高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习

高中数学求函数解析式解题方法大全
及配套练习

一、 定义法：
根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】设
f(x?1)?x?3x?2
，求
f(x)
.
2
?f(x?1)?x
2
?3x?2?[(x?1)?1]
2
?3[ (x?1)?1]?2

=
(x?1)?5(x?1)?6

2
?f(x)?x
2
?5x?6


【例2】设
f[f(x)]?
x?1
，求
f(x)
. x?2
x?1x?1
??
x?2x?1?1
1
1?
1< br>1?x
解：设
?f[f(x)]?
?f(x)?
1

1?x

【例3】设
f(x?
1111
)?x
2< br>?
2
,g(x?)?x
3
?
3
，求
f[g( x)]
.
xx
xx
111
)?x
2
?
2
?(x?)
2
?2
xx
x
?f(x)?x
2
?2
解：
?f(x?
又
?g(x?
1111
)?x3
?
3
?(x?)
3
?3(x?)
xxx
x< br>32642
?g(x)?x
3
?3x

故
f[g(x)]?(x?3x)?2?x?6x?9x?2


【例4】设
f(cosx)?cos17x,求f(sinx)
.
解：f(sinx)?f[cos(?x)]?cos17(
??
22
?x)

?cos(8
?
?
?
?17x)?cos(?17x)?sin17 x
.
22
第 1 页 共 21 页
?

二、 待定系数法：（主要用于二次函数）

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已 知条件建立关于待定系数的方程，
从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次 函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些
特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型， 可预先设出所求函数的解析式，再根
据题意列出方程组求出系数。
【例1】 设
f (x)
是一次函数，且
f[f(x)]?4x?3
，求
f(x)

【解析】设
f(x)?ax?b

(a?0)
，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a
2
x?ab?b

?
a?2
?
a
2
?4
?
a??2
?
?
　或　　

?
?

?
?< br>b?3
?
ab?b?3
?
b?1
?f(x)?2x?1　　或 　　f(x)??2x?3


【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.
解：设二次函数f（x）= ax
2
+bx+c，则 f（0）= c= 0 ①
f（x+1）= a
(x?1)
+b（x+1）= ax
2
+（2a+b）x+a+b ②
2
由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得
?
2a?b?b?2
解得
?
?
a?b?8

2
?
a?1,
故f（x）= x
2
+7x.
?
?
b?7.
【例3】已知
f(x?2)?2x?9x?13
，求
f(x)
.
解：显然，f(x)
是一个一元二次函数。设
f(x)?ax?bx?c
22
2(a?0)

则
f(x?2)?a(x?2)?b(x?2)?c

?ax?(b?4a)x?(4a?2b?c)

又
f(x?2)?2x?9x?13

2
?
a?2
?
a?2
??
2
比较系数得：
?
b?4a??9
解得：
?
b??1
?f(x)?2x?x?3

?
c?3
?
4a?2b?c?13
?
?

第 2 页 共 21 页

三、换元（或代换）法：
已知复合函数
f[g(x)]
的表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的解析式．用来处理 不知
道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元
定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式， 把g（x）看成一个
整体t，进行换元，从而求 出f（x）的方法。实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函
数的定义域.
【例1】 已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x?1)

【解析】令
t?x?1
，则
t?1
，
x?(t?1)
2

f(x?1)?x?2x

?
f(t)?(t?1)
2
?2 (t?1)?t
2
?1,

?f(x)?x
2
?1

(x?1)

?f(x?1)?(x?1)
2
?1?x
2
?2x

(x?0)


1?xx
2
?11
)??,
求
f(x)
. 【例2】 已知
f(
xx
x
2
1?xx
2
?111 1
1?x1
)???1??

?t,
则
x?
解：设 则
f(t)?f(
22
xxx
xt?1
xx
?1?
11
??1?(t?1)
2
?(t?1)?t
2
?t?1
? f(x)?x
2
?x?1

1
2
1
()
t?1t?1

【例3】设
f(cosx?1)?cosx
，求
f(x)
.
解：令
t?cosx?1,?cosx?t?1
又
2
?1?cosx?1, ??2?cosx?1?0即?2?t?0

?f(t)?(t?1)
2
,( ?2?t?0)即f(x)?(x?1)
2
,x?[?2,0]


【例4】若
f(x)?f(
x?1
)?1?x

x
第 3 页 共 21 页

（1）
x?1
?1
x?1
x?1x?1
x
)?f()?1?
在（1）式中以代替
x
得
f(

x?1
xx
x
x
即
f(
（2）
又以
?
（3）
x?112x?1
)?f(?)?

xx?1x
11x?2
)?f(x)?
代替（1）式中的
x
得：
f(?

x?1x?1x?1
x?22 x?1x
3
?x
2
?1
(1)?(3)?(2)得:2f(x)?1 ?x???
x?1xx(x?1)
x
3
?x
2
?1
?f(x)?

