公式图教程两个集合的容斥关系公式A∪B=A+B-A∩B

2020年9月21日发(作者：谭嗣同)
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

1. 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，3 4人看过8频道，
11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？（答案为15）
100-(62+34-11)=15

2.某班参加体育活动的学生有25人，参 加音乐活动的有26人，参加美术活动的有24
人，同时参加体、音活动的有16人，同时参加音美活动 的有15人，同时参加美体活动
的有14人，三个组织都参加的有5人，这个班共有多少名学生参加活动 。（答案为35）
25+26+24-16-15-14+5=35

3. 某 年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音
乐小组有24人，参加 手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参
加音乐和手工两个小组有6人，同时参 加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参
加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？ （答案为60）
20+24+31-5-6-7+3=60

4.有128位旅客 ，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，
请问：既懂英语、又懂法语的 有多少人？（答案为70）
98+75+25-128=70

5.70名学生参 加体育比赛，短跑得奖的有31人，弹跳得奖的有29人，投掷得奖的有
36人。短跑与投掷两项均得奖 的有12人，三项都得奖的有5人，只得弹跳奖的有7人，
只得投掷讲的有15，问只得短跑奖的有多少 人？没得奖的有多少人？
投掷与弹跳36-15-12+5=14
弹跳与短跑29-7-14+5=13
只得短跑奖31-12-13+5=11
70-(31+29+36-12-14-13+5)=8

容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手！其难点在于：
1、理清题目的意思有点困难；
2、明白各部分间包含关系难；
3、计算容易出错！

一般来说解决问题2类：
1、公式法：
两个集合：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣
三个集合：|A∪B∪C|=∣A∣+ ∣B∣+|C|-∣A∩B∣-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
2、文氏图法：用图形表示结合关系，更加形象直观（推荐！）

【例题分析】 < br>在一次数学竞赛中甲答错题目总数的19，乙答对7道题，两人都对的题目是题目总数的16，
问 ：甲答对了多少道题？
解：设共有k道题.a、b、c、d如下图所示:
图1



依题意列方程：
b+d=k9
c+b=7
c=k6
a+b+c+d=k
根据图我们可以看出a+c即为所求
所以a+c=k－(b+d)=k－k9
这里就需要讨论一下了，K必须是9的倍数
注意a、b、c、d均为自然数或零，可解出k=36.
∴甲答对的题目数=a+c=k－(b+d)=k－k9 =32道.

(此题用图形来解释，既易懂，又不容易出错！07年国考的容斥原理题就和这个类似)

2005年中央A类真题
对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影 、戏剧。其中58人喜欢
看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的 有18人，既
喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：
A．22人 B．28人 C．30人 D．36人
解析：设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）
A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）
B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）
A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）
A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）
根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）
＝148－（100＋18＋16－12）＝26
所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C
＝52－16－26＋12
＝22

这种题目关键要理清楚内在的包含关系，画出文氏图，再加上多多练习成功就再眼前。


一些练笔的题：
1、有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到 优秀。第一次达到优秀的
有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达 到优秀的只有
1人。只有两次达到优秀的有多少人？
2、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷 饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰
棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的 有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只
要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去 了冷饮店？
3、某研究室有12人，其中：7人会英语，7人会德语，6人会法语，4人既会英语又会 德
语，3人既会英语又会法语，2人既会德语又会法语，1人英语、德语、法语三种语言都会。
会且只会两种语言的有多少人？
4、小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的3 4 ．小强答对了27
道题，他们两人都答对的题目占题目总数的2 3 ，那么两人都没有答对的题目共有几道?
5、某班有35个学生，每个学生至少参加一个辅导小组。现 已知参加英语小组的有17人，
参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生参 加了全部3个小组。
问有多少个学生只参加了一个小组？


好多原题，但有点代表性！
KEYS:1. 11人；2. 10人；3. 6人；4. 6道；5. 15人

解析来鸟。。
1、“每人至少有一次达到优秀”说明没有三 次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人
数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
图2

10＋13＋15－25－1×2＝11
2、根据题意画图。
图3

6＋6+4-(3+1)-(0-1)+(1+1)+1=10
3、一个图解决：
图4

4、画出了文氏图就成功一半了。
另外个方法：设考试一共X题，两人都做错的又Y题，则：
34x+27-23x=x-y
化简得：y=1112x-27
很显然x是12的倍数，当x＝36，y=6时满足题意。
5、依照公式
17＋13＋30－35－5×2＝15

很多人都不理解 式子是怎么来的，其实很简单，当你画图之后就会理清关系。要我用字打出
来关键我也不知道怎么个表达 好。还是推荐大家画图。。。



某校对五年级100名同学进行学习兴 趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，
有52人喜欢外语。而且喜欢语文和数学(但不喜 欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜
欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少 喜欢一科。问有多少同学只喜欢语
文？( )
A. 27 B. 34 C. 14 D. 26
D~
58+38+52-6-4-12*2-X=100
X=14(同时喜欢语文和外语而不喜欢数学的人数)
58-6-12-14=26