高中数学第一章解三角形1.2.1正余弦定理在实际中的应用学案含解析新人教A版必修5

学 习 资 料 专 题

1．2.1 正、余弦定理在实际中的应用

测量中的基本术语
[提出问题]
李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．
问题1：李尧家在学校的哪个方向？
提示：东南方向．
问题2：能否用角度再进一步确定其方位？
提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.
[导入新知]
实际测量中的有关名称、术语




称

基线

仰角

定义

在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水
平线的夹角

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水
平线的夹角


从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方
方向角

向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小
于90°)


南偏西60°(指以正南方向为始
边，转向目标方向线形成的角)


图示
俯角

唐玲

方位角

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过
的水平角


[化解疑难]
解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析 已知三
角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.

测量高度问题
[例1] 如图，为了测量河对岸的塔高
AB
，有不同的方案 ，其中之一
是选取与塔底
B
在同一水平面内的两个测点
C
和
D
，测得
CD
＝200米，在
C
点和
D
点测得塔顶
A
的仰角分别是45°和30°，且∠
CBD
＝30°，求塔
高AB
.
[解] 在Rt△
ABC
中，∠
ACB
＝45 °，若设
AB
＝
h
，则
BC
＝
h
；在Rt △
ABD
中，∠
ADB
＝30°，则
BD
＝3
h< br>.
在△
BCD
中，由余弦定理可得
CD
2
＝BC
2
＋
BD
2
－2·
BC
·
BD< br>·cos∠
CBD
，
即200＝
h
＋(3
h
)－2·
h
·3
h
·
22
222
3
，
2
所以
h
＝200，解得
h
＝200(
h
＝－200舍去)，
即塔高
AB
为200米．
[类题通法]
测量高度问题的要求及注意事项
(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果 既有方向角(它是在水平面上
所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时 ，可画立体图形和平
面图形两个图，以对比分析求解．
(2)方向角是相对于在某地而言的， 因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方
向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理 解题意时，应把它看活，否则在理解
题意时将可能产生偏差．





唐玲

[活学活用]
( 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
A
处时测得公路北侧一
山顶
D
在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达
B
处，测得此山顶在 西偏北75°的方向
上，仰角为30°，则此山的高度
CD
＝________m.

解析：由题意，在△
ABC
中，∠
BAC
＝30°，
∠
ABC
＝180°－75°＝105°，故∠
ACB
＝45°.
又
AB
＝600 m，故由正弦定理得
600
BC
sin 45°
＝
sin 30°
，
解得
BC
＝3002 m.
在Rt△
BCD
中，
CD
＝
BC
·tan 30°＝3002×
3
3
＝100 6(m)．
答案：1006
测量角度问题
[例2] 如图，在海岸
A
处，发现北偏东45°方向，距
A
处(3－
1)n mile的
B
处有一艘走私船，在
A
处北偏西75°的方向，距离
A
处2 n
mile的
C
处的缉私船奉命以103 n mileh的速度追截走私船．此时，
走私船正以10 n mileh的速度从
B
处 向北偏东30°方向逃窜，问：缉
私船沿着什么方向能最快追上走私船？
[解] 设缉私船用
t
h在
D
处追上走私船，
则有
CD
＝103
t
，
BD
＝10
t
，
在△
AB C
中，∵
AB
＝3－1，
AC
＝2，∠
BAC
＝1 20°，
∴由余弦定理，得
BC
2
＝
AB
2
＋
AC
2
－2
AB
·
AC
·cos ∠
BAC

＝(3－1)
2
＋2
2
－2·(3－1)·2·cos 120°
＝6，
∴
BC
＝6，
且sin ∠
ABC
＝
AC
·sin ∠
BAC
＝
2
BC
6
·
3
2
＝
2
2
.
唐玲

