高中数学必修三全册教案

高中新课程数学必修③
1.1.1 算法的概念
一、三维目标：1.知识与技能：
（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3 ）掌握正确的
算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数 序列
中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。
2.过程与方法：
通 过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组
的步骤，这些步骤就 是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个
问题也可能有多个算法，能模仿求 解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的
最大值的算法。
3.情感态度与价值观 ：
通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认
识到计 算机是人类征服自然的有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点： 算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。< br>三、教学设想：
（一）问题提出：
一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每 次只能渡1个大人或两个小孩，
他们三人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个 渡河方案。
第一步，两个小孩同船过河去；
第二步，一个小孩划船回来；
第三步，一个 大人划船过河去；
第四步，对岸的小孩划船回来；
第五步，两个小孩同船渡过河去。
（ 二）算法的概念
思考1：在初中，对于解二元一次方程组你学过哪些方法？（加减消元法和代入消元法）
思考2：用加减消元法解二元一次方程组
?
?
x?2y??1
的具体 步骤是什么？
?
2x?y?1
?
?
a
1
x?b1
y?c
1
思考3:参照上述思路，一般地，解方程组
?
??
a
2
x?b
2
y?c
2
?
1
?
?
ab?ab?0
?
的基
?
2
?
11 22
本步骤是什么？
小结：根据上述分析，用加减消元法解二元一次方程组，可以分为五个步骤 进行，这五
个步骤就构成了解二元一次方程组的一个“算法”。我们再根据这一算法编制计算机程序，< br>就可以让计算机来解二元一次方程组。
在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步 骤称为算法。
（三）算法的步骤设计
思考1：如果让计算机判断7是否为质数，如何设计算法步 骤？
第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7．
第二步，用3除7，得到余数1，所 以3不能整除7．
第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7．
第四步，用5除7，得 到余数2，所以5不能整除7．
第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7．
因此，7是质数．
思考2：如果让计算机判断35是否为质数，如何设计算法步骤？
第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35．

第二步， 用3除35，得到余数2，所以3不能整除35．
第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除3 5．
第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35．
因此，35不是质数． 思考3：整数89是否为质数？如果让计算机判断89是否为质数，按照上述算法需要设计多
少个步 骤？
第一步，用2除89，得到余数1，所以2不能整除89．
第二步，用3除89，得到余数2，所以3不能整除89．
第三步，用4除89，得到余数1，所以4不能整除89．
…… …… …… ……
第八十七步，用88除89，得到余数1，所以88不能整除89．
因此，89是质数．
思考4：用2～88逐一去除89求余数，需要87个步骤，这些步骤基 本是重复操作，我们可
以按下面的思路改进这个算法，减少算法的步骤．
算法分析：
（1）用i表示2～88中的任意一个整数，并从2开始取数；
（2）用i除89，得到余数r. 若r=0，则89不是质数；若r≠0，将i用i+1替代，再
执行同样的操作；
（3）这个操作一直进行到i取88为止．
（四）理论迁移
2
例 用二分法设计一个求方程x–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所 求近似根与准确解的差的绝对值不超
过0.005，则不难设计出以下步骤：
2
第一 步：令
f
(x)=
x
–2．因为f(1)<0，
f
(2)> 0，所以设
x
=1，
x
=2．
12
第二步：令
m
=(
x
+
x
)2，判断
f
(
m
) 是否为0，若则，则
m
为所求；若否，则继续判断
12
f
(
x
1
)·
f
(
m
)大于0还是小于0．
第三步： 若
f
(
x
)·
f
(
m
)>0，则令
x
=
m
；否则，令
x
=
m
．
112< br>第四步：判断|
x
–
x
|<0.005是否成立？若是，则
x
、
x
之间的任意取值均为满足条
1212
件的近似根；若否，则返回 第二步．
小结：算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，问题答案可以
由计算机解决．设计一个解决某类问题的算法的核心内容是设计算法的步骤，它没有一个固
定的模式， 但有几个基本要求。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4) 不惟一性；(5)普
遍性
（五）基础知识应用题
思考1:有人对哥德巴赫猜想“任 何大于4的偶数都能写成两个质数之和”设计了如下操作
步骤：
第一步，检验6=3+3，
第二步，检验8=3+5，
第三步，检验10=5+5，
……
利用计算机无穷地进行下去！
请问：这是一个算法吗？
思考2:一个人带三只狼和 三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物。
没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚 羊的数量，狼就会吃掉羚羊。设计过河的算法；
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河 S2 人自己返回
S3 人带一只羚羊过河 S4 人带两只狼返回
S5 人带两只羚羊过河 S6 人自己返回

S7 人带两只狼过河 S8 人自己返回带一只狼过河
五、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决 问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不
开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。


1.1.1 算法的概念
教学要求：了解算法的含义，体会算法的思想 ；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法
应满足的要求；会写出解线性方程（组）的算法、判断一个 数为质数的算法、用二分法
求方程近似根的算法.
教学重点：解二元一次方程组等几个典型的的 算法设计.
教学难点：算法的含义、把自然语言转化为算法语言.
教学过程：
一、复习 准备：
1. 提问：我们古代的计算工具？近代计算手段？（算筹与算盘→计算器与计算机，见章头
图）
2. 提问：①小学四则运算的规则？（先乘除，后加减） ②初中解二元一次方程组的方法？
（消元法） ③高中二分法求方程近似解的步骤？ （给定精度ε，二分法求方程根近似值步
骤如下：
A．确 定区间
[a,b]
，验证
f(a)f(b)?0
，给定精度ε；B. 求区间
(a,b)
的中点
x
1
；
C. 计算
f(x
1
)
： 若
f(x
1
)?0
，则
x
1
就是函数的零点； 若
f(a)f(x
1
)?0
，则令
b?x
1
（此时零点
x
0
?(a,x
1
)
）； 若
f(x< br>1
)f(b)?0
，则令
a?x
1
（此时零点
x0
?(x
1
,b)
）；
D. 判断是否达到精度ε；即若
|a?b|?
?
，则得到零点零点值
a
（或
b
）；否则重 复步骤
2~4．
二、讲授新课：
1. 教学算法的含义：
?
x?2y?2(1)
① 出示例：写出解二元一次方程组
?
的具体步骤.
2x?y?4(2)
?
先具体解方程组，学生说解答，教师写解法 → 针对解答过程分析具体步骤，构成其算法
第一步：②－①×2，得5
y
=0 ③； 第二步：解③得
y
=0； 第三步：将
y
=0代入①，得
x
=2.
② 理解算法： 12世纪时，指用阿拉伯数字进行算术运算的过程. 现代意义上的算法是可
以用计算机来解决的某一类 问题的程序或步骤，程序和步骤必须是明确和有效的，且能在有
限步完成. 广义的算法是指做某一件事的步骤或程序.
算法特点：确定性；有限性；顺序性；正确性；普遍性.
举例生活中的算法：菜谱是做菜肴的算法；洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法；歌
谱 是一首歌曲的算法；渡河问题.
?
a
1
x?b
1
y?c< br>1
(1)
③ 练习：写出解方程组
?
?
a
1
b
2
?a
2
b
1
?0
?
的算法.
ax?by?c(2)
22
?
2
2. 教学几个典型的算法：
① 出示例1：任意给定一个大于1的整数
n
，试设计一个程序或步骤对
n< br>是否为质数做出
判断.
提问：什么叫质数？如何判断一个数是否质数？ → 写出算法.
分析：此算法是用自然语言的形式描述的. 设计算法要求：写出的算法必须能解决一类
问题，并且能够重复使用. 要使算法尽量简单、步骤尽量少. 要保证算法正确，且计算机能
够执行.
② 出示例2：用二分法设计一个求方程
x
2
?3?0
的近似根的算法.
提问：二分法的思想及步骤？如何求方程近似解 →写出算法.

③ 练习：举例更多的算法例子； → 对比一般解决问题的过程，讨论算法的主要特征.
3. 小结：算法含义与特征；两类算法问题（数值型、非数值型）；算法的自然语言表示.
2
三、巩固练习：1. 写出下列算法：解方程
x
－2x－3＝0；求1×3×5×7×9×11的值
2. 有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水
瓶中，要求将其互 换，请你设计算法解决这一问题.
习题讲解
1. 写出如下程序框图所对应的函数解析式。
开始
输入x

是

y=x+2
y=1-x

输出y


结束

2．考察如下程序框图，当输入
a
、
b
、
c
分别为 3、7、5时，输出
x
=___.

开始

输入a，b，c

否

a>b?
是

否
否
b>c?
a>c?

是
是

x=c
x=bx=a


输出x

结束

3.如果执行下面的程序框图，那么输出的S=( )
Ａ．2450
开始
Ｂ. 2500
k=1
Ｃ．2550
Ｄ．2652 S=0
x>1？
的值的程序框图吗？
否
x=c
教学要求：掌握程 序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑
是
结构. 掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图. 通过模仿、操作、探索，经历通
输出S
S =S+2k
过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图.
k=k+1< br>.教学重点：程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构
结束
教学难点：综 合运用框图知识正确地画出程序框图
教学过程：
一、复习准备：
1. 写出算法：给定一个正整数
n
，判定
n
是否偶数.
2. 用二分法设 计一个求方程
x
3
?2?0
的近似根的算法.
二、讲授新课：
1.1.2 程序框图（一）
k?50?
否

1. 教学程序框图的认识：
① 讨论：如何形象直观的表示算法？ →图形方法.
教师给出一个流程图（上面1题），学生说说理解的算法步骤.
② 定义程序框图：程序框图又 称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、
直观地表示算法的图形.
③基本的 程序框和它们各自表示的功能：
程序框 名称 功能
终端框

表示一个算法的起始和结束
（起止框）

输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息



处理（执行）框 赋值、计算
判断框
流程线
判断一个条件是否成立
连接程序框
④ 阅读教材P5的程序框图. → 讨论：输入35后，框图的运行流程，讨论：最大的I值.
2. 教学 算法的基本逻辑结构：
讨论：P5的程序框图，感觉上可以如何大致分块？流程再现出一些什么结构特征 ？
→ 教师指出：顺序结构、条件结构、循环结构.
② 试用一般的框图表示三种逻辑结构. （见下图）
①

③ 出示例3：已知一个三角形的三边分别为4,5,6，利用海伦公 式设计一个算法，求出它的
面积，并画出算法的程序框图. （学生用自然语言表示算法→师生共写程序框图→讨论：
结构特征）
④ 出示例4：任意给定3 个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三
角形是否存在.画出这个算法的程序框图 . (学生分析算法→写出程序框图→试验结果→讨
论结构)
⑤ 出示例5：设计一个计算1＋2＋3＋…＋1000的值的算法，并画出程序框图.
(学生分析算法→写出程序框图→给出另一种循环结构的框图→对比两种循环结构)
3. 小结：程序框 图的基本知识；三种基本逻辑结构；画程序框图要注意：流程线的前头；
判断框后边的流程线应根据情况 标注“是”或“否”；循环结构中要设计合理的计数或累加
变量等.
三、巩固练习： 1.练习：把复习准备题②的算法写成框图. 2. 作业：P12 A组 1、2题.
1.1.2 程序框图（二）
教学要求：更进一步理解算法，掌握算法的三个基本逻辑结构. 掌握画程序框图的基本 规则，
能正确画出程序框图.学会灵活、正确地画程序框图.
教学重点：灵活、正确地画程序框 图.
教学难点：运用程序框图解决实际问题.
教学过程：
一、复习准备：
1. 说出下列程序框的名称和所实现功能.


2. 算法有哪三种逻辑结构？并写出相应框图
顺序结构 条件结构 循环结构

程序
框图

按照语句的先后顺序，从
上而下依次执行这些语
结构 句. 不具备控制流程的
说明 作用. 是任何一个算法
都离不开的基本结构


根据某种条件是否满足
来选择程序的走向. 当
条件满足时，运行“是”
的分支，不满足时，运行
“否”的分支.

