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2019年高考真题理科数学分类汇编解析版全套含答案打包下载可编辑

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 22:01
tags:高中数学视频下载

人教版高中数学必修几本-单元双测高中数学必修4答案

2020年9月21日发(作者:于村)


专题1 集合与常用逻辑用语
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合
M?{x|?4?x?2},N?{x|x?x?6?0}
,则
M
A.
{x ?4?x?3
?

C.
{x?2?x?2
?

【答案】
C
【解析】由题意得
M?{x|?4?x?2},N?{x|x? x?6?0}?{x|?2?x?3}


M
2
2
N
=


B.
{x?4?x??2
?

D.
{x2?x?3
?

N?{x|?2?x?2}

故选
C

【名师点睛】注意区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者所有的部分.
2< br>.【
2019
年高考全国Ⅱ卷理数】设集合
A={x|x
2
– 5x+6>0}

B={x|x–1<0}
,则
A

B=
A

(–
∞,
1)
C

(–3

–1)
【答案】
A
【解 析】由题意得,
A?{x|x?5x?6?0}?{x|x?2

x?3}

B?{x|x?1?0}?{x|x?1}
,则
2
B

(– 2

1)
D

(3

+

)

AB?{x|x?1}?(??,1)

故选
A

【名师点睛】本题考点为集合的运算,为基础题目.
3
.【
2019
年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合
A?{?1,0,1,2},B?{x|x
2
?1}
,则
A
A

?
?1,0,1
?

C

?
?1,1
?

【答案】
A
2
【解析】∵
x?1,

?1?x?1
,∴
B?x?1? x?1

B?



B

?
0,1
?

D

?
0,1,2
?

??

A ?{?1,0,1,2}
,∴
A
故选
A

B?
?
?1,0,1
?
.
【名师点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题
.


4.【201 9年高考天津理数】设集合
A?{?1,1,2,3,5},B?{2,3,4},C?{x?R|1? x?3}
,则
(A
A.
?
2
?

C.
?
?1,2,3
?

【答案】
D
【解析】因为
A
故选
D
.


B.
?
2,3
?

D.
?
1,2,3,4
?

C)B?

C?{1,2}
,所以
(AC)B?{1,2,3,4}
.
【名师 点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结
合,即借 助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.
5
.【
2019
年高考浙江】已知全 集
U?
?
?1,0,1,2,3
?
,集合
A?
?< br>0,1,2
?

B?
?
?1,0,1
?
,则
(?
U
A)
A

?
?1
?

C

?
?1,2,3
?

【答案】
A < br>【解析】∵
?
U
A?{?1,3}
,∴
?
U
A
故选
A.

【名师点睛】注意理解补集、交集的运算
.
6
.【
2019
年高考浙江】若
a>0

b>0
, 则“
a+b

4
”是


ab

4
”的

A
.充分不必要条件

C
.充分必要条件

【答案】
A
【解析】当
a>0, b>0
时,
a?b?2 ab
,则当
a?b?4
时,有
2ab?a?b?4
,解得
a b?4
,充
分性成立;

a=1, b=4
时,满足
ab?4
,但此时
a+b=5>4
,必要性不成立,
综上所述,“
a?b?4
”是“
ab?4
”的充分不必要条件
.
故选
A.
【名师点睛】易出现的错误:一是基本不等式掌握不熟练,导致判断 失误;二是不能灵活地应用“赋值
法”,通过取
a,b
的特殊值,从假设情况下推出合 理结果或矛盾结果
.
B
.必要不充分条件

D
.既不充分也不必要条件

B

?
0,1
?

D

?
?1,0,1,3
?

B
=
??
B?{?1}
.


7.【2019年高考天津理数】设< br>x?R
,则“
x
2
?5x?0
”是“
|x?1|?1
”的
A.充分而不必要条件
C.充要条件
【答案】
B 【解析】由
x
2
?5x?0
可得
0?x?5
,由
|x?1|?1
可得
0?x?2

易知由
0?x?5
推不出
0?x?2


0?x?2
能推出
0?x?5


0?x?5

0?x?2
的必要而不充分条件,
即“< br>x
2
?5x?0
”是“
|x?1|?1
”的必要而不充分条件 .
故选
B.

【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题的关键是由所给的 不等式得到
x
的取值范围.

8
.【
2019
年高 考全国Ⅱ卷理数】设
α

β
为两个平面,则
α

β
的充要条件是

A

α
内有无数条直线与
β
平行

C

α

β
平行于同一条直线

【答案】
B
【解析】由面面平行的判定定理知:
?
内有两条相交直 线都与
?
平行是
?

?
的充分条件;
由面面平行 的性质定理知,若
?

?
,则
?
内任意一条直线都与
?
平行,所以
?
内有两条相交直线都与
B

α
内 有两条相交直线与
β
平行

D

α

β
垂直于同一平面


B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
?
平行是
?

?
的必要条件.

α
β
的充要条件是
α
内有两条相交直线与
β
平行
.

故选
B

【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行 的判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观
臆断.

9

B

C
不共线,【
2019
年高考北京理数】设点
A
,则“
AB

AC
的夹角为锐角”是“
|AB?AC|?|BC|< br>”


A
.充分而不必要条件

C
.充分必要条件

【答案】
C

B
.必要而不充分条件

D
.既不充分也不必要条件


【解析】∵
A
?
B
?
C
三点不共线,∴
|
AB
+
AC
|>|
BC
|
?
|
AB
+
AC
|>|
AC
-
AB
|
?
|
AB
+
AC
|
2
>|
AC
-
AB
|
?AB
·
AC
>0
?AB
AC
的夹角为锐角,

2


AB

AC
的夹角为锐角


“|
AB
+
AC
| >|
BC
|”
的充分必要条件
.
故选
C.
【名 师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归的
数学 思想.

10.【2019年高考江苏】已知集合
A?{?1,0,1,6}

B?{x|x?0,x?R}
,则
A
【答案】
{1,6}

【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可
.
由题意知,
A
B?
▲ .
B?{1,6}
.
【名师点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题
.
专题2 函数的概念与基本初等函数I
a?log
2
0.2,b?2
0.2
,c?0.2
0.3
,则 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知

A.
a?b?c

C.
c?a?b

【答案】
B
【解析】
a?log
2
0.2?log
2
1?0,
b?2
0.2


B.
a?c?b

D.
b?c?a

?2
0
?1,

0?c?0.2
0.3
?0.2< br>0
?1,

0?c?1,


a?c?b


故选
B


【 名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较,考查了数学运算的素养.采取中间量法,根据指数函数
和对 数函数的单调性即可比较大小.

2.【2019年高考天津理数】已知
a?log< br>5
2

b?log
0.5
0.2

c?0. 5
A.
a?c?b

C.
b?c?a

【答案】
A


B.
a?b?c

D.
c?a?b

0.2
,则
a,b,c
的大小关系为


【解析】因为
a?log
5
2?log
5
5?
1

< br>2
b?log
0.5
0.2?log
0.5
0.25?2

0.5
1
?c?0.5
0.2
?0.5
0
,即
所以
a?c?b
.
故选
A.
【名师点睛】本题考查比较大小问题,关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较
. 3
.【
2019
年高考全国Ⅱ卷理数】若
a>b
,则

A

ln(a?b)>0
C

a
3
?b
3
>0
【答案】
C
【解析】取
a?2,b?1
,满足
a?b,但
ln(a?b)?0
,则
A
错,排除
A



9?3
2
?3
1
?3
,知
B
错 ,排除
B



a?1,b??2
,满足
a?b< br>,但
|1|?|?2|
,则
D
错,排除
D


因为幂函数
y?x
是增函数,
a?b
,所以
a
3< br>?b
3
,即
a
3
?b
3
>0
C
正确
.
3
1
?c?1


2
B

3
a
<3
b

D

│a│>│b│
故选
C


【名师 点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义,渗透了
逻辑推理 和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.

4
.【
2019
年高 考北京理数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度
5
E
1
满足
m
2
?m
1
=
lg
,其中 星等为
m
k
的星的亮度为
E
k

k=1

2
).已知太阳的星等是
?26.7
,天狼星的
2E
2星等是
?1.45
,则太阳与天狼星的亮度的比值为

A

10
10.1
C

lg10.1
【答案】
A
【解析】两颗星的星等与亮度满足
m
2
?m< br>1
?

m
2
??1.45,m
1
??26. 7



B

10.1
D

10
?10.1

5
E
1
lg


2E
2

< br>则
lg
E
1
22
?
?
m
2
?m
1
?
??(?1.45?26.7)?10.1,

E
2
55
E
1
?10
10.1
.
从而
E
2
故选
A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背 景,考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以及对
数的运算
.
5< br>.【
2019
年高考全国Ⅰ卷理数】函数
f(x)=
sinx?x
[??,?]
的图像大致为

2
cosx?x
B

A


C

D


【答案】
D
【解析】由< br>f(?x)?
sin(?x)?(?x)?sinx?x
???f(x)
,得< br>f(x)
是奇函数,其图象关于原点对称.

22
cos(?x)?( ?x)cosx?x
π
π4
?

π
2
f()?? ?1,
f(π)??0
,可知应为
D
选项中的图象.

又< br>2
2
π

?1?π
()
2
2
1?
故选
D


【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别,渗透了 逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性
质法和赋值法,利用数形结合思想解题.

2x
3
6
.【
2019
年高考全国Ⅲ卷理数】函数
y?< br>x

?
?6,6
?
的图像大致为

?x
2?2
A

B


C

D


【答案】
B
2(?x)
3
2x
3
2x
3
【解析】设
y?f( x)?
x
,则
f(?x)?
?x
??
x
??f(x )
,所以
f(x)
是奇函数,图
x?x
?x
2?22?2< br>2?2
象关于原点成中心对称,排除选项
C


2?4
3

f(4)?
4
?0,
排除选项
D


?4
2?2
2?6
3
f(6)?
6
?7
, 排除选项
A


2?2
?6
故选
B


【名师点睛】本题通过判断 函数的奇偶性,排除错误选项,通过计算特殊函数值,作出选择.本题注重
基础知识、基本计算能力的考 查.

7.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中,函数
y?
11
y?log(x?)
(a>0,且a≠1)的图象可能是
a
a
x
2

【答案】
D
x
【解 析】当
0?a?1
时,函数
y?a
的图象过定点
(0,1)
且单调递减,则函数
y?
1
的图象过定点
(0,1)
x
a< br>且单调递增,函数
y?log
a
?
x?
?
?
1
?
1
(,0)
且单调递减,
D
选项符合;
的图象过定点
?
2
?
2
x

a?1
时 ,函数
y?a
的图象过定点
(0,1)
且单调递增,则函数
y?1
的图象过定点
(0,1)
且单调递减,
a
x

< br>函数
y?log
a
?
x?
综上,选
D.
?
?
1
?
1
(,0)
的图象过定点且单调递增,各选项均不符 合
.
?
2
?
2
【名师点睛】易出现的错误:一是指数函数 、对数函数的图象和性质掌握不熟练,导致判断失误;二是
不能通过讨论
a
的不同取值 范围,认识函数的单调性
.
8
.【
2019
年高考全国Ⅱ卷理数】
2019

1

3
日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首 次月球背面软着
陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题 是地面与探测
器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星

鹊桥

,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
L
2
点的轨
道运行.
L2
点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为
M

,月球质量 为
M

,地月距离为
R

L
2
点到月球的 距离为
r

r
满足方程:根据牛顿运动定律和万有引力定律,
M1
M
2
M
1
??(R?r)
.
(R?r)2
r
2
R
3
3
?
3
?3
?< br>4
?
?
5
r
3
?3
?

?
?
,由于
?
的值很小,因此在近似计算中,则
r
的近似值为

(1?
?
)
2
R
A

M
2
R

M
1
3M
2
R

M
1
B

M
2
R

2M
1
M
2
R

3M
1

C

3
D

3
【答案】
D
【解 析】由
?
?
r
,得
r?
?
R


R
M
1
M
2
M
1
??(R?r)
因为,

(R?r)
2
r
2
R
3
所以M
1
M
2
M
1
??(1?
?
)


R
2
(1?
?
)
2
?
2< br>R
2
R
2
M
2
1
?
5
?3
?
4
?3
?
3
2
?
?
[(1?< br>?
)?]??3
?
3



22
M
1
(1?
?
)(1?
?
)
解得
?
?
3
M
2


3M
1
3
所以r?
?
R?
M
2
R.

3M
1


故选
D.
【名师点睛】由于本题题干较长, 所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是
复杂式子的变形易出错.

9
.【
2019
年高考全国Ⅲ卷理数】设
f
?
x< br>?
是定义域为
R
的偶函数,且在
?
0,+?
?
单调递减,则

2
3
?
?
1
A

f

log
3
)>
f

2
2
) >
f

2
3


4
2
3?
?
1
B

f

log
3
) >
f

2
3
)>
f

2
2


4
2
3
?
?
ff
2
C.(
2
)>(
2
3
)>
f

log< br>3
1


4
2
3
?
?
D

f

2
3
)>
f

2
2
)>
f

log
3
1


4
【答案】
C
【解析】
1
f
?
x
?
是定义域为
R
的偶函数,
?f(log
3
)?f(lo g
3
4)


4
0
?
2
3
log
3
4?log
3
3?1,1?2?2?2,?log
34?2
?
3
2
?
2
3
?2


?
3
2

f
?
x
?

( 0

+∞)
上单调递减,

?
?
2
??
?
3
?
3
2

f(log
3
4)?f
?
2
?
?f
?
2
?


??
??
2
?
??
?
?
3
?1
??
3
2
f2?f2?flog

?
??< br>?
?
3
?
.
4
??
??
??
故选
C


【名 师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性,先利用函数的奇偶性化为同一区间,再利用中间量
比较自 变量的大小,最后根据单调性得到答案.

10
.【
2019
年高考 全国Ⅱ卷理数】设函数
f(x)
的定义域为
R
,满足
f(x?1)? 2 f(x)
,且当
x?(0,1]
时,
8
f(x)?x(x?1)
.若对任意
x?(??,m]
,都有
f(x)??
,则
m< br>的取值范围是

9
9
?
7
???
A

?
??,
?
B

?
??,
?

43
????
C

?
??,
?

2
?
?
5
?
?
D

?
??,
?

3
?
?
8
?
?
【答案】
B
【解析】∵
f(x?1)?2 f(x)

?f(x)?2f(x?1)


x?(0,1]
时,
f(x)?x(x?1)?[?,0]



x?(1,2]
时,
x?1?(0,1]

f(x)?2f(x? 1)?2(x?1)(x?2)?
?
?
1
4
?
1
?
,0


?
2
?
?

x?(2, 3]
时,
x?1?(1,2]

f(x)?2f(x?1)?4(x?2)( x?3)?[?1,0]


如图:


878

x?(2,3]
时,由
4(x?2)(x?3)??
解得
x
1
?

x
2
?


933
87
若对任意
x?(??,m]
,都有
f(x)??
,则
m?
.
9
3
7
??

m
的取值范围是< br>?
??,
?
.
3
??
故选
B.

【名师点睛】本题考查了函数与方程,二次函数
.
解题的关键是能够得到
x? (2,3]
时函数的解析式,
8
并求出函数值为
?
时对应的自变量的 值
.

9
?
x,x?0
?
11
.【
2019
年高考浙江】已知
a,b?R
,函数
f(x)?
?
1
3
1
.若函数
y?f(x)?ax?b
2
x?(a?1 )x?ax,x?0
?
2
?
3
恰有
3
个零点,则< br>
A

a<–1

b<0
C

a>–1

b<0
【答案】C
【解析】当x<0时,y=f(x)﹣ax﹣b=x﹣ax﹣b=(1﹣a)x﹣b=0,得x


则y=f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点;

B

a<–1

b>0
D

a>–1

b>0


当x≥0时,y=f(x)﹣ax﹣b

x
3


(a+1)x
2
+ax﹣ax﹣b

x
3


(a+1)x
2
﹣b,

y??x
2
?(a?1)x

当a+1≤0,即a≤﹣1时,y′≥0,y=f(x)﹣ax﹣b在[0,+∞)上单调递增,
则y=f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点,不合题意;
当a+1>0,即a>﹣1时,令y′>0得x∈(a+1,+∞),此时函数单调递增,
令y′<0得x∈[0,a+1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点.
根据题意, 函数y=f(x)﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y=f(x)﹣ax﹣b在(﹣∞,0)上有一个零点,
在[0,+∞)上有2个零点,
如图:



0且














解得b<0,1﹣a>0,b> (a+1)
3

则a>–1,b<0.
故选C.
【名师点睛】 本题考查函数与方程,导数的应用.当x<0时,y=f(x)﹣ax﹣b=x﹣ax﹣b=(1﹣a)x
﹣b最多有一个零点;当x≥0时,y=f(x)﹣ax﹣b x
3

(a+1)x
2
﹣b,利用导数研究函数的单调性,


根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解.
12.【2019年高考江苏】函数
y?7?6x?x
2
的定义域是 ▲ .
【答案】
[?1,7]

【解析】由题意得到关于
x
的不等式,解不等式可得函数的定义域
.


由已知得
7?6x?x
2
?0
,

x2
?6x?7?0
,解得
?1?x?7


故函数的定义域为
[?1,7]
.
【名师点睛】求函数的定义域,其实质就 是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然
后求出它们的解集即可.

ax
13
.【
2019
年高考全国Ⅱ卷理数】已知
f(x)
是奇函数,且当
x?0
时,
f(x)??e
.

f(ln2 )?8
,则
a?
__________


【答案】
?3

ax
【解析】由题意知
f(x)
是 奇函数,且当
x?0
时,
f(x)??e


又因为
ln2?(0,1)

f(ln2)?8


所以
?e
?aln2
??8


两边取以
e
为底数的对数,得
?aln2?3ln2


所以
?a?3
,即
a??3


【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性,对数的计算.

14
.【
2019
年高考北京理数】设函数
f
?
x
?
?e?ae
a
为常数).若
f

x
)为奇函数,则
a= ________

x?x

f

x
)是
R
上的增函数,则
a
的取值范围是
___________


【答案】
?1
?
??,0
?

【解析】首先由 奇函数的定义得到关于
a
的恒等式,据此可得
a
的值,然后利用
f< br>?
(x)?0
可得
a
的取
值范围
.
若函数
f
?
x
?
?e?ae
为奇函数,则
f
?< br>?x
?
??f
?
x
?
,

e
x?x
?x
?ae
x
??
?
e
x
?ae
?x
?



?
a?1
?
e? e
x
?
?x
?
?0
对任意的
x
恒成立,< br>
?x

a?1?0
,得
a??1
.
x? x
若函数
f
?
x
?
?e?ae

R
上的增函数,则
f
?
(x)? e?ae?0

R
上恒成立,

x

a?e
2x

R
上恒成立,


e
2x
?0
,则
a?0


即实数
a
的取值范围是
?
??,0
.
?


【名师点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围
.
解 答过程中,需利用转化与
化归思想,转化成恒成立问题
.
注重重点知识?基础知识?基 本运算能力的考查
.
15.【2019年高考浙江】已知
a?R
,函数f(x)?ax?x
,若存在
t?R
,使得
|f(t?2)?f(t)| ?
实数
a
的最大值是___________.
【答案】
3
2
,则
3
4

3
2


3
【解析】存在
t?R
,使得< br>|f(t?2)?f(t)|?
即有
|a(t?2)?(t?2)?at?t|?
化为
|2a3t?6t?4?2|?
33
2


3
2


3
22
2
可得
??2a
?
3t?6t?4
?
?2?