∴∠
ABC
＝45°.
∴
BC
与正北方向垂直．
∵∠
CBD
＝90°＋30°＝120°，
在△
BCD
中，由正弦定理，得
sin ∠
BCD
＝
BD
·sin ∠
CBD
10
t
sin 120°1
＝＝，
CD
2
103
t
∴∠
BCD
＝30°.
即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．
[类题通法]
解决追及问题的步骤
(1)把实际问题转化为数学问题；
(2)画出表示实际问题的图形， 并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或
余弦定理，就容易解决问题了；
(3)最后把数学问题还原到实际问题中去．
[活学活用]
某货船在索马里海域航 行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我
海军护航舰在
A
处获悉后，立即测出该货船 在方位角为45°，距离为
10海里的
C
处，并测得货船正沿方位角为105°的方向 ，以10海里小
时的速度向前行驶，我海军护航舰
立即以103 海里小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
解：设护航舰靠近货船所用时间为
t
小时．在△
ABC
中，根据余弦定理，有
AB
2
＝
AC
2
＋
BC
2
－2
AC
·
BC
cos 120°，
可得(103
t
)＝10＋(10
t)－2×10×10
t
cos 120°，
1
2
整理得2t
－
t
－1＝0，解得
t
＝1或
t
＝－(舍去 )．
2
所以护航舰靠近货船需要1小时．
此时
AB
＝103，
BC
＝10，
又
AC
＝10，所以∠
CAB
＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°.
222


1.探究距离测量问题

唐玲

测量距离问题分为三种类型： 两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不
可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测 量点，构造三角形，将问题转化为求某个三
角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．


【角度一】 两点间不相通的距离
[例1] 如图所示，要测量一水塘两侧A
，
B
两点间的距离，其方
法为先选定适当的位置
C
， 用经纬仪测出角α，再分别测出
AC
，
BC
的长
b
，
a
，则可求出
A
，
B
两点间的距离．
即
AB
＝
a
＋
b
－2
ab
cos α.
若测得
CA
＝400 m，
CB
＝600 m，∠
ACB
＝60°，试计算
AB
的长度．
[解] 在△
ABC
中，由余弦定理得
22
AB
2
＝
AC
2
＋
BC
2
－2
AC
·
BC
·c os∠
ACB
，
∴
AB
＝400＋600－2×400×600×cos 60°＝280 000.∴
AB
＝2007 m.
即
A
，
B
两点间的距离为2007 m.
【角度二】 两点间可视但有一点不可到达
[例2] 如图所示，
A
，
B
两点在 一条河的两岸，测量者在
A
的同侧，且
B
点不可到达，
要测出
A
，
B
的距离，其方法为在
A
所在的岸边选定一点
C，可以测出
A
，
C
的距离
m
，再借
助仪器，测 出∠
ACB
＝α，∠
CAB
＝β，在△
ABC
中，运用正弦 定理就可以求出
AB
.
若测出
AC
＝60 m，∠
BAC
＝75°，∠
BCA
＝45°，则
A
，
B
两点间的 距离为________m.
222

[解析] ∠
ABC
＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得＝，
sin
C
sin
B
∴
AB
＝
ABAC
AC
·sin
C
60×sin 45°
＝＝206(m)．
sin
B
sin 60°
即
A
，
B
两点间的距离为206 m.
[答案] 206
【角度三】 两点都不可到达
[例3] 如图，
A
，
B
两点在河的同侧，且
A
，
B
两点均不可到 达，测出
A
，
B
的距离，其
方法为测量者可以在河岸边选定两点C
，
D
，测得
CD
＝
a
，同时在
C< br>，
D
两点分别测得∠
BCA
＝α，∠
ACD
＝β，∠
CDB
＝γ，∠
BDA
＝δ.在△
ADC
和△
BD C
中，由正弦定理分别计算出
AC
唐玲

和
BC，再在△
ABC
中，应用余弦定理计算出
AB
.
若测得
CD
＝
间的距离．
3
km，∠
ADB< br>＝∠
CDB
＝30°，∠
ACD
＝60°，∠
ACB
＝45°，求
A
，
B
两点
2

[解] ∵∠
ADC
＝∠
ADB
＋∠
CDB
＝60°，∠
ACD
＝60°，
∴∠
DAC
＝60°，
∴
AC
＝
DC
＝
3
.
2
在△
BCD
中，∠
DBC
＝45°，由正弦定理，得 < br>3
2
DC
6
BC
＝·sin∠
BDC
＝·s in 30°＝.
sin∠
DBC
sin 45°4
在△
ABC
中，由余弦定理，得
AB
2
＝
AC
2
＋
BC
2
－2
AC
·
BC
·cos 45°
333623
＝＋－2×××＝.
482428
∴
AB
＝
6
km.
4
6
km.
4
∴
A
，
B
两点间的距离为

