关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高中数学3(换元法)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 21:06
tags:高中数学三

教师考试 初中 高中数学-高中数学方差题目

2020年9月21日发(作者:吴佳尼)


第 7 讲 换元法(高中版)
(第课时)

神经网络
准确记忆!



?< br>?
非标准问题标准化
?
?
?
?
复杂问题简单化
?
?
降次
?
用途
?
?
?
?
化分 式为整式
?
?
化无理式为有理式
换元法
?
?
?< br>?
?
化超越式为代数式
?
?
?
整体代换
?< br>?
?
策略
?
均值代换
?
三角代换
?
?
?


重点难点
好好把握!



重点:1.;2.;3.。
难点:1.;2.;3.;。


考纲要求
注意紧扣!


1.;2.;3.。

命题预测
仅供参考!


1.;2.;3.。

考点热点
一定掌握!


换元法是数学中一个非常重要而且应用十 分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为
元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中, 用新的变元去代替原式的一个部分或改造
原来的式子。换元的关键是构造元和设元。
换元的实 质是转化,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使
非标准型问题标准化、 复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理
式、化超越式为代数式。换元后 要注意新变量的取值范围,它既不能缩小也不能扩大。
换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条 件等式证明、方程、不等式、函数、数列、
三角、解析几何等问题中有广泛的应用。
换元的常 用策略有:整体代换(有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换、复变量
代换)、三角代换、均 值代换等。
整体代换:在条件或者结论中,某个代数式反复出现,那么我们可以用一个字母来代替它,
xxx
当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4+2-2≥0,先变形为设2=t( t>0),
而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角代换:如果把代数式换成三角式更容易求解时,可以利用代数式中与三角知识的联系进
1 7


行换元。例如求函数y=
x

1?x
的值域时, 易发现x∈[0,1],设x=sin
2
α ,α∈[0,
?
],
2
问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又
有去根号的需要。又如变量x、y适合条件x
2
+y
2
=r
2
(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、
y=rsinθ化为三角问题。
均值代换:对两个类似的式子,可令其算术平均值为t进行换元;如果遇到形如
x?y?S

x
2
?y
2
?S
这样的
对称结构,
可设 x=
SS
SS
+t ,y=-t 或
x
2
??t

y
2
??t
等等。
22
22
1.换元法在方程中的应用
我们知道,解分式方程时一般用“去分 母”的方法,把分式方程化成整式方程来解;解无理
方程一般用“两边乘方”的方法,将无理方程化成有 理方程来解。然而利用这些常规的变形方法
解题,有时会产生高次方程,解起来相当繁琐,甚至有时难于 解得结果。对于某些方程,我们可
以用新的变量来替换原有的变量,把原方程化成一个易解的方程。
例.(高二)如果关于x的方程
x?2xcos
?
?sin
?
?0
有相异的四实根,求
?
的范围。
分析:此题已知条件的形式比较陌生,我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。

x?t
,则原方程化为:
2
422
t?2tcos
??sin
?
?0

使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。
?
??4cos
2
?
?4sin
2
?
?0(2)
?
?cos
?
?0(3)
由此得
?

2
?
sin
?
?0(4)
?
?
cos2
?
?0
?

?
cos
?
?0

?
sin
?
? 0
?
3
?
5
?
解之得
2k
?
?

?
?(2k?1)
?
?< br>?
?2k
?
?
44

2.换元法在不等式中的应用
22
(k?J)

4(a?1)
(a?1)
2
2a
例.(高二)设对所于有实数x,不等式xlog
2
+2x log
2
+log
2
>0
a
4a
2
a?1
2
恒成 立,求a的取值范围。
4(a?1)
(a?1)
2
2a
分析:不 等式中,log
2
、 log
2
、log
2
三项有何联系?对它们进
4a
2
a
a?1
行变形后再实施换元法。
2a
=t ,则
a?1
4(a?1)
8(a?1)a?12alog
2
=log
2
=3+log
2
=3-log2
=3-t ,
a
2a2aa?1
(a?1)
2
a? 1
log
2
=2log=-2t ,
2
4a
2
2a
解: 设 log
2
代入后原不等式简化为 (3-t)x+2tx-2t>0 ,它对一切实数x恒成立,
2


?
3?t?0
?
t?3

?
,解之得
?

