德强高中数学老师梁冰-高中数学激励策略课题结题报告
选考内容之三 坐标系与参数方程
一、平面直角坐标系
1.坐标法
坐标法是解析几何中最基本的研究方法．它是在坐标系的基础上，把几何问题转化
成代
数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法．
2.坐标系
坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等．
3.直角坐标系中的伸缩变换
极坐标化为直角坐标：x = ρcos
θ
，
y = ρsin θ．
三、简单曲线的极坐标方程
1.极坐标方程
在极坐标中，如果平面曲线C上任意一点的坐标中至少有一个能满足这个方程f
(ρ，
θ)=0，并且坐标适合方程f (ρ , θ)=0的点都是曲线C上，那么方程f (ρ ,
θ)=0叫做曲线C的
极坐标方程，曲线C称为方程f (ρ , θ)=0的曲线．
2.求曲线的极坐标方程的方法和步骤：
（1）建立适当的极坐标系，设M (ρ ,
θ)是一曲线上任意一点；
1
（2）由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系
式；
（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；
（4）证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
3.几种特殊直线与圆的极坐标方程
ρcos θ=a (a>0) ρ=r
ρ=2acos θ
θ＝α (ρ∈R)
1.二次曲线的参数方程
曲线
圆
椭圆
普通方程
(x－a)
2
+(y－b)
2
= r
2
x
2
y
2
??1
a
2
b
2
x
2
y
2
??1
a
2
b
2
参数方程
?
x?a?rcos
?
,
?
y?b?rsin<
br>?
.
?
?
x?acos
?
,
?
?
y?bsin
?
.
双曲线
抛物线
2.直线的参数方程
y
2
=2px
a
?
,
?
x?
cos
?
??
?
y?btan
?
.
?
x?2pt
2
,
?
y?2pt.
?
2
?
?
x?x
0
?tcos
?
,
(t为参数).
?
y?y?tan
?
?
0
?
直线过定点M
(x
0
,
y
0
)，倾斜角为α．t的几何意义是：直线l上以定点M为起点，任意
一点P (x
, y)为终点的有向线段
MP
的数量MP．
3.渐开线和摆线
（1）圆的渐开线的参数方程：
?
x?r(cos
?
?
?
sin
?
),
(φ为参数)．
?
?
y?r(s
in
?
?
?
cos
?
)
3