(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
专题一 函数图象
数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历 年高考的热点.函数图
象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形 ”的直观性，它
是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.
一、知识方法
1．函数图象作图方法
（1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与
x
、
y
轴的交点，端点，极值点等））、连线（注
意关键线：如；对称轴，渐近线等）
（2）利用基本函数图象变换。
2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。
（1）平移变换
① 水平平移：函数
y?f(x?a)
的图象可以把函数< br>y?f(x)
的图象沿
x
轴方向向左
(a?0)
或< br>向右
(a?0)
平移
|a|
个单位即可得到；
② 竖直平移 ：函数
y?f(x)?a
的图象可以把函数
y?f(x)
的图象沿y轴方向向 上
(a?0)
或向下
(a?0)
平移
|a|
个单位即可得到 ．
（2）对称变换
① 函数
y?f(?x)
的图象可以将函数
y ?f(x)
的图象关于
y
轴对称即可得到；
② 函数
y??f(x )
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象关于
x
轴对称即可得到；
③ 函数
y??f(?x)
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象关 于原点对称即可得到；
（3）翻折变换
① 函数
y?|f(x)|
的图象 可以将函数
y?f(x)
的图象的
x
轴下方部分沿
x
轴翻折 到
x
轴上方，去掉
原
x
轴下方部分，并保留
y?f(x)< br>的
x
轴上方部分即可得到；
② 函数
y?f(|x|)
的图 象可以将函数
y?f(x)
的图象右边沿
y
轴翻折到
y
轴左 边替代原
y
轴左边
部分并保留
y?f(x)
在
y
轴 右边部分即可得到．
（4）伸缩变换
① 函数
y?af(x)(a?0)
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
(a?1)< br>或压缩（
0?a?1
）为原来的
a
倍得到；
② 函数
y?f(ax)(a?0)
的图象可以将函数
y?f(x)
的图象中的每一点纵坐标 不变横坐标伸长
(
0?a?1
)或压缩
(a?1)
为原来的
1
倍得到．
a
3．函数图象的对称性：对于函数
y?f(x)
， 若对定义域内的任意
x
都有
①
f(a?x)?f(a?x)
（或
f(x)?f(2a?x))
，则
f(x)
的图象关于直线
x?a< br>对称；
②
f(a?x)?f(a?x)?2b
（或
f(x)?f(2 a?x)?2b)
，，则
f(x)
的图象关于点
P(a,b)
对称.
4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三
角函数）的图象
5、作函数图象的一般步骤：
（1）求出函数的定义域；（2）化简函数 式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调
性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线 、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
1

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
用描点法或图象变换作图
6．判断函数图象的方法
判断函数图象是高考中经常出现的内容，大多属于简单题，值得重视。常用方法有：
（1）取点（描点）
（2）考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面
（3）利用平移
（4）利用基本形状
4．应用：利用函数图象解决有关问题，即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。
二、题型演练
题型一、作函数的图像
例1、作出下列函数的图象.
（1 ）y=
1
(lgx+|lgx|);（2）y=
2x?1
;（3）y=
(
1
)
|x|
.
2
x?12

解 （1 ）化简解析式得y=
?
（2）由y=
2x?1
,得y=
x?1
1
x?1
?
0(0?x?1).
利用对数函数的图像即得图（1）
lgx(x?1).
?
+2.作出y=
1
的图象，将y=
1
的图象向右平移一个单位，再向上平
xx
移2个单位得y=
1
+2
x?1
的图象如图（2）.
2

2
（3）作出y=（
1）
x
的图象，保留y=（
1
）
x
图象中x≥0的部分， 加上y=（
1
）
x
的图象中x＞0
2
的部分关于y轴的对称 部分，即得y=（
1
）
|x|
2
的图象.如图（3）

（1） （2） （3）
例2、作出
y?|log
2
(x?1)|?2
的图象.
［分析］利用图象变换作图（如图）
解：第一步：作出
y?log
2
x
的图象（图①）.第二步：将
y?log
2
x
的图象沿
x
轴向左平移1个单
位得
y?log
x
(x?1)
的图象（ 图②）.第三步：将
y?log
2
(x?1)
的图象在
x
轴 下方的图象，以
x
轴为对
称轴对称到
x
轴的上方得
y?|l og
2
(x?1)|
的图象）（图③）.第四步：将
y?|log
2
(x?1)|
的图象沿
y
轴方
向向上平移2个单位，得到
y ?|log
2
(x?1)|?2
的图象（图④）.