2x(x?1)

【例5】设
f(x)满足af(x )?bf()?cx
1
x
(其中a,b,c均不为0
，
且a??b)
，求
f(x)
。
解：
af(x)?bf()?cx

1
x
（1）用
111
来代替
x
，得
af( )?bf(x)?c?

xxx
22
acx
2?bc
（2）由
a?(1)?b?(2)得:(a?b)f(x)?
x
? a??b

acx
2
?bc

?f(x)?
2(a?b
2
)x
【例6】已知
f(a
解：设
t?ax?1
)?x
2
?2
，求
f(x)
.
x?1
?
0
，则
x?1?log
a
t
即
x?log
a
t?1

22
代入已知等式中，得：
f(t)?(log
a
t?1)?2?log
a
t?2log
a< br>t?3

?f(x)?log
2
a
x?2log
a
x?3

第 4 页 共 21 页

四、代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．
【例1】
已知：函 数
y?x?x与y?g(x)
的图象关于点
(?2,3)
对称，求
g (x)
的解析式．

解：设
M(x,y)
为
2
y? g(x)
上任一点，且
M
?
(x
?
,y
?
)
为
M(x,y)
关于点
(?2,3)
的对称点．
?x
?
??x?4
?
?
y
?
?6?y
则
?
x
?
?x
?
2
??2
?
y
?
?y
?
?3
?
2
，解得： ，
?
点
M
?
(x
?
,y
?
)
在
y? g(x)
上 ，
?y
?
?x
?
2
?x
?
．
?< br>x
?
??x?4
2
把
?
代入得：
6?y?( ?x?4)?(?x?4)
．
?
y
?
?6?y
整理得y??x
2
?7x?6
，
?
g(x)??x
2
?7x?6
．


(五)配凑法
已知复合函数
f[g(x)]
的表达式，求
f(x)
的解析式，
f[g(x)]
的表达式容易配成
g(x)
的
运 算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数
f(x)
的定义域不是原复合函数的定义域，而是
g(x)
的值域．
【例1】：已知
f(x?1)?x?2x,
求
f(x)
的解析式。
分析：
x?2x
可配凑成

?
可用配凑法
2
解：由
f(x?1)?x?2x?(x?)?1

令
t?

x?1

x?0

?t?1
2
则
f(t)?t?1

即
f(x)?x?1(x?1)

2
第 5 页 共 21 页

当然，上例也可直接使用换元法
令
t?
则
t?
x?1

x?1

得
x?(t?1)
2
?f(t)?(t?1)?2(t?1)?t?1
222
即
f(x)?x?1(x?1)

由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：已知
f(x?)?x?
1
x
2
1
,
求
f(x)
.
x
2
分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。 < br>解析：由
f(x?)?x?
1
x
2
11
2
? (x?)?2

2
xx
令
t?x?
1
?x
2
?tx?1?0

x
2
由
??0
即
t?4?0
得
t?R


?f(t)?t?2

即：
f(x)?x?2(x?R)

实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先 换元，而是先把函数表达式配凑成用
此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样， 最后结果要注明定义域。


2
2
(六)构造方程组法（
消去法）
。
若已知的函数关系 较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方
程组求得函数解析式．
构 造方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数
f(x)
混合运算，
则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
【例3】：设
f(x)
满足
f(x)?2f()?x,
求
f(x)
的解析式。
1
x< br>分析：要求
f(x)
可消去
f()
,为此，可根据题中的条件再找一个 关于
f(x)
与
f()
的
第 6 页 共 21 页
1
x
1
x

等式，通过解方程组达到消元的目的。
解析：
1
f(x)?2f()?x
………………………①
x
1
得
x
显然，
x?0
,将
x
换成

f()?2f(x)?
1
x
1
……………………………..② x
1
?
f(x)?2f()?x
?
?
x
由?

11
?
f()?2f(x)?
?
x
?x
消去
f()
，得
1
x
12
f(x)??x?

