2011年全国高中数学联赛广东-2018全国高中数学竞赛北京省一
高中数学总复习资料汇总（必修1-5 ）
高考数学复习必修1
第一章、集合
一、基础知识（理解去记）
定义1 一般地，一组确定的、互异的
、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母
来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来
表示，元素
x
在集合A中，称
x
属于A，
记为
x?A
，否则称
x
不属于A，记作
x?A
。
例如，通常用N，Z，Q，
B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理
数集，不含任何元素的集合称为空集，
用
?
来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将
集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集
合的方法，如{1，2，3}；描述法：将
集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，
{xx?0}
分
别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都
是集合B中的元素，
则A叫做B的子集，记为
A?B
，例如
N?Z
。
规定空集是任何集合的子集，如果A是
B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集
，而且B中存在元素不
属于A，则A叫B的真子集。
便于理解：
A?B
包含两个意思：①A与B相等 、②A是B的真子集
定义3 交集，
定义4
并集，
A?B?{xx?A且x?B}.
A?B?{xx?A或x?B}.
称为A在I中的补集。 定义5 补集，若
定义6 集合
A?I,则C
1
A?{xx?I,且x?A}
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)
，集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b
]
，R记作
(??,??).
定义7
空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
补充知识点 对集合中元素三大性质的理解
（1）确定性
集合中的元素，必须是确定的．对于集合
A
和元素
a
，要么
a?A
，要么
a?A
，二者
必居其一．比如：“
所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大
的整数”就不能构成一个集合，
因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”
等都不能构成集合．
（2）互异性
1
对于一个给定的集合，集合中的元
素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中
2
a
a
时，只能算作这个
集合中的一个元素．如：由，组成一个集合，则
a
的取值不能是
0
或
1．
（3）无序性
，2，3
组成一个集合，也可以写成
1，3，2
组成一
集合中的元素的次序无先后之分．如：由
1
个集合，它们都表示同一个集合．
帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题
（1）注意
a
与
二者
的关系是
?
a
?
的区别．
a
是集合
?
a<
br>?
的一个元素，而
?
a
?
是含有一个元素
a
的集合，
．
a?
?
a
?
（2）注意
?
与
?
0
?
的区别．
?
是不含任何元素的集合，而
?<
br>0
?
是含有元素
0
的集合．
?
R
?
来表示实数集
R
这一类错误，（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．
用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这
个集合中的元素是什么，它应具备哪些特
征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：
(x，y)y?x
??
集合中的元素是
(x，y)
，这个集合表
示二元方程
y?
者理解为曲线
y?
x
的解集，或
x
上的点组成的点集；
x
中自变量
x
的取值范围；
x
中函数值
y
的取值范围；
xy?x
??
集
合中的元素是
x
，这个集合表示函数
y?
yy?x
??
y<
br> 集合中的元素是，这个集合表示函数
y?
集合
?
y?x
?
中的元素只有一个（方程
y?
?
x
），它是用列举法表示的单元
素集合．
（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n
-2个
非空真子集。
二、基础例题（必会）
例1 已知
A?yy?x2
?4x?3，x?R
?
，
B?
?
yy??x
2
?2x?2，x?R
?
，求
A?B
．
22
∵y?x?4x?3?(x?2)?1≥?1
，
正解：
22
y??x?2x?2??(x?1)?3≤3
，
∴A?
?
y≥y?1
?
，
B?
?yy≤3
?
．
，
∴A?B?
?
y?1≤y≤3?
解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y，所以要求出两个集合中y的
2
范围再求交集，A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合．
例2 若
A?
?
2，4，a
3
?2a
2
?a?7
?
，
1
??
B?
?
1，a?1，a2
?2a?2，?(a
2
?3a?8)，a
3
?a
2<
br>?3a?7
?
5
?
2
??
，且
A?B??
2，
，试求实数
a
．
32
a?2a?a?7?5
， 正解：∵A∩B=｛2，5｝，∴由
解得
a?2
或
a??1
．
当a=1时，
a?2a?2?1
与元素的互异性矛盾，故舍去
a?1
；
当
a??1
时，
舍去
a??1
；
2
B?
?
10，，5，2，4
?
，此时
A?B?
?
2
，4，5
?
，这与
A?B?
?
2，5
?
矛盾，故又
A?
?
2，4，5
?
B?
?
13，，2，5，25
?
A?B?
?
2，5
?
当
a?2
时，，，
此时满足题意，故
a?2
为所
求．
解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性 ②互异性 ③无序性
三、趋近高考（必懂）
1.（2010年江苏高考1）设集合A={-1,1,3}，B={
a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数
a=______________
方法：将集合B两个表达式都等于3，且抓住集合三大性质。【答案】1.
x
2y
2
{(x,y)|??1}
x
{(x,y)|y?3}
,则A
∩B的子集
416
2.（2010.湖北卷2.）设集合A=，B=
的个数是（
）
A. 4 B.3 C.2 D.1
方法：注意研究元素，是点的形
式存在，A是椭圆，B是指数函数，有数形结合方法，交于
两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，
题目求子集个数，所以是22=4【答案】A
集合穿针 转化引线（最新）
一、集合与常用逻辑用语
2
p:3x?8x?4?0，q:(x?1)(x?2)?
0
，则
?
p
是
?
q
的（ ）3.若．
（A）充分条件
（C）充要条件
（B）必要条件
（D）既不充分又不必要条件
2
p:3x?8x?4?0
，即
解析：∵
x?
2
3
或
x?2
，
3
?
p:
2
≤x≤2
3
∴．
∵
q:(x?1)(x?2)?0
，即
x??1
或
x?2
，
?
∴
q:?1≤x≤2
．
????
p
由集合关系知：
p?q
，而
q
?
．
∴
?
p
是
?
q
的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．
x
2
y
2
??1
k?Rk?3
k?3k?3
4. 若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）．
（A）充分条件
（C）充要条件
（B）必要条件
（D）既不充分又不必要条件
x
2
y
2
??1
解析：方程
k?3k?3
表示双曲线
?(k?3)k(?
二、集合与函数
5.已知集合
3?)?0k
或
?
k??3
．故选（A）．
P?{yy??x
2
?2，x?R}，Q?{xy??x?2，x?R}
，那么
P?Q
等于
（ ）．
（A）（0，2），（1，1）
（B）｛（0，2），（1，1）｝
（C）｛1，2｝
（D）
{yy≤2}
2
y??x?2
中的y的取值范 解析：由
代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数
2
y??x?2
的值域．而Q集合则为
函数
y??x?2
的定义域，围，故P集合的实质是函数
从而易知
P?Q?{
yy≤2}
，选（D）．
评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性
，本题易因误看代表元
素而错选（Ｂ）或（Ｃ）．
三、集合与方程
6.已知<
br>A?{xx
2
?(p?2)x?1?0，x?R}，B?{xx?0}
，且A?B??
，求实数p的取
值范围．
2
x
解析：集合A是方程
?(p?2)x?1?0
的解集，
则由
A?B??
，可得两种情况：
4
2
??(p?2)?4?0
，得
?4?p?0
；
A??
①，则由
2
xx?1?0
，
x
②
方程
?(p?2)x?1?0
无正实根，因为
12
?
?≥0，
?
?(p?2)?0，
则有
?
于是
p≥0
．
综上，实数p的取值范围为
四、集合与不等式
7.
已知集合
{pp??4}
．
A?{aax
2
?4x?1≥?2x<
br>2
?a
恒成立
}，B?{xx
2
?(2m?1)x?m(m?
1)?0}
，
若
A?B??
，求实数m的取值范围．
解析：由不等式
ax?4x?1≥?2x?a
恒成立，
2
(a?2x)?4x?a(?≥1
，
)
0
可得
22
（※）
（1）当
a?2?0
，即
a??
2
时，（※）式可化为
x≥
3
4
，显然不符合题意．
?
a?2?0，
?
?≤0，
a?2?0
（2
）当时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足
?
?
a??2，
?
2
4?4(a?2)(a?1)≤0，
即
?
解得
A?{aa≥2}
．
2
x
集合B是不等式
?(2m?1)x?m(m?1)?0
的解集，
可求得
B?{xm?x?m?1}
，
结合数轴，只要
m?1?2
即可，解得
m?1
．
五、集合与解析几何
例6 已知集合
A?{(x，y)x
2
?mx?y?2
?0}
和
B?{(x，y)x?y?1?0，≤0x≤2}
，
如果
A?B??
，求实数m的取值范围．
2
(x，y)
x?mx?y?2?0
及 解析：从代表元素看，这两个集合
均为点集，又
x?y?1?0
是两个曲线方程，故
A?B??
的实质为两个曲
线有交点的问题，我们将其译
5
2
x
成数学语言
即为：“抛物线
?mx?y?2?0
与线段
x?y?1?0(0≤x≤2)
有
公共点，
求实数m的取值范围．”
?
x
2
?mx?y?2?0，<
br>?
x?y?1?0(0≤x≤2)，
由
?
，得
2
x?(m?1)x?1?≤0(≤0x
，
2)
①
∵
A?B??
，
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解．
首先，由
??(m?1)?4≥0
，得
m≥3
或
m≤?1
．
当m≥3时，由
2
x
1
?x
2
??(m?1)
?0
及
x
1
x
2
?1
知，方程①只有负根，不符合
要求；
x
1
?x
2
??(m?1)?0
及
x1
x
2
?1?0
知，方程①有两个互为倒数的正
当
m≤?1
时，由
1]
内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内．
根，故必有一根在区间
(0，
?1]
．
综上，所求m的取值范围是
(??，
第二章、函数
一、基础知识（理解去记）
定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B
中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。
定义2 函数，映射f:
A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的
定义域，若x∈A, y∈B，且f
(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。
集合{f(x)|x∈A}叫函数
的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意
义的未知数的取值范围，如函数y=
3
x
-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义3 反函数，若函数f:
A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:
A→B
叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).
这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x
得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y
=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：
11
函数y=
1?
x
的反函数是y=1-
x
(x
?
0).
补充知识点：
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2
在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义4 函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(
x1)
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集
，若对于任意的x
∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都
有f(-x)=f(x)，则称f(x)是
6
偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周
期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个
数时，f(x+T
)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在
最小的正数T
0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义5
如果实数a
定义6
函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的
定义
域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；
（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；
（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；
（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；
（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；
（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；
（6）与函数y=f-1(x)
的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
1
定理3
复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=
2?x
, u=
2-x在（-
11
∞,2）上是减函数，y=
u
在（0，+∞）上是减函数，
所以y=
2?x
在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
一、基础知识（初中知识 必会）
1．二次函数：当
a?
0时，y=ax2
+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称
bb
轴为直线x=-
2a
，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-
2a<
br>，下同。
2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]
上随自变量x增大
函数值减小（简称递减），在[x0,
-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，
情况相反。
3．当a>0时，
方程f(x)=0即ax2+bx+c=0?①和不等式ax2+bx+c>0?②及ax2+bx+c<0?③
与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实
根，设x1,x2(x1
?
2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x
0=
b
2a
,不等式②和不等式③的解集分别
??
是{x|x
b
2a
}和空集
?
，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。
3）
当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和
?
.f(x)图象与x轴无公
7
共点。
当a<0时，请读者自己分析。
4
ac?b
2
4a
4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f
(x0)=,若a<0，则当
b
4ac?b
2
?
4a
x=x
0=
2a
时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数
f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m,
n]上的最小值为f(x0); 当x0
图象即可得出）。
定义1 能判断真假的
语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联
结词“或”、“且”、“非”的
命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合
命题。
一定注意： “p或q
”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”
复合命题只有当p，q同时为真
命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真
一假。
定义2 原命题：若p
则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；
逆否命题：若非q则非p。
一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
一定注意：
反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q
”为真，则记为p
?
q否则记作p
?
q.在命题“若p则q”中，
如
果已知p
?
q,则p是q的充分条件；如果q
?
p，则称p是q的必要条件；
如果p
?
q但
q不
?
p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不<
br>?
q但p
?
q，则p称为q的必要非充
分条件；若p
?
q且q
?
p，则p是q的充要条件。
二、基础例题（必懂）
1．数形结合法。
y
1
1
例1（09.江西）
求方程|x-1|=
x
的正根的个数.
1
【解】 分别画出y=|x-1|
和y=
x
的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以
方程有一个正根。
例2 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=
【解】 f(x)=
1
x
x
4
?3x
2
?6x?13?x
4
?
x
2
?1
的最大值。
(x
2
?2)
2
?
(x?3)
2
?(x
2
?1)
2
?(x?0)
2<
br>，记点P(x, x-2)，A（3，2），
8
B（0，1
），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
因为|PA|-|PA|≤|AB|=
时等号
成立。
所以f(x)max=
10.
2.函数性质的应用。
3
2
?(2?1)
2
?10
,当且仅当P为AB
延长线与抛物线y=x2的交点
2
?
?
(x?1)?1997(x?1)??
1
?
?
(y?1)
3
?1997(y?1)?1
?
例3 （10、全国） 设x, y∈R，且满足，求x+y.
【解】 设f(t)=t3+199
7t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 （10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-
a2)<0，求a的
取值范围。
【解】 因为f(x)
是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)
例5 （10、全国）
设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示
区间(2k-1,
2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】
设x∈Ik，则2k-1
又因为f(x)是以2为周期的函数，
所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
22
9x?6x?5?14x?12x?13
+1)=0. 例6 （10?全国）
解方程：(3x-1)()+(2x-3)(
【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为
m(
m?4
+1)+n(
n?4
+1)=0. ①
若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m
?
0,
n
?
0.
2
t?4
+1),则f(t)在ⅰ)若m>0，则由①得
n<0，设f(t)=t(（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，
22
4
.
5
所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
9
4
ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=
5
,但与m
<0矛盾。
4
.
综上，方程有唯一实数解x=
5
3.配方法。
例7 （经典例题） 求函数y=x+
2x?1
的值域。
1
【解】
y=x+
2x?1
=
2
[2x+1+2
2x?1
+1]-1
111
=
2
(
2x?1
+1)-1≥
2
-
1=-
2
.
111
当x=-
2
时，y取最小值-
2
，所以函数值域是[-
2
，+∞）。
4．换元法。
2
1?x1?x
1?x
例8 （经典例题）
求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
2
【解】令
1?x
+
1?x
=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2
1?x
≤4,
所以
2
≤u≤2,
u?2
u
2
2?2
u?2
2
≤
2
≤2，1≤
2
≤2，所以y=
2
,u2∈
[
2
+2，8]。 所以
所以该函数值域为[2+
2
，8]。
5．判别式法。
x
2
?3x?4
2
例9
求函数y=
x?3x?4
的值域。
【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ①
当y
?