从某处开始，按照一
定的条件，反复执行
某一处理步骤的情
况. 用来处理一些
反复进行操作的问
题
二、讲授新课：
1. 教学程序框图
① 出示例1：任意给定3个正实数，判断其是否构成三角形，若构成三角形，则根据海伦
公式计算其面积. 画出解答此问题算法的程序框图.
（学生试写 → 共同订正 → 对比教材P7 例3、4 → 试验结果）
② 设计一个计算2＋4＋6＋…＋100的值的算法，并画出程序框图.
（学生试写 →共同订正 → 对比教材P9 例5 → 另一种循环结构）
③ 循环语句的两种类型：当型和直到型.
当型循环语句先对条件判断，根据结果决定是否执行循环体；
直到型循环语句先执行一次循环体，再对一些条件进行判断，决定是否
继续执行循环体. 两种循环语句的语句结构及框图如右.
说明：“循环体”是由语句组成的程序段，能够完成一项工作. 注意两
种循环语句的区别及循环内部改变循环的条件.
④ 练习：用两种循环结构，写出求100所有正约数的算法程序框图.
2. 教学“鸡兔同笼”趣题：
① “鸡兔同笼”，我国古代著名数学趣题之一，大约在1500年以前，《孙子算经》中记载
了这个有趣的问题，书中描述为：今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各
几何？
② 学生分析其数学解法. （“站立法”，命令所有的兔子都站起来；或用二元一次方程组解
答.）
③ 欣赏古代解法：“砍足法”， 假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则 “独脚鸡”， “双
脚兔”. 则脚的总数47只；与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）.鸡
35－12＝ 23（只）.
④ 试用算法的程序框图解答此经典问题. （算法：鸡的头数为
x
， 则兔的头数为35－
x
，结
合循环语句与条件语句，判断鸡兔脚数2
x
＋4（35－
x
）是否等于94.）
三、巩固练习：1. 练习：100个和尚吃 100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一
个，求大、小和尚各多少个？分析其算法，写出程序 框图. 2. 作业：教材P12 A组1
题.
1.1.4 程序框图的画法（）
【教学目标】：
掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个 基本逻辑结
构
掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
通过模仿、操作、探 索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、
正确地画程序框图。
【教学重点】 经过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达求解问题的过程,重点是
程序框图的基本概念、基本 图形符号和3种基本逻辑结构
【教学难点】 难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
（）
（）

【学法与教学用具】：
学法：
要弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，图形 符号间的联结方式。
图形符号都有各自的使用环境和作用
在我们描述算法或画程序框图时，必须 遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂
的问题，我们在设计它们的算法时，只需用顺序结构、条 件结构和循环结构这三种基本
逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。【教学过程】
知识探究（一）：多重条件结构的程序框图
思考1:解关于x的方程ax+b =0的算法步骤如何设计？
第一步，输入实数a，b.
第二步，判断a是否为0.若是，执行第 三步；否则，计算 ，并输出x，结束算法.
第三步，判断b是否为0.若是，则输出“方程 的解为任意实数”；否则，输出“方程
无实数解”.
思考2:该算法的程序框图如何表示？
、
、
开始










输入a，b
a=0？
否
x=-
b< br>a
是
b=0？
否
是
输出“方程的解为
任意实数”输出“方程无实
数根”
输出x
结束
ì
?
x+2,x>1
?
?
思考3：你能画出求分段函数
y=
?
í
3x- 1,0＃x
?
?
1-x,x<0
?
?
?

知识探究（二）：混合逻辑结构的程序框图
1
的值的程序框图吗？
思考1：用“二分法”求方程
x?2?0(x?0)
的近似解的算法如何设计？
2
第一步，令f(x)=x-2，给定精确度d.
第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)·f(b)<0.
第三步，取区间中点 .
第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m ，b].
将新得到的含零点的区间仍记为[a，b].
第五步，判断[a，b]的长度是否 小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；
否则，返回第三步.
思考2:该算法中哪几个步骤可以用顺序结构来表示？这个顺序结构的程序框图如何？
2

思考3:该算法中第四步是什么逻辑结构？这个步骤用程序框图如何表示？
思考4:该算法中哪几个步骤构成循环结构？这个循环结构用程序框图如何表示？
思考5:根据上述分析，你能画出表示整个算法的程序框图吗？
知识探究（三）：程序框图的阅读与理解
考察下列程序框图：

开始

n=1


S=0


n=n+1


S=S-n×nS=S+n×n

是
是否

n≤100？
n是偶数?

否

输出S


结束

思考1:怎样理解该程序框图中包含的逻辑结构？
思考2:该程序框图中的循环结构属于那种类型？
思考3:该程序框图反映的实际问题是什么？
理论迁移
例 画出求三个不同实数中的最大值的程序框图.
小结
设计一个算法的程序框图的基本思路：
第一步，用自然语言表述算法步骤.
第二步，确定每个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示.
第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上两个终端框.

1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
教学要求：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构. 让学生充分地感知、体验应用
计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿. 通过实例使学生理解 3种基本的算法语
句（输入语句、输出语句和赋值语句）的表示方法、结构和用法，能用这三种基本的算 法语
句表示算法，进一步体会算法的基本思想.
教学重点：会用输入语句、输出语句、赋值语 句.
教学难点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用.
教学过程：

一、新课导入：
1. 提问：学习了哪些算法的表示形式？（自然语言或程序框图描述 ）
算法中的三种基本的逻辑结构？（顺序结构、条件结构和循环结构）
2. 导入：我们用自然语言或程序框图描述的算法，计算机是无法“看得懂，听得见”的. 因
此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言翻译成计算机程序. 程序设计语言有很
多种. 如BASIC，Foxbase，C语言，C++，J++，VB，VC,JB等.
各种程序设计 语言中都包含下列基本的算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句条件语
句和循环语句.今天，我们一 起用类BASIC语言学习输入语句、
输出语句、赋值语句. 基本上对应于算法中的顺序结构.
二、讲授新课：
1. 教学三种语句的格式及功能：
INPUT “Maths=”；a
INPUT “Chinese=”；b
INPUT “English=”；c
d=（a＋b＋c）3
PRINT “The average=”；d
END

① 出示例1：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.
（分析算法→框图表示→ 教师给出程序，学生试说说对各语句的理解.）
② 对照例1的程序，学习三种语句的格式与功能.
语句、格式、功能
输入语句INPUT
说明
程序运行到INPUT语句时会暂停，屏幕上出现一个问< br>号，等待你从键盘输入一些数据，输入后按回车，程序
格式：INPUT “提示内容”；变量
功能：从键盘输入值给变量.
输出语句PRINT
把这些数据依次赋值给变量表中的变量，然后继续往下
执行. 格式中有“；”与“，”分隔的区别
表达式可以是常量、变量、计算公式或系统信息. 一个
语句可以输出多个表达式，之间用“，”或“；”分隔. 如
果表达式是引号引起来的字符 串，则原样输出.如果
PRINT语句后没有任何内容，则表示输出一个空行.
格式：PRINT “提示内容”；表达式
功能：在屏幕上输出常量、变量或表达式
的值，可以输出数值计算的结果.

赋值语句LET
格式：LET 变量=表达式
功能：计算表达式的值，将此值赋给“=”
左边的变量.
2. 教学例题：
“LET”可以省略，“=”的右侧必须是表达式，左侧必
须是变量. 一个赋值语句只能给一个变量赋值，但在一
个语句行中可以写出多个赋值语句，中间是“：”分隔.
赋值号“=”与数学中的等号不完全一样，常重复赋值
① 出示例2：用描点法作函数y＝< br>x
＋3
x
－24
x
＋30的图象时，需要求出自变量和函数的 一
组对应值. 编写程序，分别计算当
x
＝－5，－4，－3，－2，－1，0，1， 2，3，4，5时的
函数值
② 出示例3：给一个变量重复赋值. （程序见P16）
③ 出示例4：交换两个变量
A
和
B
的值，并输出交换前后的值.
（教法：先分析算法→画出框图→编写程序→分析各语句→变式→小结：先写算法，再编程）
3. 小结：输入、输出和赋值语句的格式；赋值“=”及表达式；编写简单程序解决数学问题.
三、课后作业：习案5

32

1.2.2条件语句
一、 三维目标：
1、知识与技能
（1）正确理解条件语句的概念，掌握其结构。
（2）会应 用条件语句编写程序。
2、过程与方法
经历对现实生活情境的探究，认识到应用计算机解决数学 问题方便简捷，促进发
展学生逻辑思维能力
3、情感态度与价值观
了解条件语句在程序 中起判断转折作用，在解决实际问题中起决定作用。通过
本小节内容的学习，有益于我们养成严谨的数学 思维以及正确处理问题的能力。
二、重点与难点
四、教学设计
（一）练习
重点 ：条件语句的步骤、结构及功能。难点：会编写程序中的条件语句。

1. 将两个数
a?8,b?17
交换,使
a?17,b?8
,下面语句正确一组是 ( B )
A. B. C. D.
c=b a=c
a=b b=a
b=a c=b
b=a a=b
a=c b=a
2. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ B ）
a?1
b?3
a?a?b
b?a?b
PRINT
a
，
b
A.
1,3
B.
4,1
C.
0,0
D.
6,0
3. 下列给出的赋值语句中正确的是（ B ）
A.
4?M
B.
M??M
C.
B?A?3
D.
x?y?0
．
x=2
y=3*x-1
x=y
PRINT 3*x-1
END
阅读右边的程序，然后判断下列哪个是程序执行后的结果（ D）
A、5 B、15 C、11 D、14
【创设情境】
试求自然 数1+2+3+……+99+100的和。
显然大家都能准确地口算出它的答案：5050。而能不能将 这项计算工作交给计算机来
完成呢？而要编程，以我们前面所学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足 “我们
日益增长的物质需要”，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种：条件
语句 和循环语句（板出课题）
【探究新知】
（一）条件语句
算法中的条件结构是由条件语句 来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语
句。它的一般格式是：（IF-THEN- ELSE格式）

IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF

满足条件？
是
语句1
否
语句2

当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条 件进行判断，如果条件符合，就执
行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序 框图为：（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF- THEN格式）







是

IF 条件 THEN
语句
END IF

满足条件？
否
语句
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF 后的条件进行判断，如果条
件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句 ，转而执
行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
条件语句的作用：在程序执行过程 中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否
需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判 断，并按判断后的不同情
况进行不同的处理。
【例题精析】
〖例1〗：教材P25面例5
〖例2〗：编写程序，输入一元二次方程
ax?bx? c?0
的系数，输出它的实数根。
算法分析：我们知道，若判别式
??b?4ac? 0
，原方程有两个不相等的实数根
2
2
x
1
?
b< br>?b???b??
、
x
2
?
；若
??0
，原 方程有两个相等的实数根
x
1
?x
2
??
；
2 a
2a2a
若
??0
，原方程没有实数根。也就是说，在求解方程之前，需要 首先判断判别式的符
号。因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。
又因为方程的两个 根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算
x
1
和
x
2
之前，
先计算
p??
?
b
，
q?
。
2a
2a
程序框图：（参照课本
P
17
）
程序：(如右图所示)








INPUT “ a，b，c =”;a，b，c
d=b*b-4*a*c
p=-b(2*a)
q=SQR(ABS(d))(2*a)
IF d>=0 THEN
x1=p+q
x2=p-q
IF x1=x2 THEN
PRINT “One real root:”;x1
ELSE
PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2
END IF
ELSE
PRINT “No real root!”
END IF
END

注：SQR（）和ABS（）是两个函数，分别用来求某个数的平方根和绝对值。
即
SQR(x)?x
，
ABS(x)?
?
x(x?0)
-x(x?0).
〖例3〗：编写程序，使得任意输入的3个整数按从大
到小的顺序输出。

算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数；为了节约变量，
把它们重新排列后， 仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.
具体操作步骤如下。
第一步：输入3个整数a，b，c.
第二步：将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.
第三步：将a与c比较. 并把小者赋给c，大者赋给a，
此 时a已是三者中最大的。
第四步：将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，
此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好。
第五步：按顺序输出a，b，c.
程序框图：（参照课本
P
19
）
程序：(如右框图所示)


〖补例〗：铁路部门托运行李的收费方法如下：
y是收费额（单位：元 ），x是行李重量（单位：kg）,当0＜x≤20时，按0.35
元kg收费，当x＞20kg时，2 0kg的部分按0.35元kg,超出20kg的部分，则按
0.65元kg收费，请根据上述收费方法 编写程序。
INPUT “a，b，c =”;a，b，c
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c>a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c>b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a，b，c
END
0.35x,0?x?20,
y?
?
0.35?20?0.65(x?20),x?20.
分析：首先由题意得：该函数是个分 段
函数。需要对行李重量作出判断，因此，这个过程可以用算法中的条件结构
来实现。
程序： INPUT “请输入旅客行李的重量（kg）x=”；x
IF x>0 AND x<=20 THEN
y=0.35*x
ELSE
y=0.35*20+0.65*(x-20)
END IF
PRINT “该旅客行李托运费为：”；y

END

【课堂精练】
1．P29 练习 1。2。3。4
课后练习
1. 给出以下四个问题,
①
x
, 输出它的相反数. ②求面积为
6
的正方形的周长. ③求三个数
a,b,c
中输入一个
数的最大数. ④求函数
f(x)?
?
?
x?1,x?0
的函数值. 其中不需要用条件语句来描述
?
x?2,x?0
其算法的有 (A )
A.
1
个 B.
2
个 C.
3
个 D.
4
个仅②不需要分情况讨论，即不需要
用条件语句
2. 右程序运行后输出的结果为__22，-22__.
x?5