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
2

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 ［评注］运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把点取在关
键处， 要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概
的研究．而这 个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法
作函数图象要确定以 哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
题型二、已知两个函数解析 式，指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换，求另一个解
析式。
例3．说明由函数y?2
x
的图像经过怎样的图像变换得到函数
y?2
?x?3
? 1
的图像．
解：方法一：
（1）将函数
y?2
x
的图像 向右平移3个单位，得到函数
y?2
x?3
的图像；
（2）作出函数
y?2
x?3
的图像关于
y
轴对称的图像，得到函数
y?2
?x?3
的图像；
（3）把函数
y?2
?x?3
的图像向上平移 1个单位，得到函数
y?2
?x?3
?1
的图像．
方法二： （1）作出函数
y?2
x
的图像关于
y
轴的对称图像，得到y?2
?x
的图像；
（2）把函数
y?2
?x
的图像 向左平移3个单位，得到
y?2
?x?3
的图像；
（3）把函数
y ?2
?x?3
的图像向上平移1个单位，得到函数
y?2
?x?3
? 1
的图像．
例4、已知函数f(x)＝log
2
(x＋1)，将函数y＝f (x)的图象向左平移一个单位，再将图象上所有点
的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函 数y＝g(x)的图象．求函数y＝g(x)的解析式．
解：由已知，将函数f(x)＝log
2
(x＋1)的图象向左平移一个单位，得到y＝log
2
(x＋1＋1)的图象，
再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y＝g(x)＝2log
2
(x＋2)的图象．
故g(x)＝2log
2
(x＋2)．

题型三、选择正确的函数图象
例5．如图所示，
f
1
(x),f< br>2
(x),f
3
(x),f
4
(x)
是定义在
[0,1]
上的四个函数，其中满足性质：“对
[0,1]
中
任意的
x
1
和
x
2
，
f(
x
1
?x< br>2
1
)?[f(x
1
)?f(x
2
)]
恒成 立”的只有（ ）
22

解：
f(
x
1
?x< br>2
x?x
2
，
)
的自变量为
x
1
, x
2
的中点，
f(
1
)
对应的函数值即“中点的纵坐标”< br>22
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
3

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 1
即“纵坐标的中点”。再结合
f(x)
函
[f(x
1
)?f(x
2
)]
为自变量
x
1
,x
2
对 应的函数值所对应的点的中点，
2
数图象的凹凸性，可得到答案A，这是函数凹凸性的基本应用 。故选A。
例6、已知
a?0
，且
a?
1，函数
y?a< br>x
与
y?log
a
(?x)
的图象只能是图中的（ ）

［分析］可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底
数
a
对图象的影响。
解：解法一：首先，曲线
y?a
x< br>只可能在上半平面，
y?log
a
(?x)
只可能在左半平面上，从而 排
除A、C。
其次，从单调性着眼，
y?a
x
与
y?lo g
a
(?x)
的增减性正好相反，又可排除D。
解法二：若
0?a ?1
，则曲线
y?a
x
下降且过点(0,1)，而曲线
y?log< br>a
(?x)
上升且过
(?1,0)
，以上
图象均不符合这些条 件. 若
a?1
时，则曲线
y?a
x
上升且过(0,1)，而曲线< br>y?log
a
(?x)
下降且过
(?1,0)
，只有B满足条 件。
解法三：如果注意到
y?log
a
(?x)
的图象关于
y
轴的对称图象为
y?log
a
x
，又
y?log
a
x
与
y?a
x
互为反函数（图象关于直线
y?x
对称），则可直接选定B。
［答案］B
例7函数
y?f(x)
与函数< br>y?g(x)
的图象如
则函数
y?f(x)
·
g(x)
的图象是（ ）

右，

解：由图象可知，
f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇函数，且
f(x)
与
g(x)的公共定义域为
x?0
，排除
C、D。令
F(x)?f(x)
·
g(x)
，则
F(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)
·
g(x)
，所以
F(x)?f(x)?g(x)
为奇函
数，其图象关于原点对 称，排除B。故选A。
题型四、函数图象的应用
例8、若直线y＝2a与函数y＝|ax
－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．
解：（1）当0＜a＜1时，y＝|a
x
－1|的图象如图(1)所示，
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
4