1时，①式是关于x的方程有实根。
1
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得
7
≤y≤1.
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
1
所以函数值域为[
7
，7]。
6．关于反函数。
例10
（10年宁夏）若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+
∞)
上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
10
【证明】设x1
4x?1
例11
（经典例题）设函数f(x)=
3x?2
，解方程：f(x)=f-1(x).
4
21
【解】
首先f(x)定义域为（-∞，-
3
）∪[-
4
，+∞）；其次，设x1,
x2是定义域内变量，
5(x
2
?x
1
)
2
4x<
br>2
?1
?
4x
1
?1
且x1
3x
2
?2
3x
1
?2
=
(3x
2
?2)(3x
1
?2)
>0,
21
所以f(x
)在（-∞，-
3
）上递增，同理f(x)在[-
4
，+∞）上递增。 在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f
(y)=x，所以x≥0,所以
1
x,y∈[-
4
，+∞）.
若x
?
y，设x
即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.
7．待定系数法。
例1 （经典例题） 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,
f(1)=1的二
次函数f(x).
【解】
设f(x)=ax2+bx+c(a
?
0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因为方程x2-x+1=0中△
?
0，
所以α
?
β，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
8．方程的思想
例2 （10.全国）
已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1,
11
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
85
又-1≤f(2)=4a-c≤5,
f(3)=
3
f(2)-
3
f(1),
8585
所以3
?(-1)+
3
≤f(3)≤
3
×5+
3
×
4,
所以-1≤f(3)≤20.
9．利用二次函数的性质。
例3
（经典例题） 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,
a
?
0)，若方程f(x)=x无实根，求
证：方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共
点且开口
向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x
)。
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
10．利用二次函数表达式解题。
例4
（经典例题）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1,
x2满足
1
0
,
（Ⅰ）当x∈(0,
x1)时，求证：x
1
.
（Ⅱ）设函数f(x)的图
象关于x=x0对称，求证：x0<
2
【证明】 因为x1,
x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）当x∈(0,
x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.
1
其次f(x)
-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+
a
]<0，所以
f(x)
a(x
1
?x2
)?1x
1
?x
2
1
??
2a22a
, 所以x0=
x
0
?
所以
x
1
x
2<
br>11
?
1
?
???
?
x
2
?
?
?0
222a2
?
a
?
，
x
1
.
2
所以
x
0
?
11．构造二次函数解题。
例5 （经典例题）
已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2),
a>1，求证：方程的正根比1小，负
根比-1大。
12
【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.
构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2>0,
f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，
所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
12．定义在区间上的二次函数的最值。
x
4
?x
2
?5
22
(x?1)
例6
（经典例题）当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。
15
1
?
?
222
2
x?1(x?1)
【解】
y=1-,令
x?1
u,则0
?
1919
?
?
?
u?
?
?
102020
,
?
y=5u2-u+1=5
?
u?
且当
2
119
10
即x=
?
3时，ymin=
20
.
1
例7
设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是
2
，求b的值。
?
【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1).
bb
2
b
2
1
,???
42
，ⅰ)-
2
≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为-
4
所以b2=2，所以b??2
（舍去）。
b
ⅱ)
-
2
>-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数， 13
所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-
2
,b=-
2
.
3
综上，b=-
2
.
13.一元二次不等式问题的解法。
?
x
2
?x?a?a
2
?0
?
x?2a?
1
例8 （经典例题） 已知不等式组
?
①②的整数解恰好有两个，求a
的取值范围。
【解】
因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,
若a≤0，则x1
因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。
13
1
若a>0，ⅰ）当0
时，x1
ⅱ）当a=
2
时，a=1-a，①无解。
1
ⅲ）当a>
2
时，a>1-a，由②得x>1-2a，
所以不等式组的解集为1-a
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，
所以1
例9 （经典例题）
设定数A，B，C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①
对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且
限定
用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）
【解】
充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0
②
若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A
?
0，则因为②
恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)
2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即
A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1
）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
15．常用结论。
定理1 若a, b∈R,
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——绝对值不等式
【证明】
因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。
定理2 若a,b∈R,
则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥
2xy.
注
定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。
第三章、基本初等函数
一、基础知识（必会）
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a
?1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为
（0，+∞），当0
14
（0，1）。
a?
n
a,a
2．分数指数幂：1
n
m
n
?
n
a
m
,a
?n
1
?
n
?
n
,a?
a
m
1
n
a
m
。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a<
br>?
1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），
值域为R，图象过定点（1，0
）。当0
数。
4．对数的性质（M>0, N>0）；
1）ax=M
?
x=logaM(a>0, a
?
1)；
2）loga(MN)= loga M+ loga N；
M
3）loga（
N
）= loga M- loga N；4）loga
Mn=n loga M（万能恒等式）
5）loga
n
log
c
b
1
M
=
n
loga
M；6）aloga M=M; 7) loga
b=
log
c
a
(a,b,c>0, a, c
?
1).
a
5. 函数y=x+
x
（a>0）的单调递增区间是
??,?a<
br>和
?
??
a,??
?
，单调递减区间为
?
?
a,0
?
和
0,a
。（请同学自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a
二、基础例题（必懂）
1．构造函数解题。
例1 已知a, b,
c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.
【证明】
设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （06）
（柯西不等式）若a1, a2,?,an是不全为0的实数，b1, b2,?,bn∈R，则
??
（
?
a
i?1
n
2
i
）?（
?
b
i?1
n
2
i
）≥(
?
ab
i
i?1
2
i
n
i
)2，等号当且仅当存在
?<
br>?
R，使ai=
?
b
i
, i=1, 2, ?,
n
n
时成立。
【证明】 令f(x)= （
?
a
i?1
n
）x2-2(
?
ab
i
i?1
n
i)x+
?
b
?
(a
2
i
i?1
ni
x?b
i
)
2
, =
i?1
因为
?
a
i?1
n
2
i
>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，
15
所以△=4(
?
ab
i
i
?1
n
2
i
n
i
)-4（
?
a
i
?1
n
2
i
）(
n
?
b
i?1
i
i
n
2
i
)≤0.
展开得（
?
a
i?1
）(
?
b
i?1
n
2
i
)≥(
?
ab
i?1
)2。
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在
?
，使ai=
?
b
i
, i=1, 2, ?, n。
**
*注释：根据许多省市的2011年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即
可，不需深
入做题。
1
?
?
1
?
?
??
x?y?<
br>??
??
xy
??
??
的最小例3（10.全国卷）
设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=
值。
1
?
?
1
?
xy
xy1
1
?
?
y?
?
??
?
x?
?
?
??
x
??
y
?
=xy+
yxxy
≥xy+
xy
+2?
yx
【解】u=
?
1
=xy+
xy
+2. 1
(x?y)
2
c
2
c
2
?.
44<
br>,设f(t)=t+
t
,0
令xy=t，则0
c
c
2
?
?
0,
4
因为0
≤1，所以f(t)在
?
2
?
?
?
上单调递减。
c
2
c
2
4
c
2
4
22
所以f(t)min=f(
4
)=
4
+
c
，所以u≥
4
+
c
+2.
c
c
2
4
2
当x=y=
2
时，等号成立.
所以u的最小值为
4
+
c
+2.
2．指数和对数的运算技巧。
q
例4 （经典例题） 设p, q∈R+且满足log9p= log12q=
log16(p+q)，求
p
的值。
【解】 令log9p= log12q=
log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t，
t2t?
4
??
4
?
??
?
??
.
?
3
?
所以9 t +12 t =16 t，即1+
?
3
?
q12
t
?
4
?
1?5
?
t
?
??
x?.
p3
9
??
，则1+x=x2，解得
2
记x=
t
16
qq
1?5
.
pp
2
又>0，所以=
例5 （经典例题）对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w
，若ax=by=cz=70w，且
1111
???
xyzw
，求证：a+b
=c.
【证明】
由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
1
11
111
所以
w
lga=
x
lg70,
w
lgb=
y
lg70,
w
lgc=
z
lg70，
?
111
?
1
111
1
??
??
???
?
xyz
?
?<
br>lg70，由题设
xyzw
， 相加得
w
(lga+lgb+lgc)
=
?
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2?5?7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 （经典例题） 已知x
?
1,
ac
?
1, a
?
1, c
?
1.
且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
【证明】
由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得
log
a
x?
log
a
x2log
a
x
?
log
a
clog
a
b
，
因为ac>0,
ac
?
1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求
解。值得注意的是函数单调
性的应用和未知数范围的讨论。
例7
（经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
?
1
??
2<
br>??
5
?
??
?
??
?
??
?3
??
6
?
=1。设f(x)= 【解】 方程可化为
?2
?
xxx
?
1
??
2
??
5
?
??
?
??
?
??
?
2
??
3
??
6
?
, 则f(x)在(-
xxx
∞,+∞)上是减
函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
x?y
?
?y
12
?
x
?
x?y
?
y?x
3
?
例8
（经典例题） 解方程组：（其中x, y∈R+）.
?
(x?y)lgx?12lgy.
?
(x?y)lgy?3glx
①② 【解】 两边取对数，则原方程组
可化为
?
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx
=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
17
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
?
?
x
1
?1
?
?
x
2
?4
;
??
??
y?1
?
y
2
?2
. 所以方程组的解为
?
1
例9 已知a>0,
a
?
1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
?
(x?ak)
2
?x
2
?a
2
?
?
x?ak?0
?
x
2
?a
2
?0
【解
】由对数性质知，原方程的解x应满足
?
.①②③
若①、②同时成立，则③必成立，
?
(x?ak)
2
?x
2
?a
2
?
x?ak?0
故只需解
?
.
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
a(1?k
2
)1?k
2
2k
当k=0时，④无解；当k<
br>?
0时，④的解是x=，代入②得
2k
>k.
若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0
高考数学复习必修3
**** 在各省市中，必修三算法、统计、初等概率（选修
部分是重点），不会考解
答大题，所以同学要重视这本书中的选择填空题！
一、基础知识（理解去记）
(1)四种基本的程序框
(2)三种基本逻辑结构
18
顺序结构 条件结构
循环结构
(3)基本算法语句
（一）
输入语句
单个变量
INPUT “提示内容”；变量
多个变量
INPUT
“提示内容1，提示内容2，提示内容3，?”；变量1，变量2，变量3，?
（二）
输出语句
PRINT “提示内容”；表达式
（三）
赋值语句
变量=表达式
（四）条件语句
IF-THEN-ELSE格式
IF 条件 THEN
语句1
满足条件？
ELSE
是
语句2
语句1
否
语句2
19
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执
行T
HEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右
图）
IF-THEN格式
IF 条件 THEN
语句
是
满足条件？
否
语句
END IF
计算机执行这种形式的条件
语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条
件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合
，则直接结束该条件语句，转而
执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
（五）循环语句
（1）WHILE语句
WHILE 条件
循环体
循环体
满足条件？
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控
是
制计算机执行循环体或跳出循环体的。
否
当计算机遇到WHILE语句时，先判断
条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与
WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条
件仍符合，再次执行循环体，这个过
程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循
环体，直接跳到WEND
语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型
”循环。其
对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句
DO
循环体
20
LOOP UNTIL
条件
循环体
否
满足条件？
是
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
(4)算法案例
案例1
辗转相除法与更相减损术
案例2 秦九韶算法
案例3
排序法：直接插入排序法与冒泡排序法
案例4 进位制
二.基础例题（必会）
例1 写一个算法程序,计算1+2+3+?+n的值(要求可以输入任意大于1的正自然数)
解：INPUT “n=”;n
i=1
sum=0
WHILE
i<=n
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT
sum
END
思考：在上述程序语句中我们使用了WHILE格式的循环语句，能不能使用UNTIL循环？
例2 设计一个程序框图对数字3,1,6,9,8进行排序(利用冒泡排序法)
21
开始
输入
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
r=1
i=1<
br>a
i
>a
i+1
是
否
x=a
i
a<
br>i
=a
i+1
a
i+1
=x
i=i+1r=r+1<
br>i=5
否
是
r=5
否
是
输出
a
1<
br>,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
结束<
br>
思考：上述程序框图中哪些是顺序结构？哪些是条件结构？哪些是循环结构？
例3
把十进制数53转化为二进制数.
解：53＝1?2
5
＋1?2
4
＋0?2
3
＋1?2
2
＋0?2
1
＋1?2
0
＝110101
（
2
）
例4 利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。
解：6497＝3869?1＋2628
3869＝2628?1＋1241
2628＝1241*2＋146
1241＝146?8＋73
146＝73?2＋0
所以3869与6497的最大公约数为73
最小公倍数为3869?649773＝344341
思考：上述计算方法能否设计为程序框图？
三、趋近高考（必懂）
1.（2010浙江理）某程序框图如图所示，
若输出的S=57，则判断框内位
22
（A）
k
＞4?
（B）
k
＞5?
（C）
k
＞6?
（D）
k
＞7?
【答案】A
解析：本题主要考察了程序框图的结构，
以及与数列有关的简
单运算，属容易题
2.（2010辽宁理）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，
满足n≥m
，那么输出的P等于
m?1
（A）
C
n
m?1
(B)
A
n
m
(C)
C
n
m
(D)
A
n
【答案】D
【解析】第一次循环：
k
=1,
p
=1,p
=
n
-
m
+1;
第二次循环：<
br>k
=2,
p
=(
n
-
m
+1)(
n
-
m
+2)；
第三次循环：
k
=3，<
br>p
=(
n
-
m
+1)
(
n
-
m
+2) (
n
-
m
+3)
??
第
m
次循环：
k
=3，
p
=(
n
-
m
+1)
(
n
-
m
+2)
(
n
-
m
+3)?(
n
-1)
n
此时结束循环，输出
p
=(
n
-
m
+1)
(
n
-
m
+2) (
n
-
m
+3)?(
n
-1)
n
=
A
n
3.（201
0广东理）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理
办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样
调查，其中n位居
民的月均用水量分别为x
1
?x
n
(单位：吨)，
根据图2所示的程序框
图，若n=2,且x
1，
x
2
分别为1,2，则输出地结果s为 .
m
23
【答案】
3
2
1?1.5?1.5?263
s???