33
24
2

?a
?
3t?6t?4
?
?


33
?
2
?

3t?6t?4?3(t?1)?1?1
,可得
0?a?
则实数
a
的最大值是
22
4
.
3
4
.
3
33
【名师点睛】本题考查函数的解析式 及二次函数,结合函数的解析式可得
|a(t?2)?(t?2)?at?t|
?
2< br>,去绝对值化简,结合二次函数的最值及不等式的性质可求解
.
3
16
.【
2019
年高考北京理数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓 、京白梨、西
瓜、桃,价格依次为
60


盒、
65


盒、
80


盒、
90


盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促
销:一次购买水果的总价达到
120
元, 顾客就少付
x
元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到
支付款的
80%


①当
x=10
时,顾客一次购买草莓和西瓜各
1
盒,需要支付
__________
元;

②在促销活动中,为保证李明每 笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则
x
的最大值为
__________


【答案】①
130
;②
15
【解析】①x?10
时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付
?
60?80
?
?10?130

.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为
y
元,


y?12 0
元时,李明得到的金额为
y?80%
,符合要求;



y?120
元时,有
?
y?x
?
?80%?y?70%
恒成立,


8
?
y?x
?
?7y,x?
y


8
?
y
?
因为
??
?15
,所以
x
的最大值为
15
.
?
8
?
min
综上,①
130
;②
15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值,不等式的性质及恒成立,数学的应用意识,数学式子变形与运算求解能力
.
以实际生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学 建模素养
.
17.【2019年高考江苏】设
f(x),g(x)
是定义在 R上的两个周期函数,
f(x)
的周期为4,
g(x)
的周期为
?< br>k(x?2),0?x?1
?
2,且
f(x)
是奇函数.当
x ?(0,2]
时,
f(x)?1?(x?1)
2

g(x)?
?
1
,其中k>0.
?,1?x?2
?
?2
若在区间(0 ,9]上,关于x的方程
f(x)?g(x)
有8个不同的实数根,则k的取值范围是 ▲ .
【答案】
?
,
?
12
?
?
?

34
??
【解析】作出函数
f(x)

g(x)
的 图象,如图:


由图可知,函数
f(x)?1?(x?1)
2的图象与
g(x)??
1
(1?x?2,3?x?4,5?x?6,7?x?8)

2
图象仅有
2
个交点,
即在区间
(0

9]
上,关于
x
的方程
f(x)?g(x)

2< br>个不同的实数根,

要使关于
x
的方程
f(x)?g(x)< br>有
8
个不同的实数根,


f(x)?1?(x?1)
2
,x?(0,2]

g(x)?k(x?2),x?(0,1]
的图象有
2
个不同的交点,



(1,0)
到直线< br>kx?y?2k?0
的距离为
1
,可得
∵两点
(?2,0), (1,1)
连线的斜率
k?
|3k|
?1
,解得
k?
2
(k?0)


k
2
?1
4
1


3
12

?k?


34
?
12
?
综上可知,满足
f(x)?g(x)

(0,9]
上有< br>8
个不同的实数根的
k
的取值范围为
?

?
?
.
34
??
【名师点睛】本题考查分段函数,函数的图象,函数的性质, 函数与方程,点到直线的距离,直线的
斜率等,考查知识点较多,难度较大
.
正确作出 函数
f(x)

g(x)
的图象,数形结合求解是解题的关键
因素< br>.
专题3 导数及其应用
1
.【
2019
年高考全国Ⅲ 卷理数】已知曲线
y?ae
x
?xlnx
在点(
1

ae
)处的切线方程为
y=2x+b
,则

A

a?e,b??1

C

a?e
?1
,b?1

【答案】
D
【解析】∵
y
?
?ae?lnx?1,

∴切线的斜率k?y
?
|
x?1
?ae?1?2

?a?e
?1



(1,1)
代入
y?2x?b
,得2?b?1,b??1
.
故选
D


【名师点睛】本 题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有
a

b
的等式,从 而求解,属
于常考题型
.

x


B

a=e

b=1
D

a?e
?1

b??1

?
x
2
?2ax?2a,x?1,
2.【2019年高考天津理数】已知
a?R
,设函数
f(x)?
?
若关于
x
的不等式
f(x) ?0
x?alnx,x?1.
?

R
上恒成立,则
a
的取值范围为
A.
0,1

C.
0,e

??


B.
0,2

D.
1,e

??
??
??


【答案】
C
【解析】当x?1
时,
f(1)?1?2a?2a?1?0
恒成立;

x< br>2

x?1
时,
f(x)?x?2ax?2a?0?2a?
恒 成立,
x?1
2
x
2

g(x)?

x?1
x
2
(1?x?1)
2
(1?x)
2
?2( 1?x)?1

g(x)??

????
1?x1?x1?x
??
11
??
??
?
1?x??2
?
??
?
2(1?x)??2?0

?
??
1?x1?x
??
??

1?x?
1
,即
x?0
时取等号,
1?x

2a?g(x)
max
?0
,则
a?0
.


x?1
时,
f(x)?x?alnx?0
,即
a?

h(x)?
x
恒成立,

lnx
lnx? 1
x
,则
h
?
(x)?


(lnx)< br>2
lnx

x?e
时,
h
?
(x)?0,函数
h(x)
单调递增,


0?x?e
时,
h
?
(x)?0
,函数
h(x)
单调递减,


x?e
时,
h(x)
取得最小值
h(e)?e



a?h(x)
min
?e


综上可知,
a
的取值范围是
[0,e]
.
故选
C.
【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题,分别利用基本不等式和求导的 方法研究函数的最值,然后
解决恒成立问题
.
?
x,x?0
?3
.(
2019
浙江)已知
a,b?R
,函数
f(x) ?
?
1
3
1
.若函数
y?f(x)?ax?b
恰有
2
x?(a?1)x?ax,x?0
?
2
?
3
3< br>个零点,则


A

a<–1

b<0
C

a>–1

b<0
【答案】C
B

a<–1

b>0
D

a>–1

b>0
【解析】当x<0时,y=f(x)﹣ax﹣b=x﹣ax﹣b=(1﹣a)x﹣b=0,得x
则y=f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点;



当x≥0时,y=f(x)﹣ax﹣b x
3

(a+1)x
2
+ax﹣ax﹣b x
3

(a+1)x
2
﹣b,


y??x
2
?(a?1)x

当a+1≤0,即a≤﹣1时,y′≥0,y=f(x)﹣ax﹣b在[0,+∞)上单调递增,
则y=f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点,不合题意;
当a+1>0,即a>﹣1时,令y′>0得x∈(a+1,+∞),此时函数单调递增,
令y′<0得x∈[0,a+1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点.
根据题意, 函数y=f(x)﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y=f(x)﹣ax﹣b在(﹣∞,0)上有一个零点,
在[0,+∞)上有2个零点,
如图:



0且













解得b<0,1﹣a>0,b>

(a+1)
3

则a>–1,b<0.
故选C.
【名 师点睛】本题考查函数与方程,导数的应用.当x<0时,y=f(x)﹣ax﹣b=x﹣ax﹣b=(1﹣a) x
﹣b最多有一个零点;当x≥0时,y=f(x)﹣ax﹣b

x
3


(a+1)x
2
﹣b,利用导数研究函数的单调性,


根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解.
4.【201 9年高考全国Ⅰ卷理数】曲线
y?3(x?x)e
在点
(0,0)
处的切线方 程为____________.
【答案】
3x?y?0

【解析】
y
?
?3(2x?1)e?3(x?x)e?3(x?3x?1)e,

所以切线的斜率
k?y
?
|
x?0
?3


则曲线
y?3(x?x)e
在点
(0,0)
处的切线方程为
y?3x
,即
3x?y?0


【名师点睛】准确求导数是进一步计 算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误.求
导要



,计算要准,是解答此类问题的基本要求.

5.【2019年高考江苏】在平面 直角坐标系
xOy
中,P是曲线
y?x?
线
x?y?0
的距 离的最小值是 ▲ .
【答案】
4
【解析】由
y?x?
2 x
x2x2x
2x
4
(x?0)
上的一个动点,则点P到直
x
44
(x?0)
,得
y
?
?1?
2
,< br>
xx
4
4
(x,x?)


设斜率为?1
的直线与曲线
y?x?(x?0)
切于
00
x
0< br>x

1?
4
??1

x
0
?2
x
0
??2
舍去),

2
x
04
∴曲线
y?x?(x?0)
上,点
P(2,32)
到直线x?y?0
的距离最小,最小值为
x
故答案为
4


2?32
1?1
22
?4
.
【名师点睛】本题考查曲线上 任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养
.
采取导
数法,利用 数形结合和转化与化归思想解题
.

6.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系< br>xOy
中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过
点(-e,-1)( e为自然对数的底数),则点A的坐标是 ▲ .
【答案】
(e, 1)

【解析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值,可得切点坐标
. 设点
A
?
x
0
,y
0
?
,则
y
0
?lnx
0
.



y
?
?
1


x
1


x
0

x?x
0
时,
y
?
?
则曲线
y?lnx
在点
A
处 的切线为
y?y
0
?
1
(x?x
0
)
,< br>
x
0

y?lnx
0
?
x
?1< br>,

x
0
将点
?
?e,?1
?
代入 ,得
?1?lnx
0
?

x
0
lnx
0< br>?e


考察函数
H
?
x
?
?xlnx


?e
?1


x
0

x?
?0,1
?
时,
H
?
x
?
?0
,当x?
?
1,??
?
时,
H
?
x
??0



H
?
?
x
?
?lnx?1



x?1
时,
H
?
?
x
?
?0, H
?
x
?
单调递增,

注意到
H
?
e
?
?e


x
0
lnx
0
?e
存在唯一的实数根
x
0?e


此时
y
0
?1


故点
A
的坐标为
?
e,1
?
.
【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题:

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.

二是 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,
同样 ,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.

7
.【
2019
年高考北京理数】设函数
f
?
x
?
?e?ae< br>(
a
为常数).若
f

x
)为奇函数,则
a =________

x?x

f

x
)是
R
上的增函数,则
a
的取值范围是
___________

【答案】
?1
?
??,0
?


【解析】首先由奇函数的定义得到关于
a
的恒等式,据此可得
a
的值,然后 利用
f
?
(x)?0
可得
a
的取
值范围
.
若函数
f
?
x
?
?e?ae
为奇函数,则
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,
即< br>e
x?x
?x
?ae
x
??
?
e
x
?ae
?x
?



?
a?1
?
e? e
x
?
?x
?
?0
对任意的
x
恒成立,

?x

a?1?0
,得
a??1
.
x?x
若函数
f
?
x
?
?e?ae

R
上的增 函数,则
f
?
(x)? e?ae?0

R
上恒成立,

x

a?e
2x

R
上恒成立,


e
2x
?0
,则
a?0


即实数
a
的取值范围是
?
??,0
.
【名师点睛 】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围
.
解答过程中,需利用转化与< br>化归思想,转化成恒成立问题
.
注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考查
.
8
.【
2019
年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数
f(x)?si nx?ln(1?x)

f
?
(x)

f(x)
的 导数.证明:


1

f
?
(x)
在区间
(?1,)
存在唯一极大值点;


2

f(x)
有且仅有
2
个零点.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】(1)设
g(x)?f'(x)< br>,则
g(x)?cosx?
?
?
2
1
1
,< br>g'(x)??sinx?
.
(1?x)
2
1?x

x?
?
?1,
设为
?
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?1,
时,单调递减,而,可得在
g '(x)g'(x)
g'(0)?0,g'()?0
???
有唯一零点,
2
?
2
?
2
?
则当
x?(?1,
?
)
时,
g'(x)?0
;当
x?
?
?
,
?
?
?
?
?
时,
g'(x)?0
.
2?
所以
g(x)

(?1,
?
)
单调递增,在
?
?
,
?
?
?
?
?
??
?1,
单调递减,故在
g(x)
???
存在唯一极大值点,即
f'( x)
2
?
2
??

?
?1,
?
?
?
?
?
存在唯一极大值点.
2
?
(2)
f(x)
的定义域为
(?1,??)
.


(i)当
x?(?1,0]
时,由(1)知,
f'(x)
(?1,0)
单调递增,而
f'(0)?0
,所以当
x?(? 1,0)
时,
f'(x)?0
,故
f(x)

(?1,0)
单调递减,又
f(0)=0
,从而
x?0

f(x)

(?1,0]
的唯一零点.
(ii)当
x?
?
0,< br>?
时,由(1)知,
f'(x)

(0,
?
)
单调递增,在
?
?
,
?
单调递减,而
f'(0)=0
f'
??
?0

22
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
所以存在
?
?
?
?
,
?
?
?
??
?
?
x?
,使得,且当时,;当
f'(< br>?
)?0x?(0,
?
)f'(x)?0
??
?
,< br>?
时,
f'(x)?0
.
2
?
?
2
?

f(x)

(0,
?
)
单调递增,在
?
?
,
?
?
?
?
?
单调递减.
2
?

f(0)=0

f
?
零点. (iii)当
x?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?1?ln1??0x?0,
,所以当时,.从而,在< br>f(x)?0f(x)
?????
0,
?
没有
?
22 2
??????
?
2
?
?
?
??
?
?
,?
?
时,
f'(x)?0
,所以
f(x)

?
,?
?
单调递减.而
?
2
?
?
2
?
?
?
?
f
??
?0

f(? )?0
,所以
f(x)
?
2
?

?
??
?
,?
?
有唯一零点.
2
??
(iv)当
x?(?,??)
时,
ln(x?1)?1
,所以
f(x)
<0,从而
f(x)

(?,??)
没有零点.
综上,
f(x)
有且仅有2个零点.
【名师点睛】本题考查导数与函数极值 之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题
.
解决零点问题的
关键一方面是利用零 点存在性定理或最值点来说明存在零点,另一方面是利用函数的单调性说明在区间
内零点的唯一性,二者 缺一不可
.

9
.【
2019
年高考全国Ⅱ卷理数】已知函 数
f
?
x
?
?lnx?
x?1
x?1
.

1
)讨论
f(x)
的单调性,并证明
f(x)
有 且仅有两个零点;

x

2
)设
x
0
是< br>f(x)
的一个零点,证明曲线
y=lnx
在点
A(x
0
lnx
0
)
处的切线也是曲线
y?e
的切线
.
【答案】(
1
)函数
f(x)

(0,1)

(1,??)
上是单调增函数,证明见解析;

2
)见解析
.
【解析】(
1

f
x
)的定义域为(
0

1
)(
1

+∞
).


因为
f'(x)?
12
??0
,所以
f(x)
在(
0

1
),(
1

+∞
)单调递增.

x(x?1)
2
e?1< br>e
2
?1e
2
?3
2
?0

f(e )?2?
2
因为
f

e

=
1?
?
2
?0
,所以
f

x
)在(
1

+∞
)有唯一零点
x
1
,即
e?1
e?1e?1
f

x
1

=0
.又
0?
x?1
111
??f(x
1
)?0
,故
f

x< br>)在(
0

1
)有唯一零点.
?1

f() ??lnx
1
?
1

x
1
x
1
? 1
x
1
x
1
综上,
f

x
)有且 仅有两个零点.

11
?lnx
0
x
?e

2
)因为,故点
B

–lnx
0
,)在曲线
y= e
上.

x
0
x
0
11
x
0?1
?lnx
0
?
x
0
?1
x
0xx
0
?1
1
?
0
?


由 题设知
f(x
0
)?0
,即
lnx
0
?
, 故直线
AB
的斜率
k?
x
0
?1
?lnx
0
?x
0
?
x
0
?1
?x
x
0< br>0
x
0
?1
x
曲线
y=e
在点
B( ?lnx
0
,
111
)
处切线的斜率是,
A(x,lnx)
y?lnx

曲线在点,
00
处切线的斜率也是
x
0
x
0
x
0
x
所以曲线
y?lnx
在点< br>A(x
0
,lnx
0
)
处的切线也是曲线
y=e的切线.

【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程 ,考查了数学运算能力
.
10
.【
2019
年高考全国Ⅲ卷理数】 已知函数
f(x)?2x
3
?ax
2
?b
.

1
)讨论
f(x)
的单调性;


2< br>)是否存在
a,b
,使得
f(x)
在区间
[0,1]
的最小值为
?1
且最大值为
1
?若存在,求出
a,b
的所有 值;
若不存在,说明理由
.
【答案】(
1
)见解析;(
2

?
2
?
a?4
?
a?0
.

?
?
b??1
?
b?1
【解析】(1)
f
?
(x)?6x?2ax?2x(3x?a)


f
?
( x)?0
,得x=0或
x?
若a>0,则当
x?(??,0)
a.
3
?
a
??
a
?
?
,??x?< br>时,;当
f(x)?0
???
0,
?
时,
f
?
(x)?0
.故
f(x)

3
???
3
?


?
a
??
a
?
(??,0),
?
,??
?
单调递增,在
?
0,
?
单调递减; ?
3
?
?
3
?
若a=0,
f(x)

(??,??)
单调递增;
若a<0,则当
x?
?
??,
?
?
a
??
a
?
?
(0,??)
时,;当
x?
f(x)?0
??
,0
?
时,
f?
(x)?0
.故
f(x)

3
?
?
3
?
a
???
a
?
??,,(0,??)
单调递增 ,在
???
,0
?
单调递减.
3
??
?
3
?
(2)满足题设条件的a,b存在.
(i)当a≤0时,由(1)知,
f(x)
在[0,1]单调递增,所以
f(x)< br>在区间[0,l]的最小值为
f(0)=b
,最
大值为
f(1)?2? a?b
.此时a,b满足题设条件当且仅当
b??1

2?a?b?1
,即a=0,
b??1

(ii)当a≥3时,由(1)知,
f(x)< br>在[0,1]单调递减,所以
f(x)
在区间[0,1]的最大值为
f(0)= b

最小值为
f(1)?2?a?b
.此时a,b满足题设条件当且仅当2?a?b??1
,b=1,即a=4,b=1.
a
3
?
a< br>?
?b
,最大值为b或
2?a?b
. (iii)当0f(x)
在[0,1]的最小值为
f
??
??
2 7
?
3
?
a
3
?b??1
,b=1,则
a ?3
3
2
,与0?
27
a
3< br>?b??1

2?a?b?1
,则
a?33

a?? 33
或a=0,与0?
27
综上,当且仅当a=0,b??1
或a=4,b=1时,
f(x)
在[0,1]的最小值为-1,最大值为 1.
【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题,题目难度比往年降低了不少,考查函数 的单
调性、最大值、最小值这种基本量的计算.

11
.【
2019
年高考北京理数】已知函数
f(x)?
1
3
x?x
2
?x


4
(Ⅰ)求曲线
y?f(x)
的斜率为
1
的切线方程;

(Ⅱ)当
x?[?2,4]
时,求证:
x ?6?f(x)?x


(Ⅲ)设
F(x)?|f(x)?(x?a)|(a ?R)
,记
F(x)
在区间
[?2,4]
上的最大值为
M< br>(
a
).当
M

a

最小时,求
a
的值.


64
;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
a??3
.
2713
【解析】(Ⅰ)由
f(x)?x
3
?x
2
?x
f
?
(x)?x
2
?2x?1
.
4438

f
?
(x)?1
,即
x
2
?2 x?1?1
,得
x?0

x?
.
43
88

f(0)?0

f()?