3. 当
a?3
时，下面的程序段输出的结果是（ D ）
y??20

IF
a?10
THEN
IF
x?0
THEN
y?2?a


x?y?3

ELSE
ELSE
y?a?a

PRINT y
A.
9
B.
3
C.
10
D.
6


作业：《习案》作业六

y?y?3

END IF
PRINT x－y ； y－x
END
1.2.3循环语句（第三课时）
教学目标：
知识与技能
（1）正确理 解循环语句的概念，并掌握其结构。
（2）会应用条件语句和循环语句编写程序。
过程与方法< br>经历对现实生活情境的探究，认识到应用计算机解决数学问题方便简捷，促进发
展学生逻辑思维能 力
重点与难点
重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。
难点：会编写程序中的 条件语句和循环语句。
教学过程
问题提出
1.两种条件语句的一般格式分别是什么？< /p>

格式1:
IF 条件THEN
语句体
END IF
格式2:
IF 条件THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
2.对于顺序 结构、条件结构的算法或程序框图，我们可以利用输入语句、输出语句、赋值语
句和条件语句写出其计算 机程序.对于循环结构的算法或程序框图，要转化为计算机能够理
解的算法语言，我们必须进一步学习循 环语句.
知识探究（一）:直到型循环语句
思考1:直到型循环结构的程序框图是什么？循环体
满足条件？
否
是
思考2:该循环结构对应的循环语句的一般格式设 定为：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
你能说明计算机在执行上述语句时是怎样工作的吗？
先执行一次DO和UNTIL之间的 循环体，再对UNTIL后的条件进行判断.如果条件不符合，则
继续执行循环体；然后再检查上述条件 ，如果条件仍不符合，则再次执行循环体，直到条件
符合为止.这时，计算机将不执行循环体，而执行U NTIL语句之后的语句.
思考3:计算1+2+3+…+100的值有如下算法:
第一步， 令i=1，S=0.
第二步，计算S+i，仍用S表示.
第三步，计算i+1，仍用i表示.< br>第四步，判断i>100是否成立.若是，则输出S，结束算法；否则，返回第二步.
你能利用UNTIL语句写出这个算法对应的程序吗？

i=1

S=0

DO

S=S+i

i=i+1
LOOP UNTIL i>100

PRINT S

END


思考4:在下面的程序运行中，计算机输出的结果是多少？

x=20

DO
x=x-3
LOOP UNTIL
PRINT x
END
x<0

-1
知识探究（二）:当型循环语句
思考1:当型循环结构的程序框图是什么？



循环体

是

满足条件？

否


WHILE条件
思考2:该循环结构对应的循环语句的一般格式设定为：
循环体

WEND

你能说明计算机在执行上述语句时是怎样工作的吗？
先对条件进行判断，如果条件符合，则执 行WHILE和WEND之间的循环体；然后再检查上述
条件，如果条件仍符合，则再次执行循环体，直 到某一次条件不符合为止.这时，计算机将
不执行循环体，而执行WEND语句之后的语句.
思考3:计算1+2+3+…+100的值又有如下算法:
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
你能利用WHILE语句写出这个算法对应的程序吗？

i=1
S=0

WHILE i<=100

S=S+i

i=i+1
WEND

PRINT S

END

思考4:阅读下面的程序，你能说明它是一个什么问题的算法吗？
x=1

WHILEx
∧
2<1000

PRINT x

x=x+1

WEND
END

2
求满足x<1000的所有正整数x的值.
理论迁移

例1 已知函数y=x+3x-24x+30，写出连续输入自变量的11个取值，分别输出相应的函数 值
的程序.
算法分析:
第一步，输入自变量x的值.
32
第二步，计算y=x+3x-24x+30.
第三步，输出y.
第四步，记录输入次数.
第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返回第一步.

开始

n=1
n=1
DO

INPUT x
输入x

y=x
∧
3+3*x
∧
2-24*x+30
PRINT y

y=x
3
+3x
2
-24x+30
n=n+1

输出y
LOOP UNTILn>11

END
n=n+1

否

n>11？
是

结束








例2 将用“二分法”求方程
x?

0)
的近似解的程序框图转化为相应的
x
2
?2?0(
程序.

开始

f(x)=x
2
-2
INPUT “a，b，d=”；a，b，d

DO
输入精确度d
m=(a+b)2

和初始值a，b
g=a
∧
2-2

ab
m
f=m
∧
2-2
2

IFg*f<0 THEN
否
b=m

f(a)f(m)<0?
ELSE
是

a=m
a=m
b=m
END IF

LOOP UNTILABS(a-b)
PRINT m
否
|a-b|END

是
输出m

结束

课堂练习：
1.教材P32面1、2题

32
a=0
j=1
WHILE j<=5
a=(a + j) MOD 5
j=j+1
WEND

2. 下边程序运行后输出的结果为（D）
A.50 B.25 C.5 D.0
n=5

s=0

WHILE s<15

S=s + n

n=n－1

WEND

PRINT n
3. 下边程序执行后输出的结果为（D）
END
A.-1 B.0 C.1 D.2






4.山东 执行右边的程序框图，若
p
=0.8,则输出的
n
=___4___ .










5.阅读图4的程序框图，若输入
m?4,n?3,
则输出
a?
12 ，
开始
输入
p
n=1,S=0
S是< br>S?S?
1
2
n
否
输出n
结束n=n+1
开 始
输入m，n
i?
3 。（注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“
?
”或“
:?
”）

i=1

a=m×i
i=i+1

n整除a?
否

是

输出a，i

结束
小结作业
1.两种循环语句源于两种循环结构，直到型循环语句先执行循环体， 再判断条件；当型循环
语句先判断条件，再执行循环体.
2.直到型循环语句在条件不符合时再执行循环体，当型循环语句在条件符合时再执行循环
体.


《习案》作业七

1.3.1进位制
教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联
系进行各种进 位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换
为各种进位制的除k去余法 ，并理解其中的数学规律.
教学重点：各种进位制之间的互化.
教学难点：除k取余法的理解以 及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计.
教学过程：
知识探究(一):进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七
天为 一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分
钟为一个小时，就 是六十进制；等等.一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进
制的基数.那么k是一个什么范 围内的数？
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中
10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数， 则以k为基数的k进制数可以表示为一串数
字连写在一起的形式：aa…aa.其中各个数位上的数字a ，a，…，a，a的
nn-110(k)nn-110
取值范围如何？
思考4:十进制 数4528表示的数可以写成4×103+5×102+2×101+8×100，依此类
比，二进制数 110011
(2)
,八进制数7342
(8)
分别可以写成什么式子？543210
110011
(2)
=1×2+1×2+0×2+0×2+1×2+ 1×2
3210
7342
(8)
=7×8+3×8+4×8+2×8.
思考5:一般地，如何将k进制数a
n
a
n-1
…a
1
a
0(k)
写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和
的形式？
a
n
a
n?1
?
a
1
a
0
(k)
?a
n
?k
n
?a
n?1
?k
n?1
?
?
?a
1
?k
1
?a
0
?k
0
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？
知识探究(二):k进制化十 进制的算法
思考1:二进制数110011
(2)
化为十进制数是什么数？
543210
110011
(2)
=1×2+1×2+0×2+0×2+1×2+1× 2 =32+16+2+1=51.
思考2:二进制数右数第i位数字a
i
化为十进制数是什么数？
a
i
?2
i?1

例1 将下列各进制数化为十进制数.
(1)10303
(4)
； (2)1234
(5)
.
420
10303
(4)
=1×4+3×4+3×4=307.
3210
1234
(5)
=1×5+2×5+3×5+4×5=194.




知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数 101101
(2)
化为十进制数是什么数？十进制数89化为二进制数是什么数？

思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复 杂，观察下面
余数
的算式你有什么发现吗？
89
2
1
44
2

0
2
22
0
2
11

1
5
2
1
2
2

0
2
1

1
0
思考3:上述方法也可以推广为把十 进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么十
进制数191化为五进制数是什么数？
余数
191
5
191=1231
(5)
5
38
1

7
3
5

2
1

5

1
0

例2 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
余数
458
余数
4

458
6
2
114
4
2

676
2
4
28
4
6
12

0
4
7
6
2
0

3
4
1
2
0
1
458=13022
(4)
=2042
(6 )

0

例3 将五进制数30241
(5)
转化为七进制数.
42
余数
302 41
(5)
=3×5+2×5+4×5+1=1946.
1946
7

7
278
0

5
7
39

4
7
5

5
0
30241
(5)
=5450
(7)



例4 已知10b1(2)=a02
(3)
,求数字a，b的值.
3
10b1
(2)
=1×2+b×2+1=2b+9.
2
a02
(3)
=a×3+2=9a+2.
所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.
故a=1，b=1.

小结作业
1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制数化为k进制数，并且操作简单、实用.
2.通 过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的k
进制数.
作业：习案、学案 十

辗转相除法与更相减损术

一、三维目标
（a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能 根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法 程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的 约分求公因式
的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算
机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值观< br>1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习 古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算
法解决数学问题的过程中培 养理性的精神和动手实践的能力。
二、教学重难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公 约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
三、教学设 计
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知 识，你能求出18与30
的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的 方法来求最大公约数，如果公约数
比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求 它们的最大公约
数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。< br>（二）研探新知
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。< br>解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样 6105与2146的公约数也必是8251
的约数，所以8251与6105的最大公约数也是610 5与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在
公元前3 00年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数 n得到一个商q
0
和一个余数r
0
；
第二步：若r
0
＝0，则n为m，n的最大公约数；若r
0
≠0，则用除数n除以余数r
0
得到
一个商q
1
和一个余数r
1
；

第三步：若r
1
＝0，则r
1
为m，n的最大公约数；若r
1≠0，则用除数r
0
除以余数r
1
得到
一个商q
2和一个余数r
2
；
……
依次计算直至r
n
＝0，此 时所得到的r
n－1
即为所求的最大公约数。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：（略）
程序：（当循环结构） 直到型结构见书37面。
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF mm=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更 相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以
少减多，更相减损， 求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行
第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这 个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法 以除法为主，更相减损术以减法为
主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区 别较大时计算次数的
区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗 转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减
损术则以减数与差相等而得到
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
6.小结：
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。

秦九韶算法
一、三维目标
（a）知识与技能
了解秦九韶算法的计算 过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效
率的实质。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。
（c）情态与价值观
通过对秦九韶算法的学 习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历
史的悠久。充分认识信息技术对数学的促 进。
二、教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点
难点：1.秦九韶算法的先进性理解
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正 整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转
化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶 算法，我们将
对这个算法作些了解和探究.
（二）研探新知
思考1
已知f( x)?5x
5
?4x
4
?3x
3
?2x
2
?x?1,求f(5).
21325
算法1：需要(5+4+3+2)=14次乘法，5 次加法
算法2：需要5次乘法，5次加法 秦九韶算法
思考2
已知f(x)?7x?6x?5x?4x?3x?2x?x?1,求f(3).
18556
思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
的值，这个多项式应写成哪种
形式？
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
=(a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+ …+a
2
x+a
1
)x+a
0

=((a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n-3
+…+a
2
)x+a
1
)x+a
0
=…
=(…((a
n< br>x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+…+a
1
)x+ a
0
.
思考4:对于f(x)=(…((a
n
x+a
n- 1
)x+a
n-2
)x+…+a
1
)x+a
0
，由 内向外逐层计算一次多项式的值，
其算法步骤如何？
第一步，计算v
1
=a
n
x+a
n-1
.
765432

第二步，计算v
2
=v
1
x+a
n-2
.
第三步，计算v
3
=v
2
x+a
n-3
.
…
第n步，计算v
n
=v
n-1
x+a
0
.
思考5:上述求多项式f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
的值的方法称为秦九韶算法，利 用该算法
求f(x
0
)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？
思考6:在秦九韶算法中，记v
0
=a
n
，那么第k步的算式是什么？
v
k
=v
k-1
x+a
n-k
(k=1，2，…，n)



例1 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？
INPUT “x=”；a

n=0

y=0

WHILE n<5

y=y+(n+1)*a∧n

n=n+1

WEND

PRINT y

END




求多项式
f(x)?1?2x?3x?4x?5x
，在x=a时的值.







评价一个算法好坏的一个重 要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算
机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就 只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算
法中，秦九韶算法是一个优秀算法.