442
4.（2010广东文）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管
理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了
抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为
（单位：吨）。根据图2所示的程序框图，若分
别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果
s
为 .
第一（
i?1
）步：
s
1
?s
1
?x
i
?0?
1?1
第二（
i?2
）步：
s
1
?s
1
?x
i
?1?1.5?2.5
第三（
i?3
）
步：
s
1
?s
1
?x
i
?2.5?1.5?4
第四（
i?4
）步：
s
1
?s
1
?
x
i
?4?2?6
，
s?
第五（
i?5
）步：i?5?4
，输出
s?
4.（2010安徽文）如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=
【答案】 12
【解析】程序运行如下:
13
?6?
42
3
2
x?1,x?2,x?4,x?5,x?6,x?8,x
?9,x?10,x?12
,输出12。
【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，
根据判断条件，要么几步后就会输出结
果，要么就会出现规律，如周期性，等差或等比数列型.
5.（2010江苏卷）右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_____________
24
【解析】考查流程图理解。
1?2?2???2?31?33,
输出
S?1?2?2???2?63
。
25
6.（2009浙江卷理）某
程序框图如图所示，该程序运行后输出的
k
的
值是 （ ）
24
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
【解析】对于
k?0,s?1,?k?1
，而对于
k?1,s?3,?k?2
，则
k?2,s?3?8,?k?3
，后面是k?3,s?3?8?2
11
,?k?4
，不
符合条件时输出的
k?4
．
答案 A
7、(2009年广东卷
文)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数
如下表所示：
队员i
三分球个数
1 2 3 4 5 6
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
下图（右）是统计该6名队员在最近
三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判
断框应填 ，输出的s=
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)
【解析】顺为是统计该6名队员在最
近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中
判断框应填
i?6
，输出的s=<
br>a
1
?a
2
???a
6
.
8、(2009山东卷理)执行右边的程序框图，输出的T= .
【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n
=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30
答案
30
25
开
S=0,T=0,n
T>S
否
S=S+5
n=n+2
T=T+n
是
输出
结束
高考数学复习必修4
第一章 基本初等函数II
一、基础知识（理解去记）
定义1 角，一条射线绕
着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则
角为正角，若旋转方向为顺时针方向，
则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一
等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对
的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的
弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
L
,
r
其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，
在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正
xyy
x
,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se
c
r
rx
y
r
r
α=,余割函数cscα=
.
x
y
弦函数sinα=
定理1 同角三角函数的基本关系式：
111
,sinα=，cosα=；
cot
?
csc
?<
br>sec
?
sin
?
cos
?
,cot
??
商数关系：tanα=；
cos
?
sin
?
倒数关
系：tanα=
乘积关系：tanα?cosα=sinα,cotα?sinα=cosα；
平方关系：sin
2
α+cos
2
α=1,
tan
2
α+1=sec
2
α,
cot
2
α+1=csc
2
α.
定理2
诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα,
tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cot
α;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,
cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα;
（Ⅲ）sin(π-α)=sin
α, cos(π-α)=-cosα,
tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin
?
co
s
?
?
?
?
?
?
?
=cosα,
?
2
?
?
?
??
?
?
。
?
?
?
=sinα, tan
?
?
?
?<
br>=cotα（记法：奇变偶不变，符号看象限）
22
????
?
?定理3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单
?
3
??
,2k
?
?
?
?
上为减函22
?
22
??
?
数，最小正周期为2
?
.
奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当
2
调区间：在区间?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
?
?
上为增函数，在区间
?
2k
?
?
26
x=3k
?
-
??
时,
y取最小值-1。对称性：直线x=k
?
+均为其对称轴，点（k
?
,
0）均为其对
22
称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4
（根据图像去记）
余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：
在区间[2kπ,
2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：
偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?
均为其对称中心。有界性：当
2
?
且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-
π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里
k∈Z.
?
)在开区间
2
?
??
(kπ-, kπ+)上为增函数,
最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）
222
定理5
（根据图像去记）
正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x
?
kπ+
均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α
?
β)=cosαcosβ
?
sinαsinβ,sin(α
?
β)=sinα
cosβ
?cosαsinβ; tan(α
?
β)=
(tan
?
?tan
?
)
.
(1
?
tan
?
tan
?
)
定理7
和差化积与积化和差公式:
?
?
?
?
??
?
?<
br>?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
cos
??
,sinα-
sinβ=2sin
??
cos
??
,
2222
????
????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
cosα
+cosβ=2cos
??
cos
??
, cosα-
cosβ=-2sin
??
sin
??
,
2222
???
?????
11
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsi
nβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
22
11
cosαcosβ=[
cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
22
sinα+sinβ=2sin
?
口诀记忆：
积化和差：1
前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后
2
为和，正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦
之差负正弦
定理8 倍角公式（常考）:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos
2<
br>α-sin
2
α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α,
tan2α=
2tan
?
.
(1?
tan
2
?
)
(1?cos
?
)(1?cos
?<
br>)
?
?
??
?
?
,cos
??
=<
br>?
,
?
=
?
22
22
????
s
in
?
(1?cos
?
)
(1?cos
?
)
?
?
?
?.
tan
??
=
?
=
sin
?
(1?cos
?
)
(1?cos
?
)<
br>?
2
?
?
?
??
?
?
2tan??
1?tan
2
??
?
2
?
,
cos
?
?
?
2
?
, 定理10 万能公式:
sin
?
?
?
?
??
?
?
1?t
an
2
??
1?tan
2
??
?
2
??<
br>2
?
定理9 半角公式:sin
?
27
?
?
?
2tan
??
?
2
?
.<
br>
tan
?
?
?
?
?
1?tan
2
??
?
2
?
定理11 ****【必考】辅助角公式：如果a,
b是实数且a
2
+b
2
?
0，则取始边在x轴正半轴，
终边
经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=
22
asinα+bcosα=
(a
?b)
sin(α+β).
b
a?b
22
,cosβ=
a
a?b
22
，对任意的角α.
定理12
正弦定理：在任意△ABC中有
abc
???2R
，其中a, b,
c分别是
sinAsinBsinC
角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a
2
=b
2
+c
2
-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的
对边。
定理14 图
象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得
y=sin(
x+
?
)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
?
，得到y=sin
?
x
(
?
?0
)
的图象（周期变
换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变
换）；y=Asin(
?
x+
?
)(
?
>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，
纵坐标变为原来的A倍，得
到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
?
x+
?
)(
?
,
?
>0)(|A|叫作振幅)的图象向右
平移
个单位得到y=Asin
?
x的图象。
定义4 函数y=sinx<
br>?
?
x?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
,
?
?
?
的反函数叫反正弦函数
，记作y=arcsinx(x∈[-1,
1])，函
22
??
?
数y=cosx(x∈[0, π])
的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数
y=tanx
?
?
x?
?
?
?
?
?
??
?<
br>?
的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]).
y=cosx(x∈[0,
,
?
?
?
?
22
?<
br>?
π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(
-1)
n
arcsina,
n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kx
?
arccosa,
k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是
{x|x=kπ+arctana,
k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=
定理16
若
x?
?
0,
二、基础例题（必会）
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在
同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交
点，故
方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π),
试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】
若
x?
?
?
?
；arctana+arccota=.
22
?
?
?
?
，则sinx
2
?
?
?
??
?
?
,
?
?
，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos
x?
?
?,0
?
，
?
2
??
2
?
所以sin(cosx)
≤0,又0
所以cos(sinx)>sin(cosx).
28
若
x?
?
0,?
，则因为
?
2
?
?
2
?
???
2
??
?2
(sinxcos+sincos
x)=
2
sin(x+)≤
sinx?cosx
sinx+cosx=
2
?
2
?
444
2
??
?
2
<
，
2
??
所以0
?
所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).
2
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)
?
?
?
?
cos
?
?
?
cos<
br>?
?
?
?
?
?
例3
已知α，β为锐角，且x?（α+β-）>0，求证：
?
?
?2.
??
2
?
sin
?
?
?
sin
?
?
??
?
【证明】
若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα
?
cos
?
cos
?
所以0<<1，又sinα>sin(-β)=c
osβ, 所以0<<1，
2sin
?
sin
?
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
cos
?<
br>?
?
cos
?
?
??
??
所以
?<
br>
??
?
sin
?
??
sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?2.
si
n
?
??
??
?
??
?
?
??
?
若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,
2
222
?
cos
?
cos
?
所以>1。又0
2sin
?
sin
?
?cos
?
?
?
cos
?
?
?
cos<
br>?
?
?
cos
?
?
???
???
?
所以
?
???
?2
，得证。
?
sin
?
???
??
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
sin
?
?
注：以上两例用到了三角函数的单调性
和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4
求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实
上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，
当且仅当x=kπ+
x
x
0
0
x
x
0
0
x
x
?
时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,
2
所以若最小正周期为T
0
，则T
0
=mπ, m∈N+
，又sin(2cos0)=sin2
?
sin(2cosπ)，所以T
0
=2π。
4．三角最值问题。
例5
已知函数y=sinx+
1?cos
2
x
，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx=
2cos
?
,1?cosx?
则有y=
2cos
?
?
因为
2
3
??
?
2
sin
?
?
?0?
?
?
,
4
??
4
2sin
?
?2sin(
?
?
?
4
)
.
?
4
?0?
3
??
?
，所以
?
?
??
?
，
424
所以
0?sin(
?
?
?
4
)
≤1，
29
所以当
?
?
当
?
?
3
?
?
，即x=2kπ-(k∈Z)时，y
min
=0，
4
2
?
4
，即x=2kπ+
?
(k∈Z)时，y<
br>max
=2.
2
例6 设0<
?
<π，求sin
?
2
(1?cos
?
)
的最大值。
??
>0,
cos>0.
22
22
???
??
2
?
所以si
n（1+cos
?
）=2sin?cos
2
=
2?2sin?cos
2
?cos
2
≤
222
222
【解】因为0<<
br>?
<π，所以
0?
?
?
?
，所以sin
??
??
2
?
?cos
2
?cos
2
??2sin
222
?
=
16
?
43
.
2?
?
3
279
??
??
??
当且仅当2sin
2
3
????
22
=cos
2
,
即tan=,
?
=2arctan时，sin(1+cos
?
)取得最大值
222
2
2
2
43
。
9
例7
若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】
因为sinA+sinB=2sin
A?B
A?BA?B
?2sin
cos,
①
2
22
sinC+sin
?
3
C?
?2sin
2
?
3
cos
C?
2
C?
2
?<
br>3
?2sin
C?
2
?
3
, ②
?
3
?2sin
又因为
sin
4
?
?由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,
33
?
33
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,
3
2
?
33
当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）
m
ax
=.
3
2
A?B
?sin
2
A?B?C?<
br>?
3
cos
A?B?C?
4
?
3
?2sin
?
，③
3
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、
和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯
西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
sinxcosx
的值域。
1?sinx?cosx
?
2
?
2
?
??
?2sin(x?).
sinx?cosx
【解】 设t=sinx+cosx=
2
?
2
?
24
??
例8 求
y?
30
因为
?1?sin(x?)?1,
4
所以
?2?t?2.
又因为t
2
=1+2sinxcosx,
?
x
2
?1
t
2
?1
2
?
t?1
， 所以sinxcos
x=，所以
y?
1?t2
2
?2?12?1
所以
?y?.<
br>
22
t?1
??1
，所以y
?
-1. 因为t?
-1，所以
2
?
2?1
??
2?1
?
?
?1,,?1
?
?
所以函数值域为
y?
?
?<
br>?
.
??
22
????
例9
已知a
0
=1, a
n
=
1?a
n?1
2?1a
n?1
(n∈N
+
)，求证：a
n
>
?.
2
n?2
【证明】
由题设a
n
>0，令a
n
=tana
n
,
a
n
∈
?
0,
?
?
?
?
，则 <
br>2
??
a
n
=
1?tan
2
a
n?
1
?1
tana
n?1
?
seca
n?1
?11?
cosa
n?1
a
??tan
n?1
?tana
n
.
2
tana
n?1
sina
n?1
n
a
1
?
?
?
?
1
?
因为
n?1<
br>，a
n
∈
?
0,
?
，所以a
n
=<
br>a
n?1
，所以a
n
=
??
a
0
.
2
2
?
2
?
?
2
?
?
?
?
1
?
又因为a
0
=tana
1
=1，
所以a
0
=，所以
a
n
?
??
?。
44
?
2
?
?
??
又因为当0
n
?tan
n?2
?
n?2
.
2
22
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x
∈
?
0,
n
?
?
?
?
时，有tanx>x
>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证
?
2
?
明是很
容易的。
6．图象变换【常考】：y=sinx(x∈R)与y=Asin(
?
x+
?
)(A,
?
,
?
>0).
由y=sinx
的图象向左平移
?
个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后
再保持
纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
?
，得到y=Asin(
?
x+<
br>?
)的图象；也可以由y=sinx
的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，
再保持纵坐标不变，横坐标变为原来
?
个单位，得到y=Asin(
?
x+<
br>?
)的图象。
??
例10 例10
已知f(x)=sin(
?
x+
?
)(
?
>0, 0≤?
≤π)是R上的偶函数，其图象关于点
?
3
?
??
?
?
M
?
,0
?
对称，且在区间
?
0,?
上是单调函数，求
?
和
?
的值。
?
4
??
2
?
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x
)=f(x)，所以sin(
?
+
?
)=sin(-
?
x+
?
)，所以cos
?
sinx=0，
的
1
，最后向
左平移
对任意x∈R成立。
31
?
，
2
33
?
3
?
?
因为f(x)图象关于
M
?
,0
?
对称，所以
f(
?
?x)?f(
??x)
=0。
44
?
4
?
3
?
??
3
?
取x=0，得
f(
?
)
=0，所以sin?
?
?
?
?0.
4
2
??
4
2
3
??
?
?k
?
?
(k∈Z)，即<
br>?
=(2k+1) (k∈Z). 所以
3
42
??
又
?
>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
22??
取k=1时，
?
=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函
数；
22
10
??
取k=2时，
?
≥，此时f(x)=s
in(
?
x+)在[0，]上不是单调函数，
322
又0≤
?≤π，解得
?
=
综上，
?
=
2
或2。
3
7．三角公式的应用。
例11 已知sin(α-β)=
的值。 55
?
?
??
3
?
?
