高中数学复习专题矩阵与行列式

专题八、矩阵与行列式

1.矩阵：
m?n
个实数
a
ij
,
i
?1,2,?,
m
;
j
?1, 2,?,
n
排成
m
行
n
列的矩形数表
?
a
11
?
?
a
12
A?
?
?
?< br>?
a
?
m1
a
12
?a
1n
??
a
22
?a
2n
?
叫做矩阵。记作
A
m?n
，
m?n
叫做矩阵的维数。
?
?
?
a< br>n2
?a
mn
?
?
矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩 阵的元素。
2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。
?
a
1
x?b
1
y?c
1

?< br>ax?by?c
22
?
2
3.线性方程组矩阵的三种变换：
①互换矩阵的两行；
②把某一行同乘（除）以一个非零的数；
③某一行乘以一个数加到另一行。
变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。
4.矩阵运算：加法、减法及乘法
（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B）.
运算律：加法交换律：A+B=B+A；加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（2 ）矩阵与实数的积：设
?
为任意实数，把矩阵A的所有元素与
?
相乘得到的矩 阵叫做矩阵
A与实数
?
的乘积矩阵，记作：
?
A.

运算律：分配律：
?
?
A?B
?
?
?
A?
?
B
；
(
?
?
?
)A?
?
A?
?
A
；
结合律：
?
??
?
A?
?
?
?
A
?
?
?
?
?
A
?
；

（3）矩阵的乘积：设A是
m?k
阶 矩阵，B是
k?n
阶矩阵，设C为
m?n
矩阵。如果矩阵C
中第i行 第j列元素
C
ij
是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩 阵
叫做A与B的乘积，记作：C
m
×
n
=A
m
×< br>k
B
k
×
n
.
运算律：分配律：
A(B ?C)?AB?AC
，
(B?C)A?BA?CA
；
结合 律：
?
?
AB
?
?
?
?
A
?B?A
?
?
B
?
，
?
AB
?
C?A
?
BC
?
；
注意：矩阵的乘积不满足交换律，即
AB?BA
。
5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：
?
a
1
x? b
1
y?c
1
设二元一次方程组（*）
?
（其中
x ,y
是未知数，
a
1
,a
2
,b
1
,b< br>2
是未知数的系数
ax?by?c
22
?
2
且不全为 零，
c
1
,c
2
是常数项）
用加减消元法解方程组（*）:
c
1
b
2
?c
2
b
1
?
x?
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?
当
a
1
b
2
?a
2
b
1
?0
时，方程组（*）有唯一解：
?
，
ac?ac
21
?
y?
12
?
a
1< br>b
2
?a
2
b
1
?
引入记号
a1
a
2

b
1
b
2
表示算式
a
1
b
2
?a
2
b
1
，即
a< br>1
a
2

b
1
b
2
?a
1
b
2
?a
2
b
1
．
从而引出行列式的 相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列
式的元素、对角线法则等。
记
D?
a
1
a
2

b
1
b
2
，
D
x
?
c
1
c
2

b
1
b
2
，
D
y
?
a1
a
2

c
1
c
2
，则：
①当
D?
a
1
a
2

b
1b
2
=
a
1
b
2
?a
2
b< br>1
?0
时，方程组（*）有唯一解，
?
x?
?
?< br>可用二阶行列式表示为
?
?
y?
?
?
D
x< br>D
.
D
y
D
②当D=0时，
D
x
?D
y
?0
，方程组（*）无穷组解；
③当D=0时，
D
x
?0,orD
y
?0
，方程组（*）无解。
系数行列式
D?

a
1
a
2
b
1
b
2
也为二元一次方程组解的判别式。

6.三阶行列式
（1）三阶行列式的展开方法：
①对角线方式展开：

②按某一行(或列)展开法：

a11
a
21
a
31
=
a
11
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
=
a
11
a
22
a
33
?a
12a
23
a
31
?a
13
a
21
a32
?a
11
a
23
a
32
?a
12
a
21
a
33
?a
13
a
22
a
31

a
33
a
22
a
32
a< br>23
a
33
a
22
a
32
-
a12
a
21
a
31
a
23
a
33+
a
13
1?1
a
21
a
31
a22
a
32

记
M
11
?

a
23
a
33
，
A
11
?(?1)M
1 1
，
M
12
?
a
21
a
31

a
23
a
33
，
A
12
?
( ?1)
1?2
M
12
，
M
13
?
a
21
a
31

a
22
a
32
，
A
13
?(?1)
1?3
M
13
，
称
M
1j
为元素
a
1j
的余子式，即将元素
a
1j< br>所在的第一行、第
j
列划去后剩下的元素按原来顺序
组成的二阶行列式（类似可 以定义其它元素的余子式）；称
A
1j
为元素
a
1j
的代数 余子式，
A
1j
?(?1)
1?j
M
1j
（
j?1,2,3)
。
a
11
则三阶行列式就可以写成
D
=
a
21
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
=
a
11
A
11
? a
12
A
12
?a
13
A
13
，
a
33
a
31
这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别 与它们的代数余子式乘积的和。
上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将
D< br>按别的行或列的元素整理，同样
可得行列式按任一行(列)展开式。
（2）三阶行列式的性质：
①行、列依次对调，行列式的值不变，即

②两行(或两列)对调，行列式的值变号，如

③某行(或列)所有元素乘以数k，所得行列式的值等于原行列式值的k倍，如

④某两行(或两列)的元素对应成比例，行列式的值为零。
⑤某行(或列)的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和，如