327
88
所以曲线
y?f(x)
的斜率为1的切线方程是
y?x< br>与
y??x?

273
64

y?x

y?x?
.
27
【答案】(Ⅰ)
y?x

y?x?
(Ⅱ)令
g(x)?f( x)?x,x?[?2,4]
.
1
3
3
x?x
2

g'(x)?x
2
?2x
.
44
8

g'(x)?0

x?0

x?
.
3

g(x)?
g'(x),g(x)
的情况如下:
x

g'(x)

g(x)

?2


(?2,0)

0


8
(0,)

3
8

3

8
(,4)

3
4


?

?

?
?

?6


0


64

27

0

所以
g(x)
的最小值为
?6
,最大值为
0
.

?6?g(x)?0
,即
x?6?f(x)?x
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

a??3
时,
M(a)?F(0)?|g( 0)?a|??a?3


a??3
时,
M(a)?F(?2)? |g(?2)?a|?6?a?3


a??3
时,
M(a)?3
.
综上,当
M(a)
最小时,
a??3
.
【名师点睛】本题 主要考查利用导函数研究函数的切线方程,利用导函数证明不等式,分类讨论的数学
思想等知识,意在考 查学生的转化能力和计算求解能力
.


12.【2019年高考天津理数】设函 数
f(x)?ecosx,
(Ⅰ)求
f
?
x
?
的单 调区间;
x
g(x)

f
?
x
?
的导函数. (Ⅱ)当
x?
?
,
?
时,证明
f(x)?g(x)?
?x
?
?0

2
42
(Ⅲ)设
x
n
为函数
u(x)?f(x)
在区间
?
2n??
? 1
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
,2n??
?
内的零点,其中
n? N
,证明
42
?
?e
?2n?

2n???x< br>n
?
2sinx
0
?cosx
0
3ππ
??
【答案】(Ⅰ)
f(x)
的单调递增区间为
?
2kπ?,2kπ?< br>?
(k?Z),f(x)
的单调递减区间为
44
??
π5π< br>??
2kπ?,2kπ?(k?Z)
.(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
??< br>44
??
【解析】(Ⅰ)由已知,有
f'(x)?e(cosx?sinx)< br>.因此,当
x?
?
2k??
x
?
?
?5?< br>?
,2k??
?
(k?Z)
时,
44
?
有< br>sinx?cosx
,得
f'(x)?0
,则
f
?
x
?
单调递减;当
x?
?
2k??
?
?
3? ?
?
,2k??
?
(k?Z)
时,有
44
?
sinx?cosx
,得
f'(x)?0
,则
f
?
x?
单调递增.
所以,
f
?
x
?
的单调递增区 间为
?
2k??
?
?
3??
?
,2k??
?
(k?Z),f(x)
的单调递减区间为
44
?
?5?
? ?
2k??,2k??(k?Z)

??
44
??
(Ⅱ) 证明:记
h(x)?f(x)?g(x)
?
?
?
?
?x?
.依题意及(Ⅰ),有
g(x)?e
x
(cosx?sinx)
,从而
?
2
?
?
??
?
g'(x)??2ex
sinx
.当
x?
?
,
?
时,
g' (x)?0
,故
?
42
?
?
?
??
?< br>?
h'(x)?f'(x)?g'(x)
?
?x
?
?g(x) (?1)?g'(x)
?
?x
?
?0

?
2??
2
?
因此,
h
?
x
?
在区间?
,
?
上单调递减,进而
h(x)?h
??
?f
??
?0

?
2
??
2
?
?
42
?
?
??
?
?
?
??
?
?< /p>


所以,当
x?
?
,
?
时,
f(x)? g(x)
?
?x
?
?0

2
42
(Ⅲ) 证明:依题意,
u
?
x
n
?
?f
?
xn
?
?1?0
,即
e
n
cosx
n
? 1
.记
y
n
?x
n
?2n?
,则
y
n
?
?
x
?
??
?
??
?
?< br>?
?
?
?
??
?
,
?

?
42
?

f
?
y
n
?
?e
n
cosy
n
?e
yx
n
?2n
?
co s
?
x
n
?2n?
?
?e
?2n?
?n?N
?

?
??
?
??

f?
y
n
?
?e
?2n?
?1?f
?
y
0
?
及(Ⅰ),得
y
n
?y
0
.由(Ⅱ) 知,当
x?
?
,
?
时,
g'(x)?0
,所
42
g
?
?
?
?
y?
0
?
?< br>g
?
?0
.又由(Ⅱ)知,
?
4
?

g
?
x
?

?
,
?
上为减函数,因此< br>g
?
y
n
?
?
?
42
?
?
??
?
?
?
?
f
?
y
n
?
?g
?
y
n
?
?
?y
n
??0
,故
?
2
?
f
?
y
n
?
?e
?2n?
e
?2n?
e
?2n?
e
?2n?

?y
n
??????
y
0
?
2g
?
y
n
?
g
?
y
n
?
g
?
y
0
?
e
?
siny
0
? cosy
0
?
sinx
0
?cosx
0
?e
?2n?
所以,
2n???x
n
?

2sinx
0
?cosx
0
【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研 究函数的性质等基础知识和方法.考
查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和 解决问题的能力.
13.【2019年高考浙江】已知实数
a?0
,设函数
f(x)=alnx?
(1)当
a??
x?1,x?0.

3
时,求函数
f(x)
的单调区间;
4
x
1
f(x)?,

a
的取值范围. 均有< br>,??)
2
2a
e
(2)对任意
x?[
注:e=2. 71828…为自然对数的底数.
?
2
?
【答案】(
1

f
?
x
?
的单调递增区间是
?
3,??
?
,
单调递减区间是
?
0,3
?
;(
2
)< br>?
?
0,
4
?
.

??
【解析】( 1)当
a??
33
时,
f(x)??lnx?1?x,x?0

44
f'(x)??
31(1?x?2)(21?x?1)

??
4x
21?x4x1?x
所以,函数
f(x)
的单调递减区间为(0 ,3),单调递增区间为(3,+
?
).


(2)由
f(1) ?
2
1
,得
0?a?

4
2a

0?a?

t?
2xx21?x
?2lnx?0
. 时,
f(x)?
等价于
2
?
42aaa
1
,则
t?22

a
2

g(t)?t

g(t)?
x ?2t1?x?2lnx,t?22

11?x
x(t?1?)
2
??2lnx

x
x
?
1
?
7
?
?
(i)当
x?
?< br>,??
?
时,
1?
1
?22
,则
x
g(t)?g(22)?8x?421?x?2lnx


p(x)?4x?221?x?lnx,x?
1
,则
7
p'(x)?
2212xx?1?2x?x?1
???
xx?1
x
x x?1

?
(x?1)[1?x(2x?2?1)]
.
xx?1(x?1)(x?1?2x)

x

1

7

1
(,1)

7
1
(1,??)

p'(x)

?

0 +
p(x)

所以,
p(x)?p(1)?0

1
p()

7
单调递减
极小值
p(1)

单调递增
因此,
g(t)?g(22)?2p(x)?0

(i i)当
x?
?
?
1
?
?2xlnx?(x?1)
?
11
?
,
时,

g(t)

g1??< br>??
?
2
??
e7
x
2x
??
??



q(x)?2xlnx?(x?1),x?
?
lnx?2< br>?
11
?
q'(x)??1?0

,
,则
2
?
e7
x
??
?
1
?
q
??

?
7
?

q(x)

?
?< br>11
?
,
?
上单调递增,所以
q(x)
?
2
?
e7
?
由(i)得,
q
??
??
所以,
q(x)<0

?
1
?
?
7
?
27
?
1
?
27
p
??
??p(1)?0

77
?
7
?
因此
g(t)

g
?
1?
?
?
?
1
?
q(x)
???0< br>.
?
?
x
?
2x
?
1
?
0

,??
?

t?[22,??),g(t)…
2e
??
由(i)(ii)知对任意
x?
?
即对任意
x?
?
x
?
1
?
f(x)
?
,均有

,??
?
2
2a
e
??
综上所述,所求a的取值范 围是
?
0,
?
?
?
2
?
?
. < br>4
?
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值
(
最值
)< br>最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,
对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 :(
1
)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分
相联系.(
2
)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(
3
)利用导数求函数< br>的最值
(
极值
)
,解决生活中的优化问题.(
4
)考 查数形结合思想的应用.

14.【2019年高考江苏】设函数
f(x)?(x?a )(x?b)(x?c),a,b,c?R

f'(x)
为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和< br>f'(x)
的零点均在集合
{?3,1,3}
中,求f(x)的极小值; (3)若
a?0,0?b?1,c?1
,且f(x)的极大值为M,求证:M≤
【 答案】(
1

a?2
;(
2
)见解析;(
3
)见解析
.

4

27
【解析】(1)因为
a ?b?c
,所以
f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)

因为
f(4)?8
,所以
(4?a)?8
,解得
a?2

(2)因为
b?c

3
3


所以
f (x)?(x?a)(x?b)?x?(a?2b)x?b(2a?b)x?ab

从而f'(x)?3(x?b)
?
x?
因为
a,b,
2322
?
?
2a?b
?
2a?b
.令,得或.
f'(x)?0
x?b
x?
?
3
?
3
2a?b
都在集合< br>{?3,1,3}
中,且
a?b

3
2a?b
所以
?1,a?3,b??3

3
此 时
f(x)?(x?3)(x?3)

f'(x)?3(x?3)(x?1)


f'(x)?0
,得
x??3

x?1
.列 表如下:
2
x

f'(x)

f(x)

(??,?3)

+

?3

0
极大值
2
(?3,1)



1
0
极小值
(1,??)

+

所以
f(x)的极小值为
f(1)?(1?3)(1?3)??32

(3)因为
a ?0,c?1
,所以
f(x)?x(x?b)(x?1)?x?(b?1)x?bx

32
f'(x)?3x
2
?2(b?1)x?b

因为< br>0?b?1
,所以
?
?4(b?1)?12b?(2b?1)?3?0


f'(x)
有2个不同的零点,设为
x
1
,x
2
?
x
1
?x
2
?

22
b ?1?b
2
?b?1b?1?b
2
?b?1
,x
2
?

f'(x)?0
,得
x
1
?

33
列表如下:
x

f'(x)

(??,x
1
)

+

x
1

0
极大值
?
x
1
,x
2
?



x
2

0
极小值
(x
2
,??)

+

f(x)
所以
f(x)
的极大值
M?f
?
x
1
?

解法一:


M?f
?
x
1
?
?x
1
3
?(b?1)x
1
2
?bx
1

2
b(b?1)
?
x
1
b?1
?
2
?
b?b?1
?

?[3x?2(b?1)x
1
?b]< br>?
??x?
1
?
9
?
99
?
32
1
?
?2
?
b
2
?b?1
?
(b?1)
27
b(b?1)2
??
927
?
b?b?1
2
?

3
b(b?1)2(b?1)
2
(b?1) 2
???(b(b?1)?1)
3

272727
?
b(b?1)244
.因此
M?

??
27272727
解法二:
因为
0?b?1
,所以
x
1
?(0,1)

x?(0,1)
时,
f(x)?x(x?b)(x?1)?x(x?1)


g(x)?x(x?1),x?(0,1)
,则
g'(x)?3?
x?
?
(x?1)


g'(x)?0
, 得
x?
2
2
?
?
1
?
3
?
1
.列表如下:
3
1
(0,)

3
+

x

g'(x)

g(x)

所以当
x?
1

3
0
极大值
1
(,1)

3


1
?
1< br>?
4
时,
g(x)
取得极大值,且是最大值,故
g(x)max
?g
??
?

3
?
3
?
27
44
,因此
M?

2727
所以当
x?(0,1)
时,
f(x)?g(x)?
【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以
及逻 辑推理能力.

专题4 立体几何
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱 锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是
边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为


A.
8
6
?

C.
2
6
?

【答案】
D
【解析】解法一:


B.
4
6
?

D.
6
?

PA?PB?PC,△ABC
为边长为
2
的等边三角形,
?P?ABC
为正三棱锥,

?PB?AC
,又
E

F
分别为
PA

AB
的中点,
?EF∥PB

?EF?AC
,又
EF?CE

C EAC?C,?EF?
平面
PAC
,∴
PB?
平面
PAC< br>,
??APB??????PA?PB?PC?2


R?
? P?ABC
为正方体的一部分,
2R?2?2?2?6

故选
D

64
,?V??R?
23
3
466
?π?
38
?6


解法二:设
PA?PB?PC?2x

E,F
分别为
PA,AB
的中点,
?EF∥PB
,且EF?
1
PB?x

2
△ABC
为边长为
2< br>的等边三角形,
?CF?3



?CEF?90?

?CE?3?x,AE?
2
1
PA?x


2< br>△AEC
中,由余弦定理可得
cos?EAC?
x
2
?4?< br>?
3?x
2
?
2?2?x


AD1
x
2
?4?3?x
2
1
cos?EAC??


PD?AC

D

PA?PC
,,,
D

AC
的中点,
??
PA2x
4x2x
12

?PA?PB?PC?2


?2x
2
?1?2,?x
2
?,x?
22

AB=BC=AC=2

?PA,PB,P C
两两垂直,
?2R?2?2?2?6

?R?
6

2


?V?
4
3
466
?R????6?
, 故选
D.
338

【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,补体法 解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到
三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补体成正方 体解决.

2
.【
2019
年高考全国

卷理数】 设
α

β
为两个平面,则
α

β
的充要条 件是

A

α
内有无数条直线与
β
平行

C

α

β
平行于同一条直线

【答案】
B
【解析】由面面平行的判定定理知:
?
内两条相交直线 都与
?
平行是
?

?
的充分条件,由面面平行性
质 定理知,若
?

?
,则
?
内任意一条直线都与
?< br>平行,所以
?
内两条相交直线都与
?
平行是
?
?

必要条件,故选
B


【名师点睛】本题考查了空 间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用
面面平行的判定定理与性质定 理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易
犯的错误为定理记不住,凭主观 臆断,如:


a?
?
,b?
?
,a∥b
,则
?

?

此类的错误.

3
.【2019
年高考全国

卷理数】如图,点
N
为正方形
A BCD
的中心,△
ECD
为正三角形,平面
ECD
⊥平
面< br>ABCD

M
是线段
ED
的中点,则

B

α
内有两条相交直线与
β
平行

D

α

β
垂直于同一平面



A

BM=EN
,且直线
BM

EN
是相交直线

B

BM≠EN
,且直线
BM

EN
是相交直线

C

BM=EN
,且直线
BM

EN
是异面直线

D

BM≠EN
,且直线
BM

EN
是异面直线

【答案】
B
【解析】如图所示,作
EO?C D

O
,连接
ON

BD
,易得直线
BM

EN
是三角形
EBD
的中线,是
相交直线
.

M

MF?OD

F
,连接
BF


平面
CDE?
平面
ABCD

EO?CD, EO?
平面
CDE

?EO?
平面
ABCD
MF?
平面
ABCD

?△MFB

△EON
均为直角三角形.设正方形边长为
2
,易知
EO?3,ON?1,EN?2

MF?
35
,BF?,?BM?7

?BM?EN
,故选< br>B


22

【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力 ,解答本题的关键是构造直角三角形
.
解答本题时,先利
用垂直关系,再结合勾股定理 进而解决问题.

4
.【
2019
年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝 时代的伟大科学家,他提出的

幂势既同,则积不容异

称为祖
暅原 理,利用该原理可以得到柱体的体积公式
V
柱体
=Sh
,其中
S是柱体的底面积,
h
是柱体的高.若某柱


体的三视图如图所示(单 位:
cm
),则该柱体的体积(单位:
cm
)是

3

A

158
C

182
【答案】
B
B

162
D

324

【解析】由三视图得该棱柱的高为
6
,底面可以看作是由两个直角梯形组 合而成的,其中一个上底为
4

4?6
??
2?6
?3?? 3
?
?6?162
.
下底为
6
,高为
3
,另一个的上底为
2
,下底为
6
,高为
3
,则该棱柱的体积 为
?
2
?
2
?
故选B.
【名师点睛】本题首先根 据三视图,还原得到几何体
——
棱柱,根据题目给定的数据,计算几何体的体
积,常规 题目
.
难度不大,注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查
.
易 错点有二,一是不能
正确还原几何体;二是计算体积有误
.
为避免出错,应注重多观察 、细心算
.
5
.【
2019
年高考浙江卷】设三棱锥
V– ABC
的底面是正三角形,侧棱长均相等,
P
是棱
VA
上的点(不含 端
点).记直线
PB
与直线
AC
所成的角为
α
,直 线
PB
与平面
ABC
所成的角为
β
,二面角
P–A C–B
的平面
角为
γ
,则

A

β<γ

α<γ









B

β<α

β<γ
D

α<β

γ<β

C

β<α

γ<α
【答案】
B 【解析】如图,
G

AC
中点,连接
VG

V
在底面
ABC
的投影为
O
,则
P
在底面的投影D
在线段
AO
上,过
D

DE
垂直于
AC

E
,连接
PE

BD
,易得
PE∥ VG
,过
P

PF∥AC

VG

F,连接
BF
,过
D

DH∥AC
,交
BG
H
,则
?
??BPF,
?
??PBD,
?< br>??PED
,结合△
PFB
,△
BDH


PDB
均为直角三角形,可得
cos
?
?

Rt

PED
中,
tan
?
?
PFEGDHBD
???? cos
?
,即
?
?
?


PBPBPBP B
PDPD
??tan
?
,即
?
?
?
,综 上所述,答案为
B.
EDBD



【名师点睛】本题以三棱锥 为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,
以及各种角的计算
.
解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小
.
而充分 利
用图形特征,则可事倍功半
.
常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角 ,未能想到利用


殊位置法

,寻求简便解法
.
6
.【
2019
年高考全国

卷理数】学生到工厂劳动实践,利用
3D
打印技术制作模型
.
如图,该模型为长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
挖去四棱锥
O—EFG H
后所得的几何体,其中
O
为长方体的中心,
E

F

G

H

别为所在棱的中点,
AB=BC=6cm, AA
1
=4cm

3D
打印所用原料密度为
0.9 gcm
,不考虑打印
损耗,制作该模型所需原料的质量为
___________g.
3

【答案】
118.8
【解析】由题意得,
S
四边形EFGH
?4?6?4??2?3?12cm


∵四棱锥
O?EFGH
的高为
3cm



V
O?EFGH
?
1
2
2
1
?12?3?12c m
3


3
3
又长方体
ABCD?A
1< br>B
1
C
1
D
1
的体积为
V
2
?4?6?6?144cm


3
所以该模型体积为
V?V
2
?V
O?EFGH
?144?12?132cm


其质量为
0.9?132?118.8g


【名师点睛】本题考查 几何体的体积问题,理解题中信息联系几何体的体积和质量关系,从而利用公式
求解.根据题意可知模型 的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积,再求出模型的质


量即可.
7
.【
2019
年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一 个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网
格纸上小正方形的边长为
1
,那么该几何体 的体积为
__________



【答案】
40 【解析】如图所示,在棱长为
4
的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱
MPD
1
A
1
?NQC
1
B
1
之后余下 的几何体,


则几何体的体积
V?4?
3
1
?< br>?
2?4
?
?2?4?40
.
2
【名师点睛】本题 首先根据三视图,还原得到几何体,再根据题目给定的数据,计算几何体的体积
.
属于
中等题
.(1)
求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以 及直观图中
线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;
(2)
若所给几何体 的体积不能直接利用公式得出,
则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.

