导数：
y'
x
?y'
u
·
'

二.导数的应用
1、函数的单调性
（1）如果非常数函数
y
=< br>f(x)
在某个区间内可导，那么若
f
'
(x)
?
0
?f(x)
为
增函数；
若
f
'
(x)
?
0
?
f(x)
为减函数.
（2）若
f
'
(x)
?
0则
f(x)
为常数函数.
2、函数的极值
（1）极值定义
如果函数
f(x)
在点
x
0
附近 有定义，而且对
x
0
附近的点，都有
f(x)
<
f(x0
)
我们
就说
f(x
0
)
是函数的一个极大值 ，记作
y
极大值
=
f(x
0
)
；
f(x)
在点
x
0
附近的
点，都有
f(x)
>
f( x
0
)
我们就说
f(x
0
)
函数的一个极小值，记 作
y
极小值
=
f(x
0
)
；极大值与极小值统称为 极值。
（2）极值判别法

6464

v1.0 可编辑可修改
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，极值判断法是： 如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
>0，右侧
f
'
(x)
<0，那么
f(x
0
)
是极大 值；
如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
<0，右侧
f
'
(x)
>0，那么
f(x
0
)是极小值。
（3）求可导函数极值的步骤:
① 求导数
f
'
(x)
；
②求导数
f
'
(x)
=0的根；
③列表，用根判断
f
'
(x)
在方程根左右的值的符号，确定
f(x)
在这个根处取 极
大值还是取极小值。
3、函数的最大值与最小值
在闭区间[
a,b]上连续，在（
a,b
）内可导，
f(x)
在[
a,b
]上求最大值与最小值
的步骤：
先求
f(x)
在（
a,b
）内的极值；再将
f(x)
的各极值与
f(a)
、
f(b)
比较，其中
最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
特别注意:要注意区分函数最值与极值的区别、联系。

三.导数的综合应用
利用导数直接可以解决许多问题，例如，求曲线的切线，函数的单调区间，
函数的极值等. 同时导数也 常与其它知识交汇考查，如不等式、三角、数列、
解析几何等等.我们以近年高考试题为主，讨论导数的 综合应用问题

第十一章 统计和概率
一.分类计数原理和分步计数原理

6565

v1.0 可编辑可修改
（1）分类计数原理（加法原理）：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类 办法中有m
1
种不同的方法，
在第二类办法中有m
2
种不同的方法， ……，在第n类办法中有m
n
种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m
1< br>+m
2
+…+m
n
种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m
1
种不同的方法，做
第二步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有m
n
种不同的方法，那么完成这
件事有N=m
1
×m
2
×… ×m
n
种不同的方法。

二.排列
1.排列的概念：从
n
个不同元素中任取
m
个元素，按照一定的次序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列.排列的个数叫做从
n
个不同 元
素中取出
m
个元素的排列数，用A
m
n
表示.
2.2.排列数公式：从
n
个不同元素中任取
m
个元素的排列的个数A
m
n
=
n
（
n
－1）
（
n
－2 ）…（
n
－
m
+1）.
3.附有限制条件的排列
（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限
制的位置.
（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：
元素在某一位置或元素不在某一位置；
元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；
元素不相邻——插空法；
比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.
（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌

6666

v1.0 可编辑可修改
握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.

三.组合
1.组合的概 念：从
n
个不同元素中任取
m
个元素并成一组，叫做从
n
个 不同元
素中取出
m
个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C
m
n
表示.
2.组合数公式C
m
n
=
n!
.
(n?m)!m!
3.组合数的两个性质：
n?m
m
m?1
（1）C
m
；（2）C
m
n
=C
n
n?1
=C
n
+C
n


四.排列与组合的综合问题
1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，
它们之间的主要区别在于 是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的
是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在 组合的基础上对入选的元
素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.
2.解排列组合的应用题，要注意四点：
（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要 按元素的性质分类，按事件
发生的过程进行分步.
（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘 还是加，既不少也不多，辩证思维，
．．
多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能 力，也尽可能地避免出
错.
（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析， 设计出合理的
方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数
原理 来解决.
（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果

6767

v1.0 可编辑可修改
时，应着重检查所设计的解决问 题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采
用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题 分类时，分类标准应
统一，否则易出现遗漏或重复.

五.二项式定理
1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.
2.二项展开式的性质是解题的关键.
3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的 有关性质，证明组合数恒
等式，进行近似计算等.

