(完整版)高中各种函数图像及其性质(精编版)

高中各种函数图像及其性质
一次函数
（一）函数
1、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

（二）一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如
y?kx?b
（
k
，< br>b
是常数，且
k?0
）的函数，叫做一次函数，其中x是
自变量。当< br>b?0
时，一次函数
y?kx
，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解 析式的形式是
y?kx?b
，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断
是否能化成以 上形式．
⑵当
b?0
，
k?0
时，
y?kx
仍是一次函数．
⑶当
b?0
，
k?0
时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0
时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实
数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-< br>b
，0）两点的一条直线，我们称它为直
k
线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0
时，向下平移）


（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k
?
0)
（2）必过点：（0，b）和（-
b
，0）
k
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
?
k?0
?
k?0
直线经过第一、二、三象限
??
直线经过第一、三、四象限
??
?
b?0
?
b?0
?
k?0
?
k?0
直线经过第一、二、四象限
??
直线经过第二、三、四象限
??
?
b?0
?
b?0

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.


一次
k?kx?b
?
k?0
?

函数
k?0

k?0

k
，
b

符号
b?0

b?0

b?0

b?0

b?0

y
y
OO

b?0

y
O
y
O
y
O
y
图象
O
x
x
x
xx
x
性质

y
随
x
的增大而增大

y
随
x
的增大而减小




4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两 点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直
线，所以画一次函数的图象时，只要先描 出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取
它与两坐标轴的交点：（0，b），
或纵坐标 为0的点.


.即横坐标
b>0 b<0 b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0



图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
k<0




图象从左到右下降，y随x的增大而减小

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线， 它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而
得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下 平移）

6、正比例函数和一次函数及性质


概 念
正比例函数
一般地，形如y=kx(k是常数，
k≠0)的函数叫做正比例函数，其
中k叫做比例系数
X为全体实数
一条直线
（0，0）、（1，k）
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
（0，b）和（-
一次函数
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)， 那
么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 .
自变量
范 围
图 象
必过点
走 向
b
，0）
k
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性
倾斜度
图像的
平 移
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

b>0时，将直线y=kx的图象向上平移
b
个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移
b
个单位.

6、直线
y?k
1
x?b
1
（
k
1
?0
） 与
y?k
2
x?b
2
（
k
2
?0
）的位置关系
（1）两直线平行
?
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

（2）两直线相交
?
k
1
?k
2

（3）两直线重合
?
k
1
?k
2
且
b1
?b
2

（4）两直线垂直
?
k
1
k
2
??1


7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点 的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数
为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

8、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为 常数，a≠0）的形式，所以解一元一
次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量 的值. 从图象上看，相当
于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

9、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或 ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形
式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小 ）于0时，求自变量的取值范围.


10、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=
?
图象相同.
（2）二元一次方程组
?
ac
x?
的
bb
?
a
1
x?b
1
y?c
1
ac
的解可以看作是两个 一次函数y=
?
1
x?
1
和
b
1
b
1
?
a
2
x?b
2
y?c
2
y=
?
a
2
c
x?
2
的图象交点.
b
2
b
2




二次函数
一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如
y?ax
2
?bx?c
（
a，b，c
是常数，
a?0
）的函数，叫做
二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数
a?0
，而
b，c
可
以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数
y?ax
2
?bx?c
的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量
x
的二次式，
x
的最高次数是2．
⑵
a，b，c
是常数，
a
是二次项系数，
b
是一 次项系数，
c
是常数项．


二、二次函数的基本形式
① 一般式：
f
?
x
?
?ax?bx?c
?
a?0
?

2
② 顶点式：
f
?
x
?< br>?a
?
x?m
?
?n
?
a?0
?

③ 零点式：
f
?
x
?
?a
?
x?x1
??
x?x
2
??
a?0
?

2< br>f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
?
a ?0
?

a?0

a?0

图像
b
x??
2a


b
x??
2a

b

2a

定义域
对称轴
顶点坐标
?
??,??
?

x??
?
b4ac?b
2
?
,
?
?
?