8
.【
2019
年高考北京卷理数】已知
l

m
是平 面
?
外的两条不同直线.给出下列三个论断:



l

m



m

?



l

?


以其中的两个论断作为条件,余下的 一个论断作为结论,写出一个正确的命题:
__________


【答案 】如果
l

α

m

α
,则
l< br>⊥
m.
【解析】将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:
< br>(
1
)如果
l

α

m

α
,则
l

m
,正确;


2
) 如果
l

α

l

m
,则
m
α
,不正确,有可能
m
在平面
α
内;

3
)如果
l

m

m

α
,则
l

α
,不正确,有可能
l

α斜交、
l

α.
故答案为:如果
l

α
m

α
,则
l

m.
【名师点睛 】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力
.
将所给论断,分< br>别作为条件、结论加以分析即可
.
9.【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底 面是边长为
2
的正方形,侧棱长均为
5
.若圆柱的一个
底面的圆周经 过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为
________ _____.
【答案】
π

4
【解析】由题意,四棱锥的底面是边 长为
2
的正方形,侧棱长均为
5
,借助勾股定理,可知四棱锥的
高为
5?1?2
.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,一个底面的圆心 为四棱锥底面的中心,故圆柱的
高为
1
,圆柱的底面半径为
2
1

2
π
?
1
?
故圆柱的体积为
π< br>?
??
?
1
?
.
4
?
2
?
【名师点睛】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径
.
注意本题中圆 柱的底面半径是棱锥
底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半
.
10.【201 9年高考江苏卷】如图,长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1< br>D
1
的体积是120,E为
CC
1
的中点,则三棱锥E?BC D
的体积是 ▲ .



【答案】
10
【解 析】因为长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
120
,所以
AB?BC?CC
1
?120< br>,

因为
E

CC
1
的中点,所以
CE?
1
CC
1


2
由长方体的性质知
CC
1
?
底面
ABCD


所以
CE是三棱锥
E?BCD
的底面
BCD
上的高,

所以三棱 锥
E?BCD
的体积
V?
111111
?AB?BC?CE???A B?BC?CC
1
??120?10
.
3232212
【名师点睛 】本题蕴含

整体和局部

的对立统一规律
.
在几何体面积 或体积的计算问题中,往往需要注意
理清整体和局部的关系,灵活利用







的方法解题
.
由题意结合几何体的特征和 所给几何体的性质
可得三棱锥的体积
.
11

AA
1=4

AB=2
,【
2019
年高考全国

卷 理数】如图,直四棱柱
ABCD–A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形,∠
BAD=60°

E

M
N
分别是
BC

BB
1

A
1
D
的中点.




1
)证明:MN
∥平面
C
1
DE



2
)求二面角
A?MA
1
?N
的正弦值.

【答案】(
1
)见解析;(
2

10
.
5
【解析】(
1
)连结
B
1
C

ME

因为
M

E
分别为
BB
1

BC
的中点,


所以
ME

B
1
C
,且
ME=
1
B
1
C

2
1
A
1
D


2
又因为
N

A
1
D
的中点,所以
ND=
由题设知
A
1
B
1
?
DC
,可得
B
1C
?
A
1
D
,故
ME
?
ND


因此四边形
MNDE
为平行四边形,
MN

E D



MN
?
平面
EDC
1
, 所以
MN
∥平面
C
1
DE



2
)由已知可得
DE

DA



D
为坐标原点,
DA
的方向为
x
轴正方向,建立如图所 示的空间直角坐标系
D?xyz
,则


A(2,0,0)

A
1
(2

0

4)

M(1 ,3,2)

N(1,0,2)

A
1
A?(0,0,?4 )

A
1
M?(?1,3,?2)

A
1
N?(?1,0,?2)

MN?(0,?3,0)


?
?
m?A
1
M?0

m?(x,y,z)
为平面
A
1
MA
的法向量,则
?


?
?
m?A
1
A?0
?
?
?x?3y?2z?0,
所以
?
可取
m?(3,1,0)


?4z?0.
?
?
?
?
n?MN?0,


n?(p,q,r)
为平面
A
1
MN
的法向量,则
?
?
?
n?A
1
N?0.


所以
?
?
?3q?0,
?
可取
n?(2,0,?1)


?
?
?p?2r?0.
于是
cos?m,n??
m?n23 15


??
|m‖n|
2?5
5
10


5所以二面角
A?MA
1
?N
的正弦值为
【名师点睛】本题考查线 面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题
.
求解二面角的关键是能够
利用垂直 关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于
常规题型.
12
.【
2019
年高考全国

卷理数】如图, 长方体
ABCD–A
1
B
1
C
1
D
1的底面
ABCD
是正方形,点
E
在棱
AA
1
上 ,
BE

EC
1




1)证明:
BE
⊥平面
EB
1
C
1



2
)若
AE=A
1
E
,求二面角
B–E C–C
1
的正弦值.

【答案】(
1
)证明见解析;(
2

3
.
2
【解析】(
1
)由已知得,
B
1
C
1
?
平面
ABB
1
A
1

BE?
平面
ABB
1
A
1



B
1
C
1
?
BE



BE?EC
1
,所以
BE?
平面
EB
1
C
1



2
)由(
1
)知
?B EB
1
?90?
.由题设知
Rt△ABE

Rt△A
1
B
1
E
,所以
?AEB?45?



AE?AB

AA
1
?2AB




D
为坐标原点,
DA
的方向为
x
轴正 方向,
|DA|
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
D–xyz




C

0

1

0
),
B

1

1

0
),
C
1

0

1

2
),
E
1

0

1
),
CB?(1,0,0)
CE?(1,?1,1)

CC
1
?(0,0,2)


设平面
EBC
的法向量为
n
=

x< br>,
y

x
),则

?
?
CB?n?0,
?
x?0,


?< br>?
x?y?z?0,
?
?
CE?n?0,
?
所以可取
n
=
(0,?1,?1)
.
设平面
ECC
1的法向量为
m
=

x

y

z
),则

?
?
CC
1
?m?0,
?
2z?0,
< br>即
?
?
x?y?z?0.
?
?
?
CE?m? 0,
所以可取
m
=

1

1

0
).

于是
cos?n,m??
n?m1
??


|n||m|2
3


2
所以,二面角
B?EC? C
1
的正弦值为
【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线 面垂直的判定,考查了利用空
间向量求二角角的余弦值,以及同角的三角函数关系,考查了数学运算能力
.
13
.【
2019
年高考全国

卷理数】图< br>1
是由矩形
ADEB

Rt

ABC
和菱形
BFGC
组成的一个平面图形,其

AB=1

BE=BF =2
,∠
FBC=60°
,将其沿
AB

BC
折起 使得
BE

BF
重合,连结
DG
,如图
2.
1
)证明:图
2
中的
A

C
G

D
四点共面,且平面
ABC
⊥平面
BCGE



2
)求图
2
中的二面角
B?CG?A的大小
.



【答案】(
1
)见解析;(
2

30
.
【解析】(
1
)由已知得
ADBE

CGBE
,所以
ADCG
,故
AD

CG
确定一个平面,从而
A

C

G

D
四点共面.

由已知得AB
?
BE,AB
?
BC,故AB
?
平面BCGE.
又因为AB
?
平面ABC,所以平面ABC
?
平面BCGE. (2)作EH
?
BC,垂足为H.因为EH
?
平面BCGE,平面BCG E
?
平面ABC,所以EH
?
平面ABC.
由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=
3

以H为坐标原点,
HC
的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H–x yz,

则A(–1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,
3
),
CG
=(1,0,
3
),
AC
=(2,–1,0).
设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则
?
?
x?3z?0,
?
CG?n?0,
?
?
?
?
?
2x?y?0.
?
AC?n?0,
?
所以可取n=(3,6,–
3
).
又平面BCGE的法向量可取为m=(0 ,1,0),所以
cos?n,m??
因此二面角B–CG–A的大小为30°.
【 名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题,首先是多面体折叠问题,考查考生在折叠过程中哪些量
n?m 3

?
|n||m|2


是不变的,再者折叠后的多面体不是 直棱柱,最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的
平面角问题,突出考查考生的空间想象能 力
.
14
.【
2019
年高考北京卷理数】如图,在四棱锥
P–ABCD
中,
PA
⊥平面
ABCD

AD

CD

AD

BC

PA=AD=CD=2

BC=3

E

PD
的中点,点
F

PC
上,且

1
)求证:
CD
⊥平面
PA D



2
)求二面角
F–AE–P
的余弦值;

3
)设点
G

PB
上,且
PF1
?


PC3
PG2
?
.判断直线
AG
是否在平面AEF
内,说明理由.

PB3

【答案】(
1
)见解析;(
2

3
;(
3
)见解析
.
3
【解析】(
1
)因为
PA
⊥平面
ABCD
,所 以
PA

CD


又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.
(2)过A作AD的垂线交BC于点M.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.
如图建立空间直角坐标系A?xy z,则A(0,0,0),B(2,
?
1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).
所以
AE ?(0,1,1),
所以
PF?
PC?(2,2,?2),AP?(0,0,2)
1
?
222
?
PC?
?
,,?
?
,
3
?
333
?
?
224
?
AF ?AP?PF?
?
,,
?
.
?
333
?
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则
?< br>y?z?0,
?
?
n?AE?0,
?

?
2

?
24
x?y?z?0.
?
?
n?AF?0,< br>?
33
?
3


令z=1,则
y??1,x??1

于是
n=(?1,?1,1)

又因为平面PAD的法向量为 p=(1,0,0),所以
cos?n,p??
n?p3
.
??
| n‖p|3
由题知,二面角F?AE?P为锐角,所以其余弦值为
3

3

(3)直线AG在平面AEF内.
因为点G在PB上,且
PG2
?,PB?(2,?1,?2)

P B3
所以
PG?
2
?
424
??
422
?
PB?
?
,?,?
?
,AG?AP?PG?
?
,? ,
?
.
3
?
333
??
333
?
由(2)知,平面AEF的法向量
n=(?1,?1,1)
.
所以
AG?n??
422
???0
.
333
所以直线AG在平面AEF内.
【名师点睛】(
1
)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;


2
)建立空间直角坐标系,结合两个半平面的法向量即可求得二面角
F?A E?P
的余弦值;


3
)首先求得点
G
的坐标, 然后结合平面
AEF
的法向量和直线
AG
的方向向量即可判断直线是否在平面内
.

15.【2019年高考天津卷理数】如图,
AE?
平面
ABCD

CF∥AE,AD∥BC

AD?AB,AB?AD ?1,AE?BC?2

(1)求证:
BF∥
平面
ADE

(2)求直线
CE
与平面
BDE
所成角的正弦值;


(3)若二面角
E?BD?F
的余弦值为
1
,求线段
CF< br>的长.
3

【答案】(1)见解析;(2)
48
;(3).
97
AD,AE
的方向为
x
轴,
y
轴,
z
轴正方向的空【解析】依题意,可以建立以
A
为原点,分别以
AB,
间直角坐标系(如图),可得
A(0,0,0),
,则
F
?
1,2, h
?

CF?h(h?>0)
(1)依题意,
AB?(1,0,0 )
是平面
ADE
的法向量,又
BF?(0,2,h)
,可得
BF?AB?0
,又因为直
线
BF?
平面
ADE
,所以BF∥
平面
ADE

(2)依题意,
BD?(?1,1,0) ,
B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)

E(0,0,2).设
BE?(?1,0,2),CE?(?1,?2,2)

?
?n?BD?0,
?
?x?y?0,

n?(x,y,z)
为平面
BDE
的法向量,则
?

?
不妨令
z?1

?
?
n?BE?0,
?
?x?2z?0,
可得
n?(2,2,1)
.因此有
cosCE,n?
CE?n4
??

9
|CE||n|
4

9
所以,直线
CE
与平面
BDE
所成角的正弦值为
?
?
m?BD?0,
?< br>?x?y?0,
(3)设
m?(x,y,z)
为平面
BDF
的 法向量,则
?

?

?
?
m?BF?0,
?
2y?hz?0,
不妨令
y?1
,可得
m?
?
1 ,1,?
?
?
2
?
?

h
?
由 题意,有
cos?m,n??
|m?n|
?
|m||n|
4?
2
h
4
h
2
?
32?
8
1
,解 得
h?
.经检验,符合题意.
7
3


所以,线段
CF
的长为
8

7

【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基 础知识.考查用空
间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
16.【2019年高考江苏卷】如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.
求证:(1)A
1
B
1
∥平面DEC
1

(2)BE⊥C
1
E.

【答案】(
1
)见解析;(
2
)见解析
.
【解析 】(
1
)因为
D

E
分别为
BC

AC
的中点,

所以
ED

AB.
在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
AB

A
1
B
1


所以
A
1
B
1

ED.
又因为
ED
?平面
DEC
1

A
1
B
1
?
平面
DEC
1


所以
A
1
B
1
∥平面
DEC
1
.

2
)因为
AB=BC

E

AC
的中点,所以
BE

AC.
因为三棱柱
ABC?A
1< br>B
1
C
1
是直棱柱,所以
CC
1
⊥平面ABC.


又因为
BE
?平面
ABC
,所以CC
1

BE.
因为
C
1
C
?平面
A
1
ACC
1

AC
?平面
A
1
ACC
1

C
1
C∩AC=C


所以
BE
⊥平面
A
1
ACC
1
.
因为
C
1
E
?平面
A
1
ACC
1
,所以
BE

C
1
E.
【名师点睛】本小题主要考查直 线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空
间想象能力和推理论证能力
.
17
.【
2019
年高考浙江卷】(本小题满分
15
分 )如图,已知三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
,平面
A
1
ACC
1
?
平面
ABC
,
? AC,E,F
分别是
AC

A
1
B
1
的中 点
.
?ABC?90?

?BAC?30?,A
1
A?A C
1

1
)证明:
EF?BC


2
)求直线
EF
与平面
A
1
BC
所成角的余弦 值
.

【答案】(
1
)见解析;(
2

【解析】方法一:

3


5

1
)连接
A
1
E
,因为
A
1
A=A
1
C

E

AC
的中点,所以
A
1
E

AC

又平面
A
1
ACC
1
⊥平面
ABC

A
1
E
?
平面
A
1
ACC
1< br>,

平面
A
1
ACC
1

平面ABC=AC


所以,
A
1
E
⊥平面
ABC
,则
A
1
E

BC


又因为
A
1
F

AB
,∠
ABC=90°
,故
BC

A
1
F


所以
BC
⊥平面
A
1
EF


因此
EF

BC




2
)取
BC
中点
G
,连接
EG

GF
,则
EGFA
1
是平行四边形.

由于
A1
E
⊥平面
ABC
,故
A
1
E
EG
,所以平行四边形
EGFA
1
为矩形.

由(1
)得
BC
⊥平面
EGFA
1
,则平面
A1
BC
⊥平面
EGFA
1


所以
E F
在平面
A
1
BC
上的射影在直线
A
1
G
上.

连接
A
1
G

EF
O
,则∠
EOG
是直线
EF
与平面
A
1
BC
所成的角(或其补角).

不妨设
AC=4
,则在
R t

A
1
EG
中,
A
1
E=2
3

EG=
3
.
由于
O

A
1< br>G
的中点,故
EO?OG?
A
1
G
15
,< br>
?
22
EO
2
?OG
2
?EG
2
3
所以
cos?EOG??


2EO?OG5
因 此,直线
EF
与平面
A
1
BC
所成角的余弦值是
方 法二:


1
)连接
A
1
E
,因为
A
1
A=A
1
C

E

AC
的 中点,所以
A
1
E

AC.
又平面
A
1
ACC
1
⊥平面
ABC

A
1
E
?
平面
A
1
ACC
1


平面
A
1
ACC
1

平面
ABC=AC
,所以,
A
1
E
⊥平面
ABC


如图,以点
E< br>为原点,分别以射线
EC

EA
1

y
,< br>z
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
E–xyz


3


5

不妨设
AC=4
,则


A
1

0

0

2
3
),
B

3

1

0
),< br>B
1
(3,3,23)

F(
33
,,23)

C(0

2

0)


22
因此,
EF?(
33
,,23)

BC?(?3,1,0)


22

EF?BC?0

EF?BC



2
)设直线
EF
与平面
A
1
BC
所成角 为
θ


10),A
1
C=(0,2,?23)


由(
1
)可得
BC=(?3,,
z)


设平面
A
1
BC
的法向量为
n
?(x,y,
??
BC?n?0
?
?3x?y?0
?

?
,得
?


?
?
?
A
1
C?n?0< br>?
y?3z?0
1)
,故
sin
?
?|cosEF, n|=

n
?(1,3,
|EF?n|4
?


|EF|?|n|
5
3


5
因此,直线
EF
与平面
A
1
BC
所成的角的余弦值为
【名师点睛】本题 主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空
间想象能力和运算求解 能力.
专题5 平面解析几何
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为
F
1
(?1,0),F
2
(1,0)
,过F
2的直线与C交于A,B
两点.若
|AF
2
|?2|F
2
B|

|AB|?|BF
1
|
,则C的方程为
x
2
?y
2
?1
A.
2

x
2
y
2
??1
B.
32
x
2
y
2
??1
D.
54
x
2
y
2
??1
C.
43
【答案】
B

【解析】法一:如图,由已知可设
F
2
B?n
,则
AF
2
?2n,BF
1
? AB?3n


由椭圆的定义有
2a?BF
1
?BF
2
?4n,?AF
1
?2a?AF
2
?2n


4n
2
?9n
2
?9n
2
1

△ AF
1
B
中,由余弦定理推论得
cos?F
1
AB??

2?2n?3n3



△AF
1
F< br>2
中,由余弦定理得
4n?4n?2?2n?2n?
22
1
3
?4
,解得
n?


3
2
x
2< br>y
2
?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?
所求椭圆 方程为
??1
,故选
B


32
222

法二:由已知可设
F
2
B?n
,则
AF
2
?2n,BF
1
?AB?3n


由椭圆的定义有
2a?B F
1
?BF
2
?4n,?AF
1
?2a?AF
2< br>?2n


?
4n
2
?4?2?2n?2?cos? AF
2
F
1
?4n
2

△AF
1
F
2

△BF
1
F
2
中,由余弦定理得
?
2


2
?
n?4?2?n?2?cos?BF
2
F
1
?9n

?AF
2
F
1
,? BF
2
F
1
互补,
?cos?AF
2
F
1
?cos?BF
2
F
1
?0
,两式消去
cos?A F
2
F
1
,cos?BF
2
F
1
,得3n
2
?6?11n
2
,解得
n?
3

?2a?4n?23,?a?3,?b
2
?a
2
?c
2
? 3?1?2,?
所求椭圆方
2
x
2
y
2
程为
??1
,故选
B


32
【名师点睛】本题考查椭圆标准 方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落
实了直观想象、逻辑推理等数学素 养.