33x
小结：函数方 程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、
f()
；互为相反
数，如f (x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
【例4】 已知
f(a
解：设
t?a
x?1
x?1
1
x
)?x
2
?2
，求
f(x)
.
?
0
，则
x?1?log
a
t
即
x?log
a
t?1

22
代入已知等式中，得：
f(t)?(log
a
t?1)?2?log
a
t?2log
a< br>t?3

?f(x)?log
2
a
x?2log
a
x?3

1
f()
x
；互为相反数，如小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒 数，如f(x)、
f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的 解析式。

【例5】设
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇 函数，又
f(x)?g(x)?
解析式
【解析】
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函数，
1
,
试求
f(x)和g(x)
的
x?1
第 7 页 共 21 页

?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)

又
f(x)?g(x)?
1
① ，
x?1
1

x?1
用
?x
替换
x
得：
f(?x)?g(?x)??< br>即
f(x)?g(x)??
1
②
x?1
解① ②联立的方程组，得

f(x)?



11
g(x)?
，
x
2
?1x
2
?x
七、特殊值法：（赋值类求抽象函数）
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进
行赋值， 使问题具体化、简单化，从而求得解析式．
【例1】：设
f(x)
是定义在N上的函 数，满足
f(1)?1
，对于任意正整数
x,y
，均有
f(x)?f (y)?f(x?y)?xy
，求
f(x)
.
解：由
f(1)?1
，
f(x)?f(y)?f(x?y)?xy

设
y?1
得：
f(x)?1?f(x?1)?x

即：
f(x?1)?f(x)?x?1

在上式中，
x
分别用
1,2,3,?,t?1
代替，然后各式相加
可得：
f(t)?
111
(t?2)(t?1)?1?t
2
?t

222
?f(x)?
1
2
1
x?x(x?N
?
)

22

【例2】设是定义在R上的函数，且满足f（ 0）=1，并且对任意的实数x，y，有f（x
－y）= f（x）－ y（2x－y+1），求f（x）函数解析式.
第 8 页 共 21 页

分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），得到
f（x）函数解析式，只有令x = y.

解： 令x = y ，由f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） 得
f（0）= f（x）－ x（2x－x+1），整理得 f（x）= x
2
+x+1.



八．利用给定的特性求解析式.
【例1】．设
f(x)
是偶函数，当x＞0时，
f(x)?e?x?e
，求当x＜0时，
f(x)
的表达
式.
练习．对x∈R，
f(x)
满足
f(x)??f(x?1)
，且当x∈[－1，0]时，
f(x)?x?2x
求当x∈[9，10]时
f(x)
的表达式.
2
2x


九、累加法：
累加法核心思想与求数列的通项公式相似。
【例1】：若
f(1)?lg
1
，且当
a
x?2
时
,
满足
f(x?1)?f(x) ?lga
x?1
,(a
?
0,x?N?)
，求
f(x).
解：
?
f(x)?f(x?1)?lga
x?1
(a
?
0,x?N
?
)

x?2
递推得：
f(x?1)?f(x?2)?lga

f(x?2)?f(x?3)?lga
x?3

……
……
……
……
f(3)?f(2)?lga
2

f(2)?f(1)?lga

第 9 页 共 21 页

以上
(x?1)
个等式两边分别相加，得：
f(x)?f( 1)?lga?lga
2
???lga
x?2
?lga
x?1

?f(1)?lga
1?2?
?
?(x?2)?(x?1)
< br>1
?lg?lga
a
x(x?1)
2
?lga
x(x ?1)
?1
2

?[


x(x?1)
?1]lga

2
十、归纳法：
【例1】： 已知
f(x?1)?2?
1
f(x),(x?N?)且f(1)?a
，求f(x)
.
2
111
f(1)?2?a?4?2?a

222
解：
?f(1)?a,f(2)?2?
f(3)?2?
1111f(2)?2?(2?a)?4?2
0
?
2
a

222
2
1111
f(3)?2?(3?a)?4?2
?1
?
3< br>a

224
2
11111
f(4)?2?(3?a)?4?2
?2
?
4
a

2228
2
f(4)?2?
f(5)?2?
………………………………，依此类推，得
f(x)?4?2
3?x
?
1
2
x?1
a

再用数学归纳法证明之。

【例2】：设
f(x)?




第 10 页 共 21 页
x?1
，记
f
n
(x)
?
f
?
f[
?
f(x)]
?，求
f
2004
(
x
)
.
x?1

十一、递推法：
若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递 推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者
迭代等运算求得函数解析式。
【例1】 设f(x)
是定义在
N
?
上的函数，满足
f(1)?1
， 对任意的自然数
a,b
都有
f(a)?f(b)?f(a?b)?ab
，求
f(x)

【解析】
f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N
?
， ?
不妨令
a?x,b?1
，得：
f(x)?f(1)?f(x?1)?x
，
又
f(1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?1
①
分别令①式中的
x?1,2n?1
得：
f(2)?f(1)?2,

f(3)?f(2)?3,
f(n)?f(n?1)?n,

将上述各式相加得：
f(n)?f(1)?2?3??n
，
?f(n)?1?2?3??n?
n(n?1)

2
?f(x)?