[随堂即时演练]
1．若
P
在
Q
的北偏东44°50′方 向上，则
Q
在
P
的( )
A．东偏北45°10′方向上
B．北偏东45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南45°50′方向上
解析：选C 如图所示，点
Q
在点
P
的南偏西44°50′的方向上．

唐玲

2．海上有
A
，
B
两个小岛相距10 海里，从
A
岛望
C
岛和
B
岛成60°的视角，从
B
岛望
C
岛和
A
岛成75°的视角，则
B
，
C
间的距离是( )
A．103 海里
C．52 海里
B.
106
海里
3
D．56 海里
解析：选D 如图，
C
＝180°－60°－75°＝45°，
AB
＝10，
10
BC
由正弦定理得＝，
sin 45°sin 60°
∴
BC
＝56(海里)，故选D.
3．如图，线段
AB，
CD
分别表示甲、乙两楼，
AB
⊥
BD
，
C D
⊥
BD
，从甲
楼顶部
A
处测得乙楼顶部
C
处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部
D
的俯
角β＝60°，已知甲楼高
A B
＝24米，则乙楼高
CD
＝________米．
解析：过
A< br>作
AE
⊥
CD
(图略)，垂足为
E
，
ED< br>＝
AB
＝24米，则
AE
＝
24
＝＝83(米)．
tan 60°
3
在Rt△
ACE
中，
CE
＝AE
·tan 30°＝83×
∴
CD
＝
CE
＋
ED
＝8＋24＝32(米)．
答案：32
4.如图，为了测量河的宽度，在一 岸边选定两点
A
，
B
，望对岸的标记物
C
，测得∠
CAB
＝45°，∠
CBA
＝75°，
AB
＝120米，则河的宽度 为________米．
3
＝8(米)，
3
ED

解析：∠
ACB
＝180°－45°－75°＝60°，
在△
ABC
中，＝.
sin∠
ACB
sin∠
CAB
sin 45°1202
∴
BC
＝120·＝，
sin 60°
3
1202
河宽为
BC
sin∠
CBA
＝sin 75°＝20(3＋3)米.
3
答案：20(3＋3)
5.如图，位于
A
处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的
B
处有一艘渔船遇险，在原地等待 营救．信息中心立即把消息告知在其南
ABBC
唐玲

偏西30°、相 距20海里的
C
处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线
CB
前往
B
处救援，
求cos θ的值．
解：如题中图所示，在△
ABC
中，
AB
＝40，
AC
＝20，∠
BAC
＝120°，
由余弦定理知，
BC
2
＝
AB
2
＋
AC
2
－2
AB
·
AC
·cos 120°＝2 800?
BC
＝207.
由正弦定理，得＝
?
sin∠
ACB
sin∠
BAC
sin∠
ACB
＝·sin∠
BAC
＝
ABBC
AB
BC
21
.
7
由∠
BAC
＝120°，知∠
ACB
为锐角，
27
则cos∠
ACB
＝.
7
由θ＝∠
ACB
＋30°，得cos θ＝cos(∠
ACB
＋30°)＝cos∠
ACB
cos 30°－sin∠
ACB
sin
30°＝
21
.
14
[课时达标检测]
一、选择题
1．从
A
处望B
处的仰角为α，从
B
处望
A
处的俯角为β，则α，β的关系为 ( )
A．α＞β
C．α＋β＝90°
B．α＝β
D．α＋β＝180°
解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图．
知α＝β，故应选B.