，sin(α+β)=-
，且α-β∈
?
,
?
?
，α+β∈
?
求sin2α
,cos2β
,2
?
?
，
1313
?
2
?
?
2
?
12
?
?
?
,
?
?
，所以cos(α-β)=-
1?sin
2
(
?
?
?)??.
13
?
2
?
12
?
3?
?
又因为α+β∈
?
,2
?
?
，所以cos
(α+β)=
1?sin
2
(
?
?
?
)?.
13
?
2
?
120
所以sin2α=sin[(α+β
)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
169
【解】 因为α-β∈
?
cos2β=cos[(α+β)-(α
-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且
112
???
，试求
co
sAcosCcosB
cos
A?C
的值。
2
A?C
=cos(60
0
-C)，
2
1111cos(120
0
?C)?cosC
又由于
?
???
00
cosAcosC
cos(120?C)
cosC
cos
Ccos(120?C)
【解】
因为A=120
0
-C，所以cos
???22
，
11
[
cos120
0
?cos(120
0
?2C)]cos(120
0<
br>?2C)?
22
A?C
2
A?C
?2cos?32
=
0。 所以
42cos
22
A?C2A?C32
???
解得
cos
或
cos
。
2228
=
2cos60
0<
br>cos(60
0
?C)2cos(60
0
?C)
32
又
cos
A?C
A?C2
>0，所以
cos
。
?
2
22
??
??
例13
求证：tan20+4cos70.
sin20
?
?
【解】
tan20+4cos70=+4sin20
?
cos20
sin20
?<
br>?4sin20
?
cos20
?
sin20
?
?2s
in40
?
??
cos20
?
cos20
?sin20
?
?sin40
?
?sin40
?
2sin
30
?
cos10
?
?sin40
?
??
cos20
?
cos20
?
sin80
?
?sin40
?
2sin60
?
cos20
?
???3.
cos20
?
cos20
?
三、趋近高考（必懂）
1.（四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）计算cot15°－tan15?的结果是(
)
(A)
【答案】D
3
2
(B)
6
2
(C)3
3
(D)2
3
2.（成都2010届高三第三次诊断文科）计算cos45?cos15?－sin45?cos75
?的结果是( )
(A)
3
2
(B)
2
2
1
(C)
2
(D)1
【答案】C
【解析】cos45?cos15?－sin45?cos75?
＝cos45?cos15?－sin45?sin15? ＝cos(45?＋15?)
1
＝cos60? ＝
2
π
3. （成都2010届高三第三次诊断文科）先把
函数f(x)＝sinx－
3
cosx的图象按向量a＝(，
3
1
0
)平移得到曲线y＝g(x)，再把曲线y＝g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保
2<
br>持不变，得到曲线y＝h(x)，则曲线y＝h(x)的函数表达式为( )
33
2π
(A)h(x)＝sin(x－)
3
＝4sinx
【答案】A
π
【解析】f(x)＝2sin(x－)，
3
2π
(B)h(x)＝sinx (C)h(x)＝4sin
(x－)
3
(D)h
(x)
π2π
按向量a＝(，0)平移后，得到曲线y＝g(x) ＝2sin(x－) 33
2π
1
再把纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线y＝h(x)
＝sin(x－)
3
2
4. （成都2010届高三第三次诊断理科）已知sin(
α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝
的值为________________.
【答案】
1
3
3
，则cos2β
3
【解析】因为sin(
α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α]
＝sinβ＝
于是cos2β＝1－2sin
2
2β＝1－
3
3
21
?
33
6.(绵阳2010年4月高三三诊理科试题) （本小题满分12分）已知△ABC中，
角A、B、C
所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，b=1，记角A=x，a+c=f
(x)．
（Ⅰ）当x∈[
?
6
，
?
3
]时，求f
(x)的取值范围；
（Ⅱ）若
f(x?
?
6
)?
，求sin2x的值．
65
解：（I）由已知 A、B、C成等差数列，得2B=A+C，
∵
在△ABC中， A+B+C=π，于是解得
B?
∵
在△ABC中，
?
3
，
A?C?
2
?
．
3
abc
，b=1，
??
sinAsinBsinC
11
232
?
[sinA?sin(?A)]
∴
a?c??sinA
?sinC
?
??
33
sinsin
33
?
232
?
2
?
?
[sinA?sincosA?cossinA]
?3sinA?cosA
?2sin(A?)
，
333
6
即
f(x)?2sin(x?
由
?
6
)
．
??????????????????????6分
?
6
≤x≤
?
3
得
?
3
≤x+
?
6
≤
?
2<
br>，于是
3
≤
f(x)
≤2，
即f
(x)的取值范围为[
3
，2] ． ??????????????????8分
（Ⅱ）∵
f(x?
?
6
)?2sin(x?
?<
br>6
?
?
6
)?
63
，即
sinx?
．
55
34
4
∴
cosx??1?sin
2
x??
．
????????????????????9分
5
42
3
?
2<
br>?
4
若
cosx??
，此时由
???
知x>，这与<
br>A?C?
矛盾．
52
5
43
4
∴
x为锐角，故
cosx?
． ????????????????????11分
5
24
．……………………………………………………12分
25
7．（雅安2010届高三第三次诊断性考试理科）
（本题满分12分）
∴
sin2x?2sinxcosx?
?
??
三角形的
三内角
A,B,C
所对边的长分别为
a,b,c
，设向量
m?(c?
a,b?a)
，
n?
???
(a?b,c)
，若
mn
。
(1)求角B的大小；
(2)求
sinA?sinC
的取值范围。
8．（自贡2010届高三三诊理科试题）（本小题满分12分）
<
br>????????
如图4，已知△ABC中，
|AC|?1
，∠ABC=120
°，∠BAC=
?
，记
f(
?
)?AB?BC
。
（I）求
f(
?
)
关于
?
的表达式；
（II）求
f(
?
)
的值域。
解：（Ⅰ），由正弦定理有：
|BC|1
?
＝
sin
?
sin120?
|AB|
????(2分)
sin(60??
?
)
35
∴
|BC|?
1sin(60??
?
)
sin
?
,
|AB|?
????(4分)
sin120?sin120?
∴
f
f
(
(
0<
br>?
)
)
?AB?BC?sin?sin(60??)?
4
?
3
?
1
2
＝
131?cos2
?
231
2
?
?)
(cos
?
?sin
?
)sin
?
＝
(
sin
322
322
＝
sin(2
?
?)?
<
br>(0?
?
?
1
3
?
?
6
6
1
6
?
3
)
????(8分)
(Ⅱ)
0?
?
?
∴
?
3
=>
?2
?
?
?
6
?
1
1
?
∴
f(
?
)?(0,]
???（12分）
?s
in(2
?
?)?1
6
26
的对边分别为a、b、c，
4s
in
2
5
?
,
6
9.（南充2010届高三4月月考理科试题）（本小题满分12分） 在
△
ABC中，角A、B、C
A?B7
?cos2C?,a?b?5,c?7
．
22
（1）求角C的大小；
（2）求
△
ABC的面积．
A?B7C7
解：（1）由
4sin
2
?cos2C?,得4cos
2
?cos2C
2222
∴
4cos
2
C－4cosC＋１＝０
1
解得
cosC?
∴ C＝60°
2
（2）由余弦定理得C
2
＝a
2
＋b<
br>2
－2ab cos C 即 7＝a
2
＋b
2
－ab
①
又a＋b＝5 ∴a
2
＋b
2
＋2ab＝25 ②
由①②得ab＝6
133
∴
S
△
ABC
＝
absinC?
22
10．（资阳2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：
y?2x
(x?0)
．
（Ⅰ）求
tan2
?
的值；
2cos2
（Ⅱ）求
?
2
?2sin(
?
?
?
)?1
的值．
7
?
2cos(
?
?)
4
解：（Ⅰ）在终边l上取一点
P(?1,?2)
，则
tan
?
?∴
tan2
?
?
?2
··················
·················2分
?2
，·
?1
2?24
． ··················
··················································
·····4分
??
1?2
2
3
?
2cos
2<
br>?2sin(
?
?
?
)?1
cos
?
?2s
in
?
cos
?
?2sin
?
2
?
（Ⅱ）
························8分
?
?
7
?
cos
?
?sin
?
2cos(
?
?)
2cos
(
?
?)
4
4
36
?
1?2tan
?
1?2?2
???5
．
1?tan
?
1?2
12分
11.（四川省攀枝花市2010年4
月高三第二次统考文科试题）（12分）在
?ABC
中，
角
A,B,C所对的边分别是
a,b,c
，
a
2
?c
2
?b
2
?
1
ac
2
.
sin
2
(Ⅰ)求
A?C
?cos2B
2
的值；
（Ⅱ）若
b?2
，求
?ABC
面积的最大值.
cosB?
解：（Ⅰ）由余弦定理：
1
4
co
sB?
（Ⅱ）由
115
1
a
2
?c
2
?b
2
?ac
,得sinB?.
2
44
∵
b?2
，
a
2
?c
2
?
∴
8
11
ac?
ac?b
2
?ac?4?2ac
3
<
br>22
，从而
故
S
?ABC
?
115
acsi
nB?
23
（当且仅当
a?c
时取等号）
12．(成都石室中学2010届高三三诊模拟理科)
（12分）
已知
?
ABC
中，
sinA(sinB?3cosB)?3sinC.
（I）求角A的大小；
（II）若BC=3，求
?ABC
周长的取值范围。
解：（I）
A?B?C?
?
得
sinC?sin(A?B)
代入已知条件得
sinAsinB?3cossinB
?sinB?0
，由此得
tanA?3,A?
（II）由上可知：
B?C?
由正弦定理得：
?
3
????6分
2
?
2
?
,?C??B
33
37
AB?AC?2R(sinB?sinC)?23(sinB?sin(
即得：
AB?AC?23(sinB?
2
?
?B))
3
3
2
3
?
cosB)?6sin(B?)
26
2
?
1
?
得?sin(B?)?1
326
?3?AB?AC?6
，
0?B?
??ABC
周长的取值范围为
?
6,9
?
????12分
5_u.c o*m
第二章 平面向量
一、基础知识（理解去记）
定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时
用有向线段来表示，线段的长度表示向
量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母
上面加箭头表示。书中用
黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定
零向量的方向是任意
的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。
定义2
方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零
向量平行和结合律。
定理1
向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足
交换律和结合律。
定理2 非零向量a,
b共线的充要条件是存在实数
?
?
0，使得a=
?
b.
f
定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a,
b不共线，则对同一平面内任意向是c，
存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a,
b称为一组基底。
定义3
向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,
j作为
基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,
y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫
做c坐标。
定义4
向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为
?
，则a,
b的数量积记作
a?b=|a|?|b|cos
?
=|a|?|b|cos
?
叫做b在a上的投影（注：投影
可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x
1
, y
1
),
b=(x
2
, y
2
)，
1．a+b=(x
1
+x
2
,
y
1
+y
2
),
a-b=(x
1
-x
2
,
y
1
-y
2
)，
2．λa=(λx
1
,
λy
1
), a?(b+c)=a?b+a?c，
3．a?b=x
1
x
2
+y
1
y
2
, cos(a, b)=
x<
br>1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(a,
b
?
0),
4. ab
?
x
1
y
2=x
2
y
1
,
a
?
b
?
x1x2+y
1
y
2
=0.
定义5 若点P是直线P
1
P
2
上异于p
1
，p
2
的一点，则存在唯一实数λ，使
P
1
P?
?
PP
2
，λ
叫P分
P
若O为平面内任意一点，则
OP?
1
P
2
所成的比，
OP
1
?
?
OP
2
。由此可得若P
1
，
1?
?
?
x
1<
br>?
?
x
2
x?
?
x?x
1
y?y<
br>1
?
1?
?
P，P
2
的坐标分别为(x
1<
br>, y
1
), (x, y), (x
2
,
y
2
)，则
?
.
?
??.
x?xy?y
22
?
y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
?
38
定义6
设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移
|a|=
h
2
?k
2
个单位得到图形
F'
，这一过程叫做平移。设
p(x, y)是F上任意一点，平移到
F'
上对应的点为
p'(x',y')
，则
?
?
x'?x?h
称为平移公式。
?
y'?y?k
定理5 对于任意向量a=(x
1
,
y
1
), b=(x
2
, y
2
),
|a?b|≤|a|?|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
222
【证明】 因为
|a|
2
?|b|
2
-|a?b|
2
=
(x
1
又|a?b|≥0,
?y
1
2
)(x
2
?y
2
)
-(x
1
x
2
+y
1
y2
)
2
=(x
1
y
2
-x
2
y
1
)
2
≥0，
|a|?|b|≥0，
所以|a|?|b|≥|a?b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x
1
,
x
2
,?,x
n
)，b=(y
1
,
y
2
, ?, y
n
)，
22222
同样有|a?b|≤|
a|?|b|，化简即为柯西不等式：
(x
1
?x
2
???x
n
)(y
1
2
?y
2
???y
n
)?<
br>
(x
1
y
1
+x
2
y
2
+?+x
n
y
n
)
2
≥0，又|a?b|≥0,
|a|?|b|≥0，
所以|a|?|b|≥|a?b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x
1
,
x
2
,?,x
n
), b=(y
1
,
y
2
, ?, y
n
)，
同样有|a?b|≤|a|?|b|，化简
即为柯西不等式：
2222
(x
1
2
?x
2
???
x
n
)(y
1
2
?y
2
???y
n
)?
(x
1
y
1
+x
2
y
2
+
?+x
n
y
n
)
2
。
2）对于任意n个向量，a
1
, a
2
,
?,a
n
，有| a
1
, a
2
,
?,a
n
|≤|
a
1
|+|a
2
|+?+|a
n
|。
二、基础例题【必会】
1．向量定义和运算法则的运用
例1 设O是正n边形A
1
A
2
?A
n
的中心，求证：
OA
1?OA
2
???OA
n
?O.
【证明】 记
S?OA
1
?OA
2
???OA
n
，若
S?O<
br>，则将正n边形绕中心O旋转
后与原正n边形重合，所以
S
不变，这不可能，所
以
S?O.
例2
给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是
GA?GB?GC?O.
【证
明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，
则
AG
?2GD?GP.
又因为BC与GP互相平分，
所以BPCG为平行四边形，所以BG
PC，所以
GB?CP.
所以
GA?GB?GC?GC?CP?PG?O.
