高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案
1. 已知集合M={
y
|
y
=
x
2
＋1,x∈R},N={y|
y
=
x
＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
解：M={
y
|
y
=
x
2
＋1,x∈R}={
y
|
y
≥1 }， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={
y
|y
≥1}∩{y|(y∈R)}={
y
|
y
≥1},
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{
x
|
y
=
x
2
＋1}、{
y
|
y
=
x< br>2
＋1,
x
∈R}、{(
x
,
y
)|
y
=
x
2
＋1,
x
∈R}，这三个集合是不同的．
2 .已知A={
x
|
x
2
－
3x
＋2= 0},B={
x
|
ax
－2=0}且A∪B=A，求实数
a
组成的集合C．
解：∵A∪B=A ∴BA 又A={
x
|
x
2< br>－
3x
＋2=0}={1，2}∴B=或
??
1或
?
2
?
∴C={0，1，2}
3 。已知
m
?
A,
n
?
B, 且集合A=
?
x|x?2a,a?Z
?
，B=
?
x|x?2a?1,a?Z
?，又
C=
?
x|x?4a?1,a?Z
?
，则有：
m< br>+
n
?
(填A,B,C中的一个)
解：∵
m
?
A, ∴设
m
=2
a
1
,
a
1
?
Z,

又∵
n
?B,∴
n
=2
a
2
+1,
a
2
?
Z ,
∴
m
+
n
=2(
a
1
+a
2
)+1,而
a
1
+
a
2
?
Z , ∴
m
+n
?
B。
4 已知集合A={x|x< br>2
－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p
的 取值范围．
解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合 问题易忽视空集
的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
5 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac
2
}．若A=B，求c的值．
分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合
元素完全 相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac
2
，消去b得：a＋ac
2
－2ac =0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c
2
－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac
2
且a＋2b=ac，消去b得：2ac
2
－ ac－a=0，
∵a≠0，∴2c
2
－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－
1
2
．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
6 设 A是实数集，满足若a∈A，则
1
1?a
?
A，
a?1
且1 ?A.
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明
理由.
⑶若a∈A，证明：1－
1
a
∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元 素.

解：⑴2∈A ? －1∈A ?
1
2
∈A ? 2∈A
∴ A中至少还有两个元素：－1和
1
2

⑵如果A为单元素集合，则a＝
1
1?a
即
a
2
?a?1
＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集
⑶a∈A ?
1
1
1?a
∈A ? ∈A?
1?a
1?a?1
?
A，即1－
1
1?
1
a
∈A
1?a
⑷由⑶知a∈A时，
1
1?a
∈A， 1－
1
a
∈A .现在证明a,1－
1
a
,
1< br>1?a
三数互不相等.
①若a=
1
1?a
,即a2-a+1= 0 ，方程无解，∴a≠
1
1?a

②若a=1－
11
a< br>，即a
2
-a+1=0，方程无解∴a≠1－
a

③若1－
1
a
=
1
1?a
，即a2-a+1=0，方程无 解∴1－
11
a
≠
1?a
.
综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

7 设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
（2）从M到N的映射满足
f
(a)>
f
(b)≥f(c),试确定这样的 映射
f
的种数.
解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
一共有27个映射
?
a?0
（2）符合条件的映射共有4个
,?
?
a?2
?
a?2
?
a?2
?
b? ?2,
?
?
b??2,
?
?
b?0,
?
?
b?0,

?
?
c??2
?
?
c??2< br>?
?
c??2
?
?
c?0
8.已知函数
f( x)
的定义域为[0，1]，求函数
f(x?1)
的定义域
解：由于函数< br>f(x)
的定义域为[0，1]，即
0?x?1
∴
f(x?1)
满足
?0?x?1?1

?1?x?0
，∴
f(x?1)
的定义域是[－1，0]

9根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知
f(x)
是二次函数， 若
f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1
，求
f(x)
.
（2）已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)

（3）若
f(x)
满足
f(x)?2f(
1
x
)?ax,
求
f(x)

解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设
f(x)
＝ax
2
?bx?c(a?0)
由于
f(0)?0
得
f( x)?ax
2
?bx
，
又由
f(x?1)?f(x)?x?1，∴
a(x?1)
2
?b(x?1)?ax
2
?bx?x?1< br>
即
ax
2
?(2a?b)x?a?b?ax
2
? (b?1)x?1