2
.【
2019
年高考全国

卷理数】若抛 物线
y
2
=2px(p>0)
的焦点是椭圆
A

2
C

4
【答案】
D
x2
3p
?
y
2
p
?1
的一个焦点,则
p=
B

3
D

8
x
2
y
2
pp
2
??1
的一个焦点,【解析】因 为抛物线
y?2px(p?0)
的焦点
(,0)
是椭圆所以
3p?p ?()

3pp
22
2
解得
p?8
,故选
D


【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑 推理、运算能力素养.解答时,利用抛
物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于
p
的方程 ,从而解出
p
,或者利用检验排除的方法,如
p?2
时,
2

0
)抛物线焦点为(
1

0
),椭圆焦点为(
±
,排除
A
,同样可排除
B

C
,从而得到选
D


x
2
y
2
3
.【
201 9
年高考全国

卷理数】设
F
为双曲线
C

2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点,
O
为坐标原点 ,以
ab
OF
为直径的圆与圆
x
2
?y
2
?a
2
交于
P

Q
两点.若
PQ?OF
, 则
C
的离心率为

A

2

C

2
【答案】
A
【解析】设
PQ

x
轴交于点
A
,由对称性可知
PQ?x
轴,




B

3

D

5


c
PQ?|OF|?c
?|PA|?,?PA
为以
OF
为直径的圆的半径,

2
c
?
cc
?

?P
?
,
?
,< br>
2
?
22
?
222

|OA|?
c
2
c
2
c
2
c
2
22
2

P
点在圆
x?y?a
上,
???a
,即
?a, ?e?
2
?2


2a
44
?e?2
,故选
A



【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,
避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化
练 习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.解答本题时,准确画图,由图形对称性得出
P
点坐


标,代入圆的方程得到
c

a
的关系,可求双曲 线的离心率.

x
2
y
2
4
.【
2019
年高考全国

卷理数】双曲线
C

?
=1
的右焦点为
F
,点
P

C
的一条渐近线上,
O
42
坐标原点,若
PO=PF
,则△
PFO
的面积为

A

32

4
B

32

2
C

22

【答案】
A
D

32

【解析】由
a ?2,b?2,c?a
2
?b
2
?6,
PO?PF,?x
P
?
6


2

P

C
的 一条渐近线上,不妨设为在
y?
b
b263
x
上,则
yP
??x
P
?


??
a
a222< br>?S
△PFO
?
11332
,故选
A

< br>OF?y
P
??6??
2224
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体 的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素
养.采取公式法,利用数形结合、转化与 化归和方程思想解题.忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式
的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式 解出三角形的高,便可求三角形面积.

1
x
2
y
2
5
.【
2019
年高考北京卷理数】已知椭圆
2
?
2?1

a

b

0
)的离心率为,则

2
a b
A

a
2
=2b
2

C

a=2b
【答案】
B
【解析】椭圆的离心率
e?
故选
B.
【名师点睛】本题考查椭圆的 标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查
.
由题意利用离心率的 定义和
a,b,c
的关系可得满足题意的等式
.
6
.【
2 019
年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线
C

x
2
?y
2
?1?|x|y

是其中之一(如图).给出 下列三个结论:



B

3a
2
=4b
2
D

3a=4b
c1
2
?,c?a
2
? b
2
,化简得
3a
2
?4b
2


a2



①曲线
C
恰好经过
6
个整点 (即横、纵坐标均为整数的点);

②曲线
C
上任意一点到原点的距离都不超过
2


③曲线
C
所围成的

心形

区域的面积小于
3

其中,所有正确结论的序号是

A
.①

C
.①②

【答案】
C


B
.②

D
.①②③

|x|
?
3x
2
3x
2
4
?
2
【解析】由
x?y? 1?xy
得,
y?xy?1?x

?
y?

?1?,1?厔0,x
?
2
?
443
?
2222
2
所以
x
可取的整数有
0

?1

1< br>,从而曲线
C:x?y?1?xy
恰好经过
(0

1)

(0

?1)

(1

0)

(1

1)

(?1

0)

(?1

1)
,共
6
个整点,结论①正确
.
22
x
2
?y
2
22

x?y?1?xy
得,
x?y?1?
,解得
x?y?2
,所以曲线
C
上任意一点到原点的 距离
2
22
22
都不超过
2
.
结论②正确
.
如图所示,易知
A
?
0,?1
?< br>,B
?
1,0
?
,C
?
1,1,
?
,D
?
0,1
?


四边形
ABCD
的面 积
S
四边形ABCD
?
13
?1?1?1?1?
,很明显< br>“
心形

区域的面积大于
2S
四边形ABCD
,即< br>“

22


区域的面积大于
3
,说法③错 误
.



故选
C.
【名师点睛】本题考查曲线与方 程?曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?
基本运算能力及分析问题、解决 问题的能力考查,渗透

美育思想
”.
将所给方程进行等价变形确定
x
的范
围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围, 利用图形的对
称性和整点的坐标可确定图形面积的范围
.
7.【2019年高考天津 卷理数】已知抛物线
y?4x
的焦点为
F
,准线为
l
,若< br>l
与双曲线
2
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两条渐近线分别交于点
A
和点
B
,且< br>|AB|?4|OF|

O
为原点),则双曲
2
ab
线的离心率为
A.
2

C.
2

【答案】
D
2
【解析】抛物线
y?4x
的准线
l
的方程为
x??1




B.
3

D.
5

双曲线的渐近线方程为
y??
则有
A(?1,),B(?1,?)


b
x


a
bb
aa
2b2b
? 4

b?2a



AB?

aa
ca
2
?b
2

e???5
.
aa
故选
D.


【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质 以及离心率的求解,解题关键是求出
AB
的长度
.
解答时,
只需把< br>AB?4OF

a,b,c
表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率
.
8
.【
2019
年高考浙江卷】渐近线方程为
x±y= 0
的双曲线的离心率是

A.
2

2
B.1
C.
2

【答案】
C
D.2
【解析】因为双曲 线的渐近线方程为
x?y?0
,所以
a?b
,则
c?a
2< br>?b
2
?2a
,所以双曲线的离
心率
e?
c
?2
.故选C.
a
【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得
a?b
,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双
曲线基础知识、基本计算能力的考查
.< br>理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求
.
部分考生易出现
理解性错误
.
9.【2019年高考浙江卷】已知圆
C
的圆心坐标是
(0,m )
,半径长是
r
.若直线
2x?y?3?0
与圆C相切于

A(?2,?1)
,则
m
=___________,
r
= ___________.
【答案】
?2

5

【解析】 由题意可知
k
AC
??
此时
r?|AC|?
11
? AC:y?1??(x?2)
,把
(0,m)
代入直线
AC
的方程得
m??2

22
4?1?5
.
【名师点睛】本题主要考查 圆的方程、直线与圆的位置关系
.
首先通过确定直线
AC
的斜率,进一步得< br>到其方程,将
(0,m)
代入后求得
m
,计算得解
.
解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的
结合,特别是要注意应用圆的几何性质
.
x
2
y
2
??1
的左焦点为
F
,10.【 2019年高考浙江卷】已知椭圆点
P
在椭圆上且在
x
轴的上方,若线段PF
95
的中点在以原点
O
为圆心,
OF
为半径的圆上 ,则直线
PF
的斜率是___________.
【答案】
15

【解析】方法
1
:如图,设
F
1
为椭圆右焦点
.< br>由题意可知
|OF|=|OM|=c=2


22由中位线定理可得
PF
1
?2|OM|?4
,设
P(x,y)< br>,可得
(x?2)?y?16


321
x
2
y
2
与方程,

??1
联立,可解得
x??,x?
(舍)
22
95
?
315?
,
,所以
k
PF
?
?
?
22
?
又点
P
在椭圆上且在
x
轴的上方,求得
P
?< br>?
?
15
?
2
?15
.
1
2

方法
2
:(焦半径公式应用)由题意可知
| OF|=|OM|=c=2


由中位线定理可得
PF
1
? 2|OM|?4
,即
a?ex
p
?4?x
p
??
3


2
从而可求得
P
?
?
?
?< br>315
?
,
?
?
,所以
k
PF
22
??
15
?
2
?15
.
1
2
【 名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合
思想 ,是解答解析几何问题的重要途径
.
结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用 圆的
方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解
.也可
利用焦半径及三角形中位线定理解 决,则更为简洁
.
x
2
y
2
11
.【
2 019
年高考全国

卷理数】设
F
1
,F
2
为椭圆
C:
+?1
的两个焦点,
M

C
上一点且 在第一象
3620

.

△MF
1
F
2< br>为等腰三角形,则
M
的坐标为
___________.
【答案】
3,15

【解析】由已知可得
a?36,b?20,?c?a?b?16,?c?4


22222
??


?MF
1
?F
1
F
2
?2c?8
,∴
MF
2
?4


设点
M
的坐标为
?
x
0
,y
0
??x
0
?0,y
0
?0
?
,则
S
△MF
1
F
2
?

S
△MF
1
F
2
?
1
?F
1
F
2
?y
0
?4 y
0


2
1
?4?8
2
?2
2
?415,?4y
0
?415
,解得
y
0
?15< br>,

2
2
x
??
36
2
0
?
15
?
20


?1
,解得
x
0
?3

x
0
??3
舍去)
M
的坐标为< br>3,15


【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合 思想、转化与化归的能力,很好地落
??
MF
2
,设出
M
的 实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时,根据椭圆的定义分别求出
MF
1

坐标,结合三角形面积可求出
M
的坐标
.
x
2
y
2
12.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C:
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,< br>ab
过F
1
的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若
F

F
1
B?F
2
B?0
,则C的离心率为
1A?AB
____________.
【答案】
2
【解析】如图,由
F,

F
1
A?AB.

OF
1
?OF
2
,

OA
是三角形
F
1
F
2
B
的中位线,即
1
A?AB
BF
2
∥OA,B F
2
?2OA.

F
1
B?F
2
B?0< br>,
FA,

OB?OF
1

?AOB??AOF1



F
1
B?F
2
B,?OA?
1

OA

OB
都是渐近线,得
?BOF
2
??AOF
1
,


?BOF
2
??A OB??AOF
1

,∴
?BOF
2
??AOF
1
??BOA?60,

又渐近线
OB
的斜率为
b
cb
?tan60??3
,∴该双曲线的离心率为
e??1?()
2
?1?(3)
2
?2


a
aa

【名师 点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算

< br>素养,采取几何法,利用数形结合思想解题.解答本题时,通过向量关系得到
F
1
A?AB

OA?F
1
A

从而可以得到
?AO B??AOF
1
,再结合双曲线的渐近线可得
?BOF
2
??AOF
1
,
进而得到
?BOF
2
??AOF
1
? ?BOA?60,
从而由
b
?tan60??3
可求离心率
. a
2
y
2
13.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系
x Oy
中,若双曲线
x?
2
?1(b?0)
经过点(3,4),则该< br>b
双曲线的渐近线方程是 ▲ .
【答案】
y??2x
4
2
【解析】由已知得
3?
2
?1
,解得
b? 2

b??2


b
2
因为
b?0
,所以
b?2
.
因为
a?1
,所以双曲线的渐近线方程为
y??2x
.
【 名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分
题< br>.
双曲线渐近线与双曲线标准方程中的
a,b
密切相关,事实上,标准方程中化
1

0
,即得渐近线方程
.
14.【2019年高考江苏 卷】在平面直角坐标系
xOy
中,P是曲线
y?x?
到直线x+y=0的距离 的最小值是 ▲ .
【答案】
4
【解析】当直线
x+y=0
平移到与曲线
y?x?
离最小
.

y
?
?1?
4
(x?0)
上的一个动点,则点P
x
4
相切位置时,切点
Q
即为点
P
,此时到直线< br>x+y=0
的距
x
4
??1
,得
x?2(x??2舍 )

y?32
,即切点
Q(2,32)


x2
则切点
Q
到直线
x+y=0
的距离为
故答案为
4


2?32
1?1
22
?4

< br>【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养
.
采取导
数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题
.
15.【20 19年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C:y
2
=3x的焦点为F,斜率为
B,与x轴 的交点为P.
3
的直线l与C的交点为A,
2


(1)若|A F|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若
AP?3PB
,求|AB|.
【答案】(
1

y?
37
413
.
x?
;(
2

28
3
【解析】设直线
l:y?
3
x?t,A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?


2
(1) 由题设得
F
?
35
?
3
?
,0
?
,故
|AF|?|BF|?x
1
?x
2
?
,由题设可得x
1
?x
2
?

22
?
4
?
3
?
12(t?1)
?
y?x?t
22

?
,可得
9x?12(t?1)x?4t?0
,则
x
1
? x
2
??

2
9
2
?
?
y?3 x
从而
?
12(t?1)57
?
,得
t??

928
37
x?

28
所以
l
的方程为
y?
(2)由
AP?3PB
可得
y
1
??3y2

3
?
y?x?t
?
2

?,可得
y?2y?2t?0

2
2
?
?
y? 3x
所以
y
1
?y
2
?2
.从而
?3y< br>2
?y
2
?2
,故
y
2
??1,y
1
?3

代入
C
的方程得
x
1
?3,x
2
?
1

3

|AB|?
413

3
【名师点睛】本题考 查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求
解方法,解题关键是能够 通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系
.
16
.【
2019
年高考全国

卷理数】已知点
A(?2

0)< br>,
B(2

0)
,动点
M(x

y)
满足直线
AM

BM
的斜率之
积为
?
1
2
.

M
的轨迹为曲线
C.

1
)求< br>C
的方程,并说明
C
是什么曲线;



2
)过坐标原点的直线交
C

P

Q
两点,点< br>P
在第一象限,
PE

x
轴,垂足为
E
,连 结
QE
并延长交
C
于点
G.

i
)证明:
△PQG
是直角三角形;


ii
)求
△PQG
面积的最大值
.
【答案】(
1
)见解析;(
2

16
.
9
yy1
x
2
y
2
???
,化简得
?【解析】(
1
)由题设得
?1(|x|?2)
,所以
C
为中心在坐标原点,
x?2x?22
42
焦点在
x
轴上的椭圆,不含 左右顶点.


2
)(
i
)设直线
PQ
的 斜率为
k
,则其方程为
y?kx(k?0)


?
y?kx
2
?
22
x??

?
x
得.
y
2
1?2k
??1
?
?42

u ?
2
1?2k
2
,则
P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u ,0)


于是直线
QG
的斜率为
kk
,方程为< br>y?(x?u)


22
k
?
y?(x?u),?
?
2

?
2


2
?x
?
y
?1
?
?42
(2?k
2
)x
2
?2uk
2
x?k
2
u
2
?8?0.①

23
u(3k?2)uk

G(x
G
, y
G
)
,则
?u

x
G
是方程①的解,故
x
G
?
,由此得
y
G
?

22
2?k2?k
uk
3
?uk
2
1
2?k< br>??
从而直线
PG
的斜率为.

u(3k
2
?2)
k
?u
2?k
2
所以
PQ?PG
,即
△PQG
是直角三角形.

2
2ukk?1

ii
)由(
i
)得
|PQ|?2u1?k

|PG|?
,所以 △
PQG
的面积
2
2?k
2


1
8( ?k)
18k(1?k)
k
S?|PQ‖PG|??


2 2
1
2(1?2k)(2?k)
1?2(?k)
2
k
2
t=k+
1
,则由
k>0

t≥2
,当且仅 当
k=1
时取等号.

k
8t16
[2+∞t=2k=1S
在,)单调递减,所以当,即时,取得最大值,最大值为.

2
1?2t9
16


9
因为
S?
因此,△
PQG
面积的最大值为
【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利 用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及
三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了求 函数最大值问题
.
1
x
2
17
.【
2019年高考全国

卷理数】已知曲线
C

y=

D
为直线
y=
?
上的动点,过
D

C
的两条 切线,
2
2
切点分别为
A

B.

1
)证明:直线
AB
过定点:


2< br>)若以
E(0

5
)
为圆心的圆与直线
AB
相切,且切点为线段
AB
的中点,求四边形
ADBE
的面积
. 2
【答案】(
1
)见详解;(
2

3

42
.
【解析】(
1
)设
D
?
t,?
?
?
1
?
?
,
2
?
A
?
x
1
,y
1
?
,则
x
1
2
?2y
1
.
1
2
?x
. 由于
y'?x
,所 以切线DA的斜率为
x
1
,故
1
x
1
?t
y
1
?
整理得
2 tx
1
?2 y
1
+1=0.


B
?
x
2
,y
2
?
,同理可得
2tx
2
?2 y
2
+1=0
.
故直线AB的方程为
2tx?2y?1?0
.
所以直线AB过定点
(0,)
.
(2)由(1)得直线AB的方程为
y?tx?
1
2
1
.
2


1
?
y?tx?
?
?
2

?
,可得
x
2
?2tx?1?0
.
2
?
y?
x
?
?2
于是
x
1
?x
2
?2t,x
1
x
2
??1,y
1
?y
2< br>?t
?
x
1
?x
2
?
?1?2t
2
?1

|AB|?1?t
2
x
1
?x
2
?1?t
2
?
?
x
1
?x
2
?< br>2
?4x
1
x
2
?2
?
t
2
?1
?
.
2

d
1
,d
2
分 别为点D,E到直线AB的距离,则
d
1
?t?1,
因此,四边形ADBE的 面积
S?
d
2
?
2
t?1
2
.
1
|AB|
?
d
1
?d
2
?
?
?
t
2
?3
?
t
2
?1
.
22
设M为线段AB的中点,则
M
?
t,t?
?
?
1
?
?
.
2
?
由于
EM?AB
,而< br>EM?t,t
2
?2

AB
与向量
(1, t)平行,所以
t?t
2
?2t?0
.解得t=0或
t??1
.

t
=0时,S=3;当
t??1
时,
S?42
.
因此,四边形ADBE的面积为3或
42
.
【名师点睛】此题第一问是圆锥 曲线中的定点问题,第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班
地求解就可以,思路较为清晰,但计 算量不小
.
18
.【
2019
年高考北京卷理数】已知抛物线C

x
2
=?2py
经过点(
2

? 1
).


1
)求抛物线
C
的方程及其准线方程;

2
)设
O
为原点,过抛物线
C
的焦点作斜率不为
0的直线
l
交抛物线
C
于两点
M

N
, 直线
y=?1

别交直线
OM

ON
于点
A
和点
B
.求证:以
AB
为直径的圆经过
y
轴上的 两个定点.

【答案】(
1
)抛物线
C
的方程为
x ??4y
,准线方程为
y?1
;(
2
)见解析
.
2
【解析】(
1
)由抛物线
C:x??2py
经过点
(2, ?1)
,得
p?2
.
2
??
??
所以抛物线C
的方程为
x??4y
,其准线方程为
y?1
.
(2)抛物线
C
的焦点为
F(0,?1)
.
设直线
l
的方程为
y?kx?1(k?0)
.
2
?
y?kx?1,
2

?
2

x?4kx?4?0
.
?
x??4y



M
?
x
1
,y
1
?
,N
?
x
2
,y
2
?
,则
x
1
x
2
??4
.
直线
OM
的方程为
y?
y
1
x
.
x
1
x
1
.
y
1

y??1< br>,得点A的横坐标
x
A
??
同理得点B的横坐标
x
B
??
x
2
.
y
2
设点
D(0, n)< br>,则
DA?
?
?
?
x
1
??
x?
,?1?n
?
,DB?
?
?
2
,?1?n< br>?

?
y
1
??
y
2
?
DA?DB?
x
1
x
2
?(n?1)
2

y
1
y
2
?
x
1
x
2
?(n?1 )
2

22
?
x
1
??
x
2?
?
?
??
?
?
?
4
??
4
?
16
?(n?1)
2

x
1
x
2
?
??4?(n?1)
2
. < br>令
DA?DB?0
,即
?4?(n?1)?0
,则
n?1
n??3
.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点
(0,1)< br>和
(0,?3)
.
【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的 确定,直线与抛物线的位置关系,圆的性
质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力< br>.