2．两灯塔
A
，
B
与海 洋观察站
C
的距离都等于
a
(km)，灯塔
A
在
C
北偏东30°，
B
在
C
南偏东60°，则
A
，B
之间的距离为( )
A.2
a
km
C．
a
km
B.3
a
km
D．2
a
km
解析：选A △
ABC
中，
AC
＝
BC
＝
a
km，∠
ACB
＝90°，
AB
＝2
a
km.
3．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长
坡面 的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5 B．10
唐玲

C．102 D．103
解析：选C 如图，设将坡底加长 到
B
′时，倾斜角为30°，在△
ABB
′中，利用正弦
定理可求得
BB
′的长度．

在△
ABB
′中，
B
′＝30°，
∠
BAB
′＝75°－30°＝45°，
AB
＝10 m，
由正弦定理，得
2
10×
2
AB
sin 45°
BB
′＝＝＝102 (m)．
sin 30°1
2
∴坡底延伸102 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
4．一船自西向 东匀速航行，上午10时到达一座灯塔
P
的南偏西75°距塔68海里的
M
处 ，下午2时到达这座灯塔的东南方向的
N
处，则这只船的航行速度为( )
A.
176
海里小时
2
B．346 海里小时
C.
172
海里小时
2
D．342 海里小时
解析：选A 如图所示，在△
PMN
中，＝，
sin 45°sin 120°
PMMN

68×3
MN
17
∴
MN＝＝346，∴
v
＝＝6 (海里小时)．
42
2


5.如图，甲船以每小时302 海里的速度向正北方向航行，乙船按固
定方向匀速直线航行， 当甲船位于
A
1
处时，乙船位于甲船的北偏西105°
方向的
B1
处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达
A
2
处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的
B
2
处，此时两船相距102 海里，
则乙船每小时航行( )
唐玲

A．102 海里
C．30海里
B．202 海里
D．302 海里
解析：选D 如图 ，连接
A
1
B
2
，在△
A
1
A
2
B
2
中，
易知∠
A
1
A
2
B
2
＝60°，
1
又易求得
A
1
A
2
＝302×＝102＝
A< br>2
B
2
，
3

∴△
A
1
A
2
B
2
为正三角形，∴
A
1
B
2
＝102.
在△
A
1
B
1
B
2
中，易 知∠
B
1
A
1
B
2
＝45°，
∴
B
1
B
2
＝400＋200－2×20×102×
2
2< br>＝200，
2
∴
B
1
B
2
＝102，∴乙船每小时航行302 海里．
二、填空题
6．某人从
A
处出发，沿北偏东60°行走33 km到
B
处，再沿正东方向行走2 km到
C
处，则
A
，
C
两地距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知
AB
＝33，
BC
＝2，∠
ABC
＝150°.

由余弦定理，得
AC
2
＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，
AC
＝7.
则
A
，
C
两地距离为7 km.
答案：7
7． (四川高考)如图，从气球
A
上测得正前方的河流的两岸
B
，
C的俯角分别为67°，
30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度
BC
约等 于________m．(用四舍五入法将结果精
确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，
3≈1.73)
唐玲

解析：过
A< br>作
BC
边上的高
AD
，
D
为垂足．
在Rt△
ACD
中，
AC
＝92，
在△
ABC
中，由正弦定理，
AC
92
得
BC
＝×sin∠
BAC
＝×sin 37° ≈
sin∠
ABC
sin 67°
92
×0.60＝60(m)．
0.92
答案：60
8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile
后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.

解析：如图所示，
B
是灯塔，
A
是船的初始位置，
C
是船航行后的位置，
则
BC
⊥
AD
，∠
DAB
＝30°，
∠
DAC
＝60°，则在Rt△
ACD
中，
DC
＝
AC
sin ∠
DAC
＝30sin 60°＝153 n mile，
AD
＝
AC
cos ∠
DAC
＝30cos 60°＝15 n mile，
则在Rt△
ADB
中，
DB
＝
AD
tan∠
DAB
＝15tan 30°＝53 n mile，
则
BC
＝
DC
－
DB
＝153－53＝103 n mile.
答案：103
三、解答题
9．某地电信局信号转播塔建在一山坡上， 如图所示，施工人员欲在山坡上
A
，
B
两点处
测量与地面垂直的塔< br>CD
的高，由
A
，
B
两地测得塔顶
C
的仰角 分别为60°和45°，又知
AB
的长为40 m，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度．