⑥某行(或列)的所有元素乘以同一个数，加到另行(或列)的对应元素上，行列式的值不变，如

性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式
对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。
(x
2
,y
2
)
、
(x
3
,y
3
)
，
7.
用三阶 行列式求三角形的面积：若
?ABC
三个顶点坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
则
S
?ABC
x
1
1?x
2
2
x
3
y
1
1
x
1< br>y
2
1
，所以
A
、
B
、
C
三点共线的充分必要条件为
x
2
y
3
1
x
3
y
1
1
y
2
1?0
.

y
3
1
8.三元一次方程组的解法：
?
a
1x?b
1
y?c
1
z?d
1
?
a
i< br>、b
i
、c
i
、(i?1,2,3)
是设三元一次方程组 (
﹡
)
?
a
2
x?b
2
y?c2
z?d
2
，其中
x,y,z
是未知数，
?
a x?by?cz?d
333
?
3
未知数的系数，且不全为零，
di
(i?1,2,3)
是常数项。

下面用加减消元法解方程组
(
﹡
)
：

a
1
我们把方程组
(
﹡
)
的系数行列式记为
D?
a< br>2
b
1
b
2
b
3
c
1
c< br>2
，用
D
的元素
a
1
、a
2
、a< br>3
的代数余子式
c
3
a
3
A
1
、A
2
、A
3
依次乘以方程组
(
﹡
)
的各方程 ，得

a
1
A
1
x?b
1
A
1< br>y?c
1
A
1
z?d
1
A
1
a
2
A
2
x?b
2
A
2
y?c
2
A
2
z?d
2
A
2
，

a
3
A
3
x?b
3
A
3
y?c< br>3
A
3
z?d
3
A
3


将这三个式子相加，得：

(a
1
A
1
x?a2
A
2
?a
3
A
3
)x?(b
1A
1
?b
2
A
2
?b
3
A
3
)y?(c
1
A
1
?c
2
A
2
? c
3
A
3
)z?d
1
A
1
?d
2
A
2
?d
3
A
3
①

其中①式中
x
的系数恰为
(
﹡
)
的系数行列式
D
。< br>

由于
y与z
的系数分别是
D
的第一列元素的代 数余子式的乘积之和，因此
y与z
的系数①都为零。

d
1①式的常数项可表示为

D
x
?d
2
b
1b
2
b
3
c
1
c
2
，于是①式可化简 为
D?x=D
x
。

c
3
d
3
类 似地，用
D
的元素
b
1
、
b
2
、
b
3
的代数余子式
B
1
、
B
2
、
B
3
依次乘以方程组（
*
）的各方程，
可推得
D?y=D< br>y
；用
D
的元素
c
1
、
c
2
、
c
3
的代数余子式
C
1
、
C
2
、
C
3
依次乘以方程组（
*
）的
各方程，可推
D ?z=D
z
，其中

a
1
D
y
?a2
a
3
d
1
d
2
d
3
c1
a
1
b
1
b
2
b
3
d1
a
2

d
3
c
2
，
Dz
?a
2
c
3
a
3
?
D?x?Dx
?
由方程组
?
D?y?D
y
，可见，

对于三元一次方程组（
*
），其系数行列式为
D
，则：
< br>?
D?z?D
z
?
?
?
x?
?
?< br>（
i
）当
D?0
时，方程组（
*
）有唯一解
?
y?
?
?
?
z?
?
D
x
DD
y
D
D
z
D
.
（
ii
） 当
D=0
，
D
x
D
y
D
z
?0< br>时，方程组（
*
）无解；

（
iii
）当
D =0
，
D
x
?D
y
?D
z
?0
时 ，方程组（
*
）有无穷多解。

?
12
??
2?3
?
,B?
例1.已知
A?
????
，则
AB? ；
BA?

2131
????







例2.若三阶行列式按第二行展开为


c
a
a
b
?
b
c
a
b
?
b
c
c
a
，求该三阶行列式。

?
mx?y?z?1
?
例3 .求关于x、y、z的方程组
?
x?my?z?m
有唯一解的条件，并把在这个条件下 的解求出来。
?
2
?
x?y?mz?m




变式训练：
?
23c
1
?
?
x?2< br>（1）若线性方程组的增广矩阵为
?
?
32c
?
?
， 解为
?
y?1
，则c
1
–c
2
=
2
??
?
（2）若三条直线
ax?y?3?0
,
x ?y?2?0
和
2x?y?1?0
相交于一点，则行列式
a
1
1
1
3
2
的值为____________
2?11
3
1
sin
?
x
cos
?
x
的最小正周期为
2
?
，将
f(x)
的图像向左平移
t
个（3）已知
?
,t?0,
函数
f(x)?
单位，所得图像对应的函数为偶函数， 则
t
的最小值为
（4）把
x
2
y
2
x
3
y
3
?2
x
1
y
1
x
3
y
3
?4
x
1
y
1
x
2
y
2
表示成一个三阶行列式________________
（5）若
? ABC
的三个顶点坐标为
A(1,?2),B(?2,3),C(?4,?5)
，其面 积为_____
aa
2
（6）若
a,b,c
表示
?ABC
的三边长，且满足
b
a?b?c
a?b?c?0
，则
?AB C
是（ ）
a?b?c
b
2
c
2
c
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
（7）若复数
z< br>满足
z?4
1z
?0
,则
z
的值为________ _________________
（
8
）设△
ABC
的内角< br>A
,
B
,
C
所对的边长分别为
a
,
b
,
c
，

若

a?b?c
b
3 a
a?b?c
?0
，则角
C?
_______