2a4a
??
?
4ac?b
2
?
,??
??

?
4a
?
b
??
??,?
??
递减
2a
??
值域
?
4ac?b
2
?
?
??,
?

4a
??
b
??
??,?
??
递增
2a
??
单调区间
?
b
?
?,??
??
递增
2a
??
?
b
?
?,??
??
递减 2a
??

当
??b?4ac?0
时，二次函数的图像和< br>x
轴有两个交点
M
1
?
x
1
,0
?
，
M
2
?
x
2
,0
?
，
2
?b
2
?4ac
?
线段
M
1
M
2
?x
1
?x
2
?
．
aa
当
??b?4ac?0
时，二次函数的图像和
x
轴有两个重合的交点
M
?
?
2
?
b
?
,0
?
．
?2a
?
特别地，当且仅当
b?0
时，二次函数
f
?x
?
?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
为偶函数．




1. 二次函数基本形式：
y?ax
2
的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
a?0

?
0，0
?

?
0，0
?

y
轴
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
有最小值
0
． x?0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
有最 大值
0
．
a?0



向下
y
轴
2
.
y?ax
2
?c
的性质：
上加下减。
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
a?0

?
0，c
?

?
0，c
?

y
轴
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
有最小值
c
．
a?0


向下
y
轴
x?0
时，y
随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
有最大值
c
．
3
.
y?a
?
x?h
?
2
的性质
：
左加右减。
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
a?0

?
h，0
?

X=h
x?h
时，
y随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
有最小值
0
．

a?0



向下
?
h，0
?

X=h
x?h
时，
y随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
有最大值
0
．
4
.
y?a
?
x?h
?
2
?k
的性 质：
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
a?0

?
h，k
?

?
h，k
?

X=h
x?h
时，
y随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
有最小值
k
．
x ?h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
有最大值< br>k
．
a?0

向下 X=h


三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：
2
k
?
；
方法一
：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
y?a
?
x?h
?
?k
，确定其顶点坐标
?
h，

k
?
处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线
y?ax
2
的形状不变，将其顶点平移到
?
h，
y=ax
2
向上(k >0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax
2
+k
向右(h>0 )【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 | k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或 左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)
2
向上(k>0)【或下 (k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)
2
+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．
概括成八个字“
左加右减，上加下减
”．

方法二： ⑴
y?ax?bx?c
沿
y
轴平移:向上（下）平移
m
个单位，
y?ax?bx?c
变成
22
y?ax
2
?bx ?c?m
（或
y?ax
2
?bx?c?m
）

⑵
y?ax?bx?c
沿轴平移：向左（右）平移
m
个单位，
y? ax?bx?c
变成
22
y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c< br>（或
y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c
）

四、二次函数
y?a
?
x?h
?
?k
与
y?ax
2
?bx?c
的比较
从解析式上看，
y?a
?
x ?h
?
?k
与
y?ax
2
?bx?c
是两种不同的 表达形式，后者通过配
b
?
4ac?b
2
b4ac?b
2< br>?
方可以得到前者，即
y?a
?
x?
?
?
， 其中
h??，
．
k?
2a4a
2a4a
??
2
2
2


五、二次函数
y?ax
2
?bx?c
图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数
y?ax
2
?bx?c
化为顶点式y?a(x?h)
2
?k
，确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在 对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们
c
?
、以及
?
0，c< br>?
关于对称轴对称的点
?
2h，c
?
、选取的五点为：顶点、 与
y
轴的交点
?
0，
0
?
，
?
x
2
，0
?
（若与
x
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的 点）. 与
x
轴的交点
?
x
1
，
画草图时应抓住以 下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点.