1
2
1
x?x,x?N
?

22
十二、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

【例1】 已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x
2
，求f （x）函数解
析式.

解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称.
当x≥0时，f（x）=2x－x
2
的顶点（ 1，1），它关于原点对称点（－1，—1），
?
2x?x
2
因此当x<0时，y=
(x?1)
－1= x+2x.故 （fx）=
?
2

?
x?2x
2
2
x≥0，
x＜0.
第 11 页 共 21 页

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

十三、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

【例1】. 已知函数
解析：因为
所以
当，
是R上的奇函数，当的解析式。
是R上的奇函数，
，

所以


十四、反函数法
利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。
【例1】. 已知函数
解：因为，
，求它的反函数。

反函数为
十五、“即时定义”法
给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。
【例1】. 对定义域分别是的函数，规定：函数

第 12 页 共 21 页

若，写出函数的解析式。


十六 、微积分法：
当你学了导数和微积分之后，就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下
各种题型对你有 帮助的。
【例1】：设
f
?
(sinx)?cosx,
22
f(1)?2
，求
f(x)
.
222
解：
?f
?
(sinx)?cosx?1?sinx
?f
?
(x)?1?x(|x|? 1)

因此
f(x)?
?
f
?
(x)d?
?
(1?x)dx?x?
?1?
1
?c?2
2
1
2
x?c
2
?c?
3

2
?f(1)?2
? f(x)?x?
1
2
3
x?(|x|?1)
A、
f(x?T)??f(x)
B、
22
11

f(x?T)?或f(x?T)??
f(x)f(x)

十七：坐标转换法
（x?1）
例7已知
f(x)
=
log
，当且仅当点 (x。，y。)在y=
f(x)
图像上时，
点(2x。，2y。)在y =
g(x)
图像上，求函数
g(x)
的解析式.
解：设p(x, y)是函数y =
g(x)
图像上的任一点，由已知得点(
x
y
，
)
2
2
（x?1）
在函数y=
log
a
的图像上.
即
xx
y
=
log
a
,所以 y= 2
log
a

））
（
?1
（
?1
22
2
故所求函数
g(x)
的解析式是，
g(x)
= 2
log
a
（
x
.
?1）
2
点评：抓住 所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系，再利用已知点满足已知
函数，从而转换坐标，代入即 可求得.

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其它相关题型
1、定义法
例 1．若 f (
x
? 1 ? x ? 2
x ) ,求 f(x)。

解： x ? 2 x ? ( x ? 1)
2
? 1

∴ f (
x
? 1) ? (
x
? 1)
2
? 1

x
? 1
≥
1
∴f(x)=x
?1 (x
≥
1)
2

2、
配凑法
例 2、
已知
f (x ?1) ? x
2
? 2x
，求
f (x)
．
解： f (x ?1) ? (x ?1)
2
? 2x ?1? 2x
? (x ?1)
2
? 4x ?1
? (x ?1)
2
? 4(x ?1) ? 3
∴
f (x) ? x
2
? 4x ? 3
．

3、换元法

例 3、 已知 f（
x ? 1

x ? 1
解： 设
t ? 1
x
1
2
( )?1
1
2
?
= 1+
(t ? 1)

+（t－1）= t
2
－t+1 ∴f（t）=
t ? 1
?
1
1
( )
2

t ? 1 t ? 1
= t ，则 x=

x
2
? 1 ?
1
，求 f（x）的解析式.
）=
?
2
x x
x
1
（t≠1），
故 f（x）=x
2
－x+1 （x≠1）.
评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域

4、待定系数法

例 4、 已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解析
式.
解：设二次函数 f（x）= ax
2
+bx+c，则 f（0）= c= 0
f（x+1）= a
(x ? 1)
+b（x+1）= ax
2
+（2a+b）x+a+b
由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得
2
①
②
?
2a ? b ? b ? 2

??
?
a ? b ? 8
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解得
?
a ? 1,

?
b ? 7.
故 f（
??
x）=
x
2
+7x.
评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.


5、直接图像法


例 5．函数在闭区间
[?1, 2]
上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。
y

?
x ?1(?1 ? x ? 0)

． 解：
f (x) ?
?
??
1
? x(0 ? x ? 2)
?
?