作业：《习案》作业九
234
2.1.1 简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2 、过程与方法：

（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计 问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情 感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与
现实世界及各学科知识 之间的联系，认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数 法的步骤，并能灵
活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学过程
【问题提出】
1. 我们生活在一个数字化时代，时刻都在和数据打交道，例如，产品的合格率，农作物的
产量，商品 的销售量，电视台的收视率等.这些数据常常是通过抽样调查而获得的，如何从
总体中抽取具有代表性的 样本，是我们需要研究的课题.
2. 要判断一锅汤的味道需要把整锅汤都喝完吗？应该怎样判断？
3. 将锅里的汤“搅拌均匀”，品尝一小 勺就知道汤的味道，这是一个简单随机抽样问题，对
这种抽样方法，我们从理论上作些分析
知识 探究（一）：简单随机抽样的基本思想
思考
1. 从5件产品中任意抽取一件，则每一件产品被 抽到的概率是多少？一般地，从N个个体
中任意抽取一个，则每一个个体被抽到的概率是多少？
2. 从6件产品中随机抽取一个容量为3的样本，可以分三次进行，每次从中随机抽取一件，
抽取的产 品不放回，这叫做逐个不放回抽取.在这个抽样中，某一件产品被抽到的概率是多
少？
3. 一般地，从N个个体中随机抽取n个个体作为样本，则每一个个体被抽到的概率是多少？
4. 食品卫生 工作人员，要对校园食品店的一批小包装饼干进行卫生达标检验，打算从中抽
取一定数量的饼干作为检验 的样本.其抽样方法是，将这批小包装饼干放在一个麻袋中搅拌
均匀，然后逐个不放回抽取若干包，这种 抽样方法就是简单随机抽样.那么简单随机抽样的
含义如何？
简单随即抽样的含义
一般 地,设一个总体有N个个体, 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）, 如果每
次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.
思考
5. 根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？
（1）总体的个体数有限；
（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；
（ 3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；
（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.< br>6. 在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员对兰顿和罗斯福两位候选人
做了一次民意测验.调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表.调查结
果表明，兰 顿当选的可能性大（57%），但实际选举结果正好相反，最后罗斯福当选（62%）.
你认为预测结果 出错的原因是什么？
知识探究（二）：简单随机抽样的方法
思考：
1. 假设要在我们班选派5个人去参加某项活动，为了体现选派的公平性，你有什么办法确

定具体人选?
2. 用抽签法（抓阄法）确定人选，具体如何操作？
用小纸条把每个同 学的学号写下来放在盒子里，并搅拌均匀，然后随机从中逐个抽出5个学
号，被抽到学号的同学即为参加 活动的人选.
3. 一般地，抽签法的操作步骤如何？
第一步，将总体中的所有个体编号，并把 号码写在形状、大小相同的号签上.
第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀
第三步，每次 从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.
4. 你认为抽签法有哪些优点和缺点 ？
优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而
能 保证样本的代表性.
缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.
5. 假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取
60 袋进行检验，利用随机数表抽取样本时应如何操作？
第一步，将800袋牛奶编号为000，001，…
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数（例如选出第8行第7列的数7为起始数）.
第 三步，从选定的数7开始依次向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），将编
号范围内的数取 出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60
的样本.
6. 如果从100个个体中抽取一个容量为10的样本，你认为对这100个个体进行怎样编号为
宜？
7. 一般地，利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步
骤如何？
第一步，将总体中的所有个体编号.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.
第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号
范围外的数 去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.


【例题精析】 < br>例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任
何一家来 说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样 的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起
始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但 是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解 这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同
一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将1 00件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分
别写上这100个数，将这些号 签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然
后测量这个10个号签对应的轴的直径。 < br>解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位
置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】

1、P57面1、2、3、4
2、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学 生进行测量，下列说法正确的
是（ D ）
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
3、为 了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200
个零件的长度是 （ C ）
A、总体 B、个体 C、总体的一个样本 D、样本容量
4、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样 本，
则某一特定个体被抽到的可能性是 110 .
5、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性
是 110 .
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随 机抽样有两种选取个体的方
法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽 样方法有抽
签法和随机数法.
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时， 费时、费力，又不方便，
如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相 同，缺点
上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体
容量较少的抽样类型.
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为nN，但是这里一定要 将每个个体
入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误.
作业：《习案》作业十三及作业十四.
2. 1.2系统抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解系统抽样的概念；
（2）掌握系统抽样的一般步骤；
（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；
2、过程 与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分
类讨论的数学方法.< br>3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学
知识的 联系.
4、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题.
知识探究（一）：系统抽样的基本思想
思考
1. 某中学高一年级有12个班，每班50人， 为了了解高一年级学生对老师教学的意见，教
务处打算从年级600名学生中抽取60名进行问卷调查， 那么年级每个同学被抽到的概率是
多少？

2. 你能用简单随机抽样对上述问题进行抽样吗？具体如何操作？
3. 如果从600件产品中抽取60件进 行质量检查，按照上述思路抽样应如何操作？
第一步，将这600件产品编号为1，2，3，…，600 .
第二步，将总体平均分成60部分，每一部分含10个个体.
第三步，在第1部分中用简单随 机抽样抽取一个号码（如8号）.
第四步，从该号码起，每隔10个号码取一个号码，就得到一个容量为 60的样本.（如8，18，
28，…，598）
系统抽样的定义：
一般地，要从容量 为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，
然后按照预先制定的规则，从每一部 分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法
叫做系统抽样.
由系统抽样的定义可知系 统抽样有以下特征：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干 部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽
样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[< br>N
].
n
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一 个起始编号，在此编号
的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.
思考.下列抽样中不是系统抽样的是 （ C ）
A、从标有1~15号的15 号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机
确定起点i,以后为i+5, i+1 0(超过15则从1再数起)号入样
B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传 送带上每隔五分钟抽一
件产品检验
C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问 ，直到调查到事先规定的调查
人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相 等）座位号为14的观众留下来座
谈
知识探究（二）：系统抽样的一般步骤
思考1：用系统抽样从总体中抽取样本时，首先要做的工作是什么？
将总体中的所有个体编号.
思考2：如果用系统抽样从605件产品中抽取60件进行质量检 查，由于605件产品不能均
衡分成60部分，对此应如何处理？
先从总体中随机剔除5个个体，再均衡分成60部分.
思考3：用系统抽样从含有N个个体的 总体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成多少段，
每段各有多少个号码？
思考4：如果N不能被n整除怎么办？
思考5：将含有N个个体的总体平均分成n段，每段的 号码个数称为分段间隔，那么分段间
隔k的值如何确定？
总体中的个体数N除以样本容量n所得的商.
思考6：用系统抽样抽取样本时，每段各取一个 号码，其中第1段的个体编号怎样抽取？以
后各段的个体编号怎样抽取？
用简单随机抽样抽取 第1段的个体编号.在抽取第1段的号码之前，自定义规则确定以
后各段的个体编号，通常是将第1段抽 取的号码依次累加间隔k.

思考7：一般地，用系统抽样从含有N个个体的 总体中抽取一个容量为n的样本，其操作步
骤如何？
第一步，将总体的N个个体编号.
第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段.
第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号l.
第四步，按照一定的规则抽取样本.
思考8：系统抽样适合在哪种情况下使用？与简单随机抽样比较，哪种抽样方法更使样本具
有代 表性？
总体中个体数比较多；系统抽样更使样本具有代表性.
思考9：在数字化时代，各种 各样的统计数字和图表充斥着媒体，由于数字给人的印象直观、
具体，所以让数据说话是许多广告的常用 手法.下列广告中的数据可靠吗？
“……瘦体减肥灵真的灵，其减肥的有效率为75%.”
“现代研究证明，99%以上的人皮肤感染有螨虫…….”
“……美丽润肤膏，含有多种中药 成分，可以彻底清除脸部皱纹，只需10天，就能让你的肌
肤得到改善.”
例题精析
例1、从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，
若采用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32
[分析 ]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中
d=50 5=10,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B。
2.1 .3分层抽样
知识探究（三）：分层抽样的基本思想
思考1：某地区有高中生2400人，初中 生10800人，小学生11100人.当地教育部门为了了
解本地区中小学生的近视率及其形成原因， 要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调
查,你认为应当怎样抽取样本？
样本容量与总体 个数的比例为1:100，则高中应抽取人数为2400*1100=24人,初中应抽
取人数为108 00*1100=108人，小学应抽取人数为11100*1100=111人.
思考2：具体在三类 学生中抽取样本时（如在10800名初中生中抽取108人），可以用哪种
抽样方法进行抽样？
思考3：在上述抽样过程中，每个学生被抽到的概率相等吗？
归纳:
1.分层抽样:
若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定
的比例，从各层独 立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本.
分层抽样又称类型抽样
2. 应用分层抽样应遵循以下要求：

(1)分层：将相似的个体归入一类， 即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵
循不重复、不遗漏的原则。
（2）分层抽样 为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本
数量与每层个体数量的比与这 层个体数量与总体容量的比相等。
知识探究（四）：分层抽样的操作步骤
某单位有职工500 人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的
有95人.为了调查职 工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本.
思考1：该项调查应采用哪种抽样方法进行？思考2：按比例，三个年龄层次的职工分别抽取多少人？
35岁以下25人，35岁～49岁56人 ，50岁以上19人.
思考3：在各年龄段具体如何抽样？怎样获得所需样本？
思考4：一般地 ，分层抽样的操作步骤如何？
第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.
第二步，将总体分成 互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.
第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应 数量的个体.
第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.
思考5：在分层抽样中， 如果总体的个体数为N，样本容量为n，第i层的个体数为k，则在
第i层应抽取的个体数如何算？思考6：样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按这个比例可以确定各层应
抽取的个 体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数该如何处理？
调节样本容量，剔除个体.
探究交流
分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层）,然后每层抽取若 干个体构成样本,
所以分层抽样为保证每 个个体等可能入样，必须进行 （C ）
A、每层等可能抽样
B、每层不等可能抽样
C、所有层按同一抽样比等可能抽样
思考7：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样既有其共性，又有其 个性，根据下表，你能对
三种
吗？




方法
类别
共同
特点
抽样方法作一个比较
抽样特征相互联系适应范围
简单随
机抽样
系统
抽样
抽样过
程中每
个个体
被抽 取
的概率
相等
从总体中
逐个不放
回抽取
将总体分成
均衡几部
分，按规则
关联抽取
将总体分
成几层，
按比例分
层 抽取
用简单随
机抽样抽
取起始号
码
用简单随
机抽样或
系统抽样
对各层抽
样
总体中
的个体
数较少
总体中
的个体
数较多
总体由
差异明
显的几
部分组
成
分层< br>抽样

理论迁移
例1 某公司共有1000名员工，下设若干部门，现用分层 抽样法，从全体员工中抽取一个容
量为80的样本，已知策划部被抽取4个员工，求策划部的员工人数是 多少？
50人.

例2 某中学有180名教职员工，其中教学人员144人，管 理人员12人，后勤服务人员24
人，设计一个抽样方案，从中选取15人去参观旅游.
用分层抽样，抽取教学人员12人，管理人员1人，后勤服务人员2人.


例3 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公< br>司为了调查产品的销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调
查 为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等
情况，记这项调 查为②，完成这两项调查宜分别采用什么方法？
①用分层抽样，②用简单随机抽样.

小结作业
1.分层抽样利用了调查者对调查对象事先掌握的各种信息，考虑了保持样本结构与 总体结构
的一致性，从而使样本更具有代表性，在实际调查中被广泛应用.
2.分层抽样是按 比例分别对各层进行抽样，再将各个子样本合并在一起构成所需样本.其中正
确计算各层应抽取的个体数 ，是分层抽样过程中的重要环节.
3.简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一.
4 、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步
骤为：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；

（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
5、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数， 当
除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。
课堂练习
P59 练习1. 2. 3.
课后作业
《习案》作业十五、十六、十七.




N
不是整数时，应采用等可能剔
n
2.2用样本估计总体（二）< br>频率分布直线图和茎线图
问题提出：
列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进 行？
第一步，求极差.
第二步，决定组距与组数.
第三步，确定分点，将数据分组.< br>第四步，统计频数，计算频率，制成表格.
频率分布直方图是在平面直角坐标系中画若干个依次相 邻的小长方形，这些小长方形的
宽、高和面积在数量上分别表示什么？
1.
2.
频率
组距
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
O< br>0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量t
3. 我们可以用样本数据的频率分布表和频率分布直方图估计总体的频率分布， 当总体中的
个体数较多或较少时，统计中用什么方法提取样本数据的相关信息，我们将进一步作些探究.
频率分布折线图和茎叶图
探究1：频率分布折线图与总体密度曲线
思考1：在城市居民 月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各组数据的平均值大致是哪
些数？
思考2：在频率分 布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折
线称为频率分布折线图. 你认 为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？
频率
组距
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量t

思考 3：当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市居民月均用水量），随着样本容量
的增加，作图时所 分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么
变化吗？
思考4：在上 述背景下，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条
光滑曲线为总体密度曲线. 那么图中阴影部分的面积有何实际意义？
频率
组距
总体密度曲线
总体在区间< br>（a，b）内取
值的百分比.
O
a b
月 均用水量t
思考5：当总体中的个体数比较少或样本数据不密集时，是否存在总体密度曲线？为什么？< br>不存在，因为组距不能任意缩小
思考6：对于一个总体，能否通过样本数据准确地画出总体密度曲 线？
探究1：茎叶图
频率分布表、频率分布直方图和折线图的主要作用是表示样本数据的分布情 况，此外，我们
还可以用茎叶图来表示样本数据的分布情况.
【问题】 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场 比赛的得分情况如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16， 33，14，28，39；
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.