六、二次函数
y?ax
2
?bx?c
的性质
?
b4ac?b
2
?
b
1. 当
a?0
时 ，抛物线开口向上，对称轴为
x??
，顶点坐标为
?
?，
?
．

2a4a
2a
??
当
x??
bbb
时 ，
y
随
x
的增大而减小；当
x??
时，
y
随
x
的增大而增大；当
x??
2a2a2a
4ac?b
2< br>时，
y
有最小值．
4a
?
b4ac?b
2
?
b
2. 当
a?0
时，抛物线开口向下，对称轴为
x??
，顶点坐标为
?
?，< br>?
．当
2a4a
2a
??
x??
bbb
时，
y
随
x
的增大而增大；当
x??
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x??
时，
2a2a2a
4ac?b< br>2
．
y
有最大值
4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：
y?ax
2
?bx?c
（
a
，b
，
c
为常数，
a?0
）；
2. 顶点式：
y?a(x?h)
2
?k
（
a
，
h
，
k< br>为常数，
a?0
）；
3. 两根式：
y?a(x?x
1)(x?x
2
)
（
a?0
，
x
1
，< br>x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函 数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与
x
轴有交点，即
b
2
?4ac?0
时，抛物线的解析式才可以用交

点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
a
二次函数
y?ax
2
?bx?c
中，
a
作为二次项系数 ，显然
a?0
．
⑴ 当
a?0
时，抛物线开口向上，< br>a
的值越大，开口越小，反之
a
的值越小，开口越
大；
⑵ 当
a?0
时，抛物线开口向下，
a
的值越小，开口越小，反之
a
的值越大，开口越
大．
总结起来，
a
决定了抛物线开口的大小和方 向，
a
的正负决定开口方向，
a
的大小决定开口的大小．


2. 一次项系数
b



在二次项系数
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在
a?0
的前提下，
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
b
?0
，即抛物线的对称轴在
y
轴左侧；
2a
b
?0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2a
b
?0
，即抛物线对称轴在
y
轴的右侧．
2a

⑵ 在
a?0
的前提下，结论刚好与上述相反，即
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
b
?0
，即抛物线的对称轴在
y
轴 右侧；
2a
b
?0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2a
b
?0
，即抛物线对称轴在
y
轴的左侧．
2 a
ab
的符号的判定：对称轴
x??
则
ab?0
，概括的说 就是“左同右异”
b
在
y
轴左边则
ab?0
，在
y
轴的右侧
2a

3. 常数项
c

⑴ 当
c?0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴上方，即抛物 线与
y
轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当
c?0
时，抛物线 与
y
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为
0
；
⑶ 当
c?0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方，即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为负．

总结起来，
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置．

总之，只要
a，b，c
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法 ．用待定系数法求二次函数的
解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说 ，有如下几种情
况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．



九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达


1. 关于
x
轴对称

y?ax
2
?bx ?c
关于
x
轴对称后，得到的解析式是
y??ax
2
?bx ?c
；
y?a
?
x?h
?
?k
关于
x
轴对称后，得到的解析式是
y??a
?
x?h
?
?k
；
2
2

2. 关于
y
轴对称

y?ax
2
?bx?c
关于
y
轴对称后，得到的解析式是< br>y?ax
2
?bx?c
；
y?a
?
x?h
?
?k
关于
y
轴对称后，得到的解析式是
y?a
?
x?h
?
?k
；
22

3. 关于原点对称

y?ax
2
?bx?c
关于原点对称后，得到的解析式是< br>y??ax
2
?bx?c
；

y?a
?x?h
?
?k
关于原点对称后，得到的解析式是
y??a
?x?h
?
?k
；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
22
b
2

y?ax?bx?c
关于顶点对称后，得到的解析式是
y??ax?bx?c?
；
2a
2
2
y?a
?
x?h
?
?k
关于顶点对称后，得到的解析式是
y??a
?
x?h
?
?k
．
22

n
?
对称 5. 关于点?
m，
y?a
?
x?h
?
?k
关于点
?
m，n
?
对称后，得到的解析式是
y??a
?
x?h?2 m
?
?2n?k

2
2

根据对称的性质 ，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
a
永远不变．求抛物线的对 称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适
的形式，习惯上是先确定原抛物线（或 表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确
定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出 其对称抛物线的表达式．


十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
x
轴交点情况）：
< br>一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
是二次函数
y?ax2
?bx?c
当函数值
y?0
时的特殊
情况.