六.随机事件的概率
1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件.
3.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.
4.事件
A
的概率：在 大量重复进行同一试验时,事件
A
发生的频率
m
总接近于
n
某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件
A
的概率,记作
P
（< br>A
）.由
定义可知0≤
P
（
A
）≤1,显然必然事件 的概率是1,不可能事件的概率是0.
5.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个 结果称为一个基
本事件,通常此试验中的某一事件
A
由几个基本事件组成.如果一次试 验中可能
出现的结果有
n
个,即此试验由
n
个基本事件组成,而且所 有结果出现的可能性
都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件
A
包含的结 果有
m
个,
那么事件
A
的概率
P
（
A）=
6.使用公式
P
（
A
）=
m
.
n
1
n
m
计算时,确定
m
、
n
的数值是关 键所在,其计算方法灵活多
n
6868

v1.0 可编辑可修改
变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原
理,必须做到不重复不遗漏.

七.互斥事件有一个发生的概率
1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.
2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件.
3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;
第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.
从集合角度来看，
A
、
B
两个事件互斥，则表示
A
、
B
这两 个事件所含结果
组成的集合的交集是空集.
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次 试验中有且仅有一个发
生的两个事件，集合
A
的对立事件记作
A
，从 集合的角度来看，事件
A
所含结
果的集合正是全集
U
中由事件
A
所含结果组成集合的补集，即
A
∪
A
=
U
，< br>A
∩
A
=
?
.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是 对立事件.
4.事件
A
、
B
的和记作
A
+
B
，表示事件
A
、
B
至少有一个发生.当
A
、< br>B
为互斥事
件时，事件
A
+
B
是由“
A发生而
B
不发生”以及“
B
发生而
A
不发生”构成的，
因此当
A
和
B
互斥时，事件
A
+
B
的概率满足加法公式：
P
（
A
+
B
）=
P
（
A
）+
P
（
B
）
（
A
、B
互斥），且有
P
（
A
+
A
）=
P< br>（
A
）+
P
（
A
）=1.
当计算 事件
A
的概率
P
（
A
）比较困难时，有时计算它的对立事件
A
的概率
则要容易些，为此有
P
（
A
）=1－P
（
A
）.
对于
n
个互斥事件
A
1
，
A
2
，…，A
n
，其加法公式为
P
（< br>A
1
+
A
2
+…+
A
n
）=
P
（
A
1
）
+
P
（
A
2
）+…+
P
（
A
n
）.

6969

v1.0 可编辑可修改
5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.

八.相互独立事件同时发生的概率
1.相互独立事件：事件
A
是否发生对事 件
B
发生的概率没有影响，这样的两个
事件叫相互独立事件.
2.独立重复 实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为
p
，那么在
n
次独立
k n
－
k
重复试验中，这个事件恰好发生
k
次的概率为
Pn
（
k
）=C
k
.
n
p
（1－p
）
3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
第一，相互独立也是研究两个事件的关系；
第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概
率没有影响”来确定的 .
4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时 发生，两事件相互独立是指不
同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生 ，而
互斥事件不可能同时发生.
5.事件
A
与
B
的积记作
A
·
B
，
A
·
B
表示这样一个事件，即< br>A
与
B
同时发生.
当
A
和
B
是相 互独立事件时，事件
A
·
B
满足乘法公式
P
（
A< br>·
B
）=
P
（
A
）·
P
（
B
），还要弄清
A
·
B
，
A?B
的区别.
A
·
B
表示事件
A
与
B
同时发生，因此
它们的对立事件
A
与
B
同时不发生，也等价于
A
与
B
至少有一个发生的对立事
件即
A?B
，因此有
A
·
B
≠
A?B
，但
A
·
B
=
A?B
.

九.离散型随机变量的分布列
1.随机变量的概念
如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，

7070

v1.0 可编辑可修改
它常用希腊字母
ξ
、
η
等表示.
（1）离散型随机变量. 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列
出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.
（2）若
ξ
是随机变量，
η
=
aξ
+
b< br>，其中
a
、
b
是常数，则
η
也是随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量
ξ可能取的值为
x
1
，
x
2
，…，
x
i
，…，
ξ
取每一个值
x
i
（
i
=1，2， …）的概率
P
（
ξ
=
x
i
）=
p
i
，则称表
ξ

P

x
1

p
1

x
2

p
2

…
…
x
i

p
i

…
…
为随机变量ξ的概率分布，简称
ξ
的分布列.
（2）二项分布.如果在一次 试验中某事件发生的概率是
p
，那么在
n
次独立重
kn
－< br>k
复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率是
P
（
ξ< br>=
k
）=C
k
.
n
pq
其中
k< br>=0，1，…，
n
，
q
=1－
p
，于是得到随机变量
ξ
的概率分布如下：
ξ

P

0
0
n
C
0
pq

n
1
1
n
－1
C
1
pq

n
…
…
k

kn
－
k
C
k
pq

n
…
…
n

n
0
C
n
pq

n
我们称这样的随机变量
ξ
服从二项分布，记作
ξ
～
B< br>（
n
，
p
），其中
n
、
p
kn－
k
为参数，并记C
k
=
b
（
k
；< br>n
，
p
）.
n
pq
特别提示
二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.
（3）. 几何分布：“
?
?k
”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，
如果把k次试验时事件A发生记为A
k
，事A不发生记为
A
k
,P(A
k
)?q
，那么
P(ξ?k)?P(A
1
A
2
?A
k?1< br>A
k
)
.根据相互独立事件的概率乘法分式：
k?1
P(ξ? k)?P(A
1
)P(A
2
)?P(A
k?1
)P(Ak
)
?
qp(k
?
1,2,3,
?
)
于是得到随机变量ξ的概率分布

7171

v1.0 可编辑可修改
列.
?