2
x
2
y
2
19.【2019年高考天 津卷理数】设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点为
F
,上顶点为
B
.已知椭圆的短
ab
轴长为4,离心率为
5< br>.
5
(1)求椭圆的方程;
(2)设点
P
在椭圆上,且异 于椭圆的上、下顶点,点
M
为直线
PB

x
轴的交点,点< br>N

y
轴的负
半轴上.若
|ON|?|OF|
O
为原点),且
OP?MN
,求直线
PB
的斜率.

< p>
x
2
y
2
230230
??1
;(2)【答案 】(1)或
?

55
54
【解析】(1)设椭圆的半焦距为
c
,依题意,
2b?4,
c5
?
,又
a
2
?b
2
?c
2
,可得
a?5

b?2,
a5
c?1

x
2
y
2
??1
. 所以 ,椭圆的方程为
54
(2)由题意,设
P
?
x
P
, y
P
?
x
p
?0,M
?
x
M
,0
?
.设直线
PB
的斜率为
k
?
k?0
?< br>,

B
?
0,2
?
,则直线
PB
的方程为
y?kx?2

??
?
y?kx?2,
?
与椭圆方程联立
?
x
2
y
2
整理得
?
4 ?5k
2
?
x
2
?20kx?0

?1,
?
?
4
?
5
8?10k
2
20k
可得< br>x
P
??
,代入
y?kx?2

y
P
?

4?5k
2
4?5k
2
y
P
4? 5k
2
进而直线
OP
的斜率.
?
x
p
? 10k

y?kx?2
中,令
y?0
,得
x
M??
2

k
k

2
由题意得
N< br>?
0,?1
?
,所以直线
MN
的斜率为
?
4 ?5k
2

OP?MN
,得
?10k
所以,直线
P B
的斜率为
230
24
?
k
?
?
?
?
?
??1
,化简得
k
2
?
,从而
k? ?

2
5
5
??
230230

?

55
【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法 研
究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
x
2< br>y
2
20.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:2
?
2
?1(a?b?0)
的焦点为F
1
ab
(–1、0),F
2
(1,0).过F
2
作x轴的垂线l,在x轴的上方,l 与圆F
2
:
(x?1)?y?4a
交于点A,
与椭圆C交于点D.连 结AF
1
并延长交圆F
2
于点B,连结BF
2
交椭圆C于点 E,连结DF
1

222


已知DF
1
=
5

2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.

3x
2
y
2
【答案】(
1
)(
2
E(?1,?)
.
??1

2
43
【解析】(
1
)设椭圆
C
的焦距为
2c.
因为
F
1
(?1

0)

F
2
(1

0)
,所以
F
1
F
2
=2

c=1.
又因 为
DF
1
=
5
53

AF
2
⊥< br>x
轴,所以
DF
2
=
DF
1
2
?F
1
F
2
2
?()
2
?2
2
?

2
22
因此
2a=DF
1
+DF
2
=4
,从而
a=2.
2222

b=a
?c
,得
b=3.
x
2
y
2
因此,椭圆
C
的标准方程为
??1
. 43
x
2
y
2

2
)解法一:由(
1
)知,椭圆
C

??1

a=2

43
因为
AF
2

x
轴,所以点
A
的 横坐标为
1.
22
4.

x=1
代入圆
F< br>2
的方程
(x?1)+y=16
,解得
y=±
因为点
A

x
轴上方,所以
A(1

4).

F
1
(?1

0)
,所以直线
AF
1
:< br>y=2x+2.

?
?
y?2x?2
22
?
(x?1)?y?16
,得
5x
2
?6x?11?0
,解得
x?1

x??
11
.
5

x??
1 112
代入
y?2x?2
,得

y??


55


因此
B(?
1112
,?)
.
55
3
(x?1)
.
4

F
2
(1

0)
,所以直线
BF
2

y?
3< br>?
y?(x?1)
?
?
13
4
2
.
x?

?
2
,得,解得或
x??1
7x?6x?13?0
2
7
?
x
?
y
?1
?
3
?
4
又因为
E
是线段
BF
2
与椭圆的交点,所以< br>x??1
.

x??1
代入
y?
因此
E(?1,?)
.
33
(x?1)
,得
y??
.
42
3
2

x
2
y
2
解法二:由 (
1
)知,椭圆
C

??1
.
43
如图,连结
EF
1
.
因为
BF
2< br>=2a

EF
1
+EF
2
=2a
,所以EF
1
=EB


从而∠
BF
1
E=

B.
因为
F
2
A=F
2
B
,所以∠
A=

B

所以∠
A=

BF
1
E
,从而
EF
1

F
2
A.
因为
AF
2
⊥< br>x
轴,所以
EF
1

x

.
?< br>x??1
3
?
因为
F
1
(?1

0 )
,由
?
x
2
y
2
,得
y??
.
2
?1
?
?
3
?
4
又因为
E是线段
BF
2
与椭圆的交点,所以
y??
因此
E(?1 ,?)
.
3
.
2
3
2



【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的
位 置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力
.
21.【2019年 高考浙江卷】如图,已知点
F(1,0)
为抛物线
y?2px(p?0)
的焦 点,过点F的直线交抛物
线于A、B两点,点C在抛物线上,使得
△ABC
的重心G在 x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在
点F的右侧.记
△AFG,△CQG
的面积分 别为
S
1
,S
2

(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求
2
S
1
的最小值及此时点G的坐标.
S
2

【答案】(1)p=2,准线方程为x=?1;(2)最小值为
1?
【解析】(1)由题意得
3
,此时G(2,0).
2
p
?1
,即p=2.
2
所以,抛物线的准线方程为x=?1.
2
(2)设
A
?
x
A
,y
A
?
,B
?
x
B
,y
B
?
,C
?
x
c
,y
c
?
,重心
G
?
x
G
,y
G
?
.令< br>y
A
?2t,t?0
,则
x
A
?t
.


t
2
?1
y?1
,代入
y
2
? 4x
,得 由于直线AB过F,故直线AB方程为
x?
2t
y
2?
2
?
t
2
?1
?
t
y?4?0
2
?
12
?
,所以
B
?
2
,?
?
.
t
?
t
?
t

2t y
B
??4
,即
y
B
??
又由于
x
G
?
112
?
x
A
?x
B
?x
c
?
,y
G
?
?
y
A
?y
B?y
c
?
及重心G在x轴上,故
2t??y
c
?0,得
33t
?
?
1
?
2
?
1
?
?
?
2t
4
?2t
2
?2
?
C
?
?
?t
?
,2
?
?t
?
?,G
?
,0
?
.
2
?
?
t
??
t
?
?
?
3t
?
??
所以,直线AC 方程为
y?2t?2tx?t
2
,得
Qt
2
?1,0
.
由于Q在焦点F的右侧,故
t
2
?2
.从而
??< br>??
2t
4
?2t
2
?2
1
?1?|2t|
|FG|?y
A
3t
2
S
1
2
2t
4
?t
2
t
2
?2
.
???
4
?2?
4
42
1
t?22
S
2
t?1t?1|QG|?y
c
|t
2
?1?
2t?2
2
|? |?2t|
2
3tt

m?t
2
?2
,则m>0,
S
1
m113
.
?2?
2
?2?
2??1?
3
S
2
m?4m?32
3
m??4
2m??4
m
m

m?3
时,
3
S
1取得最小值
1?
,此时G(2,0).
2
S
2
【名师 点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算
求解能力和 综合应用能力.
专题
6
三角函数及解三角形

1
.【
2019
年高考全国

卷理数】函数
f(x)=
sinx? x

[??,?]
的图像大致为

2
cosx?x
B

A


C

D


【答案】
D
【解析】由
f(?x)?
sin(?x)?(?x)?sinx?x
???f(x)
,得
f(x)
是奇函数,其图象关于原点对称,
cos(?x)?(?x)< br>2
cosx?x
2
π
π
2
?
4
?< br>2π
?1,
f(π)?
π
?0
,排除
B
,< br>C
,故选
D


排除
A
.又
f() ?
2
2
π
2

?1?π
()
2
1?
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法 或
赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得
f(x)
是 奇函数,排除
A
,再注
意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.

2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数
f(x)?sin|x|?|sin x|
有下述四个结论:
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(
?
2

?
)单调递增
③f(x)在
[??,?]
有4个零点
其中所有正确结论的编号是
A.①②④
C.①④
【答案】
C
【解析】


④f(x)的最大值为2
B.②④
D.①③
f
?< br>?x
?
?sin?x?sin
?
?x
?
?sinx? sinx?f
?
x
?
,?f
?
x
?
为偶函 数,故①正确.

π
?
?
?
fx?2sinx
当< br>?x?
π
时,
??
,它在区间
?
,?
?单调递减,故②错误.

2
?
2
?

0?x? π
时,
f
?
x
?
?2sinx
,它有两个零点:< br>0??
;当
?π?x?0
时,
f
?
x
??sin
?
?x
?
?sinx

??2sinx
,它有一个零点:

,故
f
?
x
?

?
??,?
?

3
个零点:
???0??
,故③错 误.


x?
?
2k?,2k???
?
k?N?
?
?
时,
f
?
x
?
?2
, 2k??2
sinx
;当
x?
?
2k???
时,
?
?
?kN
?
?
?
fx
?
x
??sin?si?nx
,又
0f
?
x
?
为偶函数,?f
?
x
?
的最大值为
2
,故④正确.

综上所述,①④正确,故选
C


【名师点睛】本题 也可画出函数
f
?
x
?
?sinx?sinx
的图象(如下 图),由图象可得①④正确.


3
.【
2019
年高考全 国

卷理数】下列函数中,以
A

f(x)=|cos2x|
C

f(x)=cos|x|
【答案】
A
?
2
为周期且在区间
(
?
4

?
2
)
单调递增的是

B

f(x)=|sin2x|
D

f(x)=sin|x|
【解析】作出因为
y?sin|x|
的图象如下图
1
,知其不是周期函数,排除
D


因为
y?cosx?cosx
,周期为

,排除
C

π
??
,在区间
(

)
单调递增,
A
正确;

2
42
π
??
作出
y?sin 2x
的图象如图
3
,由图象知,其周期为,在区间
(

)< br>单调递减,排除
B


2
42
作出
y?co s2x
图象如图
2
,由图象知,其周期为
故选
A




1


2



3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想 象、逻辑推理等数学素养,画出各函数
图象,即可作出选择.本题也可利用二级结论:①函数
y ?f(x)
的周期是函数
y?f(x)
周期的一半;

y?sin< br>?
x
不是周期函数
.
4
.【
2019
年高 考全国

卷理数】已知
α

(0

?
2< br>)

2sin2α=cos2α+1
,则
sinα=
A

1
5
B

5
5

C

3
3
D

2
5
5

【答案】
B
【解析】2
2sin2α?cos2α?1

?4sin
α
?cosα
?2cos
α
.
α
?
?
0,
?,?cos
α
?0

sinα?0,
2
?
?< br>?
?
?
1
5
,故
?2sinα?cosα
, 又
sin
2
?
?cos
2
?
?1

?
5sin
2
α?
1,sin
2
α?
,又
sin
?
?0

?sin
?
?
5
5
B


【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基 本关系式的考查,中等难度,判断正余
弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数 问题,研究角的范围后得出三角函数
值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式 得到正余弦关系,再利用角范围及
正余弦平方和为
1
关系得出答案.

5
.【
2019
年高考全国

卷理数】设函数
f
?
x
?
=sin

?
x?
个零点,下述四个结论:


f
?
x
?
在(
0,2?
)有 且仅有
3
个极大值点


f
?
x
?
在(
0,2?
)有且仅有
2
个极小值点

?
)< br>(
?

0)
,已知
f
?
x
?

?
0,2?
?
有且仅有
5
5
?
)单调 递增

10
1229

?
的取值范围是
[

)
510

f
?
x
?
在(
0,
其中 所有正确结论的编号是

A
.①④
B
.②③


C
.①②③

【答案】
D
D
.①③④

【解析】①若
f(x)

[0,2π ]
上有
5
个零点,可画出大致图象,

由图
1
可知 ,
f(x)

(0,2π)
有且仅有
3
个极大值点
.
故①正确;

②由图
1

2
可知,
f( x)

(0,2π)
有且仅有
2
个或
3
个极小值点
.
故②错误;


π
??
k
π
?
④当
f
?
x
?
=sin

?
x?

=0
时,
?
x?
=kπ

k

Z
),所以
5


x?
55
?
因 为
f(x)

[0,2π]
上有
5
个零点,

所以当
k=5
时,
故④正确
.
5π?
x?
?
π
π
1229
6π?
?ω?
k=6
,当时,, 解得


5
?2π
5
?2π
x?
510< br>?
③函数
f
?
x
?
=sin

?< br>x?
?
πππ
)的增区间为:
??2kπ?
?
x?? ?2kπ

5252
7
???
3
?
?
2k ?
?
π
?
?2k
?
π
.
10
?
10
??
?x?
?
??

k=0


1271
π
?x?
π


时,单调递增区间为
?
5248
2973
π
?x?
π


?
?
时,单调递增区间为
?
102929

?
?


综上可得,
f
?
x
?

?
0,
?
π
?
?
单调递增
.
故③正确< br>.
10
??
所以结论正确的有①③④
.
故本题正确答案为
D.
【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理解深< br>度高,考查数形结合思想.注意本题中极小值点个数是动态的,易错,正确性考查需认真计算,易出错.< br>
6.【2019年高考天津卷理数】已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0,|
?
|??)
是奇 函数,将
y?f
?
x
?
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍( 纵坐标不变),所得图象对应的函数为
g
?
x
?
.若
g?
x
?

最小正周期为

,且
g
?
A.
?2

C.
2

【答案】
C
【解析】∵
f(x)
为奇函数,∴
f(0)?Asin
?
?0,?
?
=kπ,k?Z,?k?0,
?
?0


g(x)?Asin
?
?
?
?
?2
,则
?4
?
?
3?
?
f
??
?

?
8
?
B.
?2

D.
2



12π
?
x,?T??2π,

?
?2


1
2
?
2

g()?
π
4
2,∴
A?2



)?2.
故选
C. 8

f(x)?2sin2x

f(
【名师点睛】本题主要考查 函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数
g
?
x
?
,再根 据函数性
质逐步得出
A,
?
,
?
的值即可
. 7
.【
2019
年高考北京卷理数】函数
f

x

=sin
2
2x
的最小正周期是
__________


【答案】
π

2
2
【解析】函数
f< br>?
x
?
?sin2x?
1?cos4x
π
,周期为< br>.
22
【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式 ,属于基础题
.
将所给的
函数利用降幂公式进行恒等变形,然后求解其最小正周期即可
.
8
.【
2019
年高考全国

卷理数】
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.

b?6,a?2c,B?
π
,则
3
△ABC
的面积为
_________


【答案】
63

【解析】由余弦定理得
b
2
?a
2
?c
2
?2ac cosB
,所以
(2c)?c?2?2c?c?
解得
c?23,c??23< br>(舍去),

22
1
?6
2
,即
c
2
?12


2
所以
a?2c?43

S
△ABC
?
113
acsinB??43?23??63.

222
【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题,关键是在 明确方
法的基础上,准确记忆公式,细心计算.本题首先应用余弦定理,建立关于
c
的 方程,应用
a,c
的关系、
三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大, 注重了基础知识、基本方法、数学式子的变
形及运算求解能力的考查.

9.【201 9年高考江苏卷】已知
π
?
tan
?
2
?
??,则
sin
?
2
?
?
?
的值是 ▲ .
π
?
4
?
3
?
?
tan
?
?
?
?
4
??
【答案】
2

10
tan
?
?
1?tan
?
?
tan
?
t an
?
2
????
【解析】由,得
3tan
2
?< br>?5tan
?
?2?0


π
?
tan?
?1
tan
?
?13
?
tan
?
?
?
?
4
?
1?tan
?
?
解得
t an
?
?2
,或
tan
?
??
1
. 3
π
?
ππ
?
sin
?
2
?
?
?
?sin2
?
cos?cos2
?
sin
< br>4
?
44
?
22
?
2sin
?
co s
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?
?
?
sin2
?
?cos2
?
?
=
??

22
?
sin
2
?
?cos
2
?
?
2
?
2tan
?
?1?tan
2
?< br>?
=
??


2
?
tan
2
?
?1
?
2
?
2?2?1?2
2
?
2< br>?
?
=;


tan
?
?2
时,上 式
=
?
2
2
?
2?1
?
10
11
2?(?)?1?(?)
2
2
1
33
]=
2
.

?[

tan
?
??
时,上式
=< br>1
210
3
(?)
2
?1
3


综上,
sin
?
2
?
?
?
?
π
?
2
?.

?
4
?
10
【名师点睛】本题考 查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养
.
采取转化法,利用分类讨
论 和转化与化归思想解题
.
由题意首先求得
tan
?
的值,然后利用两 角和的正弦公式和二倍角公式将原问
题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可< br>.
10.【2019年高考浙江卷】在
△ABC
中,
?ABC?90 ?

AB?4

BC?3
,点
D
在线段
A C
上,若
?BDC?45?
,则
BD?
___________,< br>cos?ABD?
___________.
【答案】
12272


510
【解析】如图,在
△ABD
中,由正弦定理有:
A BBD3π
,
?
,而
AB?4,?ADB?
sin?ADBsin ?BAC4
AC=AB
2
+BC
2
=5

sin? BAC?
BC3AB4
122
.
?,cos?BAC??
,所以< br>BD?
AC5AC5
5
ππ72
.
cos?ABD?cos (?BDC??BAC)?coscos?BAC?sinsin?BAC?
4410

【名师点睛】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思

.

△ABD
中应用正弦定理,建立方程,进而得解
.
解答 解三角形问题,要注意充分利用图形特征
.
11.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】
△ABC
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设
(sinB?sinC)
2< br>?sin
2
A?sinBsinC

(1)求A;
(2)若
2a?b?2c
,求sinC.
【答案】(
1

A?60
?
;(
2

sinC?
6?2
.
4
【解析】(
1
)由已知得
sin
2
B?sin< br>2
C?sin
2
A?sinBsinC
,故由正弦定理得
b< br>2
?c
2
?a
2
?bc


b
2
?c
2
?a
2
1
由余弦定理得
cosA??


2bc2
因为
0
?
?A?18 0
?
,所以
A?60
?



2
)由(
1
)知
B?120
?
?C
,由题设及正弦定理得2sinA?sin120?C?2sinC



?
?
?
631
2


?cos C?sinC?2sinC
,可得
cos
?
C?60
?
?< br>??
222
2
由于
0
?
?C?120
?,所以
sinC?60
?
?
??
2
,故
2
sinC?sin
?
C?60
?
?60
?
?

?sin
?
C?60
?
?
cos60
?
?cos
?
C?60
?
?
sin60
?

?
6?2


4
【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦 定理解三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三
角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定 理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角
之间的关系
.
12
.< br>B

C
的对边分别为
a

b

c< br>,【
2019
年高考全国

卷理数】△
ABC
的内角
A
,已知
asin

1
)求
B



2
)若△
ABC
为锐角三角形,且
c=1
,求△
ABC
面积的取值范围.