?
2a?b?b?1
?
?
?
a ?0?a?b?
1
1
?
?
a?b?1
2
因此：
f(x)
＝
2
1
2
x?
2
x

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设
u?x?1(x?0), ?x?u?1(u?1)
?f(u)?(u?1)
2
?2(u?1)?u
2< br>?1(u?1)
∴
f(x)
＝
x
2
?1
（
x?1
）
（3）由于
f(x)
为抽象函数，可以用消参法求解
用
1
x
代
x
可得：
f(
1
x< br>)?2f(x)?a
1
x
,
与
f(x)?2f(
1
x
)?ax

联列可消去< br>f(
1
x
)
得：
f(x)
＝
2aax
3x
?
3
.
点评：求函数解析式（1）若已知函数
f(x)的类型，常采用待定系数法；（2）若已知
f[g(x)]
表达式，常采用换元法或采用凑 合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
10 已知
3x
2
?2 y
2
?6x
，试求
x
2
?y
2
的最大值.
分析：要求
x
2
?y
2
的最大值，由已知条件很快将
x
2
?y
2
变为一元二次函数
f(x)??
1
( x?3)
2
?
9
,
然后求极值点的
x
值，联系到< br>y
2
22
?0
，这一条件，既快又准地求
出最大值.
3
x?2y?6x
y
2
??x
2
?3x
解 由
3
22
得
2
.

?
y
2< br>?0,??
3
2
x
2
?3x?0,?0?x?2.
又
x
2
?y
2
?x
2
?
3
x
2
?3x??
1
2
(x?3)
2
9
2
?
2
,

?
当
x?2
时，
x
2?y
2
有最大值，最大值为
?
1
2
(2?3)
2
?
9
2
?4.

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
由
3x
2
?2y
2
?6x
得
y
2
??
3
2
x
2
?3x,

?x
2
?y
2
?x
2
?
?
3
2
19
x?3x??(x?3)
2
?,

222
9
22
当
x?3
时，
x?y
取 最大值，最大值为
2
2
这种解法由于忽略了
y?0
这一条件，致使 计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能
从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐 蔽条件，既要注意主要的已知条件，
又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样 才能正确地解题..
11设
f(x)
是R上的函数，且满足
f(0)?1,
并且对任意的实数
x,y
都有
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
，求
f(x)
的表达式. < br>解法一：由
f(0)?1,f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
，设
x?y
，
得
f(0)?f(x)?x(2x?x?1)
，所以
f( x)
＝
x
2
?x?1

解法二：令
x?0
，得
f(0?y)?f(0)?y(?y?1)
即
f(?y)?1?y(?y?1)< br>
又将
?y
用
x
代换到上式中得
f(x)
＝
x
2
?x?1

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量 交替用特殊值代入，或使这两个变量相
等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值， 根据题目特征而定.
12判断函数
f(x)?(1?x)
1?x
1?x
的奇偶性.
解：
f(x)?(1?x)
1?x
1?x
1?x
有意义时必须满足
1?x
?0??1?x?1

即函数的定义域是｛
x
｜
? 1?x?1
｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇
函数也不是偶函数
13 判断
f(x)?log
2
(x?x
2
?1)
的奇偶性. < br>正解：方法一：∵
f(?x)?log?x?(?x)
2
2
(?1)? log
2
(?x?x
2
?1)

＝
log
1
2
＝
log
x?x
2
?1
?
2
(x?x
2
?1)
＝－
f(x)
∴
f(x)
是奇函 数
方法二：∵
f(x)?f(?x)?log
2
(x?x
2?1)?log
2
(?x?x
2
?1)

＝
l og
2
[(x?x
2
?1)?(?x?x
2
?1)?log
2
1?0

f(?x)??f(x)
∴
f(x)
是奇函数

14函数y=
5?4x?x
2
的单调增区间是_________.
解：y=
5?4x?x
2
的定义域是
[?5,1]
，又
g (x)?5?4x?x
在区间
[?5,?2]
上增函数，
2
在区间< br>[?2,1]
是减函数，所以y=
5?4x?x
2
的增区间是
[?5,?2]

