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高中数学知识点函数(最全)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 23:31
tags:函数高中数学

高中数学新定义型函数-高中数学基本初等函数知识点总结ppt

2020年9月21日发(作者:舒巧)


高中数学第二章-函数
考试内容:
映射、函数、函数的单调性、奇偶性.
反函数.互为反函数的函数图像间的关系.
指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.
对数.对数的运算性质.对数函数.
函数的应用.
考试要求:
(1)了解映射的概念,理解函数的概念.
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.
(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数.
(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像 和
性质.
(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构:
定义
F:A
?B
反函数
映射
函数
具体函数
一般研究
图像
性质
二次函数
指数
指数函数
对数
对数函数




第 1 页 共 10 页






二、知识回顾:
(一) 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素, 因
为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数
才 是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数
y?f(x)(x?A)
的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表
示出,得到x=
?
(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过 x=
?
(y),x在A中都有唯一
的值和它对应,那么,x=
?
(y )就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数
x=
?
(y) (y
?
C)叫做函数
写成
y?f(x)(x?A)
的反函数,记作
x?f
?1
(
y
)
,习惯上改
y?f
?1
(x
)

(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:对于函数f (x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x
1
,x
2,




第 2 页 共 10 页


⑴若 当x
1
2
时,都有f(x
1
)2),则说f(x)在这个区间上是增函数;
⑵若当x
1
2
时,都有f(x
1
)>f(x
2
),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函
数.
2.函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题:
(1)定义域 在数轴上关于原点对称是函数
f(x)
为奇
函数或偶函数的必要不充分条件;(2)< br>f(?x)?f(x)

f(?x)??f(x)
是定义域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数
的图象关于
y
轴成轴对称图形 。反之亦真,因此,也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增
减性相反.
4.如果
f(x)
是偶函数,则
f(x)?f(|x|)
,反之亦成立。
若奇函数在< br>x?0
时有意义,则
f(0)?0


7. 奇函数,偶函数:
⑴偶函数:
f(?x)?f(x)

设(
a,b
)为偶函数上一点,则(
?a,b
)也是图象上一点.
偶函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于
y
轴对称,例如:< br>y?x
2
?
1

[1,?1)
上不是偶函数.



第 3 页 共 10 页


②满 足
f(?x)?f(x)
,或
f(?x)?f(x)?0
,若
f(x )?0
时,
⑵奇函数:
f(?x)??f(x)

f(x)
?
1
.
f(?x)
设(
a,b
)为奇函数上一点,则(
?a,?b
)也是图象上一点.
奇函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:
y?x3

[1,?1)
上不是奇函数.
②满足
f(?x)??f( x)
,或
f(?x)?f(x)?0
,若
f(x)?0
时,
y轴对称
???y?f

?x

8. 对称变换:①
y
=
f

x

??

x轴对称
???y??f

x


y
=
f

x

??

f(x)
??
1
.
f(?x)
????y??f

?x


y
=
f

x

?
原点对称

9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)
222
f(x
1
)?f(x
2
)?x
2
1
?b?x
2
?b?
22
x
x
?b
2
?x
1
?b
2


在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如:已知函数
f

x
)= 1+
B?A
x
的定义域为
A
,函数
f
[
f

x
)]的 定义域是
B
,则集合
A
1?x
与集合
B
之间的关系 是 .
解:
f(x)
的值域是
f(f(x))
的定义域
B

f(x)
的值域
?R
,故
B?R< br>,而
A
?
?
x|x?1
?
,故
B?A
.
11. 常用变换:

f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?< br>证:
f(x?y)?
f(x)
.
f(y)
f(y)
?f
(
x
)
?f
[(
x?y
)
?y
]
?f
(
x?y
)
f
(
y
)

f(x)
x

f
()
?
f(x)
?
f(y)
?
f(x
?
y)
?
f(x)
?
f(y)

y
xx
证:
f
(
x
)
?f
(
?y
)
?f
()
?
f(y)

yy



第 4 页 共 10 页


12. ⑴熟悉常用函数图象:
?
1
?
例:
y?2

|x|
关于
y
轴对称. < br>y?
??
?
2
?
|x|


|x? 2|
?
1
??
1
?

y?
??

y?
??
?
2
??
2
?