充分性。若
GA
?GB?GC?O
，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则
GA?PG.
因为
GC?PG?PC?O
，则
GB?PC
，所以GB
CP
，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3 在凸四边形
ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：
2
AB+BC
2
+CD
2
+DA
2
=AC
2
+BD
2
+4
PQ
2
。
【证明】 如图所示，结结BQ，QD。
因为
BP?PQ?BQ,DP?PQ?DQ
，
所以
BQ?DQ?(BP?PQ)?(DP?PQ)
=
BP?DP?2PQ?2BP
?
PQ?2DP?PQ
=
BP?DP?2PQ?2(BP?DP)?PQ?BP?DP?2PQ.
①
又因为
BQ?QC?BC,BQ?QA?BA,QA?QC?O,
39
222222
2
?
n
22
22
22
2
同理
BA?BC?QA?QC?2BQ
， ②
22222
CD?DA?QA?QC?2QD
， ③
由①，②，③可得
BA?BC?CD?4QA?2(BQ?QD)
2222
22
222222
22222
?AC?2(2BP?2PQ)?AC?BD?4PQ<
br>。得证。
2．证利用定理证明共线
例4
△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：
【证明】
首先
OG?OA?AG?OA?
=
OA?
2
AM
3
11
(AB?AC)?OA?(2AO?OB?OC)
33
1
?(OA?OB?OC).
3
其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE
?BC.
又AH
?
BC，所以AHCE。
又EA
?
AB，CH
?
AB，所以AHCE为平行四边形。
所以
AH?EC,
所以
OH?OA?AH?OA?EC?OA?EO?OC?OA?OB?OC
，
所以
OH?3OG
，
所以
OG
与
OH
共线，所以O，G，H共线。
所以OG：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直
例5 给定非零向量a,
b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a
?
b.
【证明】|a+b|=
|a-b|
?
(a+b)
2
=(a-b)
2
?
a<
br>2
+2a?b+b
2
=a
2
-2a?b+b
2
?
a?b=0
?
a
?
b.
例6 已知△ABC内接于
⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OE
?
CD。
【证明】 设
OA?a,OB?b,OC?c
，
1
(a?b)
，
2
1
?
111
?
1
OE?
?
a?c?(a?b)
?
?c?a?b.
3
?
226
?
3
1
又
CD?(a?b)?c<
br>，
2
11
??
11
?
1
?
所以<
br>OE?CD?
?
a?c?b
?
?
?
a?b?c
?
36
??
22
?
2
?
11111<
br>?a
2
?b
2
?c
2
?a?b?a?c
412333
1
?
a?(b-c). （因为|a|
2
=
|b|
2
=|c|
2
=|OH|
2
）
3
则
OD?
又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。
所以a?(b-c)=0. 所以OE
?
CD。
4．向量的坐标运算
例7 已知四边形ABCD是正方形，BEAC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于
点F，求证：AF=AE。
【证明】
如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方
40
形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x,
y），则
BE
=(x,
y-1),
AC?(1,?1)
，因为
BEAC
，所以-x-(y-1)=0.
又因为
|CE|?|AC|
，所以x
2
+y
2
=2.
1?31?3
,y?.
22
?
3?3?1?3
?
?
,|AE|
2
?4?23.
,
所以
A
E?
?
?
2
?
2
??
由①，②解得
x?<
br>设
F(x',1)
，则
CF?(x',1)
。由
CF
和
CE
共线得
所以
x'??(2?3)
，即F
(?2?3,
1)
，
所以
|AF|
2
=4+
23?|AE|
2
，所以AF=AE。
1?31?3
x'??0.
22
三、趋近高考【必懂】
1.（成都市2010届高三第三次诊断理科）已知向量
a＝(－3,2),b＝(2,1),则|a＋2 b|的值为( )
(A)3
2
(B)7 (C)
17
(D)
13?25
【答案】C
【解析】因为a＋2 b＝(1,4)
故|a＋2
b|＝
?1
2
?4
2
?17
2. (绵阳市20
10年4月高三三诊理科试题)已知向量a、b不共线，若向量a+λb与b+λa的
方向相反，则λ=
（ C ）
（A）1 （B）0 （C）-1 （D）±1 <
br>??
3．（雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知
a,b
为非零向
量，函数
????
则使
f(x)
的图象为关于
y
轴对称的抛
物线的一个必要不充分条件
f(x)?(xa?b)?(a?xb)
，
是( C
)
??
A．
a?b
??
B．
ab
????
C．
|a|?|b|
??
D．
a?b
4．（资阳市2009—2010学年度高三第三
次高考模拟理）已知平面直角坐标系内的点A(1，
????????
1)，B(2，4)，C
(－1，3)，则
|AB?AC|?
（ B ）
（A）
22
（B）
10
5．（泸州市2010届高三第二次教学质量
（C）8
（D）10
诊断性考试理科）如图：正六边形
ABCDEF
中，下列命题错误的是（ C ）
????????????????
A．
AC
?
AD?A
D
?
AB
????????????
B．
AD?2AB?AF
41
????????????
C．
AC?AF?2BC
????????????????????????
AD
?
AFEF?EF
?
AFAD
D．
????
6.（四川省攀枝花市2010
年4月高三第二次统考文科试题）已知
???????
a?1,b?6
?
,a
b?a?2
??
??
，则向量
a
与向量
b
的夹角是
（ C ）
??
??
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
7． (成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知
a,b
是非零向量且满足
(3a?b)?a,(4a?b)?b
，则
a与b
的夹角是
A．
（ A ）
?
6
B．
?
3
C．
2
?
3
D．
5
?
6
二、填空题：
8．（自贡市2010届高三三诊理科试题）有下列命题：
22
①
a?b
是
a?b
的充分不必要条件；
??
??????
1
????
2
????
2
????
2
②
OP?OQ?(OP?OQ?PQ)
；
2
③若函数
f(
x)
满足
f(x?1)?1?f(x)
，则
f(x)
是周期函数；
④如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数c，则这组数据的平均数和方差都改变。
其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。①④
???
???????
9.（眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）设
e
1,e
2
,e
3
,e
4
是平面内的四个单位向
?
???????????????
?
量，其中
e
1
?e
2<
br>,e
3
与
e
4
的夹角为
135
，对这个平面
内的任一个向量
a?xe
1
?ye
2
，规定
????
y
???
??????
经过一次“斜二测变换”得到向量
a
1?xe
3
?e
4
，设向量
v?3e
1
?4e<
br>2
，则经过一次“斜
2
??
??
二测变换”得到向量
v
1
的模
v
1
是_____________________.
13?62
[
???
b?10
，10．（省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）已知向量
a?(2,1),a
?
??
a?b?52
，则
?
b?
5
.
??
11．（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科）已知向量
a
?(1,n),b?(?1,n)
，
42
?
??
?
a?
若
2a?b
与
b
垂直，则 2
.
12.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统
?
?????
A
(?1,?5)
a?(2,3)
考文科试题）已知点和向量，若
AB?3a
，
则点
B
的坐标
为 .
13.（攀枝花市2010年4月高三第
二次统考文科试题）（12分）已知椭圆
?
5,4
?
1
x
2
y
2
??1(a?b?0)
a
2
b
2
的离心率为
2
，且其焦点
F(c,0)(c?0)
到相应准线l
的距离为３，
过焦点
F
的直线与椭圆交于
A,B
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
M
为椭圆的右顶点，则直线
A
M,BM
与准线
l
分别交于
P,Q
两点（
P,Q
两
点不
????????
FQ?0
.
重合），求证：
FP
?
【解析】
43
∴直线AB的方程为
y?k(x?1),k?0
又设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,P(x
3
,y
3
),Q(x
4
,y
4
)
?
y?k(x?1)
?
2
y
2
?
x
??1
2222
?
(3?4k)x?8kx?4k?12?0
43
?
联立 消y得
8k
2
4k
2
?1
2
x
1
?x
2
?,x
1
x
2
?<
br>2
3?4k3?4k
2
∴
?9k
2
y
1
y
2
?k(x
1
?1)(x
2
?1)
?
3?4k
2
∴
2
y
3
?
又∵A、M、
P三点共线，∴
2y
1
x
1
?2
y
4
?
同理
2y
2
x
2
?2
2y<
br>2
2y
1
)FQ?(3,)
x
2
?2
x
1
?2
，
4y
1
y
2
?0
x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4
[
FP?(3,
∴
FP?FQ?9?
∴
综上所述：<
br>FP?FQ?0
《高考数学总复习系列》——高中数学必修五
第一章
解三角形
一、基础知识【理解去记】
在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b,
c分别表示它们所对的各
44
边长，
p?
a?b?c
为半周长。
2
abc
??
1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。
sinAsinBsinC
111
推论1：△ABC的面积为S
△
ABC<
br>=
absinC?bcsinA?casinB.
222
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推论3：在△ABC中，A+B=
?
，解a满足
ab
，则a=A.
?
sinasin(
?
?a)
1
absinC
；再
证推论2，因为B+C=
?
-A，
2
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到
，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由
正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S
△
ABC
=
所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsi
nC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证
ab
sinasin(
?
?a)
?
，所以，即sinasin(
?
-A)=sin
(
?
-a)sinA，
?
sinAsinB
sinAsin(
?
?A)
11
等价于
?
[cos(
?
-A+a)
-cos(
?
-A-a)]=
?
[cos(
?
-a+A)
-cos(
?
-a-A)]，等价于
22
?
-a+A<
?<
br>. 所以只有
?
-A+a=
?
-a+A，cos(
?
-A+a)=cos(
?
-a+A)，因为0<
?
-A+a，所以a=A，<
br>推论4，由正弦定理
得证。
b
2
?c
2
?a
2
2．余弦定理：a=b+c-2bccosA
?cosA?
，下面用余弦定理证明
几个
2bc
222
常用的结论。
（1）斯特瓦特定理【了解】：在△ABC
中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则
b
2
p?c
2
q
AD=
?pq.
（1）
p?q
2
【证明】
因为c
2
=AB
2
=AD
2
+BD
2
-2
AD?BDcos
?ADB
，
所以c
2
=AD
2
+p
2
-2AD?pcos
?ADB.
①
同理b<
br>2
=AD
2
+q
2
-2AD?qcos
?ADC， ②
因为
?
ADB+
?
ADC=
?
，
所以cos
?
ADB+cos
?
ADC=0，
所以q?①+p?②得
b
2
p?c
2
q
qc+p
b=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=
?pq.
p?q
2222
2b
2
?2c
2
?a
2
注：在（1）式中，若p=
q，则为中线长公式
AD?.
2
1
22
1
22<
br>1
222
?
2
2
（2）海伦公式：因为
S
?
ABC
?
bcsinA=bc (1-cosA)= bc
44
4
?
(b
2
?c
2
?a
2
)
2
?<
br>1
22
2
2
[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).
?
?
1?
?
22
4bc
??
16
a?b
?c
.
这里
p?
2
所以S
△
ABC
=<
br>p(p?a)(p?b)(p?c).
二、基础例题【必会】
45
1．面积法
例1
（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足
另外OP，OQ，OR的长分别为u,
w, v，这里α，β，α+β∈(0,
?
)，
?POQ?
?
,?
QOR?
?
，
则P，Q，R的共线的充要条件是
sin
?
sin
?
sin(
?
?
?
)
??.
uvw
【证明】P，Q，R共线
?S
ΔPQR
?0?S
?OPR
?S
?OPQ
?S
?ORQ
?
11
1
uvsin
(α+β)=uwsinα+vwsinβ <
br>22
2
sin(
?
?
?
)sin
?
sin
?
???
，得证。
wuv
2．正弦定理的应用
例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得
?
BPC-
?
BAC
=
?
CPA-
?
CBA=
?
APB-
?
A
CB。
求证：AP?BC=BP?CA=CP?AB。
【证明】 过点P作PD
?
BC，PE
?
AC，PF
?
AB，垂足分别为D，E，F，则P，
D，
C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以
?
EDF=
?
PDE+
?
PDF=
?
PCA+
?
PBA=<
br>?
BPC-
?
BAC。由题设及
?
BPC+
?
CPA+
?
APB=360
0
可得
?
BAC+
?
CBA+
?
ACB=180
0
。
所以
?
BPC-
?
BAC=
?
CPA-
?
CBA=
?APB-
?
ACB=60
0
。
所以
?
EDF
=60
0
，同理
?
DEF=60
0
，所以△DEF是正三角
形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin
?
ACB=APsin
?
BAC=BPsin
?
ABC，两边同时
乘以△ABC的外接圆直径2R
，得CP?BA=AP?BC=BP?AC，得证：
例3 如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙
O
1
，⊙O
2
相切，直线GF与DE交于P，求
证：PA
?
BC。
【证明】 延长PA交GD于M，
GM
O
1
A
AF
??.
MD
A
O
2
AE
APAFPAAE
?,?
由正弦定理，
sin(
?
??1)sin
?
sin(
?
??2)sin
?
AEsin?1sin
?
??.
所以
AFsin?2sin
?
GMPMMDPM
?,?
另一方面，，
sin
?
sin?1sin
?
sin?2
GMsin?2s
in
?
??
所以，
MDsin?1sin
?
GMAF?
所以，所以PAO
1
G，
MDAE
因为O
1
G
?
BC，O
2
D
?
BC，所以只需证
即PA<
br>?
BC，得证。
3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y,
z，则
a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC中，求证：a
2
(b+c-a)+b
2
(c+a-b)+c
2
(a+b-c)
≤3abc.
【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
?8xy?yz?zx
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a
2
(b+c-a)+b
2
(c+a-b)+c
2
(a+
b-c)-2abc.
46
所以a
2
(b+c
-a)+b
2
(c+a-b)+c
2
(a+b-c) ≤3abc.
4．三角换元。
例5 设a, b,
c∈R
+
，且abc+a+c=b，试求
P?
【解】
由题设
b?
223
??
的最大值。
a
2
?1b<
br>2
?1c
2
?1
a?c
，令a=tanα, c=tanγ,
b=tanβ,
1?ac
2
10
1
?
10
?则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos
2
γ≤
?3
?
sin
?
?
?
?
，
3<
br>3
?
3
?
1
?
10
22
当且仅当α
+β=，sinγ=，即a=时，P
max
=
.
,b?2,c?
3
23
24
1
例6
在△ABC中，若a+b+c=1，求证:
a
2
+b
2
+c
2
+4abc<
.
2
?
?