15已知奇函数
f
(
x
)是定义在(－3 ，3)上的减函数，且满足不等式
f
(
x
－3)+
f
(x
2
－3)<0,求
x
的取值范围.
解：由
?
?3?x?3?3
?
0?x?6
?
,故0<
x
?
?3?x
2
?3?3
得
?
?x?6
<
6
,
?
?6
又∵
f
(
x
)是奇函数，∴
f(
x
－3)<－
f
(
x
2
－3)=
f
(3－
x
2
),又
f
(
x
)在(－3，3 )上是减函数，
∴
x
－3>3－
x
2
,即
x
2
+
x
－6>0,解得
x
>2或
x
<－3,综上 得2<
x
<
6
,即
A
={
x
|2<
x
<
6
},
16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)
y?10
|lgx|
.
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还
应想 到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思
想.
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时， ?
所以
y?
?
?
(x?
1
?
2
)
2
?
9
4
(x?2)
?
?
?
?(x?
1

2
)
2
?
9
4
(x ?2)
这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，

所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)
点评：作不熟悉的函 数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要
特别注意x，y的变化范围.因此 必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、
二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数 、反三角函数的图像.
17若f(x)=
ax?1
x?2
在区间（－2，＋
?
）上是增函数，求a的取值范围
解：设
?2?x
ax
1
?1ax
2
?1
1
?x
2
,f(x
1
)?f(x
2
)?
x? 2
?
x

12
?2
?
(ax
1
?1)(x
2
?2)?(ax?
2
1)(x?
1
2)
(x
1
?2)(x
2
?2)

?
(ax1
x
2
?2ax
1
?x
2
?2)?(ax1
x
2
?2ax
2
?x
1
?2)
(x

1
?2)(x
2
?2)
?
2ax
1?x
1
?2ax
2
?x
2
(2a?1)(x
1
?x
(x2)(x
?
2
)
1
?
2
?2)(x
1
?2)(x
2
?2)
由
f
(< br>x
)=
ax?1
x?2
在区间（－2，＋
?
）上是增 函数得
f(x?f(x
?2a?1?0

∴
a
＞
1
1
)
2
)?0
2

点评：有关于单调性的问题 ，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上
去，往往给我们带来“柳暗花明又一村” 的感觉.
18已知函数
f
(
x
)在(－1，1)上有定义，
f
(
1
2
)=－1,当且仅当0<
x
<1时
f< br>(
x
)<0,且对任意
x
、
y
∈(－1,1)都有< br>f
(
x
)+
f
(
y
)=
f
(
x?y
1?xy
),试证明：
(1)
f
(
x< br>)为奇函数；(2)
f
(
x
)在(－1，1)上单调递减
解 ：证明：(1)由
f
(
x
)+
f
(
y
)=
f
(
x?y
1?xy
),令
x
=
y
=0,得
f
(0)=0,令
y
=－
x
,得
f(
x
)+
f
(－
x
)=
f
(
x?x
1?x
2
)=
f
(0)=0.∴
f
(
x
)=－
f
(－
x
).∴
f
(
x
)为奇函数.
(2)先证
f
(
x
)在(0，1)上单调递减.
令0<
x
1
<
x
2
<1,则
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
)＋
f
(－
x
1
)=
f
(
x
2
?x
1
1?x
)
1
x
2

x?x
∵0<
x
1
<
x
2
<1,∴
x
2
－
x
1< br>>0,1－
x
1
x
2
>0，∴
21
1?x< br>>0,
1
x
2
又(
x
2
－
x1
)－(1－
x
2
x
1
)=(
x
2< br>－1)(
x
1
+1)<0
∴
x
2
－
x
1
<1－
x
2
x
1
,
∴0<
x
2
?x
1
1?x
<1,由题意知
f
(
x
2
?x
1
1?x
)<0
2
x
11x
2
即
f
(
x
2
)<
f
(< br>x
1
).
∴
f
(
x
)在(0，1)上为减 函数，又
f
(
x
)为奇函数且
f
(0)=0.
∴
f
(
x
)在(－1，1)上为减函数.
点评：本题知识 依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、
单调性的判定以及运算能力和 逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不
过关，结果很难获得. 对于(1)，获 得
f
(0)的值进而取
x
=－
y
是解题关键；对于(2)， 判定
x
2
?x
1
1?xx
的范围是解题的焦点.
12
19已知
log9?a,18
b
18
?5,
求
log
36
45

