高中数学 向量-高中数学竞赛应该怎么上
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)
元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ …
} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,
印度洋,北冰洋}
(1)
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z
有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c……}
2)
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集
含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集
不含任何元素的集合 例:{x|x
2
=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,
;(2)A与B是
同一集合。
?
B反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
?
A
或B
?
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1}
“元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,
记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ
规定:
空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
?
有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
三、集合的运算
运算
类型
定 由所有属于A且属
义 于B
的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交集.记作A
?
B
(读作‘A交
B’),即
A
?
B={x|x
?
A,
且x
?
B}.
由所有属于集合A或
属于集合B的元素所
组成的集合,叫做A,B
的并集.记作:A
?
B
(读作‘A并B’),即
A
?
B
={x|x
?
A,或
x
?
B}).
设S是一个集合,A是
S的一个子集,由S中
所有不属于A的元素
组成的集合,叫做S中
子集A的补
集(或余
集)
记作
C
S
A
,即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}
韦
恩
图
S
交 集 并 集 补 集
A
B
A
B
A
图1
图2
示
性 A
?
A=A
质
A
?
Φ=Φ
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是
( )
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D
倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若
集合M={y|y=x
2
-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0},则M
与N的关系是 .
4.设集合A=
x1?x?2
,B=
xx?a
,若A
?
B,则
a
的取值范围是
?
?
?
?
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得
有40人,化
学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6.
用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
7.已知集合A={x| x
2
+2x-8=0}, B={x|
x
2
-5x+6=0}, C={x|
x
2
-mx+m
2
-19=0},
若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的
值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个
确定的对
应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一
确定的数f(x)和
它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B
的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,
x叫做自变量,x的取
值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,
函数值
的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过
四则运算结合而成的.那么,它
的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
?
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数
值的字母无关);②定义域一致
(两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横
坐标,函数值
y
为纵坐标的点P
(x
,
y)
的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点的坐标<
br>(x
,
y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反
过来,
以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x,
y)
,
均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法:
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某
一个确定的
对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有
唯一确定的元素y
与之对应,那么就称对应f:A
?
B为从集合A
到集合B的一个映射。记作“f(对应
关系):A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f
:
A
→
B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并
集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g
的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y
=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D
内的任意两个自变量x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
),那么
就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的
单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
时,
都有f(x
1
)
>
f(x
2
),那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称<
br>为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增
函数或减函数,那么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增
函数的
图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
○
2 作差f(x
1
)-f(x
2
);
○
3 变形(通常是因式分解和配方);
○
4
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
○
5
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数<
br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
,y=f(u)
的单
调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性
相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x
),
那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定
义域内的任意一个x,都有f(-x)=—
f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○
2确定f(-x)与f(x)的关系;
○
3作出相应结论:若f(-x)
= f(x) 或 f(-x)-f(x) =
0,则f(x)
○
是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或
f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇
偶性的必要条
件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是
非奇非偶函数.若
对称,(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或<
br>f(x)
/
f(-x)=
±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式
是函数的一种表示方法,要求两个变量之间
的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出
函
数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法
10.函数最大(小)值
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○
2 利用图象求函数的最大(小)值
○
3
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单
调递增,在区间[b,c]上单调递
减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如
果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递
增则函数y=f(x)在
x=b处有最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴
y?
x
2
?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2
x?1
x?3
?3
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
,则函数
f
(x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是
?
x?2(x??1)
?
4.函数
,若
f(x)?3
,则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?
p>
5.求下列函数的值域:
⑴
y?x
2
?2x?3
(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3
x?[1,2]
(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5
6.已知函数
f(x?1)
?x
2
?4x
,求函数
f(x)
,
7.已知函数
f
(2x?1)
的解析式
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4<
br>,则
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数,且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=
f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1
10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论
.
11.设函数
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证:
1
f()??f(x)
.
2
1?x
x
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果
x?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根,
其中
n
>1,且
n
∈
N*
.
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n
是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
m
n
n
?
a(a?0)
?
?a(a?0
)
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
,
a
?
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n
?1)
? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)
a
·
a?a
rrr?s
x
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
.
rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)
(二)指数函数及其性质
1、指数
函数的概念:一般地,函数
y?a(a?0,且a?1)
叫做
指数函数,其中x是自变
量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
06
5
44
33
22
1
1
1
1
-4-
2
0
-1
246-4-2
定义域 R
值域y>0
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: <
br>(1)在[a,b]上,
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),
f(b)]
或
x
[f(b),f(a)]
;
(2)若
x?
0
,则
f(x)?1
;
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?
R
;
(3)对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1)
,总有
f(1)?a
;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如
果
a?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
x
x
叫做以
.
a
为底
..
N
的对数,记作:
x?log
a
N
(
a
— 底数,
N
—
真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
x
2
a
○
?N?log
a
N?x
;
3 注意对数的书写格式.
○
两个重要对数:
log
a
N
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
○
? 指数式与对数式的互化
幂值
真数
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
+
log
aN
; ○
M
?
log
a
M
-
log<
br>a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
2
log
a
○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b
(
a?0,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0).
log
c
a
1
n
(2)
log
a
b?
.
log
a
b
;
loga
mb
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a
?1)
叫做对数
函数,其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:
○
1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意<
br>辨别。如:
y?2log
2
x
,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称
5
其为对数型函数.
2
对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
.
○
2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点(1,0)
(三)幂函数
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
(1,0)
1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数,
其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是
增函
数.特别地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?
?
1
时,
幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图
象在区间
(0,??)
上是减函数.在第
一象限内,当
x
从右边趋向
原点时,图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正
半轴.
例题:
?
1.
已知a>0,a0,函数y=a
x
与y=log
a
(-x)的图象只能是
( )
log27?2log
5
2
2.计算:
①
log
3
2
?
;②
2
4?log
2
3
=
;
25
3
5
=
log
27
64
1
③
0.064
?
?(?
7
)
0?[(?2)
3
]
?
?16
?0.75
?0.01 =
1
3
4
3
1
2
8
3.函数y=log
1
(2x
2
-3x+1)的递减区间为
2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍,则a=
f(x)?0
的5.已知
f(x)?log
1?x
(a?0且a?1
)
,(1)求
f(x)
的定义域(2)求使
a
1?x
x的取值范围
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、
函数零点的概念:对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立
的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点
的意义:函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实
数根,亦
即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x<
br>轴有交
点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
○
y?f(x
)
的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
.
(1)△>0,方程
a
x?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图
象与
x
轴有两个交点,二次函
数有两个零点.
2
2
(2)△=0,方程
ax?bx?c?
0
有两相等实根,二次函数的图
象与
x
轴有一个交点,二次函数有一个二重零
点或二阶零点.
(3)△<0,方程
ax?bx?c?0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型
收集数据
2
2
画散点图
不
符
合
实
选择函数模型
求函数模型
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题
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