2
t?0或t?6
?? 4t?8t(3?t)?0
?
?
2a2a
∴ t<0 即 log
2
<0 ,0<<1 ,解之得 0a?1a?1
点评 :本题使用换元法解不等式。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。

3.换元法在函数中的应用
例.(高一)已知f(x+1)为奇函数,f(x)=x·(x+ 1),(x<1)求x>1时函数f(x)的解析式。
解:令x=t+1(t<0),∵ f(x)=x(x+1) (x<1) ,∴ f(t+1)=(t+1)(t+2) ,
又f(x+1)为奇函数,故f(t+1)也为奇函数,
∴ -f(t+1)=f(-t+1),f(-t+1)=-(-t-1)(-t-2),
令T=-t,(T>0),则f(T+1)=-(T-1)(T-2),

f(T)??(T?2)(T?3)

∴ f(x)= -(x-2)(x-3)=-x2+5x-6,(x>1) 。
点评:本题使用换元法求函数解析式。

4.换元法在数列中的应用
例.(高三)已知数列{a
n
}中, a
1
=-1,a
n?1
·a
n
=a
n?1
-a
n
,求数列通项a
n

解:已知式变形为
1
a
n?1

11
=-1 ,设 b
n
= ,则
{b
n
}
为等差数列,
a
n
a
n
∴ b
1
=-1 ,b
n
=-1+(n-1)(-1)=-n ,
∴ a
n
=-
1

n

5.换元法在复数中的应用
对于涉及模及多变元的复数问题,基于运算方面的考虑,可以利用换元法简解。

6.换元法在三角中的应用
例.(高一)设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx )-sinx·cosx-2a的最大值和最小值。
解: 设sinx+cosx=t,则t∈[-
2
,
2
],
2
t?1
2
由 (sinx+cosx)=1+2sinx·cosx 得 sinx·cosx= ,
2
11
∴ f(x)=g(t)=-(t-2a)
2
+ (a>0) t∈[-
2
,
2
],
22
1
2
当 t=-
2
时, g(t)取最小值 -2a-2
2
a- 。
2
y
1
2
当 2a≥
2
时,t=
2
,f(x)取最大值 -2a+2
2
a- ;
2
1
?2

当 0<2a≤
2
时,t=2a ,f(x)取最大值 。
2
2
2

x
3 7


?
12
(0?a?)
?
1
?
22< br>∴ f(x)的最小值为-2a
2
-2
2
a-,最大值为
?

2
12
?
2
?2a?22a?(a?)
?
22?
点评:换元设 sinx+cosx=t 后,抓住sinx+cosx与sinx·cosx的 内在联系,将三角函
数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一 定要注意新
的参数的范围(t∈[-
2
,
2
])与sinx+cos x对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含
参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间 的位置关系而确定参数分两种情况进行
讨论。
一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和
最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx, sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在
闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例.(高一)△ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B,
cos
2
1
1
+=-,求
cosB
cosA
cosC
A?C
的值。
2
?
A?C?120°
分析: 由已知 A+C=2B 和“三角形内角和等于180°”,可得
?

B=60°
?
?
A=60°?α
A?C
对 A+C=120° 进行均值换元,设
?
,再代入可求cosα即cos。
2
C=60°-α
?
?
A?C?120°
解法一:∵ A+C=2B 且 A+B+C=180°,∴
?
,
B=60°
?
?
A=60°?α

?
,代入已知等式得:
C=60°-α
?
11
1
1
+=+
cosA
cosC
cos(60??
?
)cos(60??
?
)11
=+
1313
cos
?
?sin
?
co s
?
?sin
?
2222
cos
?
cos
?
===-2
2
,
133
cos
2
?
? sin
2
?
cos
2
?
?
444
22A?C
解之得 cosα= , 即 cos=。
22
2
解法二:由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。
2
11
11
+=-=-2
2
,设 =-
2
+m ,=-
2
-m ,
cosB
cosA
cosC
cosA
cosC
11
∴ cosA= ,cosC= ,
?2?m?2?m


两式分别相加、相减得:
22
A?CA?CA?C
cos=cos=
2

m?2
222
A?CA?CA?C2m
cosA-cosC=-2sinsin=-
3
sin=
2

222
m?2
22
2m
A?CA?C
即 sin=- ,cos=-,
m
2
?2
22
3(m
2
?2)< br>2
A?C
2
A?C
代入 sin+cos=1 整理得 3m
4
-16m-12=0 ,解之得 m
2
=6 ,
22
22
2
A?CA?C
代入cos=
2
得 cos= 。
2
m?2
22
1
1
点评: 本题两种解法由 “A+C=120°”、“+=-2
2
”分别进行均值换元,
cosA
cos C
cosA+cosC=2cos
随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到 均值换元外,还要求对三角公式的
运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:
由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。
2
1
1
+= -=-2
2
,即cosA+cosC=-2
2
cosAcosC ,
cosB
cosA
cosC
A?CA?C
和积互化得 2coscos=-
2
[cos(A+C)+cos(A-C) ,
22
2 2
A?CA?C
即cos=-
2
cos(A-C)=-
2
( 2cos
2
-1) ,
22
22
A?CA?C
整理得 4
2
cos
2
+2cos-3
2
=0 ,
22
2
A?C
解之得 cos= 。
2
2