解：∵
18
b
?5,
∴
log
18
5?b

∴
log
b?a
3 6
45?
log
18
45
log
?
log
18
5?log
18
9
?
18
36log
184?log
18
9
log(
18
?
b?a
?< br>b?a

2
18
2?
9
)?a2log
a< br>1818
(
9
)?a

20知
y?log
a
(2?ax)
在[0，1]上是
x
的减函数，则
a
的取值 范围是
解：∵
y?log
a
(2?ax)
是由
y?log
a
u
，
u?2?ax
复合而成，又
a
＞ 0
∴
u?2?ax
在[0，1]上是
x
的减函数，由复合函数关系知
y?log
a
u
应为增函数，∴
a
＞1
又由于
x
在[0，1]上时
y?log
a
(2?ax)
有意义，
u?2?ax
又是减函数，∴
x
＝1时，
u?2? ax
取最小值是
u
min
?2?a
＞0即可， ∴
a
＜2
综上可知所求的取值范围是1＜
a
＜2
21已知函数
f(x)?log
a
(3?ax)
.
（1） 当
x?[0,2]
时
f(x)
恒有意义，求实数
a
的取值范 围.
（2）是否存在这样的实数
a
使得函数
f(x)
在区间[1， 2]上为减函数，并且最大值为1，如

果存在，试求出
a
的值；如果不存在，请说明理由.
分析：函数
f (x)
为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题
思路，是否存在 性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假设，
3?ax
＞0，对一 切
x?[0,2]
恒成立，
a?0,a?1

显然，函数g(x)=
3?ax
在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝
3?2a
＞0得到
a
＜
3
2

∴
a
的取值范围是（0，1）∪（1，
3
2
）
( 2)假设存在这样的实数
a
，由题设知
f(1)?1
，即
f(1)? log
a
(3?a)
＝1
∴
a
＝
3
2< br>此时
f(x)?log
3
a
(3?
2
x)

当
x?2
时，
f(x)
没有意义，故这样的实数不存在.
点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处
理方法是先假 设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.
即不存在，反之没有矛盾， 则问题解决.
22已知函数
f
(
x
)=
lg
1? 2
x
?4
x
?a
a
2
?a?1
, 其中
a
为常数，若当
x
∈(－∞, 1］时,
f
(
x
)有意义，
求实数
a
的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于
a
的不等式（组）非常< br>困难，故应转换思维角度，设法从原式中把
a
分离出来，重新认识
a
与 其它变元(
x
)的依存
关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：
1?2
x
?4
x
?a
a
2
?a? 1
>0, 且
a
2
－
a
+1=(
a
－1
2
3
2
)+
4
>0,
∴ 1+2
x
+4
x
·
a
>0,
a
>
?(
1
4
x
?
1
2
x
)
,
当
x
∈(－∞, 1]时,
y
=
11
4
x
与
y
=
2
x
都是减函数，
∴
y=
?(
1111
3
4
x
?
2
x
)
在(－∞, 1]上是增函数，
?(
4
x
?
2
x
)
max
=－
4
,
∴
a
>－
3
4
, 故
a
的取值范围是(－
3
4
, +∞).
点评：发掘、 提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换
位，创设新的函数，并利用新 函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表
现.本题主客换位后，利用新建函数
y
=
?(
1
4
x
?
1
2
x)
的单调性转换为函数最值巧妙地求出了
实数
a
的取值范围.此法也叫主 元法.
1
23若
(a?1)
?
1
3
?(3?2 a)
?
3
，试求
a
的取值范围.