图象与
x
轴的交点个数：
0
?
，B
?
x
2
，0
?
(x
1
?x
2
)
，其中 的① 当
??b
2
?4ac?0
时，图象与
x
轴交于两点< br>A
?
x
1
，
x
1
，x
2
是 一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的 两根．这两点间的距离
b
2
?4ac
AB?x
2
?x
1
?
.
a
② 当
??0
时，图象与
x
轴只有一个交点；
③ 当
??0
时，图象与
x
轴没有交点.
1'
当
a ?0
时，图象落在
x
轴的上方，无论
x
为任何实数，都有
y ?0
；

2'
当
a?0
时，图象落在
x
轴的下方，无论
x
为任何实数，都有
y?0
．
2. 抛物线y?ax
2
?bx?c
的图象与
y
轴一定相交，交点坐标为(0
，
c)
；
3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据 图象的位置判断二次函数
y?ax
2
?bx?c
中
a
，b
，
c
的符号，或由二次函数中
a
，
b
，c
的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象 关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或
已知与
x
轴的一个 交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.



??0

抛物线与
x
轴有
两个交点
二次三项式的值可正、
可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
??0

??0


抛物线与
x
轴只
有一个交点
抛物线与
x
轴无
交点
二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

从函数观点来看，
一 元二次不等式
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的 解集就是二次函数
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c< br>?
a?0
?
的图像上，位于
x
轴上方的点的横坐标的集合；

一元二次不等式
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的解集就是二次函数
2
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
的图像上，位于
x
轴下方的点的横坐 标的集合；

一元二次不等式
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的解集就是二次函数
2
位于
x
轴上方的点和与
x
轴的交点的横坐标的集合；
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
的图像上，

一元二次不等式
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的解集就是二次函数
2
位 于
x
轴下方的点和与
x
轴的交点的横坐标的集合．
f
?< br>x
?
?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
的图像上，

一元二次方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的解就是二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
?
a?0
?
22
的图像上，与
x
轴的交点的横坐标．

反比例函数


1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于
以原点为对称中心的中心对称的双曲线



反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐
标轴相交（K≠0）。


2、性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限， 同一个象限内，y随x的增大而
减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的 增大而增
大。


2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x> 0上同为减函数；k<0时，函数

在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=kx(k≠0)中，x不能为 0，y也不能为0，所以反比例函数的图
象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的
平行线，与坐 标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称
轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。


6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=nx交于A、B两点（m、n同号），
那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=kx和一次函数y=mx+n， 要使它们有公共交
点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=kx的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原
点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点

指数函数


概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数
的定义域是 R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质
：

规律：1.
当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这
两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；
当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“
底大图高
”；在y轴左边“
底大图低
”。





3.四字口诀：“
大增小减
”。即 ：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，
图像在R上是减函数。

4.
指数函数既不是奇函数也不是偶函数
。

比较幂式大小的方法：
1.
2.
3.
4.

当底数相同时，则利用指数函数的
单调性
进行比较；
当底数中
含有字母
时要注意
分类讨论
；
当底数不同，指数也不同时，则需要
引入中间量
进行比较；
对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。




对数函数

1.对数函数的概念
由于指数函数y=a在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，
x
我们把指数函数y=a(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log
a
x(a ＞0，a≠1).

x
因为指数函数y=a的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0 ，+∞)，所以对数函数y=log
a
x的
定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+ ∞).

x
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为
反函数
，因此它们的图像
对称于直线y=x
.
据此即可以画
出对数函数的图像，并推知它的性质.


为了研究对 数函数y=log
a
x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log
2
x，y=log
10
x，y=log
10
x ,y=log
1
x,y=log
2
1
10
x的草图

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分 析出对数函数y=log
a
x(a＞0，a
≠1)的图像的特征和性质.见下表.