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。


1
由已知得0＜2a＜1，∴0＜a＜
.
2
（2）当a＞1时，y＝|a
x
－1|的图象如图(2)所示，
1
由已知可得0＜2a＜1，∴0＜a＜，但a＞1，故a∈
?
.
2
1
综上可知，0＜a＜
.
2
例9、已知函数f(x)= ax
3
+bx
2
+cx+d的图象如图，求b的范围。
解：解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，
即f(0)=0,得d=0，
又f(x)的图象过(1，0)，
y
∴f(1)=a+b+c=0

①
又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0 ②
o
①+②得b＜0，故b的范围是(－∞，0)
解法二：如图f(x)=0有三根0，1，2，
∴f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax
3
－3ax
2+2ax，
∴b=－3a，
∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0，
∴b＜0。
[评注]通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。
1
例10（1）试作出函数
y?x?
的图像；
x
1
2
x
（2）对每一个实数
x
，三个数
?x,x,1?x
2
中最大者记为
y
，试判断
y
是否是
x
的函数？若是 ，作出
其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？
1 1
解：（1）令
f(x)?x?
，∵
f(?x)??(x?)??f(x)< br>∴
f(x)
为奇函数，从而可以先作出
x?0
时
f(x)xx
的图像，再利用
f(x)
的图像关于原点对称可得
x?0
时
f(x)
的图像。又∵
x?0
时，
f(x)?x?
11?2x??2

xx
∴
x?1
时，
f(x)
的 最小值为2，图像最低点为
(1,2)
，
又∵
f(x)
在
(0,1)
上为减函数，在
(1,??)
上是增函数，
同时
f(x )?x?
1
?x(x?0)
即以
y?x
为渐近线，
x
5
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
于是
x?0
时，函数的图像应为下图①，
f(x)
图象为图②






y

y

x

y

O

①
O

②
x

O

③
x

（2）< br>y
是
x
的函数,作出
g
1
(x)?x,g
2
(x)??x,g
3
(x)?1?x
2
的图像可知，
f(x )
的图像是图③中实线
部分．定义域为
R
；值域为
[1,??)；单调增区间为
[?1,0),[1,??)
；单调减区间为
(??,?1),[ 0,1)
；当
x??1
时，函数有最小值1；函数无最大值．
【评注】解决图像的应用问题，准确地做出图像是问题的关键。
小结：函数图象的几何特征与 函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、
值域、单调性、奇偶性、周期性等基本 属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、
定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘 制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称
变换等。注意：平移、伸缩变换的先后次序对变换的 影响，可结合具体问题阐述如何进行平移、
伸缩变换。
习题一
b
1．在下 列图象中，二次函数y=ax
2
+bx与指数函数y=
()
x
的图象 只可能是
a
y
1
-1
y
1
y
1
y
1
1
o
1
A
x
-1
o
1
B
x
-1
o
C
x
-1
o
1
D< br>x

3x?1
的图象 （ ）
x?2
A.关于点(?2,3)对称 B.关于点(2,?3)对称
C.关于直线x= ?2对称 D.关于直线y= ?3对称。
?
x
2
?bx?c,x?0,
3、设函数
f(x)?
?
若
f(? 4)?f(0),f(?2)??2
则关于x的方程
f(x)?x
的解的个数
2,x?0.
?
2．函数y=
为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4、方程
2
x
?x
2
的实根的个数为（ ）A：0 B：1 C：2 D：3
11
5．为了得到函数
y?3?()
x的图象，可以把函数
y?()
x
的图象（ ）
33
A．向左平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度
6定义运算
a?b?
?



放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
6




B．向右平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度
?
a
?< br>b
(a?b)
,
则函数
(a?b)
f(x)=
1?2
x
的图象是

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

7。要得到
y?lg(3?x)
的图像，只需作
y?lgx
关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单
位而得到。

_____ _____对称；已知
f(x?2)
是偶函数，则8。已知
f(x)
是偶函数 ，则
f(x?2)
的图像关于
函数
f(x)
的图像关于______ ______对称.
9、写出函数
y?log
4
(1?2x?x
2
)
的图像经过怎样的变换可得到函数
y?log
2
x
的图像 。
10、 若
0?a?1
,则方程
a
x
?log
a
x
有几个实根
11、设曲线C的方程是
y?x
3
?x< br>,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线
C
1
。 ?
ts
?
(1)写出曲线
C
1
的方程；(2)证明曲线 C与
C
1
关于点
A
?
,
?
对称。
?
22
?
12、试讨论方程1?x?kx的实数根的个数。

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
7