解：∵幂函数
y?x
?
1
3
有两个单调区间，
∴根据
a?1
和
3?2a
的正、负情况，有以下关系
?
?
a?1?0
?
a?1?0
?
3?2a?0.
①
?
3?2a?0.
②
?
a?1?0
.
③
?
?
?
?
a?1?3?2a
?
?
a?1? 3?2a
?
3?2a?0

解三个不等式组：①得
2
3＜
a
＜
3
2
，②无解，③
a
＜－1
∴
a
的取值范围是（－∞，－1）∪（
2
3
，
3
2
）
点评：幂函数
y?x
?
1
3
有两个单调区间， 在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认
为
a?1?3?2a
，从而导致解题错 误.
24 已知a>0 且a≠1 ,f (log
a
x ) =
a
a
2
?1
(x －
1
x
)
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m
2
) < 0 ,求m的集合M .
分析：先用换元法求出f(x)的表达式； 再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然
后利用以上结论解第三问.
解：(1)令t=log
a
x(t∈R)，则
x?a
t
, f(t)?
a
t?t
a
x?x
a
2
?1
( a?a),?f(x)?
a
2
?1
(a?a),(x?R).
(2)?f(?x)?
a
?xx
a
a
2
?1
( a?a)??f(x),且x?R,?f(x)为奇函数.当a?1时,
a
2
?1?0,

u(x)?a
x
?a
?x
为增函数,当0?a ?1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a?1或0?a?1,
f(x)在R上都是增函数.
(3)
?
f(1?m)?f(1?m
2
)?0,f(x)
是 奇函数且在
R
上是增函数
,?f(1?m)?f(m
2
?1).又

?
x?(?1,1)
?
?1?1?m?
?
?
1
?
?1?m
2
?1?1?1?m?2.

?< br>?
1?m?m
2
?1
点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论 .对本例的③不需要代入f（x）的表达式
可求出m的取值范围，请同学们细心体会.
25已 知函数
f(x)?x
2
?ax?3?a
若
x?[?2,2]
时，
f(x)
≥0恒成立，求
a
的取值范围.
解：设
f(x)
的最小值为
g(a)

（1）当
?
a
2
??2
即
a
＞4时，
g(a)
＝f(?2)
＝7－3
a
≥0，得
a?
7
3
故此 时
a
不存在；

(2) 当
?
a
2
?[?2,2]
即－4≤
a
≤4时，
g(a)
＝3－a
－
a
2
4
≥0，得－6≤
a
≤2
又－4≤
a
≤4，故－4≤
a
≤2；
（3）
?< br>a
2
?2
即
a
＜－4时，
g(a)
＝
f(2)
＝7＋
a
≥0，得
a
≥－7，又
a
＜－ 4
故－7≤
a
＜－4
综上，得－7≤
a
≤2
26已知
mx
2
?x?1?0
有且只有一根在区间（0,1）内，求
m
的取值范围.
解：设
f(x)?mx
2
?x?1
，（1 ）当
m
＝0时方程的根为－1，不满足条件.
（2）当
m
≠0∵< br>mx
2
?x?1?0
有且只有一根在区间（0,1）内
又
f(0)
＝1＞0
∴有两种可能情形①
f(1)?0
得
m
＜－2
或者②
f( 1)?0且01
2m
<1
得
m
不存在
综上所得，
m
＜－2

27.是否存在这样的实数k，使得关于x的方程
x
2
+（2k－3）x
－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定
k的取值范 围；如果没有，试说明理由.
解：令
f(x)?x
2
?(2k?3)x?( 3k?1)
那么由条件得到
?
2
?
??(2k?3)?4(3k? 1)?0
?
?
4k
2
?5?0
?
?
f(0 )?1?3k?0
?
k?
1
?
?
f(2)?4?2(2k? 3)?(3k?1)?0
即
?
?
3
即此不等式无解
?k?1
?
?
0?
2k?3
?2
?
?2
?
3
?2
?k?
7
2
即不存在满足条件的k值.
28已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
对于
x
1< br>、
x
2
?
R，且
x
1
＜
x
2
时
f(x
，求证：方程
f(x)
＝
1
1
)?f(x
2
)
2
[f(x
1
)?f(x
2)]
有不等实根，且必有一根属于区间
（
x
1
，
x2
）.
解：设F（
x
）＝
f(x)
－
12
[f(x
1
)?f(x
2
)]
，
则方程
f(x)
＝
1
2
[f(x
1
)?f(x
2
)]
①

与方程 F（
x
）＝0 ② 等价
∵F（
x
1）＝
f(x
1
)
－
[f(x
1
)?f(x2
)]
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]