甲乙

80
25
4 6 3 1

54
3 6 82

16 1 67 9
3 8 9 3
49
4

0
15

思考1：你能理解这个图是如何记录这些数据的吗？你能通过该图说 明哪个运动员的发挥更
稳定吗？

思考2：在统计中，上图叫做茎叶图，它也是表示 样本数据分布情况的一种方法，其中“茎”
指的是哪些数，“叶”指的是哪些数？

思考3：对于样本数据：3.1，2.5，2.0，0.8，1. 5，1.0，4.3，2.7，3.1，3.5，用茎叶图如何
表示？
叶
茎

0
8

1
0 5

2
0 5 7
31 1 5

4
3


思考4：一般地，画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何？
第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；
第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧；
第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.

思考5：用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法，你认为茎叶图有哪些优点？
（1）保留了原始数据，没有损失样本信息；（2）数据可以随时记录、添加或修改.
< br>思考6：比较茎叶图和频率分布表，茎叶图中“茎”和“叶”的数目分别与频率分布表中哪
些数目 相当？

思考7：对任意一组样本数据，是否都适合用茎叶图表示？为什么？
不适合样本容量很大或茎、叶不分明的样本数据.

例. 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下.

乙
甲
5
6

5 6 1
7
9

8 9 6 1
8
6 3 8

4 1 593 9 8 8
7
10
3 1

0
11
4

(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、中位数；
(2)比较两名同学的成绩，谈谈看法.



练习
1. 为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所
得 数据整理后，画出了频率分布直方图.图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：
15：9： 3，第二小组的频数为12.
频率组距
（1）第二小组的频率是多少？
0.036
（2）样本容量是多少？
0.032
0.028
（3）若次数在110以上（含110次）为达
0.024
标，试估计该校全体高一学生的达标率约
0.020
是多少？
0.016
0.012
0.008
0.004
o
90 100 110 120 130 140 150
次数

2. 某班级共有学生54人，现根据学生的学号，用系统 抽样的方法，抽取一个容量为4的样
本.已知2号，28号，41号同学在样本中，那么样本中还有一个 同学的学号是 .




3. 在抽取某产品的尺 寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数
在该组上的频率为m，该组上 的直方图的高为h，则| a-b |等于
.
hm
C.D.与m,n无关

mh

4. 在一 个样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于
其他10个小长方形 和的 ，且样本容量为160，则中间一组的频数为 （ ）
A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25

作业：《习案》作业十九
2.2用样本估计总体（三）
问题提出
1. 对一 个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率
分布的基本方法有哪些 ？
频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图
2. 美国NBA在2006——2 007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛
中的得分情况如下：
甲运动 员得分：12，15，20，25，31，30， 36，36，37，39，44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26， 28， 38，39，51，31，39.
如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发 挥得比较稳定，就得
有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的 数字特
征估计总体的数字特征.
知识探究（一）：众数、中位数和平均数
思考1：以上 两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数？
思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布 直方图中，你认为众数应在哪个小矩形
内？由此估计总体的众数是什么？
频率
组距0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
取最高矩形下端
中点的横坐标
2.25作为众数.

思考3：中位数左右 两侧的直方图的面积应有什么关系？
思考4：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左 至右各个小矩形的面积
分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.0 6，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什
么？
0.5－0.04－0.08－0. 15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.
思考5：平 均数是频率分布直方图的“重心”，从直方图估计总体在各组数据内的平均数分
别为多少？
0. 25，0.75，1.25，1.75，2.25， 2.75，3.25，3.75，4.25.
思考6：将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加， 就
是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的平均数是 什么？
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.2 5×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.
02=2 .02（t）.
平均数是2.02.
思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众 数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，
这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差 ，你能解释一下原因吗？
频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据 分组有关.
注: 在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数 ，
并由此估计总体特征.
思考8 （1）一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这 在某些情况下是一个优
点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？
如：样 本数据收集有个别差错不影响中位数；大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.
（2）样本数据的 平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？
平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较 大（或较小）的极端值.
（3）你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？
这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中
位数或平均 数.


样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数 和中位数容易计
算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的
影响也越大. < br>当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实
际情况产生 较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画

样本数据的离散程度.

知识探究（二）：标准差
思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？


x
甲
?7， x
乙
?7

思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水
平差异在那里 吗？

频率
频率
（乙）
（甲）

0.4
0.4
0.3

0.3
0.2
0.2

0.1
0.1

O
4 5 6 7 8 9 10
环数
O
环数
4 5 6 7 8 9 10

甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.

思考3：对于样本数据x
1
，x
2
，…，x
n< br>，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本
数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算 ？


12n

思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用 的统计量是标准差，一般用s表示.假设样
|x-x|+|x-x|+L+|x-x|
n
本数据x
1
，x
2
，…，x
n
的平均数为
x，则标准差的计算公式是：

(x
1
-x)
2
+(x
2
-x)
2
+

s=

n

那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？
s≥0，标准差为0的样本数据都相等.

思考5：对于一个容量为2的样本：x
1
，x
2
(x
1
2
)，则
x ?
L+(x
n
-x)
2
x
1
?x
2
x?x
1
，s?
2
在数轴上，
22
这两个统计数据有什么 几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？
标准差越大离散程度越大，数据较分散；
标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.

知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性.

甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7







课堂小结
1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据.
2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.
3. 标准差描述一组数据围绕平均数波 动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计
数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.

作业：
《习案》作业二十、作业二十一

2.2用样本估计总 体（四）
知识回顾
1.如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？
(1)众数：最高矩形下端中点的横坐标.
(2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐 标.
(3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.
2. 对于样 本数据x
1
，x
2
，…，x
n
，其标准差如何计算？
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?< br>?
?(x
n
?x)
2
s?
n
知识补充
1.标准差的平方s
2
称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度.方差与标准 差
的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
2.现实中的总体所包含的个体数往 往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样
本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准 差，但要求样本有较好的代表性.
3.对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数
x?1.9 73
，标准差s＝0.868.在这100个
数据中，落在区间
(x?s, x?s)
＝[1.105，2.841]外的有28个；落在区间
(x?2s, x?2s)
＝[0.237，3.709]外的只有4个；落在区间
(x?3s, x? 3s)
＝[－0.631，4.577]外的有0个.
一般地，对于一个正态总体，数据落在区 间
(x?s, x?s)
、
(x?2s, x?2s)
、
(x?3s, x?3s)

内的百分比分别为68.3%、95.4%、99.7%，这个原理在产品质 量控制中有着广泛的应用（参
考教材P79“阅
读与思考”）.
例题分析
例1 画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点.
(1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5；
(2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6；
(3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7；
(4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
频率
频率
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
O
x?5
s?0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
x ?5
s?0.82
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
(3)
x?5
s?1.49
频率
1.0
0.8
0.60.4
0.2
(4)
x?5
s?2.83
1 2 3 4 5 6 7 8
(1)
O
1 2 3 4 5 6 7 8
(2)
O
1 2 3 4 5 6 7 8
O
1 2 3 4 5 6 7 8
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件 ，为了对两人的生产质量进行评比，
从他们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下(单位 ：mm)：
甲 ：
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43
25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙：
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43
25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？

s
甲
?0.037

s
乙
?0.068

x
甲
?25.401

x
乙
?25.406
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故 甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、 乙两个总体的平均
数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差 .
2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是总体的平均数.


例3 以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某
同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？
要点：
(1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，
可以报考；
(2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分< br>散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.



练习

5、（宁夏理11文12）．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20次，三人的测试
成绩如下表

甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数
7 8 9 10

环数
7 8 9 10
环数
7 8 9 10
频数
5 5 5 5

频数
6 4 4 6
频数
4 6 6 4

s
1
，s
2
， s
3
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ B ）
Ａ．
s
3
?s
1
?s
2
Ｂ．
s
2
?s
1
?s
3
Ｃ．
s
1
?s
2
?s
3
Ｄ．
s
2
?s
3
?s
1


课堂小结
1.对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如 果样本的代
表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计< br>的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性.
2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性 的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容
量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征 也有随机性. 用样本的数字特征估
计总体的数字特征，是一
种统计思想，没有惟一答案.
3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的
知 识应用到自主研究性课题中去.

2.2用样本估计总体（一）
知识探究(一):频率分布表
【问题】 我国是世界上严重缺水的国家 之一，城市缺水问题较为突出，某市政 府为了节
约生活用水，计划在本市试行 居民 生活用水定额管理，即确定一个居 民月用水量标准a，
用水量不超过a的部 分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 通过抽样调查，获得100
位居民2007年的 月均用水量如下表（单位：t）：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明 样本数据的变化范围是
什么？ 0.2～4.3
思考2：样本数据中的最大值和最 小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进
行分组，那么这些数据共分为多少组？ (4.3-0.2)÷0.5=8.2

思考3：以组距为0.5进行分组，上 述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如
何设定？[0，0.5)，[0.5，1)，[ 1，1.5)，…，[4，4.5].
思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样 本数据在各组中的频率？你
能将这些数据用表格反映出来吗？

分组
频数
[0，0.5)
[0.5，1)
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，2.5)
[2.5，3)
[3，3.5)
[3.5，4)
[4，4.5]
合计
频数
4
8
15
22
25
14
6
4
2
100
频率0.04
0.08
0.15
0.22
0.25
0.14
0.06
0.04
0.02
1.00
思考5：上表称为样本数据的频率分布表 ，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大
致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据 ，这里体现了一种什么统计思想？
用样本的频率分布估计总体分布.
思考6：如果市政府希望8 5%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，
你对制定居民月用水量标准（即a的取 值）有何建议？
88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3.
思考7：在实际中，取 a=3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导
致结论出现偏差？
分组 时，组距的大小可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进行评价的.
思考8：对样本数 据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？
思考9：对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准， 组数太多或太少，都会影响我
们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越 大，所分组数越
多.
思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进 行？
第一步，求极差.
第二步，决定组距与组数.
第三步，确定分点，将数据分组.< br>第四步，列频率分布表.
知识探究(二):频率分布直方图
思考1：为了直观反映样本 数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息
用下面的图形表示：
频率组距
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
O
0. 5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量t

思考2：
频率分布直方图中
小长方形 的高?
频率
组距
小长方形的面积表示什么？小长方形的面积表示该组的频率．
所有小长方形的面积和＝？所有小长方形的面积和＝1．
思考3：频率分布直方图非常直观地表明了样本 数据的分布情况，使我们能够看到频率分布
表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来 .你能根据上述频率分布直方
图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？
(1)居民月均用水 量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；
(2)大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近， 只有少数居民的月均用水量很多或很
少；
(3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.思考4：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布
直方图的作图步骤如何？
第一步，画平面直角坐标系.
第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.
第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.