?
【证明】
设a=sin
2
αcos
2
β,
b=cos
2
αcos
2
β, c=sin
2
β,
β
?
?
0,
?
.
?
2
?
1
因为a, b, c为三边长，所以c<,
c>|a-b|，
2
?
?
?
从而
?
?
?
0,
?
，所以sin
2
β>|cos
2
α?cos
2
β|.
?
4
?
2222
因为
1=(a
+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca),
所以a
2
+b
2+c
2
+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin
2βcos
2
β+sin
2
αcos
2
α?cos
4
β?cos2β
1
=[1-cos
2
2β+(1-cos2
2α)cos
4
βcos2β]
4
11
=+cos
2β(cos
4
β-cos
2
2αcos
4
β-cos2β
)
44
111
>+cos2β(cos
4
β-sin
4<
br>β-cos
2
β)=
.
444
1
所以a
2
+b
2
+c
2
+4abc<
.
2
三、趋近高考【必懂】
Ab?c9
??
2
22c10<
br>，c＝5，求△ABC的内切圆半径．
1．（全国10高考）在△ABC中，cos<
br>b?c9
?
2c10
，∴ b＝4 【解析】：∵
c＝5，
A1?cosAb?c
??
2
22c
又cos
2
b
∴ cosA＝
c
b
2
?c
2
?a
2
2bc
又cosA＝
47
b
2
?c
2
?a
2
b
?
2bcc
∴
∴
b
2
＋c
2
-a
2
＝2b
2
∴ a
2
＋b
2
＝c
2
∴
△ABC是以角C为直角的三角形．
a＝
c?b
＝3
22
1
∴ △ABC的内切圆半径r＝
2
(b＋a-c)＝1．
2．（全国10高考）R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R
2
cosAcosB
，则外心位于△ABC的
外部．
【解析】：∵
ab＜4R
2
cosAcosB
由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB
∴
4R
2
sinAsinB＜4R
2
cosAcosB
∴
cosAcosB＞sinAsinB
∴ cosAcosB-sinAsinB＞0
∴ cos(A＋B)＞0
∵ cos(A＋B)＝-cosC
∴
-cosC＞0
∴ cosC＜0
∴ 90°＜C＜180°
∴
△ABC是钝角三角形
∴ 三角形的外心位于三角形的外部．
3．（
全国10高考）半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin
2
A-sin
2
C)＝(
3
a-b)sinB．
(1)求角C；
(2)求△ABC面积的最大值．
abc
???2R
【解析】：(1)∵
sinAsinBsinC
acb
?si
2
nA?()<
br>2
,si
2
nC?()
2
,siBn?
2R2R2R
∵ 2R(sin
2
A-sin
2
C)＝(3
a
－
b)sinB
acb
∴ 2R［(
2R<
br>)
2
-(
2R
)
2
］＝(
3
a-b
)·
2R
∴
a
2
-c
2
＝
3
ab-b
2
a
2
?b
2
?c
2
3
?
2ab2
∴
3
∴ cosC＝
2
，∴ C＝30°
R
2
11
(2)∵ S＝
2
absinC
＝
2
·2RsinA·2RsinB·sinC ＝R
2
sinAsinB
＝-
2
［cos(A
＋B)-cos(A-B)］
R
2
R
2
3
＝
2
［cos(A-B)＋cosC］
＝
2
［cos(A-B)＋
2
］
48
当cos(A-B)＝1时，S有最大值
第二章 数列
*******毋庸置疑，数列是历年各省市解答题中必出的内容。因此同
学要熟练百倍！
一、基础知识【理解去记】
定义1
数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，?，n，?. 数列分有穷数列和无穷数
列两种，数列{
a
n
}的一般形式通常记作a
1
, a
2
,
a
3
,?，a
n
或a
1
, a
2
, a<
br>3
,?，a
n
?。其中a
1
叫做数
列的首项，an
是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S
n
表示{
a
n
}的前n项和，则S
1
=a
1
,
当n>1时，a
n
=S
n
-S
n-1
.
定义2
等差数列，如果对任意的正整数n，都有a
n+1
-a
n
=d（常数），则{
a
n
}称为等差数列，
d叫做公差。若三个数a, b,
c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差
为d, 则a=b-d,
c=b+d.
定理2 *****【必考】等差数列的性质：1）通项公式a
n
=
a
1
+(n-1)d；2）前n项和公式：
S
n
=
n(a<
br>1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d；3）a
n
-a
m
=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+
m=p+q，
22
则a
n
+a
m
=a
p
+
a
q
；5）对任意正整数p, q，恒有a
p
-a
q
=(p
-q)(a
2
-a
1
)；6）若A，B至少有一个不
为零，则{a<
br>n
}是等差数列的充要条件是Sn=An
2
+Bn.
定义3 等比
数列，若对任意的正整数n，都有
a
n?1
?q
，则{a
n
}称为等比数列，q叫做公
a
n
比。
定理3 *****【必考】等比数
列的性质：1）a
n
=a
1
q
n-1
；2）前n项和Sn
，当q
?
1时，
a
1
(1?q
n
)
S
n
=；当q=1时，S
n
=na
1
；3）如果a
, b, c成等比数列，即b
2
=ac(b
?
0)，则b叫
1?q
做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a
m
a
n
=a<
br>p
a
q
。
定义4 极限，给定数列{a
n
}和实
数A，若对任意的
?
>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),
都有|a
n
-A|<
?
，则称A为n→+∞时数列{a
n
}的极限，记作
lima
n
?A.
n??
定义5 无穷递缩等比数列，若等比
数列{a
n
}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数
列，其前n项和S<
br>n
的极限（即其所有项的和）为
a
1
（由极限的定义可得）。
1?q
定理4 数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n
0
)成
立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出
p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题
p(n)对一切自然数n≥n
0
成立。
【补充知识点】
定理5
第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n
0
)成立；（2）当p(n)对一切n
≤k的自
然数n都成立时（k≥n
0
）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）
可得命题p(n)对一切自然数n
≥n
0
成立。
定理6 对于齐次二阶线
性递归数列x
n
=ax
n-1
+bx
n-2
，设它的特征方
程x
2
=ax+b的两个根为α,
β:(1)若α
?
β，则x
n
=c
1
a
n-1
+c
2
β
n-1，其中c
1
, c
2
由初始条件x
1
, x
2
的值确定；(2)若α=β，
则x
n
=(c
1
n+c
2
) α
n-1
，其中c
1
,
c
2
的值由x
1
, x
2
的值确定。
二、基础例题【必会】
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探
49
索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，?；2）1
，5，
19，65，?；3）-1，0，3，8，15，?。
【解】1）a
n
=n
2
-1；2）a
n
=3
n
-2
n
；
3）a
n
=n
2
-2n.
例2
已知数列{a
n
}满足a
1
=
【解】 因为a
1
=
1
,a
1
+a
2
+?+a
n
=n2
a
n
, n≥1，求通项a
n
.
2
1,又a
1
+a
2
=2
2
?a
2
, <
br>2
a?a
1
1
1
所以a
2
=，a
3
=
?
2
2
?
,猜想
a
n
?
(n≥1).
3?2
3?4
n(n?1)
3?1
1
证明
；1）当n=1时，a
1
=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。
2?1
当n=k+1时，由归纳假设及题设，a
1
+
a
1
+?+a
1
=[(k+1)
2
-1]
a
k+1
,，
111
=k(k+2)a
k+1
, ??
?
?
2?13?2k?(k?1)
11111
即
1
????
?
??
=k(k+2)a
k+1
,
223kk?1
k
1
.
所以=k(k+2)a
k+1,所以a
k+1
=
k?1
(k?1)(k?2)
1
.<
br> 由数学归纳法可得猜想成立，所以
a
n
?
n(n?1)
1<
br>例3 设0
}满足a
n
=1+a,
a
n-1
=a+，求证：对任意n∈N
+
,有a
n
>1.
a
n
所以
【证明】
证明更强的结论：1
≤1+a.
1)当n=1时，1
=1+a，①式成立；
2)假设n=k时，①式成立，即1
≤1+a，则当n=k+1时，有
1?a?a
k?1
111?a?a
2
1?a
??a??a???1
.
1?a1?a1?a
a
k
由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。
2．迭代法
数列的通项a
n
或前n项和S
n
中的n通常是
对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1
或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{a
n
}满足a
n
+pa
n-1
+q
a
n-2
=0, n≥3，q
?
0，求证：存在常数c，使得
22n
a
n?1
?pa
n?1
?a
n
+
qan
?cq?0.
2222
【证明】
a
n?1
?pa
n?1
?a
n+1
+
qa
n?1
?a
n?2
(pa
n+1
+a
n+2
)+
qa
n?1
=a
n+2
?(-qa
n
)+
qa
n?1
=
2222
q(a
n?1
?a
n
a
n?2
)?q[a
n?1
+a
n
(pq
n+1
+qa
n
)]=q(
a
n?1
?pa
n?1
a
n
?
qa
n
).
2
若
a
2
?pa
2
a
1
?qa
1
2
=0，则对任意n,
a
n?1<
br>?pa
n?1
a
n
+
qa
n
=0，取c=0
即可.
2
若
a
2
?pa
2
a
1
?qa
1
2
?
0，则{
a
n?1
?pa
n
?1
a
n
+
qa
n
}是首项为
a
2
?pa
2
a
1
?qa
1
，公式为
22
2
2
22
q的等比数列。
22
n
所以
a
n?1?pa
n?1
a
n
+
qa
n
=
(a<
br>2
?pa
2
a
1
?qa
1
)
?q.
22
取
c??(a
2
?pa
1
a
2
?qa
1
)
?
综上，结论成立。
22
1
即可.
q
50
例5 已知a
1
=0, a<
br>n+1
=5a
n
+
24a
n
?1
，求证：a
n
都是整数，n∈N
+
.
【证明】
因为a
1
=0,
a
2
=1，所以由题设知当n≥1时a
n+1
>a
n
. <
br>又由a
n+1
=5a
n
+
24a
n
?1移项、平方得
22
a
n?1
?10a
n
a
n
?1
?a
n
?1?0.
①
22
当n≥2时
，把①式中的n换成n-1得
a
n
?10a
n
a
n?1?a
n?1
?1?0
，即
22
a
n?1
?1
0a
n
a
n?1
?a
n
?1?0.
②
2
因为a
n-1
，所以①式和②式说明a<
br>n-1
, a
n+1
是方程x
2
-10a
n
x+
a
n
-1=0的两个不等根。由韦
2
2
达定理得an+1
+ a
n-1
=10a
n
(n≥2).
再由a
1
=0,
a
2
=1及③式可知，当n∈N
+
时，a
n
都是整数。
****3．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
1
(n=1, 2, ?)，求S
99
=a
1
+a
2
+?+a
99
.
4
n
?2
100
11
2?2
100
?4
n
?4
100?n
1
【
解】 因为a
n
+a
100-n
=
n
+=，
?<
br>100100?n100
100100n100?n100
4?24?2
4?2
?2(4?4)2
1
99
19999
所以S
99
=
?
(a
n
?a
100?n
)??
100
?
101
.
2
n?1
2
22
11
1
?
.
例7 求和：
S
n
?
+?+
1?2?32?3?4
n(n
?1)(n?2)
1k?2?k
?
【解】 一般地，
k(k?1)(k?2)2k(k?1)(k?2)
例6
已知a
n
=
?
1
?
11
??
，
?
??
2
?
k(k?1)(k?1)(k?2)
?
n
1
所以S
n
=
?
k?1
k(k?1)(k?2
)
?
1
?
111111
?
?
????<
br>?
??
2
?
1?22?32?33?4n(n?1)(n?1)(n?
2)
?
?
?
?
?
1
?
11
?
?
2
?
2(n?1)(n?2)
??
11
??.
42(n?1)(n?2)
例8 已知数列{a
n
}满足a
1=a
2
=1，a
n+2
=a
n+1
+a
n, S
n
为数列
?
?
a
n
?
的前n项
和，求证：S
n
<2。
n
?
?
2
?
【证明】
由递推公式可知，数列{a
n
}前几项为1，1，2，3，5，8，13。
因为S
n
?
所以
a
112358
?
2
?<
br>3
?
4
?
5
?
6
???
n
， ①
2
222222
n
a
11235
。
②
S
n
?
2
?
3
?
4
?
5
???
n
n
?1
2
22222
51
a
n?2
111
?
11
????
由
①-②得
S
n
??
2
?
2
22
2
?
2
n?2
?
2
2
a
111
所以
S
n
??S
n?2
?
n
n
。
?1
224
2
a
又因为S
n-2
且
n
n
>0,
?1
2
11111
所以
S
n<
br>??
S
n
, 所以
S
n
?
，
22
442
?
a
n
?
?
?
2
n?1
，
?
所以S
n
<2，得证。
4．特征方程法
例9
已知数列{a
n
}满足a
1
=3, a
2
=6,
a
n+2
=4
n+1
-4a
n
，求a
n
.
【解】
由特征方程x
2
=4x-4得x
1
=x
2
=2.
故设a
n
=(α+βn)?2
n-1
，其中
?
?
3
?
?
?
?
，
6?(
?
?2
?
)?2
?
所以α=3，β=0，
所以a
n
=3?2
n-1
.
例10
已知数列{a
n
}满足a
1
=3, a
2
=6, a
n+2
=2a
n+1
+3a
n
，求通项a
n
.
【解】 由特征方程x
2
=2x+3得x
1
=3,
x
2
=-1,
?
3?3
?
?
?
所以a<
br>n
=α?3+β?(-1)，其中
?
，
6?9
?
?
?
?
33
解得α=，β
??
，
44
1<
br>n?1n?1
所以
a
n
?[3?(?1)
?3]。
4
nn
5．构造等差或等比数列
例11 正数列a
0
,
a
1
,?,a
n
,?满足
a
n
a
n?2<
br>?a
n?1
a
n?2
=2a
n-1
(n≥2)且a<
br>0
=a
1
=1，求通项。
【解】 由
a
n
a
n?2
?a
n?1
a
n?2
?2a
n?1得
a
n
a
?2
n?1
=1，
a
n?
1
a
n?2
?
a
?
a
nn?1
?
即
?1?2?1
?
.
?
a
n?2
?a
n?1
??
令b
n
=
a
n
a
1
+1，则{b
n
}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，
a
n?1
a
0
所以b
n
=
a
n
a
+1=2
n
，所以
n
=（2
n
-1）
2
，
a
n?1
a
n?1
n
a
n
a
n?