【答案】(
1

B=6 0°
;(
2

(
A?C
?bsinA


2
33
,)
.
82
【解析】(
1
)由题 设及正弦定理得
sinAsin
A?C
?sinBsinA

2
因为sinA
?
0,所以
sin
A?C
?sinB< br>.
2
A?CBBBB
?cos
,故
cos?2sincos

22222

A?B?C?180
,可得
sin
?
因为
cos
BB1
?0
,故
sin?
,因此B=60°.
222


(2)由题设及(1)知△ABC的面积
S
△ABC< br>?
3
a

4
?
csinA
sin
?
120?C
?
31
由正弦定理得
a????

sinCsinC2tanC2
由于△ABC为锐角三角形,故0°1
?a?2

2
从而
33
?S
△ABC
?

82
因此, △ABC面积的取值范围是
?
?
33
?
?
8
,2
?
?

??
【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识 ,以及正弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解),
最后考查
VABC
是锐角三角 形这个条件的利用,考查的很全面,是一道很好的考题
.
13
.【
2019
年高考北京卷理数】在△
ABC
中,
a=3

b?c=2< br>,
cosB=
?

1
)求
b

c< br>的值;


2
)求
sin

B–C
)的值.
【答案】(
1

b?7

c?5
;(
2

1


2
4
3
.
7
【解析 】(
1
)由余弦定理
b
2
?a
2
?c
2< br>?2accosB
,得

?
1
?
b
2
?3
2
?c
2
?2?3?c?
?
?
?
.
?
2
?
因为
b?c?2


?
1
?
222
(c?2)?3?c?2?3?c?
所以
?
??
.
?
2
?
解得
c?5
.
所以
b?7
.

2
)由
cosB??
1
3
.

sinB?
2
2
c53
.
sinB?
b14
由正弦定理得
sinC?

△ABC
中,∠
B
是钝角,


所以∠
C
为锐角
.
所以
cosC?1?sinC?
2
11
.
14
43
.
7
所以
sin(B?C)?sinBcosC ?cosBsinC?
【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,两角差的正弦公式的应用 等知识,意在考查
学生的转化能力和计算求解能力
.
14.【2019年高考天津卷 理数】在
△ABC
中,内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c< br>.已知
b?c?2a

3csinB?4asinC

(1)求
cosB
的值;
(2)求
sin
?
2B ?
?
?
?
?
?
的值.
6
?
【答 案】(1)
?
35?7
1
;(2)
?
.
164
bc
,得
bs
又由
3csinB?4asinC
,< br>niC?csniB

?
sinBsinC
42

3 bsinC?4asinC
,即
3b?4a
.又因为
b?c?2a
, 得到
b?a

c?a
.由余弦定理可得
33
416
a
2
?a
2
?a
2
222
a?c?b1
9 9
cosB????

2
2ac4
2?a?a
3
【解析】(1)在
△ABC
中,由正弦定理
(2)由(1)可得
sinB?1 ?cosB?
2
1515
,从而
sin2B?2sinBcosB??

48
7
cos2B?cos
2
B?sin
2
B ??
,故
8
?
?
??1537135?7
?

sin
?
2B?
?
?sin2Bcos?cos2Bsin???? ???
6
?
66828216
?
【名师点睛】本小题主要考查同角三 角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公
式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识 .考查运算求解能力.
15.【2019年高考江苏卷】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=
2
,cosB=
2
,求c的值;
3


(2)若
sinAcosB?
?
,求
sin(B? )
的值.
a2b2
325
;(2).
35
【答案】(1 )
c?
【解析】(1)因为
a?3c,b?2,cosB?
2
, < br>3
a
2
?c
2
?b
2
2(3c)
2
?c
2
?(2)
2
1
由余弦定理
cosB?
,得
?
,即
c
2
?
.
32?3c?c
2ac
3
所以
c?
3
.
3
sinAcosB

?
a2b
abcosBsinB< br>由正弦定理,得,所以
cosB?2sinB
.
??
sinAsin B2bb
4
22
从而
cosB?(2sinB)
,即
cos
2
B?4
?
1?cos
2
B
?
,故
cos
2
B?
.
5
(2)因为
因为
sinB? 0
,所以
cosB?2sinB?0
,从而
cosB?
25
.
5
因此
sin
?
B?
?
?
π
?
25
.
?cosB?
?
2
?
5
【名师 点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查
运算求解能 力.
16.【2019年高考江苏卷】如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公 路l,湖上有
桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路P B、QA.规划
要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆
....
O 的半径.已知点A、B到直线l的距离分
别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6 ,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下, 若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q两点间的距
离.



【答案】(1)15(百米);(2)见解析;(3)17+
321
(百米).
【解析】解法一:
(1)过A作
AE?BD
,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,
DE?BE?AC?6, AE?CD?8
.'
因为PB⊥AB,
所以
cos?PBD?sin?A BE?
所以
PB?
84
?
.
105
BD12
??15
.
cos?PBD
4
5
因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径 ,
所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连结AD,由(1)知
AD?A E
2
?ED
2
?10

AD
2
?AB< br>2
?BD
2
7
??0
,所以∠BAD为锐角. 从而
cos?BAD?
2AD?AB25
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;


当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半
径,点P符合规划要求.
?AB
,由(1)知,
P
1
B=15, 设
P
1< br>为l上一点,且
PB
1
此时
PD?PB?PB
11
s in?PBD
11
cos?EBA?15?
3
?9

5
?15
. 当∠OBP>90°时,在
△PPB
中,
PB ?PB
1
1
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2) 知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,
CQ?
22
此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
QA?AC?15
2
?6
2
?32
.
1
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C 右侧,且CQ=
321
时,d最小,此时P,Q两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ =17+
321
.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+
321
(百米).
解法二:
(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.

因为BD=12,AC =6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,?3.
因为AB为圆O的 直径,AB=10,所以圆O的方程为x
2
+y
2
=25.
从而A (4,3),B(?4,?3),直线AB的斜率为
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为
?
直线PB的方程为
y??
3
.
4
4

3
425
.
x?
33
所以P(?13,9),
P B?(?13?4)
2
?(9?3)
2
?15
.


因此道路PB的长为15(百米).
(2)①若P在D处,取线段BD上一点 E(?4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连结AD,由(1)知D(?4,9),又A(4,3),
所以线段AD:
y??
3
x?6(?4剟x4)
.
42
15
?
15
?
在线段AD上取点M(3,),因为
O M?3
2
?
??
?3
2
?4
2
?5

4
?
4
?
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于 圆O的半
径,点P符合规划要求.
?AB
,由(1)知,
P
1B=15,此时
P
1
(?13,9); 设
P
1
为l上一点,且
PB
1
?15
. 当∠OB P>90°时,在
△PPB
中,
PB?PB
1
1
由上可知, d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧 ,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),

AQ?(a?4)
2?(9?3)
2
?15(a?4)
,得a=
4?321
,所以Q (
4?321
,9),此时,线段QA
上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(?13,9),Q(
4?321
,9)时,d最小,此时P,Q两点间的 距离
PQ?4?321?(?13)?17?321
.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为
17?321
(百米).
【名师点 睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学
建模及运用数 学知识分析和解决实际问题的能力.
17
.【
2019
年高考浙江卷】设函 数
f(x)?sinx,x?R
.

1
)已知
?
?[0,2?),
函数
f(x?
?
)
是偶函数,求
?
的值;



2
)求函数
y?[f(x?
?
2
?
)]?[f(x?)]
2
的值域.

124< br>【答案】(1)
?
?
33
π

,1?]
. 或;(2)
[1?
22
22
【解析】(1)因为
f(x?
?
)?sin(x?
?
)
是偶函数,所以,对任意实数x都有
sin( x?
?
)?sin(?x?
?
)


sinxc os
?
?cosxsin
?
??sinxcos
?
?cos xsin
?


2sinxcos
?
?0

所以
cos
?
?0


?
?[0,2π )
,因此
?
?
(2)
y?
?
f
?
x?
π

或.
22
2
?
?
?
?
π
?
??
?
π
?
?
π
?
π
?
2
?
2
?
?fx??sinx??sinx?
?
??
??
?
????

12
?
??< br>?
4
?
?
4
??
12
??
2
π
?
π
???
1?cos
?
2x?
?
1 ?cos
?
2x?
?
?
1
?
33
6
?
2
???

???1?
?
cos2x?sin2x?
??
222
?
22
?
?1?

? ?
cos
?
2x?
?

23
??
33
,1?]

22
因此,函数的值域 是
[1?
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力 .
专题7 平面向量
1.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a,b满足
|a|?2|b|
,且
(a?b)
?
b,则a与b的夹角为
π

6

C.
3
A.
【答案】
B


π

3

D.
6
B.
2
a?b|b|1
2
2
??
(a?b)
【解析】因为所以
(a?b)?b?a?b? b
=0
,所以
a?b?b
,所以
cos
?
=

?
b

a?b2|b|
2
2
所以
a< br>与
b
的夹角为
π
,故选
B


3< br>【名师点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹


角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为
[0,?]

< br>2
.【
2019
年高考全国
II
卷理数】已知
AB< br>=(2,3)

AC
=(3

t)

BC< br>=1
,则
AB?BC
=
A

?3
C

2
【答案】
C
【解析】由
BC?AC?A B?(1,t?3)

BC?1?(t?3)?1
,得
t?3
,则< br>BC?(1,0

)
22


B

?2
D

3
ABBC?(2,3)(1,0)?2?1?3?0?2
.故选
C


【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积,侧重基础知识和基本技能,难度不大.

3
.【
2019
年高考北京卷理数】设点
A

B

C
不共线,则

AB

AC
的夹角为锐角



|AB?AC|?|BC|



A
.充分而不必要条件

C
.充分必要条件

【答案】
C
【解析】
AB

AC
的夹角为锐角, 所以
|AB|
2
?|AC|
2
?2AB?AC?|AB|
2
?|AC|
2
?2AB?AC
,即



B
.必要而不充分条件

D
.既不充分也不必要条件
|AB?AC|
2
?|AC?AB|
2
,因为
AC?AB?BC
,所以
|
AB
+
AC
|>|
BC
|


22

|
AB
+
AC
|>|
BC
|
成立时,
|
AB
+
AC
|>|
A B
-
AC
|
?AB
?
AC
>0
,又因为点
A

B

C
不共线,所以
AB

AC
的夹角为锐角
.


AB

AC
的夹 角为锐角


“|
AB
+
AC
|>|
BC
|”
的充分必要条件
,
故选
C


【名师 点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积
,
同时考查了转化与化归 数学
思想
.
os,ac?
___________. 4

b
为单位向量,
b
=0
,【
2019
年高考全国
III
卷理数】已知
a
,且
a
·

c?2a?5b
,则
c
【答案】
2

3
【解析】因为
c?2a?5b

a?b?0


所以
a?c?2a
2
?5a?b
?2


|c|
2
?4|a|
2
?45a?b?5|b|
2
?9,所以
|c|?3


a?c22
??
所以
cosa,c?



a?c
1?33
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、 向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转
化思想得出答案.
5.【2019年高 考天津卷理数】在四边形
ABCD
中,
AD∥BC,AB?23,AD?5,?A?3 0?
,点
E
在线段
CB
的延长线上,且
AE?BE
,则
BD?AE?
_____________.
【答案】
?1

∠DAB=30
°,
AB?23,
【解析】建立如图所示的直角坐标系,因为
AD

BC

?BAD?30?
,所以
? ABE?30?


因为
AE?BE
,所以
?BAE?30?


所以 直线
BE
的斜率为
AD?5,

B(23,0)

D(
535
,)
.
22
33
,其方程为
y?(x?23)


33< br>直线
AE
的斜率为
?
33
,其方程为
y??x
.
33
?
3
(x?23),
?
y?
?
3

?

x?3

y??1


?
y??
3
x
?
3
?
所以
E(3,?1)
.
所以
BDAE?(
35
,)(3,?1)??1
.
22

【名师点睛】平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标 系的问题中使用坐标方


法更为方便
.
6
.【
201 9
年高考江苏卷】如图,在
△ABC
中,
D

BC
的中点,
E
在边
AB
上,
BE=2EA

AD
CE
交于

O
.

AB?AC?6AO?E C
,则
AB
的值是
_____.
AC

【答案】
3
.
D

BC
的中点,【解析】如图, 过点
D

DFCE
,交
AB
于点
F
,由< br>BE=2EA
,知
BF=FE=EA,AO=OD


6AOEC?3ADAC?AE?
?
???
3
AB?AC
2??
AC?AE
?


31
??
AB?AC< br>?
AC?AB
?
?
23
??
??
22
3
?
11
?
ABAC?AB?AC?ABAC
?

?
2
?
33
?
22
?
22
3
?
2113
?
?
ABAC?AB?AC
?
?ABAC?AB? AC?ABAC


2
?
3322
?
22
13AB
?3

AB?AC,

AB?3AC,

22AC
【名师点 睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养
.
采取几何法,利用数形结合和方程思想解题
.
7
.【
2019
年高 考浙江卷】已知正方形
ABCD
的边长为
1
,当每个
?
i< br>(i?1,2,3,4,5,6)
取遍
??
时,
|
?
1
AB?
?
2
BC?
?
3
CD?
?
4
DA?
?
5
AC?
?
6
BD|
的最小 值是
________
;最大值是
_______.
【答案】
0

25
.
【解析】以
AB, AD
分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.




A B?(1,0),BC?(0,1),CD?(?1,0),DA?(0,?1),AC?(1,1),BD?( ?1,1)
,

y?
?
1
AB?
?
2< br>BC?
?
3
CD?
?
4
DA?
?
5
AC?
?
6
BD?
又因为
?
i
(i?1, 2,3,4,5,6)
可取遍
?1

?
?
1
?< br>?
3
?
?
5
?
?
6
?
?< br>?
?
2
?
?
4
?
?
5
?< br>?
6
?
22
?0
0.
所以当
?
1
?
?
3
?
?
4
?
?
5
?
?
6
?1,
?
2
??1
时,有最小值
y< br>min
?0
.
因为
?
?
1
?
?< br>3
?
?
5
?

?
?
2
?< br>?
4
?
?
5
?
的取值不相关,
?
6
?1

?
6
??1

所以当
?
?
1
?
?
3
?
?
5
?

?
?
2
?
?
4
?
?
5
?
分别取得最大值时,y有最大值,
所以当
?
?
?
?
??
?
?1,
?
?
?
??1
时,有最大值
y
max
?
125634
故答案为
0

25.
【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想,从

基向量
”< br>入手,最后求不等式最值,是一道向量
和不等式的综合题
.
2
2
?4
2
?20?25
.
专题8 数列
1
.【
2019
年高考全国
I
卷理数】记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和.已知
S
4
?0,a
5
?5
,则

A

a
n
?2n?5

a
n
?3n?10
B


D

S
n
?

2
C

S
n
?2n?8n

1
2
n?2n

2
【答案】
A
d
?
S?4a??4?3?0
?
a
1
??3
?
41
2
【解析】由题知,
?
,解得
?
,∴
a
n
?2n?5

S
n
?n?4n
,
故选
A< br>.

2
?
d?2
?
?
a
5
?a
1
?4d?5


【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前< br>n
项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用
等差数列通项公式与前
n< br>项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做
了判断.

2
.【
2019
年高考全国
III
卷理数】已知各项均为正 数的等比数列
?
a
n
?
的前
4
项和为
15
,且
a
5
?3a
3
?4a
1


a
3
?

A

16
C

4
【答案】
C


B

8
D

2

?
a
1
?a
1
q?a
1
q
2
?a
1
q
3
?15
【解析】设正数的等比数列
{a
n
}
的 公比为
q
,则
?
4


2
?
a< br>1
q?3a
1
q?4a
1
?
a
1
? 1,
2
解得
?

?a
3
?a
1
q ?4
,故选
C


?
q?2
【名师点睛】本题利用 方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键
.
2
3
.【
2019
年高考浙江卷】设
a

b

R
,数列< br>{a
n
}
满足
a
1
=a

a
n
+1
=a
n
+b

n?N
?
,则
A



b?
1
,a
10
?10

2
B



b?
1
,a
10
?10

4
C



b??2,a
10
?10

【答案】
A
D



b??4,a
10
?10
?
【解析】①当b=0时,取a=0,则
a
n
?0,n?N
.
②当
b<0
时,令
x?x
2
?b
,即
x< br>2
?x?b?0
.
2
则该方程
?
?1?4b?0< br>,即必存在
x
0
,使得
x
0
?x
0
?b?0

2
?
则一定存在
a
1
=a=x0
,使得
a
n?1
?a
n
?b?a
n
对任意
n?N
成立,
2
解方程
a?a?b?0
,得
a?
1?1?4b

2

1?1?4b1?1?4b
?10
时,即
b…?90< br>时,总存在
a?
,使得
a
1
?a
2
???a
10
?10

22
故C、D两项均不正确.

2
③当
b?0
时,
a
2
?a
1
?b? b

22

a
3
?a
2
?b?b?b
2
a
4
?a
3
?b…
?
b
2
?b
?
?b
.
2
?
?
1
?
2< br>1
?
117
1
1
(ⅰ)当
b?
时,
a
4
?
?
??
?
?
???1,a
5
?1?

2
2
?
?
?
2
?
2
?
?
216
?
1
?
111

a< br>6
?
?
1?
?
???2

?
2< br>?
24
a
7
?2
2
?
19
?

22
2
2
?
9
?
183
a
8
?
??
???10

?
2
?
24< br>2

a
9
?a
8
?
2
a
1 0
?a
9
?
2
1
?10

2
1
?10

2
2
故A项正确.
1
1
?
1
?
11
(ⅱ)当
b?
时,令
a
1
=a=0
,则
a
2
?,a
3
???
??

4
4
?
4
?
42
1
?
1
?
11
所以
a
4
?a??
??
??
,以此类推,
4
?
2
?
42
2
3
2
1
?
1
?
11
2
所以a
10
?a
9
??
??
??

4
?
2
?
42
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展
.
利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步
讨论
a
的可能取值,利用

排除法

求解
.
4
.【
2019
年高 考全国
I
卷理数】记
S
n
为等比数列
{a
n
}
的前
n
项和.若
a
1
?,a
4
?a< br>6
,则
S
5
=____________


【答案】
2
1
3
2
121

3
1
2
11
,a
4
?a
6
,所以
(q
3
)
2
?q
5
,

q?0

< br>333
【解析】设等比数列的公比为
q
,由已知
a
1
?


1
(1?3
5
)
5
a(1?q)
3
121


所以
q?3,
所以
S
5?
1
??
1?q1?33
【名师点睛】准确计算,是解答此类问题的基本 要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算,部
分考生易出现运算错误.

5< br>.【
2019
年高考全国
III
卷理数】记
S
n为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和,
a
1
≠0,a
2
?3a
1
,则
【答案】
4
【解析】设等差数列
{a
n
}
的公差为
d,
因< br>a
2
?3a
1
,所以
a
1
?d?3a
1
,即
2a
1
?d


S
10
?
___________.
S
5
10? 9
d
S
10
100a
1
2
?
??4


所以
5?4
S
5
25a
1
5a1
?d
2
10a
1
?
【名师点睛】本题主要考查等差数 列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出
答案.

6
.【
2019
年高考北京卷理数】设等差数列
{a
n
}
的 前
n
项和为
S
n
,若
a
2
=?3

S
5
=?10
,则
a
5
=__________

S
n
的最小值为
__________


【答案】
0

?10
.
【解析】等差数列
?< br>a
n
?