课堂练习
1． 有一个容量为50的样本数据的分组及各组的频数如下：
[12.5, 15.5) 3 [24.5, 27.5) 10
[15.5, 18.5) 8 [27.5, 30.5) 5
[18.5, 21.5) 9 [30.5, 33.5) 4
[21.5, 24.5) 11
⑴列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图；
⑵根据样本的频率分布估计，小于30.5的数据约占多少？

2．（2006年全国卷II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所
得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等
方面 的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，
30 00］（元）月收入段应抽出
25
人
频率组距

0.0005

0.0004
频率组距

0.0003


0.0002
0.34

0.0001
月收入(元)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000


3.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13
0.18
秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第
0.36
0.06
0.04
0.02
0 13 14 15 16 17 18 19
秒

一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小 于15秒；
……
第
六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方 法得到的频率分布直方
图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为
x
， 成绩大于等于15秒且小于
17秒的学生人数为
y
，则从频率分布直方图中可分析出< br>x
和
y
分别为（ A ）
A．0.9，35 B．0.9，45
C．0.1，35 D．0.1，45

4． ( 200 6年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄
为17.5岁－１８ 岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ( C)
(A)20 (B)30 (C)40 （D）50



5.（广东文7、艺术理6）下面左图是某县参加200 7年高考的学生身高条形统计图，从左到
右的各条形表示的学生人数依次记为A
1
、< br>A
2
、…、A
10
（如A
2
表示身高（单位：cm） （150，
155）内的学生人数）.右图是统计左图中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图. 现要
统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的 判断框内应填
写的条件是（B）
A.i<9 B. i<8 C. i<7 D. i<6










6.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该
频率
校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，
组距

如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频
数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频
率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b
的值分别为（ A ）
0.3

A．0,27,78 B．0,27,83
0.1

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

5.2

视力

C．2.7,78 D．2.7,83
小结作业
1.频率分布是指一个样本数据在 各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频
率分布规律.我们通常用样本的频率分布表或 频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达 方式.用紧凑的表格改变数据
的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中 提取信息，又可
以利用图形传递信息.
3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过 各小组数据在样本容量中所占比例大小
来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚的看到整个样本数据 的频率分布情况，并由此
估计总体的分布情况.
作业：《习案》作业十八
2.3变 量间的相互关系（三）
一、复习
（1）两个变量间由函数关系时，数据点位于某曲线上.
（2）两个变量间的关系是相关关系时，数据点位于某曲线附近.
（3）两个变量间的关系为线性相关 时，数据点位于某直线附近.
该直线叫回归直线，对应的方程叫回归方程，该直线作为两个变量有线性相 关关系的代表
（4）求回归方程的一般步骤：
第一步，计算平均数
x，y；

第二步，求和
?
xy，
?
x
ii
i?1i?1nn
2
i

；
n
第三步，计算
b?< br>?
(x
i?1
n
n
i
?x)(y
i
?y)
?
i
?
xy
i
i?1
n
i
?nxy
?nx
2
，a?y?bx;

?
(x
i? 1
?
?x)
2
?
x
i?1
2
i
第 四步，写出回归方程
y?bx?a.


练习1.
由一组10 个数据(x
i
，y
i
)算得
x?5,y?10,

b= ,a= ,回归方程为 .

练习2. ?
x
i?1
n
,
?
x
i
?292,< br>则
i
y
i
?583
2
i?1
n
实验 测得四组数据(x,y)的值分别(2,3),(1,2),(3,4),(4,5).求y与x之间的回归直线 方程.

二、新授
1. 两个变量是否有相关关系可以先作出散点图进行判断.
2. 两个变量间是否有相关关系也可以通过求相关函数来判断.

其中
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n

i
? x)
2
?
?
(y
i
?y)
2
i?1
当r?[?1,?0.75]时，负相关很强.

当r?[0.75,1]时，正相关很强.

当r?[0.75,?0.30]或r?[0.30,?0.75]时，相关性一般.

当r?1时，数据点(x
i
,y
i
)在一条直线上.

三、习题讲解
1.下列属于线性相关的是(③)
①父母的身高与子女身高的关系②农 作物产量与施肥的关系

③吸烟与健康的关系④数学成绩与物理成绩的关系


2.线性回归方程y?bx?a必过（D
A.(0,0)B.(x,0)C.(0,y)

?
）

D.(x,y)
3.已知x、y之间的数据如下表所示，则y与x之


间的线性回归方程过点（

D）
x
1.08
y
2. 25
A.(0,0)
1.12
2.37
1.19
2.40
1 .28
2.25
C.(0,y)D.(x,y)

B.(x,0)

4.设有一个回归方程为y?3?5x，变量x增加一个单位时
A.y平均增加3个单位B.y 平均减少5个单位
C.y平均增加5个单位D.y平均增加3个单位
（）

5.工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为y?5?80x，

下列判断正确的是（B）
A.劳动生产率为1千元，则工资为130元；
B.劳动生产率提高 1千元，则工资提高80元；

C.劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；
D .当月工资为210元，劳动生产率为2千元.

6.1970年的一项关于1 6艘轮船的研究中，船的吨位区间从192t?3246t，船员的
数目从5人到32人，由船员人数关 于吨位的回归分析得到如下结论：船员人数

?9.5?0.0062x，假定两船吨位相差1 000t，船员平均人数相差6人，对于最
小的船估计的船员数为10人，对于最大的船估计的船员数为 29人.
2.3变量间的相互关系（一）、（二）
问题提出
1. 函数是研究两个变量 之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的
取值一定时，另一个变量的取值被惟 一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.
2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你 的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什
么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成 绩之间存在着某种关系，我们把数
学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数 关系吗？
3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之
间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有
着非 常重要的现实意义.
知识探究（一）：变量之间的相关关系
思考1：考察下列问题中两个变量之 间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函
数关系吗？
（1）商品销售收入与广告支 出经费；
（2）粮食产量与施肥量；
（3）人体内的脂肪含量与年龄.
思考2：“名师 出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成
绩与教师的教学水平之间的 关系是函数关系吗？
你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？
思考3：上 述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的
含义如何？
自变 量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.
思考4：函数关系 与相关关系之间的区别与联系.
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关 系.
函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.
例1 在下列两个变量的关系中， 哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
1.
2 .
练习1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有 ① ，是相关关系的有
②③ .

①已知二次函数y=ax
2
+bx +c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的
判别式△=b
2
－ 4ac;
②光照时间和果树亩产量；
③每亩施用肥料量和粮食产量.
知识探究（二）： 散点图
【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄
脂肪
年龄
脂肪
23
9.5
53
29.6
27
17.8
54
30.2
39
21.2
56
3 1.4
41
25.9
57
30.8
45
27.5
5 8
33.5
49
26.3
60
35.2
50
28. 2
61
34.6
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平 均数.
思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
思考 2：以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图
形吗？
思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？
在平面直角坐标系中，表示具有相 关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
脂肪含量
40
35
3025
20
15
10
5
0
20556065
年龄
思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？
思考5：在上 面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种
相关关系，我们将它称为正 相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化
趋势如何？
思考6：如果两个变 量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么
特点？
一个变量随另一 个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域
思考7：你能列举一些生活中的变量 成正相关或负相关的实例吗?
例2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
房屋面积
m
2
销售价格
（万元）
售价
35
30< br>25
20
15
10
5
0
61
12.2
70
15.3
115
24.8
110
21.6
80135 105
18.429.222
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是 正相关还是负相关.
50100
面积
150

练习2. 今有一组试验数据如下表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满
足 的规律，其中最接近的一个是( C )

x1.993.04.05.16.12

y1.54.047.51218.01

A. y=log
2
x B. y=2
x
C. y=(x
2
－1)2 D. y=2x－2


问题提出
1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别
有什么特点？
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.
正相关的散点图中 的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左
上角到右下角的区域
2. 观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们
需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对
此，我们从理 论上作些研究.

知识探究（三）：回归直线
思考1：一组样本数据的平均数是 样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？
它一定是散点图中的点吗？
脂肪含量

40
35
(x,y)

30
25
20

15
10

5
0
20556065

思考2：在各种各样的散点图中，有些散点 图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分
布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散 点图中的点的分布有什么特点？
这些点大致分布在一条直线附近.

脂肪含量
40
35

30
25

20
15

10
5
0
20556065


思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？
思考4：在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归
直线？

知识探究（四）：回归方程

在直角坐标系中，任何一 条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具
有线性相关关系的样本数据，如果能够 求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚
地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对 总体进行估计.

思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
整体上最接近
思考2：对于求回归直线方程，你有哪些想法？

思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x
1
，y
1
)，(x< br>2
，y
2
)，…，(x
n
，y
n
)，设其回 归
方程为
y?bx?a
可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？
?
可以用|y
i
?y
i
|
或(y
i
?y
i
)，
其中y
i
?bx
i
?a.
?
?
2
?
y
(x
i
,y
i
)
(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
)
y
i
?y
i

x


思考4 ：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系
来刻画比较合适？
n

?
i
)
2
Q?
?
(
y
i
?y
i?1

?(y
1
?bx
1?a)
2
?(y
2
?bx
2
?a)
2
??(y
n
?bx
n
?a)
2

nn
< br>(x
i
?x)(y
i
?y)x
i
y
i
?nxy
思考5：根据有关数学原理分析，当
b?
i?1
n
?
i?1
n
,a?y?bx

(x
i
?x)
2
x
i
2
?nx
2
n
i?1i?1

2
?
)
Q?
(
y
i
?y
时，总体偏差
i?

1

i
为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法
叫做最小二乘法.回归 方程中，a，b的几何意义分别是什么？


思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程
为
y

?

0

.

577

x

?

0

.

48
，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分 比的回
归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？
20.9%
练习 3.F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的
生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
??
??
?
x
y

3
2.5
4
3
5
4
6
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性

同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5)
解：（1）如图

（2）由对照数据，计算得：
?
XY?66.5

?
X
ii
i?1
i?1
44
2
i
?3< br>2
?4
2
?5
2
?6
2
?86

X?4.5

?
?3.5?0.7?4.5?0.35
< br>?
?
66.5?4?4.5?3.5
?
66.5?63
?0. 7

a
?
?Y?bX
b
2
86?4?4.586?81
所求的回归方程为
y?0.7x?0.35

(3)
x?100
,
y?100?0.7?0.35?70.35
吨,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低
90?70.35?19.65
(吨)

课堂小结
1. 求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数
x，y；

第二步，求和
?
x
i
y
i
，
?
x
i
；
2
i?1i?1
nn
nn
第三步，计算
b?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
?
?xy
i
i?1
n
i?1
i
?nxy
2
，a?y?bx;

2
(x?x)
?
i
i?1
?< br>x
i
?nx
2
第四步，写出回归方程
y?bx?a.


2. 回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布 在回归直线附近.对同一个总体，不同
的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.

3. 对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有 线
性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组
?

样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.
课后作业 《习案》作业：二十三. 、二十四.
3.1随机事件的概率（二）
问题提出
1. 概率的定义是什么？
对于给定的 随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f
n
(A)稳定在某个常数
上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率.
2. 频率与概率有什么区别和联系？
① 频率是随机的，在实验之前不能确定；
② 概率是一个确定的数，与每次实验无关；
③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率；
④ 频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性的大小.
探究（一）： 概率的正确理解
思考1：连续两次抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？
“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，< br>“一次正面朝上，一次反面朝上”.
思考2：抛掷—枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都 是0.5，那么连续两次抛掷一枚
硬币，一定是出现一次正面和一次反面吗？
答：这种说法是错 误的，抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一
种规律性结果，对具体的几次试验 来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两
次的试验中，可能两次均正面向上，也可能两次 均反面向上，也可能一次正面向上，一次反
面向上.
思考3：试验：全班同学各取一枚同样的硬 币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向.将全班
同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率.你有 什么发现？随着试验次数的增多，三
种结果发生的频率会有什么变化规律？
“两次正面朝上”的频率约为0.25，“两次反面朝上” 的频率约为0.25，“一次正面朝上，
一次反面朝上” 的频率约为0.5.
思考4：若某 种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中
奖概率是多少？买100 0张的话是否一定会中奖？
答：不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖. 买彩票中
奖的概率为11000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有1100 0
的彩票中奖.
思考5：围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出 1枚棋子后
再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑子吗？说明你的理由.
不一定 .摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以
摸10次棋子的结果也 是随机的.可能有两次或两次以上摸到黑子，也可能没有一次摸到黑子，
10
摸到黑子的概率为 1-0.9≈0.6513.
归 纳:
随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性 中含有规律性：
即随着实验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率.探究（二）：概率思想的实际应用
思考1：在一场乒乓球比赛前，必须要决定由谁先发球，并保证 具有公平性，你知道裁判员
常用什么方法确定发球权吗？其公平性是如何体现出来的？

思考2:某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动 ，由于某种原因，
1班必须参加，另外再从2至12班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两个骰子得 到的
点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？
不公平，因为各班被选中的概率不全相等 ，七班被选中的概率最大.
思考3：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子 的质地是均匀的，
还是不均匀的？如何解释这种现象？
这枚骰子的质地不均匀，标有6点的那 面比较重，会使出现1点的概率最大，更有可能
连续10次都出现1点. 如果这枚骰子的质地均匀，那 么抛掷一次出现1点的概率为
1
，连
6
续10次都出现1点的概率为这是一个 小概率事件，几乎不可能发生.
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使 得样本出现的
可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法.
如果我 们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，
这种判断问题的方法在统 计学中被称为似然法.
思考4：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有7 0%的区域下
雨,30%的区域不下雨？你认为应如何理解？
降水概率≠降水区域；明天本地下 雨的可能性为70%.
思考5：天气预报说昨天的降水概率为 90％，结果昨天根本没下雨，能否认 为这次天气预
报不准确？如何根据频率与概率的关系判断这个天气预报是否正确？
不能， 概率为90％的事件发生的可能性很大，但“明天下雨”是随即事件，也有可能不
发生.收集近50年同 日的天气情况，考察这一天下雨的频率是否为90％左右.
思考6：奥地利遗传学家孟德尔从185 6年开始用豌豆作试验，他把黄色和绿色的豌豆杂交，
第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一 年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既
有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收 获的豌豆都是圆形的.第二年，
他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱 皮豌豆.类似地，
他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆. 第二年，他把这种杂
交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试验的具体数据如下：
豌豆杂交试验的子二代结果


性状显性隐性
绿色2001
子叶的黄色

6022
颜色

圆形皱皮
种子的
1850
5474

性状

茎的高度长茎短茎
277
787


你能从这些数据中发现什么规律吗？
孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同的豌豆会长出不同 的后代，并且每次试验的显性与隐
性之比都接近3︰1，这种现象是偶然的，还是必然的？我们希望用概 率思想作出合理解释.