1
a
2
a
1
k2
所以a
n
=????a<
br>0
=
?
(2?1).
a
1
a
0<
br>a
n?1
a
n?2
k?1
注：
?
C
i?1
n
i
?
C
1
?C
2
???C
n
.
2
x
n
?2
例12
已知数列{x
n
}满足x
1
=2,
x
n+1
=,n∈N
+
, 求通项。
2x
n
52
x
2
?2x
2
?2
【解】
考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=
?2.
2x2x
2
x
n
?2
因为x
1
=2,
x
n+1
=,可知{x
n
}的每项均为正数。
2x
n2
又
x
n
+2≥
22x
n
，所以x
n
+1
≥
2
(n≥1)。又
2
x
n
?2
(
x
n
?2)
2
X
n+1
-
2
=,
①
?2
=
2x
n
2x
n
2
x
n
?2
(x
n
?2)
2
X
n+1
+
2
=, ②
?2
=
2x
n
2
x
n
?
x?2
?
由①÷②得
?
?
n
?
。 ③
x
n?1
?2
?
?
x
n
?2
?
?
x
1
?2
x
n?1
?2
又
2
x
1
?2
>0，
?<
br>x
n?1
?2
??
x
n
?2
?
由③
可知对任意n∈N
+
，>0且
lg
??
?2lg
??
,
x?2x?2
x
n
?2
????
?
n?1<
br>??
n
?
?
x
n
?2
?
?
2?2
?
所以
lg
??
是首项为
lg
??
，公比为2的等比数列。
x?22?2
??
??
?
n
?<
br>x
n
?2
所以
lg
?
2?2
?
x<
br>n
?2
?
2?2
?
，所以
?2
n?1
?
lg
?
?
?
?
?
2?2
2?2
x
n
?2x?2
??
??
n
x
n
?2<
br>2
n?1
，
解得
x
n
?2
?
(2
?2)
(2?2)
2
n?1
2
n?1
?(2?2)
?(2?2)
2
n?1
2
n?1
。
注意：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。
三、趋近高考【必懂】
1.（2
010.北京）设
f(n)?2?2
4
?2
7
?2
10???2
3k?10
，则
f(n)
?
（ ）．
2
n
2
(8?1)
（B）
(8
n?2
?1)
77
2
n?3
2
n?4
（C）
(8?1)
（D）
(8?1)
77
（A）
2，2，2
，?，
2
解析：数列
2，
4710
3n?10
是以2为首项，8为公比的等
比数列，给出的这个数列
2(8
n?4
?1)2
n?4
?(8?1)
．选（D）共有
(n?4)
项，根据等比数列的求和公式有
S
n?
．
8?17
2.（2010.广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间
，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆
成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第
2，3，4，?堆最底
层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放
在下一层
之上，第
n
堆第
n
层就放一个乒乓球，以
f(n)
表示第
n
堆的乒乓球总数，则
f(3)?
_____；
53
f(n)?
=_____（答案用
n
表示）．
【解析】：观察归纳，
f(3)?6?3?1?10
； 观察图示，不难发现第
n
堆最底层（第一层）
的乒乓球数
a
n
?1?2?3???n?<
br>层数之和，
即
f(n)?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
?
n(n?1)
，第
n
堆的乒乓球总
数相当于
n
堆乒乓球的底
2
1
2
1n(n?1)n(n?1
)(n?2)
(1?2
2
?3
2
???n
2
)??
?
．
2226
品：数列求和，无论等差还是等比数列，分清项数及规律都尤为重要．
3.（2010.北京）设等差
数列
{a
n
}
的首项
a
1
及公差
d
都为整数，前
n
项和为
S
n
．
（1）若
a
11
?0，S
14
?98
，求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
a
1
≥6，a
11
?0，S
14
≤77
，求所有可能的数列
{a
n
}
的通项公式．
【解析】：（1）由
?
?
S
14
?98
，
?
2a
1
?13d?14，
，即
?
，
?
a
11
?0，
?
a
1
?10d?0，
解得
d??2，a
1
?20
．
因此，
{a
n
}
的通项公式是
a
n
?22?2n，n?1，2，3，?
；
?
S
14
≤77，
?
（2）由
?
a<
br>11
?0，
，得
?
a≥6，
?
1
，
?
2a
1
?13d≤11
?
?
a
1
?1
0d?0，
，
?
a≥6，
?
1
，
(1)
?
2a
1
?13d≤11
?
(2)
即
?
?2a
1
?20d?0，
?
?2a≤?12.
(3)
1
?
11
．
7
1
由①+③，得
13d≤?1
，即
d≤?
．
13
111
所以
??d≤?
．
713
又
d?Z
，故
d??1
．
由①+②，得
?7d?11
，即
d??
将
d??1
代入①、②，得
10?a
1
≤12
．
又
a
1
?Z<
br>，故
a
1
?11
或
a
1
?12
．
所以，数列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
?12?n
或
a
n
?13?n，n?1，2，3，?
．
54
品：利用等差（比）数列的定义构造方程（组）或不等式（组）是常用的解题方法． <
br>4.（2010.江苏）设数列
{a
n
}{，b
n
}{，c<
br>n
}
满足
b
n
?a
n
?a
n?2<
br>，c
n
?a
n
?2a
n?1
?3a
n?2<
br>
(n?1，2，3，?)
，证明
{a
n
}
为等差数
列的充要条件是
{c
n
}
为等差数列且
b
n
≤b<
br>n?1
(n?1，2，3，?)
．
【解析】：必要性：设
{a
n
}
是公差为
d
1
的等差数列，
则
bn?1
?b
n
?(a
n?1
?a
n?3
)?(
a
n
?a
n?2
)
?(a
n?1?a
n
)?(a
n?3
?a
n?2
)?d
1<
br>?d
1
?0
．
易知
b
n
≤b
n?1
(n?1，2，3，?)
成立．
由递推关系
c
n?1
?c
n
?(a
n?1?a
n
)?2(a
n?2
?a
n?1
)?3(a
n?3
?a
n?2
)?d
1
?2d
1
?3d1
?6d
1
（常数）（
n
=1，2，3，?）．
所以数列
{c
n
}
为等差数列．
充分性：设数列{c
n
}
是公差为
d
2
的等差数列，且
bn
≤b
n?1
(n?1，2，3，?)
，
∵
c
n
?a
n
?2a
n?1
?3a
n?2
， ①
② ∴
c
n?2
?a
n?2
?2a
n?3
?3a
n?4
，
由①
?
②，得
c
n
?c
n?2
?(a
n
?a
n?2
)?2(a
n?1
?a
n?3
)?3(a
n?2
?a
n?4
)?b<
br>n
?2b
n?1
?3b
n?2
．
∵
c
n
?c
n?2
??2d
2
，
∴
b
n
?2b
n?1
?3b
n?2
??2d2
， ③
④
⑤
从而有
b
n?1
?2b
n?2
?3b
n?3
??2d
2
，
④
?
③，得
(b
n?1
?b
n
)?2(b
n?2?b
n?1
)?3(b
n?3
?b
n?2
)?0
，
∵
b
n?1
?b
n
≥0，b
n?2
?b
n?1
≥0，b
n?3
?b
n?2
≥0
，
∴由⑤得
b
n?1
?b
n
?0(n?1，2，3，?)，
由此不妨设
b
n
?d
3
(n?1，2，3，?)
，
则
a
n
?a
n?2
?d
3
（常数）．
55
由此
c
n
?a
n?2a
n?1
?3a
n?2
?4a
n
?2a
n
?1
?3d
3
．
从而
c
n?1
?4a
n
?1
?2a
n?2
?3d
3
，两式相减得
c
n?1
?c
n
?2(a
n?1
?a
n
)?2d
3
．
因此
a
n?1
?a
n
?
11(c
n?1
?c
n
)?d
3
?d
2
?
d
3
（常数）（
n
=1，2，3，?），即数列
{a
n}
为
22
等差数列．
品：利用递推关系式是解决数列问题的重要方法，要熟练掌握等差数列的定义、通项公
式．
5.（2010.福建）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1，a
n?1
?2a
n
?1
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
41
?4
2
???4
n
k?1k?1
k?1
?(
a
n
?1)
k
n
，b
n
?k
n
，
证明
{b
n
}
是等差数列．
【解析】：（1）∵
a<
br>n?1
?2a
n
?1(n?N
?
)
，∴
a<
br>n?1
?1?2(a
n
?1)
．
∴
{a
n
?1}
是以
a
1
?1?2
为首项，2为公比的等比数列．
∴
a
n
?1?2
n
，即
a
n
?2
n
?1
；
（2）∵
4
1
?4
2
?4
n
k?1k?1
k?1
?(a
n
?1)
k，
(k
1
?k
2
?
?
?k
n
)?n
利用
{a
n
}
的通项公式，有
4?2
nk
n
．
∴
2[(b
1
?b
2
???bn
)?n]?nb
n
．①
构建递推关系
②
2[(
b
1
?b
2
???b
n
?b
n?1
)?(
n?1)]?(n?1)b
n?1
，
②－①，得
(n?1)b
n?1
?nb
n
?2?0
，③
从而
有
nb
n?2
?(n?1)b
n?1
?2?0
，④
③
?
④，得
nb
n?2
?2nb
n?1
?nb
n
?0
，即
b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?0
．
故
{b
n
}
是等差数列．
[方法：]由递推式求数列的通项，常常构造新的辅助数列为等差或等比数列，用迭代法、累
加
法或累乘法求其通项．
第三章 不等式
56
一、基础知识【理解去记】
***【必会】不等式的基本性质：
（1）a>b
?
a-b>0； （2）a>b,
b>c
?
a>c；
（3）a>b
?
a+c>b+c；
（4）a>b, c>0
?
ac>bc；
（5）a>b,
c<0
?
ac
?
ac>bd;
（7）a>b>0,
n∈N
+
?
a
n
>b
n
;
（8）a>b>0, n∈N
+
?
n
a?
n
b
;
（9）a>0, |x|
-a
?
x>a或x<-a;
（10）a,
b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
（11）a, b∈R，则(a-b)<
br>2
≥0
?
a
2
+b
2
≥2ab;
（12）x, y, z∈R
+
，则x+y≥2
xy
,
x+y+z
?3
3
xyz.
因为前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0,
c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；
再证性质（8），用反证法，若
n
a?
n
b
，由性质（7）得(
n
a)
n
?(
n
b)
n
，即a≤b
，与a>b
矛盾，所以假设不成立，所以
n
a?
n
b
；由绝
对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，
所以-(|a|+|b|
)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a
+b-b|≤|a+b|+|b|，
所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显
然成立；下证（12），因为x+y-2
xy?(x?y)
2
≥0，
所以x+
y≥
2xy
，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令
3
x?a,
3
y?b,
3
z?c
，
因为x
3
+b3
+c
3
-3abc =(a+b)
3
+c
3
-3a
2
b-3ab
2
-3abc
=(a+b)
3
+c
3
-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)
2
-(a+
b)c+c
2
]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)=
1
(a+b+c)[(a-b
)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
] ≥0，所以a3
+b
3
+c
3
≥3abc，即x+y+z≥
3
3
xyz
，等号当且仅当
2
x=y=z时成立。
二、基础例题【必会】
1．不等式证明的基本方法。
（1）比较法，在证明A>B或A
例1 设a, b,
c∈R
+
，试证：对任意实数
A
（A，B>0）与
B
x,
y, z, 有
?
a?babcb?cc?a
?
?
xy?yz?xz
?
x+y+z
?2
??
.
(a?b)(b?c)
(c?a)
?
cab
?
222
【证明】 左边-右边= x
2
+y
2
+z
2
?2
abbc
xy?2yz
(b?c)(c?a)(a?b)(c?a)
?2
2
cab
2
abac
xz?x?2xy?y
2
?y
2
?
(a?b)(b?c)b?c(b?c)(c?a)c?ac?a
bcb
2
a2
cac
yz?z?z?2xz?x
2
?
(a?b)
(c?a)a?ba?b(a?b)(b?c)b?c
222
?
ba
??cb
??
ac
?
??
?
??
?
?x?yy?zz?x
?
?0.
?
b?c
?????<
br>c?a
??
c?aa?b
??
a?bb?c
??
所以
左边≥右边，不等式成立。
例2 若a
(1-x
)|与|log
a
(1+x)|.
【解】
因为1-x
?
1，所以log
a
(1-x)
?
0,
|log
a
(1?x)|
1
=|log
(1-x)
(1+
x)|=-log
(1-x)
(1+x)=log
(1-x)
>log
(1-x)
(1-x)=1（因为0<1-x
2
<1，所以
1?x
|log
a
(1?x)|
57
1
>1-x>0, 0<1-x<1）.
1?x
所以|lo
g
a
(1+x)|>|log
a
(1-x)|.
（2）分析法，即
从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，
叙述方式为：要证??，只需证??
。
例3 已知a, b, c∈R
+
，求证：a+b+c-3
3
abc
≥a+b
?2ab.
【证明】 要证a+b+c
?33
c?a?b
≥a+b
?2ab.
只需证
c?2ab?3
3
abc
，
因为
c?2ab?c?ab?ab?3
3
c
?a?b?3
3
abc
，所以原不等式成立。
例4 已知实数a, b,
c满足0
211
，求证：
??.
2
c(1?c)a(1?b)b(1?a)
1
，由二次函数性质可证a(1-a)
≤b(1-b) ≤c(1-c)，
2
111
??
所以，
a(1?a)b(1?b)c(1?c)
1122
???
所以，
a
(1?a)b(1?b)b(1?b)c(1?c)
1111
???
所以只需证明，
a(1?a)b(1?b)a(1?b)b(1?a)
a?ba?b
?
也就是
证，
a(1?a)(1?b)b(1?a)(1?b)
只需证b(a-b)
≤a(a-b)，即(a-b)
2
≥0，显然成立。所以命题成立。
（3）数学归纳法。
例5
对任意正整数n(≥3)，求证：n
n+1
>(n+1)
n
.