,
S
5
?5a
3
??10
,

a
3
??2,

a
2
??3
,
所以公差
d?a
3
?a
2
?1
,
a
5
?a
3
?2d?0
,
由等差数列
?
a
n
?
的性质得
n?5

,
a
n
?0
,
n?6

,
a
n
大于
0 ,
所以
S
n
的最小值为
S
4

S
5
,
即为
?10
.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式?求 和公式?等差数列的性质
,
难度不大
,
注重重要知识?基础知
识?基 本运算能力的考查
.
*
7
.【
2019
年高考江苏卷】已 知数列
{a
n
}(n?N)
是等差数列,
S
n
是其 前
n
项和
.

a
2
a
5
?a8
?0,S
9
?27


S
8
的值是
_____.
【答案】
16
?
a
2
a
5
?a
8
?
?
a
1
?d
??
a< br>1
?4d
?
?
?
a
1
?7d
??0
?
【解析】由题意可得:
?


9?8
d ?27
?
S
9
?9a
1
?
2
?

< p>
解得:
?
?
a
1
??5
8?7
d?? 40?28?2?16
.
,则
S
8
?8a
1
?< br>2
?
d?2
【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容 ,解题过程中要注意应用函数方程
思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从 已知出发,构建
a
1
,d
的方程组
.
8
.【2019
年高考全国
II
卷理数】已知数列
{a
n
}< br>和
{b
n
}
满足
a
1
=1

b
1
=0

4a
n?1
?3a
n
?b< br>n
?4

4b
n?1
?3b
n
?a
n
?4
.

I
)证明:
{a
n
+bn
}
是等比数列,
{a
n
–b
n
}
是 等差数列;


II
)求
{a
n
}
{b
n
}
的通项公式
.
【答案】(
I
)见解 析;(
2

a
n
?
1111
.
?n?b ??n?

n
nn
2222
【解析】(
1
)由题设 得
4(a
n?1
?b
n?1
)?2(a
n
?bn
)
,即
a
n?1
?b
n?1
?
1< br>(a
n
?b
n
)


2
又因为a
1
+b
1
=l
,所以
?
a
n
?b
n
?
是首项为
1
,公比为
1
的等比数列.< br>
2
由题设得
4(a
n?1
?b
n?1
)? 4(a
n
?b
n
)?8
,即
a
n?1
?b
n?1
?a
n
?b
n
?2


又 因为
a
1
–b
1
=l
,所以
?
a
n
?b
n
?
是首项为
1
,公差为
2
的等差 数列.


2
)由(
1
)知,
a
n
?b
n
?
1

a
n
?b
n
?2 n?1


n?1
2
所以
a
n
?
111
[(a
n
?b
n
)?(a
n
?b
n
)]?
n
?n?


222
111
bn
?[(a
n
?b
n
)?(a
n
?b
n
)]?
n
?n?


222
9
.【2019
年高考北京卷理数】已知数列
{a
n
}
,从中选取第< br>i
1
项、第
i
2
项、

、第
im
项(
i
1
2
<…m
),若
???,a
i
m

{a
n
}
的长度为m
的递增子列.规定:数列
{a
n
}
的任意
a
i
1
?a
i
2
?????a
i
m
,则称新 数列
a
i
1
,a
i
2

一项都是
{a
n
}
的长度为
1
的递增子列.



)写出数列
1

8

3

7
,< br>5

6

9
的一个长度为
4
的递增子列;< br>




)已知数列
{a
n
}
的长度为
p
的递增子列的末项的最小值为
a
m
0
,长度为< br>q
的递增子列的末项的最小值

a
n
0
.若
p,求证:
a
m
0
<
a
n
0




)设无穷数列
{a
n
}
的各项均 为正整数,且任意两项均不相等.若
{a
n
}
的长度为
s
的 递增子列末项的最
小值为
2s–1
,且长度为
s
末项为
2s –1
的递增子列恰有
2
个(
s=1

2


),求数列
{a
n
}
的通项公式.

【答案】
(Ⅰ) 1,3,5,6
(答案不唯一);
(Ⅱ)
见解析;
(Ⅲ)
见解析
.
【解析】(Ⅰ)1,3,5,6.(答案不唯一)
(Ⅱ)设长度为q末项为
a
n
0
的一个递增子列为
a
r< br>,a
r
,
12
由pa
r
p
?a
r
q?1
?a
n
0
.
因为
?
a
n
?
的长度为p的递增子列末项的最小值为
a
m
0

a
r
1
,a
r
2
,
s
-1
,a
r
q?1
,a
n
0
.
,a
r
p

?
a
n
?
的长度为p的递增子 列,
所以
a
m
0
?a
r
p
.
所以
a
m
0
?a
n
0
·
(Ⅲ)由题设知,所有正奇数都是
?
a
n
?
中的项. 先证明:若2m是
?
a
n
?
中的项,则2m必排在2m?1之前 (m为正整数).
假设2m排在2m?1之后.

a
p
1
,a
p
2
,,a
p
m?1
,2m?1
是数列?
a
n
?
的长度为m末项为2m?1的递增子列,则
a
p
1
,a
p
2
,,a
p
m?1
,2m?1 ,2m
是数列
?
a
n
?
的长度为m+1末项为2m的递增子 列.与已知矛盾.
再证明:所有正偶数都是
?
a
n
?
中的项.
假设 存在正偶数不是
?
a
n
?
中的项,设不在
?
an
?
中的最小的正偶数为2m.
因为2k排在2k?1之前(k=1,2,…, m?1),所以2k和
2k?1
不可能在
?
a
n
?
的同一个递增子列中.

?
a
n
?
中不超过2m+1的数 为1,2,…,2m?2,2m?1,2m+1,所以
?
a
n
?
的长 度为m+1且末项为2m+1的
递增子列个数至多为
2?2?2?
(m?1)个
?2?1?1?2
m?1
?2
m
.
与已知矛盾.
最后证明:2m排在2m?3之后(m≥2为整数).


假设存在2m(m≥2 ),使得2m排在2m?3之前,则
?
a
n
?
的长度为m+1且末项 为2m+l的递增子列的个数小

2
m
.与已知矛盾.
综上,数列
?
a
n
?
只可能为2,1,4,3,…,2m?3,2m,2m?1 ,….
经验证,数列2,1,4,3,…,2m?3,2m,2m?1,…符合条件.
所以
a
n
?
?
?
n?1,n为奇数,
?
n?1 ,n为偶数.

【名师点睛】

新定义

主要是指即时定义 新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此
新定义去解决问题,有时还需要用类比的方 法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解
.
但是,
透过现象看本质,它们考 查的还是基础数学知识,所以说

新题

不一定是

难题< br>”
,掌握好三基,以不变
应万变才是制胜法宝
.
10.【2019年 高考天津卷理数】设
?
a
n
?
是等差数列,
?
b< br>n
?
是等比数列.已知
a
1
?4,b
1
?6 ,b
2
?2a
2
?2,b
3
?2a
3
?4

(Ⅰ)求
?
a
n
?

?
b< br>n
?
的通项公式;
?
1,2
k
?n?2
k ?1
,
(Ⅱ)设数列
?
c
n
?
满足
c1
?1,c
n
?
?
其中
k?N
*

k
?
b
k
,n?2,
(i)求数列
a
2< br>n
c
2
n
?1
的通项公式;
(ii)求
?
?
ii
?
?
*
?
ac
?
n?N< br>?

i?1
2
n
n
n
【答案】(


a
n
?3n?1

b
n
?3?2

)(
i

a
2
n
c
2< br>n
?1?9?4?1

ii

??
?
ac< br>?
n?N
?
?27?2
*
ii
i?1
2n
2n?1
?5?2
n?1
?n?12
?
n?N
?

*
?
6q?6?2d,
【解析】(Ⅰ)设等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
,等比数列
?
b
n
?
的公比为
q
.依题意得
?
2

6q ?12?4d,
?

?
?
d?3,
n?1n
a
n
?4?(n?1)?3?3n?1,b
n
?6?2?3?2

?
q?2,
所以,
?
a
n
?
的通项公 式为
a
n
?3n?1,
?
b
n
?
的通项公 式为
b
n
?3?2
n


(Ⅱ)(i)a
2
n
c
2
n
?1?a
2
n
?
b
n
?1
?
?3?2
n
?13?2
n< br>?1?9?4
n
?1

所以,数列
a
2
n
c
2
n
?1
的通项公式为
a
2
n
c
2
n
?1?9?4
n
?1

(ii)
??
???
?
?
?
??
?
?
?
a c?
?
?
?
a?a
?
c?1
?
?
?
?
?
a?
?
a
?
c
iiiiii
i?1i?1i?1i?1
2
i
2
n
2
n
2n
n
2
i
?1
?

nn
??
n
22?1
n
< br>?
?
2?4??3
?
?
?
9?4
i
?1

??
i?1
2
??
??
??

?3?2
2n?1
?5?2
n?1
?9?
??
41 ?4
n
1?4
??
?n

*

?27?2
2n?1
?5?2
n?1
?n?12
?
n?N
?

【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n
项和公式等基础知识.考查化
归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.< br>
11
.【
2019
年高考江苏卷】定义首项为
1
且 公比为正数的等比数列为
“M
-数列
”.
?

1
)已知等比数列
{a
n
}
(n?N)
满足:
a
2< br>a
4
?a
5
,a
3
?4a
2
?4a
1
?0
,求证
:
数列
{a
n
}

“M
-数列




2
)已知数列
{b
n
}
(n?N)
满足
:
b
1
?1,
?
122
??
,其中
S
n
为数列
{bn
}
的前
n
项和.

S
n
b
n
b
n?1
①求数列
{b
n
}
的通项公式;

?
b
k
c
k?1
成②设
m
为正整数, 若存在
“M
-数列
”{c
n
}
(n?N)
,对任意 正整数
k
,当
k≤m
时,都有
c
k

立, 求
m
的最大值.

*
【答案】(
1
)见解析;(< br>2
)①
b
n
=n
n?N
;②
5.
??
【解析】解:(
1
)设等比数列
{a
n
}
的公 比为
q
,所以
a
1
≠0

q≠0.
?< br>a
1
2
q
4
?a
1
q
4
?
a
2
a
4
?a
5
?
a
1
?1

?
,得
?
2
,解得
?


a?4a?4a?0
21
?
q?2
?
3
?
a
1
q?4a
1
q?4a
1
?0
因此数列
{a
n
}

“M—
数列
”.

2
)①因为
122
??
,所以
b
n
?0


S
n
b
n
b
n?1
1
1
22?
,则
b
2
?2
.
1b
2

b
1
?1,S
1
?b
1
,得
?

< br>由
b
n
b
n?1
122
??
,得
S
n
?


S
n
b
n
b
n ?1
2(b
n?1
?b
n
)

n?2
时, 由
b
n
?S
n
?S
n?1
,得
b
n
?
整理得
b
n?1
?b
n?1
?2b
n


b
n
b
n?1
b
n?1
b< br>n
?


2
?
b
n?1
?b
n
?
2
?
b
n
?b
n?1
?
所 以数列
{b
n
}
是首项和公差均为
1
的等差数列
.
因此,数列
{b
n
}
的通项公式为
b
n
= n
n?N
②由①知,
b
k
=k

k?N
*
.
因为数列
{c
n
}

“M–
数列
,设公比为
q
,所以
c
1
=1

q >0.
因为
c
k
≤b
k
≤c
k
+1,所以
q

k=1
时,有
q≥1



k=2

3



m
时,有
k ?1
?
*
?
.
?k?q
k
,其中
k=1

2

3



m.
lnklnk
?lnq?


kk?1

f

x

=
lnx1?lnx
(x?1)
,则
f' (x)?


2
xx

f'(x)?0
,得
x=e.
列表如下:

x
f'(x)

(1,e)

+

e
0
极大值

(e

+∞)

f

x


因为
ln2ln8ln9ln3ln3
???
,所以
f(k)
max
?f(3)?


26633
3

q?3
,当
k=1

2

3

4
5
时,
k?1
lnk
?
lnq
,即
k?qk


k
经检验知
q?k
也成立.

因此所求
m
的最大值不小于
5


351515< br>若
m≥6
,分别取
k=3

6
,得
3≤q< br>,且
q
≤6
,从而
q≥243
,且
q≤216


所以
q
不存在
.
因此所求
m
的最大 值小于
6.


综上,所求
m
的最大值为
5


【 名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转
化与化 归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

12.【2019年高考浙江卷】设等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n

a
3
?4

a
4
?S
3
,数列
{b
n
}
满足:对每个
n?N
?
,S
n
?b
n
,S
n?1
?b
n
,S
n?2
?b
n成等比数列.
(I)求数列
{a
n
},{b
n
}
的通项公式;
(II)记
c
n
?
a
n
,n?N
?
,
证明:
c
1
?c
2
+
2b
n
?c
n
?2n,n?N
?
.

【答案】(
I
a
n
?2
?
n?1
?

b
n
?n
?
n?1
?
;(
II
)证明见解析
.
【解析】(I)设数列
{a
n
}
的公差为d,由题意得
a
1
?2d?4,a
1
?3d?3a
1
?3d

解得
a
1
?0,d?2

*
从而
a
n
?2n?2,n?N

2*
所以
S
n
?n?n,n?N


S
n
?b
n
,S
n?1
?b
n
,S
n?2
?b
n
成等比数列得
?
S
n?1
?bn
?
解得
b
n
?
2
?
?
S< br>n
?b
n
??
S
n?2
?b
n
?< br>.
1
2
?
S
n?1
?S
n
Sn?2
?

d
2*
所以
b
n
?n?n,n?N

( II)
c
n
?
a
n
2n?2n?1
??,n?N< br>*

2b
n
2n(n?1)n(n?1)
我们用数学归纳法证明.
(i)当n=1时,c
1
=0<2,不等式成立;
(ii)假设
n ?kk?N
*
时不等式成立,即
c
1
?c
2
?那么,当
n?k?1
时,
??
?c
k
?2k


c
1
?c
2
??c
k
?c
k?1
?2k?
k1
?2k?
(k?1)(k?2)k?1
?2k?
2
?2k?2(k?1?k )?2k?1

k?1?k
即当
n?k?1
时不等式也成立. < br>根据(i)和(ii),不等式
c
1
?c
2
??c
n
?2n
对任意
n?N
*
成立.
【名师点睛】本题主要考查 等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算
求解能力和综合应用能力
.
专题9 不等式、推理与证明
1

2019

1

3
日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,【
20 19
年高考全国
II
卷理数】
我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面 软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的
通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继 星

鹊桥

,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
L
2
点的 轨道运
行.
L
2
点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为
M

,月球质量为
M

,地月距离为
R

L
2
点到月球的距离为
r
,根据牛顿运动定律和万有引力定律,
r
满足方程:
M
1
M
2
M
1
??(R?r)
.
(R?r)
2
r
2
R
3
3
?< br>3
?3
?
4
?
?
5
r
3
? 3
?

?
?
,由于
?
的值很小,因此在近似计算中 ,则
r
的近似值为

(1?
?
)
2
RA

M
2
R

M
1
3M
2
R

M
1

B

M
2
R

2M
1
M
2
R

3M
1

C

3
D

3
【答案】
D
【解析】由
?
?
r
,得
r?
?
R

R
M
1
M
2
M
1
??(R?r)
因为,

(R?r)
2
r
2
R
3
所以M
1
M
2
M
1
??(1?
?
)


R
2
(1?
?
)
2
?
2< br>R
2
R
2


M
2
1
?
5
?3
?
4
?3
?
3
23
?
?< br>[(1?
?
)?]??3
?
即,

22
M< br>1
(1?
?
)(1?
?
)
解得
?
?
3
M
2


3M
1
3
所以
r?
?
R?
M
2
R.

3M
1
【名师点睛】由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是
复 杂式子的变形出错.

2
.【
2019
年高考全国
II卷理数】若
a>b
,则

A

ln(a?b)>0
C

a
3
?b
3
>0
【答案】
C
【解析】取
a?2,b?1
,满足
a?b
ln(a?b)?0
,知
A
错,排除
A
;因为
9?3
a
?3
b
?3
,知
B
错,
B
3
a
<3
b

D

│a│>│b│
,b??2
,满足
a?b

1?a?b?2
,知
D
错,排除
D
,因为幂函数
y?x
3
是增函数,排除
B
;取
a?1
a?b
,所以
a
3
?b
3< br>,故选
C


【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质 、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理
和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.
3
.【
2019
年高考北京卷理数】若
x

y
满足< br>|x|?1?y
,且
y≥?1
,则
3x+y
的最大值为

A

?7
C

5
【答案】
C
【解析】由题意
?


B

1
D

7

?
?1?y
,
作出可行域如图阴影部分所示
.
?
y?1?x?1?y




z?3x?y,y?z?3x
,
当直线
l
0
: y?z?3x
经过点
?
2,?1
?

,
z
取最大值
5.
故选
C


【名师点睛】本题是简单线性规划 问题的基本题型
,
根据

画?移?解

等步骤可得解
.
题目难度不大
,
注重了
基础知识?基本技能的考查
.
4
.【
2019
年高考北京卷理数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来 描述.两颗星的星等与亮
度满足
m
2
?m
1
=
5< br>E
1
lg
,其中星等为
m
k
的星的亮度为
E
k

k=1

2
).已知太阳的星等是
?26.7
,天狼星
2
E
2


B

10.1
D

10–
10.1

的星等是
?1.45
,则太阳与天狼星的亮度的比值为

A

10
10.1

C

lg10.1
【答案】
A
【解析】两颗星的星等与亮度满足
m
2
?m
1
?
5
E
1
lg
,

m
2
??1.45,m
1
??26.7
,
2E
2
lg
E
1
2
E
2
??
?
m2
?m
1
?
?(?1.45?26.7)?10.1,
1
?10
10.1
.
E
2
55E
2
故选:
A


【名 师点睛】本题以天文学问题为背景
,
考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以 及指数
对数运算
.


?
x?y?2?0,
?
x?y?2?0,
?
5
.【
2019
年高考天津卷理数】设变量x,y
满足约束条件
?
,则目标函数
z??4x?y
的最大值< br>x

?1,
?
?
?
y

?1,

A

2
C

5
【答案】
D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分
.
目标函数的几何意义是直线
y?4x?z

y
轴上的截距,

故目标函数在点
A
处取得最大值
.


B

3
D

6

?
x?y? 2?0,

?
,得
A(?1,1)


x??1< br>?
所以
z
max
??4?(?1)?1?5
.
故选
C.

【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域 还是开放区域,分界线是实线还是虚线,
其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的 平方、直线的斜率、还是点到直线的距
离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移 ,三求.

6
.【
2019
年高考天津卷理数】设
x?R< br>,则

x
2
?5x?0



|x ?1|?1



A
.充分而不必要条件

高中数学较难知识点-高中数学教师师德师风考核自我评价


高中数学记知点-2013年湖南省高中数学竞赛b卷


人教版高中数学选修2-2答案-天津高中数学必修课程如何安排呢


高中数学老师远程培训心得体会-高中数学竞赛标准教材word


高中数学选修1 3排列-高中数学必修四新课标同步优化指导


高中数学浙江版-新旧高中数学教学方式的对比


高中数学直线与方程思维导图-茂名高中数学辅导兼职


R在高中数学中是啥意思-高中数学不喜欢学



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