思考7：在遗传学中有下列原理：
（1）纯黄色和纯绿色 的豌豆均由两个特征因子组成，下一代是从父母辈中各随机地选取一
个特征组成自己的两个特征.

（2）用符号AA代表纯黄色豌豆的两个特征，符号BB代表纯绿色豌豆的两个特征.
（3） 当这两种豌豆杂交时，第一年收获的豌豆特征为：AB.把第一代杂交豌豆再种下时，
第二年收获的豌豆 特征为： AA，AB，BB.
（4）对于豌豆的颜色来说．A是显性因子，B是隐性因子.当显性因 子与隐性因子组合时，
表现显性因子的特性，即AA，AB都呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现隐性 因子的特
性，即BB呈绿色．在第二代中AA，AB，BB出现的概率分别是多少？黄色豌豆与绿色豌< br>豆的数量比约为多少？
P(AA)?
111
??;
224
P (BB)?
111111
??;P(AB)?1???;

224442

黄色豌豆(AA，AB)︰绿色豌豆(BB)≈3︰1
（1）概率与公平性的关系：
利用概率解释游戏规则的公平性，判断实际生活中的一些现象是否合理.
（2）概率与决策的关系：
在“风险与决策”中经常会用到统计中的极大似然法：在一次实验中，概率大的事件发
生的可能性大.
（3）概率与预报的关系：
在对各种自然现象、灾害的研究过程中经常会用到概率的思想来进行预测.
课堂小结
1. 概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事
件一定会发生，只 是认为事件发生的可能性大.
2. 孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律 是一种统计规律，这
是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴.
3. 利用概率思想 正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固
和应用，提升自己的数学素养.

作业：
<习案>作业三十.

3.1随机事件的概率（三）
问题提出
1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系， 集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、
等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？
2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事
件对应 全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，
分析事件之间的关系 与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．
知识探究（一）：事件的关系与运算
在掷骰子 试验中，我们用集合形式定义如下事件：
C
1
＝｛出现1点｝，C
2
＝｛出现2点｝，
C
3
＝｛出现3点｝，C
4
＝｛出现4点｝，C
5
＝｛出现5点｝，C
6
＝｛出现6点｝，
D
1＝｛出现的点数不大于1｝，

D
2
＝｛出现的点数大于 4｝，
D
3
＝｛出现的点数小于6｝，
E＝｛出现的点数小于7｝，
F＝｛出现的点数大于6｝，
G＝｛出现的点数为偶数｝，
H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.
思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?
思考2：如果事件 C
1
发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C
1
与这些集合之间的< br>关系怎样描述？
一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生 ，称事件B包
含事件A（或事件A包含于事件B）记为:B?A(或A?B)
特别地，不可能事 件用Ф表示，它与任何事件的关系约定为:
任何事件都包含不可能事件.
思考3：分析事件C< br>1
与事件D
1
之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样
描述？
一般地，当两个事件A、B满足:
若B ? A，且A ?B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
思考4：如果事件C
5
发生或C6
发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
事件D
2
一定发生, 反 之也成立.
事件D
2
为事件C
5
与事件C
6
的并事 件(或和事件)
一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件 B
的并事件(或和事件)，记作
C=A∪B(或A+B).
思考5：类似地，当且 仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件
A与事件B的交事件（或积事件），记 作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例
子吗？
思考6：两个集合的交可能为空 集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝?，
此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次 试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？
在上述事件中能找出这样的例子吗？
思考7： 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，
那么在一次试验中，事 件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出
这样的例子吗？
事件A与事件 B有且只有一个发生.
思考8：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事 件A与
事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？
集合A与集合B互为补集.
思考9：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事
件B互斥，那 么事件A与事件B相互对立吗？
知识迁移
例1 某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．

事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.


例2 一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ D ）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶


例3 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四 人，每人分得一张，那么事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( B )
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件
C. 必然事件 D. 不可能事件


知识探究（二）：概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
思考2：如果事 件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什
么关系？f
n
(A∪B)与f
n
(A)、f
n
(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B )与P(A)、P(B)有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的 频数与事件B发生的频数
之和,且 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，
则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、
P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
若事件A与事件B互为对立事件，则: P(A)＋P(B)＝1.
思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)与1的大小关系如何？
P(A)＋P(B)≤1.
思考5：如果事件A
1
,A
2
，…，A
n
中任何两个都互斥,那么事件（A
1
+A
2
+ …+A
n
）的含义如
何?P(A
1
+A
2
+…+A
n
)与P(A
1
)，P(A
2
)，…，P(A
n< br>)有什么关系？
事件(A
1
+ A
2
+…+ A
n
)表示事件A
1
, A
2
,…,A
n
中有一个发生；P(A
1
+ A
2
+…+ A
n
)=
P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A）的概率是
11
,取到方片(事件B)的概率是 ,问：
44
(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？

P(C)=P(A∪B)= P(A)＋P(B)=0.5，
P(D)=1- P(C)=0.5.


例5 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的
概 率是
155
，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，
31212

试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？

111
,,.

464
课堂小结
1. 事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算；
2. 在一次试验中，两个互斥事件不能同时发 生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，
或者两个事件都不发生，两个对立 事件有且仅有一个发生；
3. 事件(A+B)或(A∪B),表示事件A与事件B至少有一个发生, 事件(AB)或A∩B,表事件A与
事件B同时发生.
4. 概率加法公式是对互斥事件而言的， 一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).


3.1随机事件的概率（一）
1.
问题提出
日常生活中，有些问题是能够准确 回答的.
例如: 明天太阳一定从东方升起吗？ 明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？
这些事情的发生都是必然的.
2.从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种 内在联系.
例如:
长沙地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但长沙地区一年里哪一天 最热，哪一天
最冷，哪一天降雨量最大，那一天下第一场雪等，都是不确定的、偶然的.
3.数 学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要.对于事情发生的必然性与偶然性，及偶
然性事情发生的 可能性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究.
知识探究（一）：必然事件、不可能事件和随机事 件
思考1：考察下列事件：
（1）导体通电时发热；
（2）向上抛出的石头会下落；< br>（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？
在条件S下，一定会发 生的事件，叫做相对于条件S的必然事件.
你能列举一些必然事件的实例吗？
思考3：考察下 列事件：
（1）在没有水分的真空中种子发芽；
（2）在常温常压下钢铁融化；
（3） 服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考4：我们把上述事 件叫做不可能事件，能指出不可能事件的一般含义吗？
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
你能列举一些不可能事件的实例吗？

思考5：考察下列事件：
（1）某人射击一次命中目标；
（2）马琳能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军；
（3）抛 掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件
就其发生与否有什么共同特点？
思考6：我们把上述 事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件.
你能列举一些随 机事件的实例吗？
归纳：
必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事 件，一般用大写字母
A，B，C，…表示.
思考7:对于事件A，能否通过改变条件，使事件A 在这个条件下是确定事件，在另一条件
下是随机事件？
你能举例说明吗？
知识探究 （二）：事件A发生的频率与概率
物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来 衡量.对于随机事
件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映.
思考1：在相 同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为n
A
，则称n
A
为事 件
A出现的频数，那么事件A出现的频率f
n
(A)等于什么？频率的取值范围是什么 ？
f
n
(A)?
n
A
n
[0,1]

思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示

抛掷次数正面向上次数频率

2 0481 0610.5181
4 0402 0480.5069

12 0006 0190.5016

24 00012 0120.5005
30 00014 9840.4996

72 08836 1240.5011

在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？

思考3：某农科 所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行了大量重复试验，结果如下表
所示：
130003000
每批粒
251070
数

3918062715
发芽的
24960

粒数

发芽的
10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905< br>频率

在上述油菜籽发芽的试验中，每批油菜籽发芽的频率的稳定值为多少？0.9 < br>思考4：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复
试验后 ，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如
何体现出来的？
事件A发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动.

思考5：既然 随机事件A在大量重复试验中发生的频率f
n
(A)趋于稳定，在某个常数附近摆
动， 那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A
发生的概率，记作 P（A）.那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？在
上述油菜籽发芽的试验中，油 菜籽发芽的概率是多少？
思考6：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件 下射击命中目
标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率.
思考7：在相同条件下，事件A在先后 两次试验中发生的频率f
n
(A)是否一定相等？事件A
在先后两次试验中发生的概率 P（A）是否一定相等？
频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概 率是一个确
定的数，是客观存在的，与每次试验无关.
思考8：必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？
思考9：概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？
思考10：怎样理解“4月3号长沙地区的降水概率为0.6”的含义？
例题讲解
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）如果a＞b，那么a一b＞0；
（2）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；
（3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;
（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；
（6）随机选取一个实数x，得|x|≥0.




例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数n
100

85

击中靶心次数m
m

击中靶心的频率
n
0.8
0. 95
0.880.920.89
0.91

（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？









课堂小结

1. 概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
2. 随机事 件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次
数的增加，事件A发生的 频率逐渐稳定在区间
[0，1]内的某个常数上（即事件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发 生的概率就越
大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就< br>越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
3. 任何事件的概率是0～1 之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概率
（接近1）事件则经常发生，知道随机事 件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.
作业：
《习案》：作业二十九
3.2古典概型（二）
1. 抛硬币（骰子）问题
1. 抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和出现7点的概率；
(2)出现两个4点的概率；
(3)点数之积为奇数的概率；
(4)点数之积为偶数的概率.
2.甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率.
小结1
列举法< br>1.有序实数对；2.树图；3.坐标系；4.乘法
2.排列问题
1. A，B，C，D 4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
(1)A在边上；
(2)A和B都在边上；
(3)A或B在边上；
(4)A和B都不在边上．
(5)A
、
B相邻

(6)A、B不相邻
树图列举法


3. 涂色问题 树图列举法
1. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率；
(3)相邻矩形颜色不同的概率．

4.抽取问题
1.在袋中有5个大小相同的球，2个是红球，3个是白球，从中任取2个，求
(1)恰好有1个红球的概率；
(2)至少有一个红球的概率；
(3)第一次取到的是红球，第二次取到的是白球；
(4)抽出1球，记录结果后放回再抽一次，两次都取到红球.




2.某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种 报”，
事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每
对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C； (2)B与E； (3)B与D；(4)B与C； (5)C与E.


3.一个盒 子里装有标号为1，2，…，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求
两张标签上的数字为 相邻整数的概率：
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．




4.甲袋中有1只白球、2只红球、3只黑球；乙袋中有2 只白球、3只红球、1只黑球，现从
两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.

抽取问题常用方法小结
①重复型：树图法；
②依次型：树图 ,有序对(组)；
③一次型：树图，无序集合.

3.2古典概型（三）
（整数值）随机数的产生
探究1：随机数的产生
思考1：对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一个数都称为随机数. 那
么你有什么办法产生1～20之间的随机数 . 抽签法
思考2：随机数表中的数是0～9之间的随机数，你有什么办法得到随机数表？
我们可 以利用计算器产生随机数，其操作方法见教材P130及计算器使用说明书.
我们也可以利用计算机产生 随机数，
用Excel演示:
（1）选定Al格，键人“＝RANDBETWEEN（0，9 ）”，按Enter键，则在此格中的数是
随机产生数；
（2）选定Al格，点击复制，然后选 定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，
则在A1至A100的数均为随机产生的0～9 之间的数，这样我们就很快就得到了100个0～
9之间的随机数，相当于做了100次随机试验.探究（二）：随机模拟方法
思考1：对于古典概型，我们可以将随机试验中所有基本事件进行编号 ，利用计算器或计算
机产生随机数，从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法，称为随 机模拟
方法或蒙特卡罗方法（Monte Carlo）.你认为这种方法的最大优点是什么？
不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.
思考2：用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币1 00次，那么如何统计这100次试验中“出现
正面朝上”的频数和频率.
知识迁移
例1 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟方 法估计这
三天中恰有两天下雨的概率约是多少？
要点分析：
（1）今后三天的天气状况是随机的，共有四种可能结果，每个结果的出现不是等可能的.
（ 2）用数字1，2，3，4表示下雨，数字5，6，7，8，9，0表示不下雨，体现下雨的概率
是40 %.
（3）用计算机产生三组随机数，代表三天的天气状况.
（4）产生30组随机数，相 当于做30次重复试验，以其中表示恰有两天下雨的随机数的频

率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近似值. Excel演示
（5）据有关概率原理可知，这三天中恰有两天下雨的概率P=3×0.42×0.6=0.288.
练习. 书本 P.133练习第1-4题.
习题讲评
1.某县城有两种报纸甲、 乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，
事件C为“至多订一种报”，事 件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每
对事件是不是互斥事件，如果是，再判 断它们是不是对立事件.
(1)A与C； (2)B与E； (3)B与D；(4)B与C； (5)C与E.