F（
x
2
）＝
f(x
2
)
－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
＝
[?f(x
1)?f(x
2
)]

2
∴ F（
x
1
）·F（
x
2
）＝－
[f(x
1
)?f(x
2)]
，又
f(x
1
)?f(x
2
)

1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
∴F（
x
1
）·F（
x
2
）＜0
故方程②必有一 根在区间（
x
1
，
x
2
）内.由于抛物线y＝F（
x
）在
x
轴上、下方均有分布，
所以此抛物线与
x
轴相交于 两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两
个不等的实根，且必有一根属于区间（< br>x
1
，
x
2
）.
点评：本题由于方程是
f (x)
＝
1
2
[f(x
1
)?f(x
2
) ]
，其中因为有
f(x)
表达式，所以解题中
有的学生不理解函数图像与方程 的根的联系，误认为证明
f(x)
的图像与
x
轴相交于两个不
同的点 ，从而证题中着眼于证
f(x
1
)f(x
2
)
＜0，使本题 没法解决. 本题中将问题转化为F
（
x
）＝
f(x)
－
1
2
[f(x
1
)?f(x
2
)]
的图像与
x
轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
29试确定方程
2x
3?x
2
?4x?2?0
最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.
分析：只要构造函数
f(x)
＝
2x
3
?x2
?4x?2
，计算
f(x)
的自变量
x
取整数值时的 函数值，
根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.
解：令
f(x)
＝< br>2x
3
?x
2
?4x?2

∵
f(?3)
＝－54－9＋12＋2＝－49＜0
f(?2)
＝－16－4＋8＋2＝－10＜0
f(?1)
＝－2－1＋4 ＋2＝3＞0，，
f)0(
＝0－0－0＋2＝2＞0
f(1)
＝2－1－4＋2＝－1＜0，
f(2)
＝16－4－8＋2＝6＞0
根据
f(?2)
·
f(?1)
＜0，
f(0)
·
f(1)
＜0，
f(1)·
f(2)
＜0
可知
f(x)
的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内. 因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，
－1）内 .
点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n
个 实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.
2x
3
?x
2
?4x?2

?x
2
(2x?1)?2(2x?1)?2(x?
1
2
)(x< br>2
?2)
?2(x?
1

2
)(x?2)(x?2)
所以
2x
3
?x
2
?4x?2
＝0有三个根：1
2
,2,?2

30设二次函数
f(x)?ax
2< br>?bx?c(a?0),
方程
f(x)?x?0
的两个根
x
1
,x
2
，满足
0
?
x
1
?x
2< br>?
1
a
.
（1）当
x?(0,x
1
)时，证明
x?f(x)?x
1
；
（2）设函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0),
的图像关于直线
x?x
0
对称， 证明：
x
x
1
0
?
2
.
分析：（1）用作差比较法证明不等式
x?f(x)?x
1
；
（2 ）函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0),
图像关于直线
x? x
0
对称，实际直线
x?x
0
就是二
次函数的对称轴，即< br>x
b
0
??
2a
，然后用已知条件证明不等式即可.
证明：（1）依题意，设
F(x)?f(x)?x?a(x?x
1
)(x?x
2
)

当
x?(0,x
1
)
时，由于
x
1
?x
2
，∴
(x?x
1
)(x?x
2< br>)?0
，又
a?0

∴
F(x)?f(x)?x?a(x?x
1
)(x?x
2
)
>0即
x?f(x)

x
1
?f(x)?x
1
?[x?F(x)]?x
1
?x?F (x)?(x
1
?x)(1?ax?ax
2
)
?(x
1
?x)(1?ax
2
)
∵0
?
x?x
11
?x
2
?
a
.∴
x
1
?x?0,1 ?ax
2
?0

∴
x
1
?f(x)?0

综合得
x?f(x)?x
1

（2）依题意知
x
b
0
??
2a
，又
x
b?1
1
?x
2
??
a

∴
x
b
a(x
1
?x
2
)?1ax
0
??
2a
?
1
?ax2
?1
2a
?
2a

∵ax
2
?1?0,
∴
x
0
?
ax
1< br>2a
?
x
1
2

点评：解决本题的关健有三：一是用 作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达
式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的 图像关于直线对称，此直线为二次函数的
对称轴，即
x
0
??
b2a