7.换元法在解析几何中的应用
(x?1)
2
(y?1)
2
例.(高三)实数x、y满足+=1,若x+y-k>0恒成立,求k的范围。
9
16
(x?1)
2
(y?1)
2
22
分析:由已知条件 +=1 ,可以发现它与a+b=1有相似之处,于是
9
16
实施三角代换。
x?1
(x?1)
2
(y?1)
2
y?1
解:由 +=1 ,设 =cosθ ,=sinθ ,
9
16
3
4
?
x?1?3cosθ

?

y??1?4sinθ
?
代入不等式 x+y-k>0 得 3cosθ+4sinθ-k>0 ,即k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ) ,
所以k<-5时不等式恒成立。
点评:本题进行三角代换,将解析几何问题化为了含参三角不 等式恒成立的问题,再运用“分
离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一般地,在 遇到与圆、椭圆、双曲
5 7


线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭 圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角代换”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式ax+by+c>0 < br>(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等
式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上x+y
y
-k>0的区域。 即当直线x+y-k=0在与椭圆下部相切的切线
之下时。当直线与椭圆相切时,方程组
?16(x?1)
2
?9(y?1)
2
?144
有相等的一组实数 解,消元后由
?
x?y?k?0
?
△=0可求得k=-3,所以k<-3时原 不等式恒成立。



能力测试
认真完成!




参考答案
仔细核对!



























方程
不等式
函数
数列
复数
三角
解析几何
xx?1
x
k
x+y-k>0 平面区域
1 2 3 4 5





√ √

6







7







8








1.(高二)解不等式 log
2
(2-1) ·log
2
(2
x
-2) 。
解:设 log
2
(2-1)=y ,则 y(y+1)<2 ,解之得 -22
2.(高一)设f(x
2
+1)=log
a
(4- x
4
) (a>1),求f(x)的值域。
22
5
,log
2
3)。
4
解:设x+1=t (t≥1),则f(t)=log
a
[-(t-1)+4],所以值域为(-∞,log
a
4]。
点评:本题使用换元法求函数值域。
3.(高一)
求函数y=sin2 x- 3sinx+32 - sinx 的值域。
解:原函数变形得 y=(2-sinx)2 - (2 - sinx)+12 - sinx =2-sinx-12 - sinx –1 ,
令 t=2-sinx ,t∈[1,3] ,即y=t+1t –1 ,
易知当 t∈[0,1] 时为减函数;t∈[1,+∞]时为增函数,
故当 t=1 ,即sinx=1 ,x=2kπ+π2 k∈z 时,
y
min
?1

当 t=3 时,即 sinx=-1 ,x=2kπ- π2 k∈z 时,
y
max
?73

故y∈[1, 73 ]。
点评:本题使用换元法求三角函数值域。
sinθcosθ
10
cos
2
θ
sin
2
θ
4*.(高一.超纲)已知=,且+= (②式),
y
x
x
2
3( x
2
?y
2
)
y
2

x
的值。
y


解法一: 设
k
2
(x
2
+y
2
)=1 ,
sinθ
cosθ
==k ,则sinθ=kx ,cosθ=ky ,且sin2
θ+cos
2
θ=
y
x
y
2
x2
10
10k
2
10
k
2
x
2
k
2
y
2
代入②式得: +== ,即
2

2
= ,
3
x
x
2
3(x
2
?y
2
)
3
y
y
2
1
10
x
2
1

2
=t ,则 t+= , 解之得 t=3 或 t= ,
t
3
y
3

xx
3
=±
3
或 =± 。
yy
3
x
sinθ
cos
2
θ
解法二: 由 ==tgθ ,将等式②两边同时除以,
y
cosθ
x
2
10
10
2
2
4
再表示成含tgθ的式子:1+tgθ=
(1? tg
?
)?
=tgθ ,
1
3
3(1?
2
)
tg
?
设 tgθ=t ,则 3t—10t+3=0 ,
22
3
xx
1
∴ t=3 或 t= , 解之得 =±
3
或 =± 。
yy
3
3
si nθ
cosθ
=而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第
y
xx
sinθ
二种解法将已知式变形为=,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟 练。
y
cosθ
点评:第一种解法由
在解高次方程时,都使用了换元法使方程 次数降低。

7 7

高中数学导数解题思路-陕西高中数学教材a版b版区别


高中数学外接圆题型解题技巧-高中数学学竞赛


高中数学最大值最小值讲解视频-高中数学必修一函数题试卷


高中数学2018高考全国三卷大题-高中数学学反函数了吗


高中数学教研组长集体备课主持稿-广州地区高中数学用的哪个版本


高中数学三年级下册-浙江高中数学必修5作业本答案


高中数学重点掌握什么-高中数学国培感悟和反思


江西永新高中数学辅导班-高中数学导数压轴题贴吧



本文更新与2020-09-21 21:06,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/407455.html

高中数学3(换元法)的相关文章