【证明】
1）当n=3时，因为3
4
=81>64=4
3
，所以命题成立。
(k?1)
k?2
2）设n=k时有k>(k+1)，当n=k+1时，只需证(k+1)>(
k+2)，即>1. 因
(k?2)
k?1
k+1kk+2k+1
k
k?1
(k?1)
k?2
k
k?1
2k+2k+1
为，所以
只需证，即证(k+1)>[k(k+2)]，只需证
?1?
kk?1k
(k?1)(
k?2)(k?1)
(k+1)
2
>k(k+2)，即证k
2
+2k
+1>k
2
+2k. 显然成立。
所以由数学归纳法，命题成立。
（4）反证法。
例6 设实数a
0
, a
1
,?,a<
br>n
满足a
0
=a
n
=0，且a
0
-2a1
+a
2
≥0,
a
1
-2a
2
+a
3
≥0,?, a
n-2
-2a
n-1
+a
n
≥0，求
证a
k
≤0(k=
1, 2,?, n-1).
【证明】 假设a
k
(k=1, 2,?,n-1)
中至少有一个正数，不妨设a
r
是a
1
, a
2
,?,
a
n-1
中第一
个出现的正数，则a
1
≤0,
a
2
≤0,?, a
r-1
≤0, a
r
>0. 于是a<
br>r
-a
r-1
>0，依题设a
k+1
-a
k
≥a
k
-a
k-1
(k=1, 2, ?,
n-1)。
所以从k=r起有a
n
-a
k-1
≥a
n-1
-a
n-2
≥?≥a
r
-a
r-1
>0.
因为a
n
≥a
k-1
≥?≥a
r+1
≥a
r
>0与a
n
=0矛盾。故命题获证。
（5）分类讨论法。
x2
?y
2
y
2
?z
2
z
2
?
x
2
例7 已知x, y, z∈R，求证：
???0.
y?zz?xx?y
+
【证明】 不妨设x≥y, x≥z.
ⅰ）x≥y
≥z，则
111
??
，x
2
≥y
2
≥z
2
，由排序原理可得
x?yx?zy?z
58
x
2
y
2
z
2
y
2
z
2
x
2
，原不等式成立。
?????
y?zz?xx?yy?zz?xx?y<
br>111
??
ⅱ）x≥z≥y，则，x
2
≥z
2
≥y<
br>2
，由排序原理可得
x?zx?yy?z
x
2
y
2
z
2
y
2
z
2
x
2
，原不等式成
立。
?????
y?zz?xx?yy?zz?xx?y
（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C
1
,
C
1
≥C
2
,?,C
n-1
≥C
n
,
C
n
>B(n∈N
+
).
111
??
?
?
n
?n(n?2).
2
3
2?1
1111
?
11
?
11
??
1<
br>?1??
?
?
?
?
?
?
?
n
?
n
?
?
?
n
?
【证明】
1??
?
?
?
n
232
?
44
?
2?12
??
22
?
??
??????
例8 求证：
1?
2
n?1
?
1n?11n
?1???
，得证。
nn
22
22
例9 已知a, b,
c是△ABC的三条边长，m>0，求证：
abc
??.
a?mb?mc?m
ababa?bm
?????1?
【证明】
a?mb?ma?b?ma?b?ma?b?ma?b?m
mc
?1??
（因为a+
b>c），得证。
c?mc?m
（7）引入参变量法。
b
3
例10 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数，求f(x,
y)=
2
?
2
的最小值。
xy
+
a
3<
br>ylkl
(1?k)
2
,y?
【解】 设
?k
，则
x?
，f(x,y)=
x1?k1?k
l
2
?
3<
br>b
3
?
?
?
a?
k
2
?
?
?
??
??
??
11
3
1
33
333
1
3
1
32
?
a?b?ak?ak?b?
2
?b??b??ak
?
?
2
(a
3
+b
3
+3a
2
b+3ab
2
)=
2
k
??<
br>k
??
l
?
kl
???
?
????????
?
??
??
??
(a?b)
3
(a?b)
3
ab
.
，等号当且仅当
?
时成立。所以f(x,
y)
min
=
xy
l
2
l
2
例11
设x
1
≥x
2
≥x
3
≥x
4
≥2, x<
br>2
+x
3
+x
4
≥x
1
，求证：(x
1
+x
2
+x
3
+x
4
)
2
≤
4x
1
x
2
x
3
x
4
.
【证明】 设x
1
=k(x
2
+x
3
+x
4
)，依题设有
(1+k)
2
(x
2
+x
3+x
4
)
2
≤4kx
2
x
3
x
4
(x
2
+x
3
+x
4
)，即
1
≤k≤1, x
3
x
4
≥4，原不等式等价于
3
1
?
1
?
(1?k)
2
(x
2
+
x
3
+x
4
) ≤x
2
x
3
x
4
，因为f(k)=k+在
?
,1
?
上递减，
k
?
3
?
4k
11
(1?k)
2
所以(x
2<
br>+x
3
+x
4
)=
(k??2)
(x
2+x
3
+x
4
)
4k
4k
1
3??
2
3
≤
?3x
2
=4x
2
≤x
2
x
3
x
4
.
4
59
所以原不等式成立。
（8）局部不等式。
例12 已知x,
y, z∈R
+
，且x
2
+y
2
+z
2
=
1，求证：
【证明】 先证
xyz33
?.
??
222
2
1?x1?y1?z
x33
2
?x.
2
1?x
2
1
?
2
?
2
?
??
?
,
2
?
3
?
33
3
1
?2x<
br>2
(1?x
2
)
2
?
因为x(1-x
2)=
2
xx
2
x
2
33
2
所以
???x.
2
2
1?x
2
x(1?x
2
)
33
同理
y33
2
?y
，
2
2
1?y
z33
2
?z
，
2
2
1?z
xyz33
2
33
22
所以
???(x?
y?z)?.
22
1?x
2
1?y
2
1?z2
abc
??
例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：
≤2。
bc?1ca?1ab?1
a2a
?.
① 【证明】
先证
bc?1a?b?c
即a+b+c≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。
同理
b2bc2c
?,?.
ca?1a?b?cab?1a?b?
c
111
??
的最
a?bb?cc?a
55
，以下证明f(
a, b, c) ≥.
22
三个不等式相加即得原不等式成立。
（9）利用函数的思想。
例14 已知非负实数a, b,
c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=
小值。
【解】 当a, b,
c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=
不妨设a≥b≥c，则0≤c≤
2c
a?b1
3
?
2
?.
, f(a, b, c)=
2c?1c?1
a?b
3
(a?b)
2
因为1=(a+b)c+a
b≤+(a+b)c，
4
解关于a+b的不等式得a+b≥2(
c
2
?1
-c).
t1
?
,
g(t)在[
c
2
?1,??
）上单调递增。
2
c?1
t
3
又因为0≤c≤，所以3c
2
≤1.
所以c
2
+a≥4c
2
.
所以2
(c
2
?1?c)
≥
c
2
?1.
3
考虑函数g(t)=
60
所以f(a, b,
c)=
2ca?b1
??
c
2
?1c
2
?1
a?b
2c2(c
2
?1?c)1
??
≥
2<
br>
2
c?1c
2
?1
2(c?1?c)
2cc
2
?1?c
=
2
?
c?1c
2
?1<
br>?
1
?
c3c
2
?1
2
?c?1
?
=
2
?
?
2
?
?
2
?
2
?
c?1
?
c3c
2
?153(1?c
2
?1)c
≥
4?????
.
22222
下证
3(1?c
2
?1)?c?
0 ①
?3?c?3c
2
?1?
c
2
+6c+9≥9c
2
+9
?c
?
?
3
?
?c
?
≥0
?
4
?
3
33
?c?.
因为
c??
，所以①式成立。
4
34
55
所以f(a,
b, c) ≥，所以f(a, b, c)
min
=
.
22
2．几个常用的不等式——《选修4-5不等式选讲》
（1）【只需了解】柯西不等式：若a
i
∈R, b
i
∈R,
i=1, 2, ?, n，则
nnn
(
?
a)(
?
b)?
(
?
a
i
b
i
)
2
.
2
i
2
i
i?1i?1i?1
等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意
i=1, 2, , n, a
i
=λb
i
,
变式1：若a
i
∈R, b
i
∈R, i=1, 2, ?, n，
则
(
a
)?
?
i?1
b
i
n
2<
br>i
(
?
a
i
)
2
(
?
b<
br>i
)
2
i?1
i?1
n
n
.
等号成立条件为a
i
=λb
i
,(i=1, 2, ?, n)。
变式2：设a
i
, b
i
同号且不为0(i=1, 2, ?, n
)，则
a
i
?
?
b
i?1
i
n
(
?
a
i
)
2
n
?
ab
i
i?1
i?1
n
.
i
等号成立当且仅当b
1=b
2
=?=b
n
.
（2）【必会】平均值不等式：设a
1
, a
2
,?,a
n
∈R
+
，记H
n
=
n
111
????a
1
a
2
a
n
,
222
a?a??
?aa?a???a
12n12n
G
n
=
n
a
1<
br>a
2
?a
n
, A
n
=，则H
n
≤
G
n
≤A
n
≤Q
n
.
即
,Q
n
?
nn
调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。
其中等号成立的条件均为a
1
=a
2
=?=a
n
.
【证明】 由柯西不等式得A
n
≤Q
n
，再由G
n
≤A
n
可得H
n
≤G
n
，以下仅证G
n
≤A
n
.
1）当n=2时，显然成立；
2）设n=k时有G
k
≤A
k
，当n=k+1时，记
1?k
a
1
a
2
?
a
k
a
k?1
=G
k+1
.
61
因为a
1
+a
2
+?+a
k
+a
k+1
+(k-1)G
k+1
≥
k
k
a
1
a
2
?a
k
?k
k
ak?1
?G
k?1
≥
2k
2k
a
1
a
2
?a
k?1
G
k?1
?
2k
2k
G
k?1
?
2kG
k+1
,
所以a
1
+a
2
+?+a
k+1
≥(k+1)G
k+1
，即A
k+1
≥G
k+1
.
所以由数学归纳法，结论成立。
（3）排序不等式：
22
2
a
n
a
n
a
1
2
a
2
?1
例15 已知a
1
, a
2
,?,a
n
∈R，求证；
??
?
???
a
1
+a
2
+?+a
n
.
a
2
a
3
a
n
a
1
+
k?12k
k?1
22
2
a
n
a
a
1
2
a
2【证明】证法一：因为?，
?1
?a
n
?2a
n?1
,
n
?a
1
?a
1
?2a
1
,?
a
3
?2a
2
，
a
2
a
3
an
a
1
≥2a
n
.
22
2
a
n
a
n
a
1
2
a
2
?1
上述不
等式相加即得
≥a
1
+a
2
+?+a
n
.
??
?
??
a
2
a
3
a
n
a<
br>1
22
2
?
a
1
2
a
2
?
a
n
a
?1n
?
证法二：由柯西不等式
?
(a
1
+a
2
+?+a
n
)≥(a
1
+a
2
+?+a
n
)
2
，
??
?
?
?
?
aa
n
a
1
?
?
2
a
3
?
22
2
a
n
a
n
a
12
a
2
?1
因为a
1
+a
2
+?+a
n
>0，所以
≥a
1
+a
2
+?+a
n
.
??
?
??
a
2
a
3
a
n
a1
222
证法三： 设a
1
, a
2
,?,a
n
从小到大排列为
a
i
?a
i
???a
i
，则
a
i
?a
i
???a
i
，
12
n
12
n
111
，由排序原理可得
??
?
?<
br>a
i
a
i
a
i
n
n?11
22
2
a
n
a
n
a
1
2
a2
?1
a
i
?a
i
???a
i
=a<
br>1
+a
2
+?+a
n
≥
，得证。
???
??
n
12
a
2
a
3
a
n
a
1
注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。
三、趋近高考【必懂】
1.（成都市2010届高三第三次诊断理科）不等式
(A){x|－1≤x≤2}
(C){x|－1≤x＜2}
【答案】B
[
x?2
?0
的解集为（ ）
x?1
(B)
{x|－1＜x≤2}
(D){x|－1＜x＜2}
]
【解析】原不等式等价于<
br>?
?
(x?1)(x?2)?0
，
?
x?1?0
解得－1＜x≤2
2.（成都市2010理）某物流公司有6
辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少
运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的
运输量为30t，运输成本费用为0.9千元；
每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元
，则当每天运输成本费用最低时，所
需甲型卡车的数量是( )
(A)6 (B)5
(C)4 (D)3
y
【答案】C
z＝0.9x＋y
【解析】设需要甲型卡车x辆，乙型卡车y辆
4
A
3x＋4y＝28
62
x
0
6
?
30x?
40y?280
?
由题意
?
0?x?6
且x、y∈Z
?
0?y?4
?
运输成本目标函数z＝0.9x＋y
画出可行域(如图)可知，当目标函数经过A(4,4)时，z最小7.6千元
及需要甲型卡车和乙型卡车各4辆。
3.(绵阳2010年)把圆C：
x
2
?y
2
?
1
按向量a=(h，-1)平移后得圆C
1
，若圆C
1
在不等式x+y+1
2
3
3
（D）
?
≥0所确定的平面区域内，则h的最小值为（ A ）
（A）1 （B）-1 （C）
3
3
4．（雅安市2010
届高三第三次诊断性考试理科）已知函数
f(x)
的定义域为
[?3,??)
，部
分函数值如表所示，其导函数的图象如图所示，若正数
a
，
b
满
足
f(2a?b)?1
，则
的取值范围是( B )
b?2
a?2
A．
(,1)
2
5
B．
(,4)
2
5
C．
(1,4)
D．
(??,)?(4,??)
2
5
5.（2010四川省攀枝花市文）已知函数
f(x)?ax
2
?bx?1
?
a,b?R
?
.
(Ⅰ)若
f(?1)?0
且对任意实数
x
均有
f(x)?0
成立，求实数
a,b
的值；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，当
值范围.
【解析】）
?f(?1)?0
x?
?
?2,2
?
时
，
g(x)?f(x)?kx
是单调函数，求实数
k
的取
?a?b
?1?0即b?a?1
又对任意实数
x
均有
f(x)
?
0成立
2<
br>???b
2
?4a?0
恒成立，即
(a?1)?0
恒成立
?a?1,b?2
22
f(x)?x?2x?1?g(x)?x?(2?k)x?1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
?g(x)
在
x?
[－2，2]时是单调函数，
?[?2,2]?(??,
k?2k?2
]或[?2,2]?[,??)
22
63
?2?
k?2k?2
或??2
22
即实数
k
的取值范围为
(??,?2]?[6,??)
64
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