|x| |x?2|

y
y
y
(0,1)
x
(-2,1)< br>x
x

y?|2x
2
?2x?1|

|y|
关于
x
轴对称.



y

⑵熟悉分式图象:
例:
y?
2x?17
?< br>定义域
{x|x?3,x?R}

?2?
x?3x?3
▲< br>x
值域
{y|y?2,y?R}
→值域
?
x
前的系数 之比.
(三)指数函数与对数函数





指数函数




-4-3-2-1
y
2
x
3
y?a
x
(a?0且a?1)
的图象和性质
04.5
4.5
a>1
4
4
3.5< br>3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
1
0.5
y=1
0.5
1234
-4-3-2-11234
-0.5
-0.5
-1




第 5 页 共 10 页
-1





(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)x>0时,y>1;x<0时,0(5)在 R上是增函数
(4)x>0时,01.
(5)在R上是减函数


对数函数
y
=
log
a
x
的图象和性质:
对数运算:
log
a
(M?N)?log
a
M?log< br>a
N
(1)
M
log
a
?log
a
M?log
a
N
N
log
a
M
n
?nlo g
a
?
?M
?
12)
log
a
a
log
a
n
N
1
M?log
a
M
n
?N

log
b
N
换底公式:log
a
N?log
b
a
推论:log
a
b?log
b
c? log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?lo g
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?log
a
1
a
n







第 6 页 共 10 页


a>1
(以上
M
?

















00,N
?
0,a< br>?
0,a
?
1,b
?
0,b
?
1,c
?
0,c
?
1,a
1
,a
2
...a
n
?
0且
?
1




第 7 页 共 10 页


y
y=log
a
x
a>1

O
x

x=1
a<1

(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R


(3)过点(1,0),即当x=1时,y=0
(4)
x?(0,1)

y?0

x?(0,1)

y?0

x?(1,??)
时 y>0
(5)在(0,+∞)上是增函数




x?(1,??)

y?0

在(0,+∞)上是减函数
注⑴:当
a,b?0
时,
log(a? b)?log(?a)?log(?b)
.
⑵:当
M?0
时,取“+”,当
n
是偶数时且
M?0
时,
M
n
?0
,而< br>M?0
,故取“—”.
2
例如:
log
a
x
?2log
a
x
?(2log
a
x

x
>0而
log
a
x
2

x
∈R).
⑵< br>y?a
x

a?0,a?1
)与
y?log
a
x
互为反函数.

a?1
时,
y
?log
a< br>x

a
值越大,越靠近
x
轴;当
0?a?1
时,则相反.




第 8 页 共 10 页



(四)方法总结
⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算:
loga
(M?N)?log
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
N
1
log
a
M
n

log
a
M
n
?nlog
a
?
?M
?
12)
log< br>a
n
M?
a
log
a
N
?N
log
b
N
log
b
a
换底公式:log
a
N?
推论:log
a
b?log
b
c?log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?log
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?loga
1
a
n
(以上
M
?
0,N
?
0,a
?
0,a
?
1,b
?
0,b
?
1 ,c
?
0,c
?
1,a
1
,a
2
...a
n
?
0且
?
1







注⑴:当
a,b?0
时,
log(a?b) ?log(?a)?log(?b)
.
⑵:当
M?0
时,取“+”,当n
是偶数时且
M?0
时,
M
n
?0
,而
M?0
,故取“—”.
例如:
log
a
x
2
? 2log
a
x
?(2log
a
x

x
>0 而
log
a
x
2

x
∈R).

y?a
x

a?0,a?1
)与
y?log
a
x
互为反函数.



第 9 页 共 10 页



a?1
时,
y
?log
a
x

a
值越大,越靠近
x
轴;当
0?a?1
时,则相反.
⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法.
⑶.反函数的求法:先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函 数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数
的定义域.常涉及到的 依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数
大于0,底数大于零且不等于1; ④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义
等.
⑸.函数值域的求法:①配方法 (二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;
⑤不等式法;⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法:①设x
1
,x
2
是所研究区间内任两个自变量,且x
1
<x
2
;②判定f(x
1
)
与f(x
2
)的大小;③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称 ,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:
①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x )为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③
f(-x)f(x )=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表 、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的
图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描 绘函数图象.






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