2.一 个盒子里装有标号为1，2，…，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求
两张标签上的数 字为相邻整数的概率：
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．




3.一袋子中有红球5个、黑球3个，先从中任取5个球，至少有1个红球的概率为（D）
544
A. B. C. D.1

995
作业《习案》作业三十三.

3.2古典概型（一）
1.
问题提出
两个事件之间的关系包括包含 事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算
包括和事件、积事件，这些概念的含义分别如何 ？
若事件A发生时事件B一定发生，则 A?B .
若事件A发生时事件B一定发生， 反之亦然，则A=B.
若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥.
若事件A与事件B有且只 有一个发生， 则A与B相互对立.
2. 概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？若事件A与事件B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).
若事件A与事件B相互对立，则 P(A)+P(B)=1.
3. 通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法 耗时多，操作不方
便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算 事件

概率的通用方法.
知识探究（一）：基本事件
思考1 ：抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有
哪几种可能结果？< br>（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反）；
（正，正，正 ），（正，正，反），
（正，反，正），（反，正，正），
（正，反，反），（反，正，反），
（反，反，正），（反，反，反）.
思考2：上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这 类事件称为基本事件.在一次试验
中，任何两个基本事件是什么关系？
互斥关系
思考 3：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，
“至少出现两次 正面”分别由哪些基本事件组成？
例1：从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪 些基本事件？
事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
解：所求的基本事件有6个，
A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，
D={b，c}，E={b，d}，F={c，d }；
“取到字母a”是A+B+C.
练习1、
把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为 x
1. 求出x的可能取值情况
2. 下列事件由哪些基本事件组成
（1）x的取值为 2的倍数（记为事件A）
（2）x的取值大于3（记为事件B）
（3）x的取值为不超过2（记 为事件C）
知识探究（二）：古典概型
思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子，每个基本事件出现 的可能性相等吗？
思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等 吗？
如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现
的可 能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型.
练习2
（1）从所有 整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
不是，因为有无数个基本事件.
（2）在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？
不是，因为命中的环数的可能性 不相等.

思考3：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是 多少？你
能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？

P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= P(“4点”)=P(“5点”)= P(“6点”)
P(“1点”)+ P(“2点”)+ P(“3点”)+ P(“4点”)+P(“5点”)+ P(“6点”)=1
思考4：一般地，如果一个古典概型共有n 个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发
生的概率为多少？
1

n思考5：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶
数点”的 概率如何计算？“出现不小于2点” 的概率如何计算？
思考6：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本 事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2
点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现 ？
P（“出现偶数点”）=“出现偶数点”所包含基本事件的个数”基本事件的总数；
P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数” 基本事件的总数.

知识探究（二）：古典概型
P（A）= 事件A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数.

从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事 件组成全集U，
事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P（A）等于什么？特别
地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？
例1 单选题是标准化考试中常用的题型， 一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确
答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正 确的答案，假设考生不会做，他随机
地选择一个答案，问他答对的概率是多少？0.25]





例2 同时掷两个骰子，计算：
(1) 一共有多少种不同的结果？
(2) 其中向上的点数之和是7的结果有多少种？
(3) 向上的点数之和是5的概率是多少？
解（1）掷一个骰子的结果有6种。我们把两个标上记号1、2以便区分，由于1号骰子 的
每 一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同
时掷两个骰子的 结果共有36种。
（2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有（1，4），（2，3） （3，2）（4，1）
其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。
（ 3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4
种，因此，由古 典概型的概率计算公式可得
P（A）=436=19
例3 假设储蓄卡的 密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的
任意一个.假设一个人完全忘记 了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码
就能取到钱的概率是多少？0.00001

例4 某种饮料每箱装6听，如 果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽
出2听，求检测出不合格产品的概率.
解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品。分为两种情况，
1听不合格和2听都不合格。
1听不合格：A
1
={第一次抽出不合格产品}
A
2
={第二次抽出不合格产品}
2听都不合格：A
12
={两次抽出不合格产品}
而A
1
、A
2
、A
12
是互不相容事件，所以检测出不合格产品这个事件所包含的 基本事件数为
16＋2＝18。因此检测出不合格产品的概率为8÷30+8÷30+2÷30=0.6
课堂小结
1. 基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验 中的事件A
可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的.
2. 有限性和等可能 性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)=事件A所包含的基
本事件的个数÷基本事件的总 数，只对古典概型适用
课后作业
《习案》作业三十二

3.3几何 概型（二）
一、概率与线性规划的交汇问题
1假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:3 0～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开
家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把 “你父亲在离开家之前能得到报纸”称为
事件A，求P(A).
2. 甲乙两人相约上午8点到 9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲
乙两人能会面的概率.
3. 将一长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一三角形的概率是多少？




4.已知|x|＃2，|y|2，点P的坐标为(x,y)

22
（1）当x,y?Z时，求点P在区域(x2)+(y-2)?4内的概率；

（2)
2
+(y-2)
2
?4内的概率；

2）当x,y?R时，求点P在区域(x

二、抽取与分组问题

1.把五个人A、B、C、D、E分成甲、乙两组

（

1）若甲组2人，乙组3人，求A、B同组的概率；
(2)

若一组2人，另一组3人，求A、B同组的概率.




2. 在一个盒中装有6支圆珠笔.其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支，
问下列事件的概率有多大？
(1) 恰有一支一等品；
(2) 恰有两支一等品；
(3) 没有三等品.
【答案】（1）
1
93
（2） （3）
2
2020
3. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，
试求下列事件的概率，并说明它们的关系：
(1) 取出的鞋不成对；
(2) 取出的鞋都是左脚的；
(3) 取出的鞋都是同一只脚的；
(4) 取出的鞋是一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对.






三、概率与方程、函数的交汇问题

1.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记做b，求方

ì
?
ax
+
by
=
3

?
程组
í
，只有一组解的概率.
x+2y=2
?

?
?





2.若a是区间[8,20]内的任意一个整数，求对任意一个a使得

函数y=x
2
-8x+a有零点的概率。

3.在区间[1,10]内随机取一个数，求这个数是函数 y=x
2
+2x+（5x?[2,1]）的

一个函数值的概率.






4.在区间[0,5]内随机选一个数，求它是 不等式log
2
(x-1)<1的解的概率.





作业
《习案》 作业：三十五

3.3几何概型（一）
知识探究（一）：几何概型的概念
思考1：
某班公交车到终点站的时间可能是11:30～12:00之间的任何一个时刻； 往一个方格
中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.
这两个试验可能出现的 结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出
现的可能性是否相等？
思考2： 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否
则乙获胜.你认为甲获 胜的概率分别是多少？
B
N
N
B
B
N
B
N
B
N
BN
思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它 所在位置都是可以变化
的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素 无关？
与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.
思考4：如果每个事件发生 的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称
这样的概率模型为几何概型. 参照古典 概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？
（1）可能出现的结果有无限多个；
（2）每个结果 发生的可能性相等.
知识探究（二）：几何概型的概率
对于具有几何意义的随机事件，或可以化 归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特
性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.

思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度 都不小
于1m的概率是多少？你是怎样计算的？
思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环， 从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，
靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直 径是122cm，黄心直径是12.2cm，
运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶 面内任何一点，那么如何计算射中
黄心的概率？
思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病 毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水
中含有病毒的概率是多少？
思考5：一般地，在几 何概型中事件A发生的概率有何计算公式？
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
理论迁移
例1 某人午觉醒来，发 现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于
10分钟的概率.(假设电台整点报时 )

思考6：向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在
正方形中心的概率分别是多少？由此能说明什么问题？
概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生.

例2 在下图的正 方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.假设正方
形边长为2，正方形内豆子数 为n,圆内豆子数为m.




y
例3 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x
2
所围成的图形的面积.

1


1
-1
0


以直线x= 1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀随
机点的频率 ，则所求区域的面积=频率×2.



例4.在一边长为2的正六边形的 纸片上，有一个半径为R的半圆孔，随机向该纸片投掷一
x
粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔穿过的 概率为
3
?
，则R=_________.
6

例5.如图，设一个质点等可能地落在xOy面上的三角形区域D内，D是由直线 x?0，y?0,
x?y?2所围成的，设事件A为“质点落在直线y?1的下侧”，求P(A).










y
2
B
EDF
1
D
1
O
A
21
x
例6.如图，是一个容量为70的样本的频率分布直方图，数据在[3,5 ]内的频数为m，现向
该频率分布直方图内（即5个小长方形内）抛掷一点，则该点落在阴影部分的概率 是
0.7，求m

频率组距




x
12
4
小结
1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机 数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随
机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间 内的整数.
2. 利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一 系
列问题，体现了数学知识的应用价值.
3. 用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想 是，构造一个包含这个图形的规则图形作
为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图 形的面积之比近似等于分别
落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
4. 利 用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操
作方 法要通过上机实习才能掌握.
5 如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的 可能性相等，那么该
试验可以看作是几何概型.
6 几何概型是不同于古典概型的又一个最基 本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结
果的几何量可以是长度、面积或体积.
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）


《习案》 作业：三十四

分类计数原理与分步计数原理
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽 车.一天里火车有3班，汽车有2班.那么一天中，
乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走 法？
共有3＋2＝5种不同的走法．
火车1
火车2
甲地
火车3
汽车1
汽车2
乙地
分类计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中 有m
1
种不同的方法，在第2类办法中有m
2
种不同的方法……在第n类办法 中有m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m
1
＋m
2
＋…＋m
n
种不同的办法．
对于分类计数原理，注意 以下几点：
⑴从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，< br>所以分类计数原理又称加法原理；
⑵分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在 确定的分类标准下进行分类；
⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种 方法都是不同
的方法．
2. 从甲地到乙地，先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地．一天中从甲地 到丙地火车有3班，
从丙地到乙地汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种 不同的
走法？
火车1
共有3×2＝6种不同的走法．
火车2
甲地火车3
丙地
汽车1
乙地
汽车2
分步计数原理
完成一件事 ，需要分成n个步骤，做第1步有m
1
种不同的方法，做第2步有m
2
种不同
的方法……做第n步有m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m
1
×m
2
×…×m
n
种不同的办法．
对于分 步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了 ，这件事才算完成；
分步计数原理又叫乘法原理．
⑵分步时首先要根据问题的特点确定一个分步 的标准；
⑶分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n 个步骤后这件事才算完成．两个原理的相同之处：
⑴目的相同：都要“做一件事并完成它”
⑵所问相同：即问“共有几 种不同方法”
两个原理的不同之处：
分类计数用于分类，各类间独立、互斥．各类中任何一种方法都能够独立完成这件事．
分步计数原理用于分步，步步相扣，缺一不可，只有各个步骤都完成了，才算完成这件
事．
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有

2本不同的体育书．
⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
解：⑴N＝m
1
＋m
2
＋m
3
＝4＋3＋2＝9． (分类计数原理)
⑵N＝m
1
×m
2
×m
3
＝4×3×2＝24．(分步计数原理)
课堂练习
1．填空：
⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人 会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法
完成，从中选出1人来完成这件 工作，不同选法的种数是有 9种．
(分类计数原理) 5＋4=9
⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不
同走法的种数是 6种 ．
(分步计数原理) 3×2=6
2．现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名．
⑴从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
⑵从三个年级的学生中各选1人参加外宾的活动，有多少种不同的选法？
(1) 3＋5＋4=12 (分类计数原理)
⑵ 3×5×4=60 (分步计数原理)

例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9这10个数字，这4个拨号盘可以
组成多少个四位数字号码？


3．一城市的某电话局管辖范围内的电话号 码由八位数字组成，其中前四位数字是统一的，
后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么不同的电话 号码最多有多少个？

例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？



4．从5位同学中产生1名组长、1名副组长，有多少种不同的选法？



课堂小结
1. 分类计数原理； 2. 分步计数原理.
课后作业
《习案》三十六.