1
q
2
qp
3
q
2
p

…
…
k
q
k?1
p
…

… P
我们称ξ服从几何分布 ，并记
g(k,p)?q
k?1
p
，其中
q?1?p.k?1,2, 3?


十.离散型随机变量的期望值和方差
1.期望：若离散型随机变量
ξ
，当
ξ
=
x
i
的概率为
P
（< br>ξ
=
x
i
）=
P
i
（
i
= 1，2，…，
n
，…），则称
Eξ
=∑
x
i
p
i
为
ξ
的数学期望，反映了
ξ
的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
Eξ
由
ξ
的分布列 唯
一确定.
2.方差：称
Dξ
=∑（
x
i
－Eξ
）
2
p
i
为随机变量
ξ
的均方差，简称方 差.
D
?
叫标
准差，反映了
ξ
的离散程度.
3. 性质：（1）
E
（
aξ
+
b
）=
aEξ
+
b
，
D
（
aξ
+
b
）=
a
2
Dξ
（
a
、
b
为常数）.
（2）二项 分布的期望与方差：若
ξ
～
B
（
n
，
p
） ，则
Eξ
=
np
，
Dξ
=
npq
（
q
=1－
p
）.
Dξ
表示
ξ
对
Eξ< br>的平均偏离程度，
Dξ
越大表示平均偏离程度越大，说明
ξ
的取值越分 散.

十一.抽样方法、总体分布的估计
（一）抽样
1.简单随机抽样 ：设一个总体的个体数为
N
．如果通过逐个抽取的方法从中抽
取一个样本，且每次抽取 时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简
单随机抽样 ⑴用简单随机抽样从含有
N< br>个个体的总体中抽取一个容量为
n
的
样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽 到的概率为
1
；在整个抽样过程中
N

7272

v1.0 可编辑可修改
各个个体被抽到的概率为
n
； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个
N
个体被抽到的概率相等； ⑶简单随机抽样方法 ，体现了抽样的客观性与公平性，
是其他更复杂抽样方法的基础．（4）.简单随机抽样的特点：它是不 放回抽样；
它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样
简单抽样常用方法：
（1） 抽签法：先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N），
并把号码写在形状、大小相同的 号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），
然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽 签时每次从中抽一
个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本
适用范围：总体的个体数不多时
优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．
（2）随机数表法： 随 机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；
第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号 码
2.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按
预先定 出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做
系统抽样．系统抽样的步骤：①采 用随机的方式将总体中的个体编号为简便起
见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、 街道上各户的门
牌号，等等 ②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔
k 当
NNN
（N为总体中的个体的个数，n为样本容量）是整数时，k=;当不
nnn< br>是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数
N
?
能被n整
除，这时k=
N
?
.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号
l
④按照事先
n
确定的规则抽取样本（通常是将
l
加上间隔k，得 到第2个编号
l
+k,第3个编号

7373

v1.0 可编辑可修改
l
+2k，这样继续下去，直到获取整个样本）
①系统抽样适用于总体中的个体数 较多的情况，它与简单随机抽样的联系
在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽 样；
②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．
③总体中的个 体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽
样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量 整除时，可用简单随机抽样先从
总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样
3.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反
映总体的情况 ，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，
这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫 做层
常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：
类别
简单随机
从总体中逐个抽取
抽样
将总体均匀分成几
抽样过程中
个部分，按照事先确
系统抽样 每个个体被
定的规则在各部分
抽取的概率
抽取
是相同的
各层抽样时采用
将总体分成几层，分
分层抽样
层进行抽取
同抽样
不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放
回总体，称这样的抽样为不 放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回
总体，称这样的抽样为放回抽样．