31已知函数
f(x)?x
2
?2bx?c(c?b?1 ),f(1)?0
，且方程
f(x)?1?0
有实根.
(1)求证：-3(2)若m是方程
f(x)?1?0
的一 个实根，判断
f(m?4)
的正负并加以证明
分析：（1）题中条件涉及不等关系的 有
c?b?1
和方程
f(x)?1?0
有实根.
及一个等式
f(1)?0
，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断
f(m?4)的符号，因而只要研究出
m?4
值的范围即可定出
f(m?4)
符号.
(1)证明：由
f(1)?0
，得1+2b+c=0,解得
b??
c ?1
2
，又
c?b?1
，
1
??
c?1
2
?c

解得
?3?c??
1
3
，
又由于方程
f(x)? 1?0
有实根，即
x
2
?2bx?c?1?0
有实根，
故
??4b
2
?4(c?1)?0
即
(c?1)
2
? 4(c?1)?0
解得
c?3
或
c??1

∴
?3 ?c?1
，由
b??
c?1
2
，得
b
≥0. （2）
f(x)?x
2
?2bx?c
=
x
2
? (c?1)x?c?(x?c)(x?1)

∵
f(m)??1?0
，∴c∴c—4∴
f(m?4)
的符号为正.
点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运
用二次函数的图像及性质解题.

32定义在
R
上的函数
f
?
x
?< br>满足：对任意实数
m,n
，总有
f
?
m?n
?
?f
?
m
?
?f
?
n
?
，且当
x?0
时，
0?f
?
x
?
?1
.

（1）试求
f
?
0
?
的值；
（2）判断
f
?
x
?
的单调性并证明你的结论；
（3）设
A?
?
?
x,y
?
f
?
x
2
?
?f
?
y
2
?
?f
?
1< br>?
?
,B?
?
?
x,y
?
f
?ax?y?2
?
?1,a?R
?
，若
A?B??
，试确 定
a
的取值范围.
（4）试举出一个满足条件的函数
f
?
x
?
.
解 ：（1）在
f
?
m?n
?
?f
?
m
??f
?
n
?
中，令
m?1,n?0
.得：
f< br>?
1
?
?f
?
1
?
?f
?
0
?
.
因为
f
?
1
?
?0
，所 以，
f
?
0
?
?1
.
（2）要判断
f< br>?
x
?
的单调性，可任取
x
1
,x
2
?R
，且设
x
1
?x
2
.
在已知条件
f
?
m?n
?
?f
?
m
?
?f
?
n
?
中，若取
m?n?x
2
,m?x
1
， 则已知条件可化为：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?x
1
?
.

由于
x
2
?x
1
?0
，所以
1?f
?
x
2
?x
1
?
?0
.
为比较
f
?
x
2
?
、f
?
x
1
?
的大小，只需考虑
f
?
x
1
?
的正负即 可.
在
f
?
m?n
?
?f
?
m
?
?f
?
n
?
中，令
m?x
，
n??x< br>，则得
f
?
x
?
?f
?
?x
??1
.
∵
x?0
时，
0?f
?
x
?
?1
，
∴ 当
x?0
时，
f
?
x
?
?
1
f
?
?x
?
?1?0
.
又
f
?
0
?
?1
，所以，综上，可知，对于任意
x
1
?R
，均有
f
?
x
1
?
?0
.
∴
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
?
x
1
?
?
?
f
?
x
2
?x
1
?
?1
?
?
?0
.
∴ 函数
f
?
x
?
在R上单调递减.
（3）首先 利用
f
?
x
?
的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含
f
的式子.
f
?
x
2
?
?f
?
y
2
?
?f
?
1
?
即x
2
?y< br>2
?1
，
f
?
ax?y?2
?
?1?f< br>?
0
?
，即
ax?y?2?0
.
由
A?B ??
，所以，直线
ax?y?2?0
与圆面
x
2
?y
2
?1
无公共点.所以，

2
a?1
2
?1
.
解得
?1?a?1
.
x
（4）如
f
?
x
?< br>?
?
?
1
?
?
2
?
?
.
点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令
m?1,n?0
；以
及
m?n?x
2
,m?x
1
等）是解决有关抽象函数 问题的非常重要的手段；另外，如果能找到
一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. < br>33设
a
为实数，函数
f(x)?x
2
?|x?a|?1，
x?R