图


象
a＞1 a＜1


性
质
(1)x＞0
(2)当x=1时，y=0
(3)当x＞1时，y＞0
0＜x＜1时，y＜0
(4)在(0，+∞)上是增函数
补
充
性
质
(3)当x＞1时，y＜0
0＜x＜1时，y＞0
(4)在(0，+∞)上是减函数

设y
1
=log
a
x y
2
=log
b
x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)
当x＞1时“
底大图低
”即若a＞b则y
1
＞y
2
当0＜x＜1时“
底大图高
”即若a＞b，则y
1
＞y
2

比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的
单调性
直接进行判断.
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行
分类讨论
.
(3)若底数不同、真数相同，则可用
换底公式
化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等
中间量
进行比较.

3.指数函数与对数函数对比
名称
一般形式
定义域
值域

函
数
值
变
化
情
况
x
指数函数
y=a(a＞0，a≠1)
(-∞，+∞)
(0，+∞)
当a＞1时，
对数函数
y=log
a
x(a＞0，a≠1)
(0，+∞)
(-∞，+∞)
当a＞1时
?
?1(x?0)
?
ax
?
?1(x?0)

?
?1(x?0)
?
当0＜a＜1时，
?
?0(x?1)
?
log
a
x
?
?0(x?1)

?
?0(x?1)
?
当0＜a＜1时，
?
?1(x?0)
?
a
x
?
?1(x?0)

?
?1(x?0)
?
当a＞1时，a是增函数；
x
当0＜a＜1时，a是减函数.
x
x
?
?0(x?1)
?
log
a
x
?
?0(x?1)

?
?0(x?1)
?
当a＞1时，log
a
x是增函数；
当0＜a＜1时，log
a
x是减函数.
单调性
图像
y=a的图像与y=log
a
x的图像
关于直线y=x对称.

幂函数

幂函数的图像与性质
幂函数
y?x
随着
n
的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分
类记忆的方法．熟练掌握< br>y?x
，当
n??2,?1,?
从中可以归纳出以下结论：
n
n
11
,,3
的图像和性质，列表如下．
23
① 它们都过点
?
1,1
?
，除原点外，任何幂函数图 像与坐标轴都不相交，任何幂函
数图像都不过第四象限．
11
,,1,2,3
时，幂函数图像过原点且在
?
0,??
?
上是增函数．
32
1
③
a??,?1,?2
时，幂函数图像不过原点且在
?
0,??
?
上是减函数．
2
②
a?
④
任何两个幂函数最多有三个公共点
．

y?x
n

奇函数
y
偶函数
y
非奇非偶函数
y
n?1

O
x
O
x
O
x

y y

y

0?n?1

O
x
O
x
O
x

y
y

y

n?0

O
x
O
x
O
x




定义域
奇偶性
在第Ⅰ象限的增减
性





y?x

R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
y?x

R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
2
y?x

R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
3
y?x

1
2
y?x
?1

?
x|x?0
?

?
x|x?0
?

非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
在第Ⅰ象限
单调递减
?
y?x
幂函数（
x?
R，
?
是常数）的图像在第
一象限的分布规律
是：

?
y?x
①所有幂函数 （
x?
R，
?
是常数）的图

像都过点
(1, 1)
；
?
?1,2,3,
②当

1
?
2
时函数
y?x
的图像都过原点
(0,0)
；
?
③ 当
?
?1
时，
y?x
的的图像在第一象限是第一象限的
平分 线
（如
c
2
）；

?
y?x
?
?2,3
④当时，的的图像在第一象限是“
凹型
”曲线（如
c
1）
?
?
⑤当

1
?
2
时，
y?x
的的图像在第一象限是“
凸型
”曲线（如
c
3
） < br>?
⑥当
?
??1
时，
y?x
的的图像不过原点
(0,0)
，且在第一象限是“
下滑
”曲线（如
c
4
）






当
?
?0
时
，幂函数
y?x
有下列性质：
（1）图象都通过点
(0,0),(1,1)
；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，
?
?1
时，图象是向下凸的；
0?
?
?1
时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点
(1,1)
后，图象向右上方无限伸展。


?
当
?
?0
时
，幂函数
y?x
有下列性质：
（1）图象都通过点
(1,1)
；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向 上与
y
轴无限地接近；向右无限地与
x
轴无限地接近；
?