唐玲

解：如图所示，由题意，得
∠
ABC
＝45°－30°＝15°，
∠
DAC
＝60°－30°＝30°.
∴∠
BAC
＝150°，∠
ACB
＝15°，
∴
AC
＝
AB
＝40 m，∠
ADC
＝120°，∠
ACD
＝30°，
在△
ACD
中，由正弦定理，得
CD
＝
＝
＝sin∠
CAD
·
AC

sin∠
ADC
sin 30°
·40
sin 120°
403
(m)．
3
403
故转播塔的高度为m.
3
10．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途
测得塔的最大仰角为30°，求塔高．

解：设
B
为塔正东方向一点，
AE
为塔，沿南偏西60°行走40 m后到达
C
处，
即
BC
＝40，
且∠
CAB
＝135°，
∠
ABC
＝30°，
如图在△
ABC
中，
AC
AC
sin∠
ABC
即
＝，
sin∠
CAB
BC
40
＝，
sin 30°sin 1 35°
∴
AC
＝202.由点
A
向
BC
作垂线AG
，此时仰角∠
AGE
最大等于30°.
在△
ABC
中，
∠
ACB
＝180°－135°－30°＝15°
AG
＝
AC
sin15°＝202 sin 15°
＝10(3－1)．
唐玲

10
∴
AE
＝
AG
·tan 30°＝
即塔高为
－3
3

m.
3－3
3
.
11．甲船在
A
处观察到乙船在它的北偏东6 0°方向的
B
处，两船相距
a
海里，乙船正
向北行驶，若甲船速度是 乙船速度的3倍，问：甲船应往什么方向前进才能在最短时间内
追上乙船？此时乙船行驶多少海里？
解：设甲沿直线与乙船同时到达
C
点，
则
A
，
B
，
C
构成一个△
ABC
，
如图，设乙船速度为
v
，

则甲船速度为3
v
，到达
C
处用时为
t
.
由题意
BC
＝
vt
，
AC
＝3
vt
，∠
ABC
＝120°.
在△
ABC
中，
由余弦定理得 < br>AC
2
＝
AB
2
＋
BC
2
－2AB
·
BC
·cos 120°，
∴3
vt
＝
a
＋
vt
＋
avt
.
∴2
vt
－
avt
－
a
＝0，解得
vt< br>＝－(舍)或
vt
＝
a
.
2
∴
BC
＝
a
.
在△
ABC
中
AB
＝
BC
＝
a
，
∴∠
BAC
＝∠
ACB
＝30°.
答：甲船应往北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶
a
海里．
12．< br>A
，
B
，
C
是一条直路上的三点，
AB
＝< br>BC
＝1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔
222
22222
a
P
，在
A
处看见塔在东北方向，在
B
处看见塔在正东方向 ，在
C
处看见塔在南偏东60°方向，
求塔到直路的距离．
解：如图所示， 过
C
、
B
、
P
分别作
CM
⊥
l< br>、
BN
⊥
l
、
PQ
⊥
l
，垂足分别 为
M
、
N
、
Q
.
设
BN
＝
x
，
即
PQ
＝
x
，
PA
＝2
x
，
∵
AB
＝
BC
，
唐玲

∴
CM
＝2
BN
＝2
x
，
PC
＝2
PQ
＝2
x
.
在△
PAC
中，由余弦定理得：
AC
2
＝
PA< br>2
＋
PC
2
－2
PA
·
PC
·co s 75°，
即4＝2
x
＋4
x
－42
x
·解得
x
＝
2
222
6－2
，
4
＋3
.
13
过
P
作
PD
⊥< br>AC
，垂足为
D
.
则线段
PD
的长为塔到直路的距离．
∵sin ∠
BAN
＝
x
，cos ∠
BAN
＝1－
x
，
∴sin ∠
CAP
＝si n(135°－∠
BAN
)＝
2
2
(
x
＋1－x
)
2
2
PD
＝
AP
sin ∠
CAP
＝
x
(
x
＋1－
x
2
)
＝
x
＋
x
＝
22
－
x
2

8＋23
＋
13
8＋235－23
×
1313
＝
8＋2328－638＋2333－17＋53
＋＝＋＝.
1313131313
7＋53
答：塔到直路的距离为 km.
13

唐玲