（1）讨论
f(x)
的奇偶性；
（2）求
f(x)
的最小值.
解：（1）当
a?0
时，函 数
f(?x)?(?x)
2
?|?x|?1?f(x)

此时，
f(x)
为偶函数
当
a?0
时，
f(a) ?a
2
?1
，
f(?a)?a
2
?2|a|?1
，
f(a)?f(?a)
，
f(a)??f(?a)

此时
f(x)
既不是奇函数，也不是偶函数
（2）（i）当
x?a
时，
f(x)?x
2
?x?a?1?(x?
1
)
2
?a?
3
24

当
a?
1
2
，则 函数
f(x)
在
(??,a]
上单调递减，从而函数
f(x)
在
(??,a]
上的最小值为
f(a)?a
2
?1
. < br>若
a?
1
2
，则函数
f(x)
在
(??,a ]
上的最小值为
f(
1
2
)?
3
4
?a< br>，且
f(
1
2
)?f(a)
.
（ii）当
x?a
时，函数
f(x)?x
2
?x?a?1?(x?
1
2
3
2
)?a?
4

若
a??
1
2
，则函数
f(x)
在
(??,a]
上的最小值为
f(?1
2
)?
3
4
?a
，且
f(?
12
)?f(a)

若
a??
1
2
，则函数f(x)
在
[a,??)
上单调递增，从而函数
f(x)
在[a,??)
上的最小值为
f(a)?a
2
?1
.

综上，当
a??
1
2
时，函数
f (x)
的最小值为
3
4
?a

当
?
11< br>2
?a?
2
时，函数
f(x)
的最小值为
a
2
?1

当
a?
13
2
时，函数
f(x)
的最小值为
4
?a
.
点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过
f(?x)?f(x)
代入有 < br>(?x)
2
?|?x?a|?1?x
2
?|x?a|?1
，即
|x?a|?|x?a|

可得，当
a?0
时，
|x?a |?|x?a|
，函数
f(?x)?f(x)
函数为偶函数.
通过
f(?x)??f(x)
可得
(?x)
2
?|?x?a|?1??x
2
?|x?a|?1

化得
2x
2
?2?|x?a|?|x?a|
此式不管
a?0
还是
a?0
都不恒成立，
所以函数不可能是奇函数.
（2 ）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟
练掌握，又要将结 论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.

34某公司为帮助尚 有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改
建成经营状况良好的某种消费 品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务
均不计利息).
已知该种消费品 的进价为每件40元；该店每月销售
q
量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中
60
的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，
该店应交付的其它费用 为每月130元.
（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，
求该店的职工人数；
24
（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后
还清所有债务，此时每件消费品的价格 定为多少元？
1

405881p
分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零 散杂乱，为此，
不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主 要
方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.
从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，
通过研究 解析式，来对问题作出解答.
由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.
解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则
S?q
?
p?40
?
?100?600m?13200
.

又由图可知：
q?
?
?
?
?2p?140,
?
40?p?58
?
?82
?
58?p?81
?
.
?
?
?p
所以，
S?
?
?
?
?
?2p?140
??
p?4 0
?
?100?600m?13200
?
40?p?58
?
?p?82
??
p?40
?
?100?600m?13200
?
58?

?
?
?
由已知，当
p?52
时，
S?0
，即
?
?2p?140
??
p?40
?
?100?600m?13200?0
，
解得
m?50
.即此时该店有50名职工.
（2）若该店只安排40名职工，则月利润
S?
?
?
?
?
?2p?140
??
p?40
?
?100?37200 ?
40?p?58
?
?
?
?
?p?82
??< br>p?40
?
?100?37200
?
58?
.
当
40?p?58
时，求得
p?55
时，S取最大值7800元.
当
58?p?81
时，求得
p?61
时，S取最大值6900元.
综上，当
p?55
时，S有最大值7800元.
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有
12n?7800?268000?200000?0
.
解得
n?5
.
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.

点评：求解数学应用题必须突破三关：
（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比 较大，要通过阅读审题，找出关
键词、句，理解其意义.
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.