7474
共同点 各自特点 相互联系

适用范围
总体中的个数比较
少
在起始部分抽样
时采用简单随机
多
抽样
总体中的个数比较
总体由差异明显的
简单抽样或者相
几部分组成

v1.0 可编辑可修改
随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样
（二）总体分布
1.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.
2.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中
所有数据（或数据组）的频数 和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或
数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布 .可以用样本频率表、样本
频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
3.总体分布：从总体 中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取
一个容量为
n
的样本，就是进行了
n
次试验，试验连同所出现的结果叫随机事
件，所有这些事件的概率分布规律称为总体 分布.
4.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总
体在相应 各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那
么频率分布直方图就会无限接近于一 条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
频率组距
总体密度曲线
单位
O< br>a
b
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区
7 575

v1.0 可编辑可修改
间(
a
，b
)内取值的概率等于总体密度曲线，直线
x
=
a
，
x
=
b
及
x
轴所围图形的面
积．

十二.正态分布、线性回归
1．正态分布的重要性
正态分布是概率统计中 最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方
面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分 布。一般说来，若影响
某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
2．正态曲线及其性质
正态分布函数：
?< br>1
f(x)?e
2
??
(x?
?
)
2
2
?
2
，x∈（-∞，+∞）
3．标准正态曲线
标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，
?(?x
0
)?1??(x< br>0
)
，
以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率
P??(b )??(a)
。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化
由于一 般的正态总体
N(
?
,
?
2
)
其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态
x?
?
)
。只要会用它求正态总体总体
N(< br>?
,
?
2
)
，其取值小于x的概率
F(x)??(< br>?
N(
?
,
?
2
)
在某个特定区间的概率即 可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想
“小概率事件”通常指发生的概率 小于5%的事件，认为在一次试验中该事
件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于 这一点我们要
有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”
来说 的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小
概率事件几乎不可能发生的原 理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来 介绍假设检验的基本
思想。进行假设检验一般分三步：
第一步，提出统计假设。课本 例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺
寸服从正态分布
N(
?
,
?
2
)
；

7676

v1.0 可编辑可修改
第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）；
第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果
a?(< br>?
?3
?
,
?
?3
?
)
，由于这是 小概率事件，就拒绝统计假设。
6．相关关系
研究两个变量间的相关关系是 学习本节的目的。对于相关关系我们可以从
下三个方面加以认识：⑴相关关系与函数关系不同。函数关系 中的两个变量间
是一种确定性关系。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量
与 随机变量之间的关系。 ⑵函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是
因果关系，也可能是伴随关系。 ⑶函数关系与相关关系之间有着密切联系，在
一定的条件下可以相互转化。
7．回归分析
本节所研究的回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型——
一元线性回归分析。
对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：
⑴回归分析是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法。两个变量具
有相关关系是回归分析的前提。
⑵散点图是定义在具有 相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两
组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系 的密切程度，然后再进
行相关回归分析。
⑶求回归直线方程，首先应注意到，只有在 散点图大至呈线性时，求出的
回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。
8．相关系数
有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照 求回归直线
方程的步骤求得回归直线方程。显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际
意义。 那么，在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具
有代表意义课本中不加证明地给出 了相关系数的公式。相关系数公式的作用在
于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析， 而不是仅凭画出
散点图，直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度。
9．线性相关性检验
相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关
与否的具体办法。限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，

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而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究。其具体检验的步骤如下：
⑴在课本中 的附表3中查出与显著性水平与自由度n-2（n为观测值组数）
相应的相关系数临界值
r0.05
。
⑵根据公式
r?
?
xy
i
i?1
n
2
i?1
n
i
?nxy
n
计算 r的值。
2
(
?
x
i
2
?nx)(
?< br>y
i
2
?ny)
i?1
⑶检验所得结果。如果
|r|?r
0.05
，那么可以认为y与x之间的线性相关关
系不显著，从而接受统 计假设。如果
|r|?r
0.05
，表明一个发生的概率不到5%的
事件在一 次试验中竟发生了。这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x
之间不具有线性相关关系的假设是不 成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可
以认为y与x之间具有线性相关关系。

第十二章 复数
一.复数的概念
1、复数：形如
a?bi(a,b ?R)
的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．
2、分类：复数
a?bi(a ,b?R)
中，当时b=0，就是实数；当b
?
0时，叫做虚数；
当a=0, b
?
0时，叫做纯虚数
3．复数的相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等，
4．共轭复数：当 两个复数实部相等，虚部互为相反数时．这两个复数互为共轭
复数。(当虚部不为零时，也可说成互为共 轭虚数)．
5、复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y
轴 除去原点的部分叫虚轴．
6．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就不能比较它们的大
小，

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二.复数的代数形式及其运算
1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：
设
z
1
?a? bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
则
z
1
? z
2
?(a?c)?(b?d)i
z
1
?z
2
?( ac?bd)?(ad?bc)i
z
1
z
2
?
ac?bd< br>c
2
?d
2
?
bc?ad
c
2
?d
2
(z
2
?0)
(前前减后后，里里加外外)
2．几个重要的结论：
2222
|z?z|?|z?z|?2(|z|?|z|)
⑴
121212
22
z?z?|z|?|z|
⑵
22
|z|?z
⑶若z为虚数，则
3．运算律
⑴
z?z?z
mnm?n
mnmn
(z)?z
⑵
nnn
(z?z)?z?z
⑶
1212
(m,n?R)



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