2
?1
?
1

0

2
x

?1


6、方程组法

例 6、 设函数 f（x）满足 f（x）+2 f（
）= x （x≠0），求 f（x）函数解析式.
1

x
分析：欲求 f（x），必须消去已知中的 f（
个方程，联立方程组求解即可.
1
x
，若用 ）
1
x
去代替已知中 x，便可得到另一
解：∵ f（x）+2 f（
）= x （x≠0） ①
由 代入得 2f（x）+f（ ）= （x≠0） ②
1
x
1
x
1
x
1
x
解 ①② 构成的方程组，得 f（x）=

2
3x
－
x
3
（x≠0）.
7、特殊值法
例 7、设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y， 有
f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），求 f（x）函数解析式.
分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），得到
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f（x）函数解析式，只有令 x = y.
解： 令 x = y ，由 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） 得
f（0）= f（x）－ x（2x－x+1），整理得 f（x）= x
2
+x+1.
8、对称性图像法
即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.
例 8、 已知是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）=2x－x
2
，求 f（x）函数解析
式.
解：∵y=f（x）是定义在 R 上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称.
当 x≥0 时，f（x）=2x－x
2
的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），
2
? 2 x ? x

2
2
因此当 x<0 时，y=
(x ? 1)
－1= x+2x.故 f（x）=
?
?
2
?
x ? 2 x

x≥0，
x＜0
评注: 对于一些函数图象
对称性问题,如果能结合
图形来解,就会使问题简
单化.

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9、利用奇偶性法





相关练习
（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．若
1x
f()?
x1?x
,求
f(x)
.
（ 二）．配变量法3．已知
11
f(x?)?x
2
?
2
xx
, 求
f(x)
的解析式. 4．若
f(x?1)?x?2x
,
求

f(x)
.
（三）．待定系数法5．设
f(x)
是一元二次函数,
g(x)?2
x
?f(x)
,且
g(x?1)?g(x)?2
x?1
?x
2
,
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求


f(x)
与
g(x)
.
6．设二次函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(?x?2)
,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22
,求
f(x)
的表达式.


（四）．解方程组法 7．设函数
f(x)
是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上 的函数,且满足关系式
1
3f(x)?2f()?4x
,求
f(x)
的解析式.
x

8．（1）若

f(x)?f(
x?1
)?1?x
,求
f(x)
. （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).
x
（五）．特殊值代入法9．若< br>f(x?y)?f(x)?f(y)
,且
f(1)?2
，求值
f(2) f(3)f(4)f(2005)
?????
.
f(1)f(2)f(3)f(2004)


10．已知：


（六）．利用给定的特性求解析式.
11．设


12．对x∈R,
时

例6、已知函数
(1)求
f(0) ?1
，对于任意实数x、y，等式
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
恒成 立，求
f(x)

f(x)
是偶函数,当x＞0时,
f(x)?e ?x
2
?e
x
,求当x＜0时，
f(x)
的表达式.
f(x)
满足
f(x)??f(x?1)
,且当x∈[－1,0]时, f(x)?x
2
?2x
求当x∈[9,10]
f(x)
的表达式 .
f(x)
对于一切实数
x,y
都有
f(x?y)?f(y)?( x?2y?1)x
成立，且
f(1)?0
。
f(0)
的值；(2)求
f(x)
的解析式。
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求函数的解析式
例1．已知f (x)=
x?2x
，求f (
x?1
)的解析式． （ 代入法 拼凑法 ）


变式1．已知f (x)=
2x?1
， 求f (
x
)的解析式．


2
变式2．已知f (x+1)＝
x?2x?3
，求f (x)的解析式．


例2．若f [ f (x)]＝4x＋3，求一次函数f (x)的解析式． （ 待定系数法 ）


变式1．已知f (x)是二次函数，且
f
?
x?1< br>?
?f
?
x?1
?
?2x
2
?4x?4，求f (x)．


例3．已知f (x)
?
2 f (－x)＝x ，求函数f (x)的解析式． （ 消去法 方程组法 ）


变式1．已知2 f (x)
?
f (
?
x)＝x＋1 ，求函数f (x)的解析式．


变式2．已知2 f (x)
?
f
?
2
2
?
1
?
?
＝3x ，求函数f (x)的解析式．
?
x
?
满足，求的解析式。 变式3．已知定义在R上的函数



例4．设对任意数x，y均有
f
?
x?y
?
?2f
?
y
?
?x?2xy ?y?3x?3y
，
22
求f（x）的解析式． （ 赋值法 特殊值法）


变式1．已知对一切x，y∈R，
f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?
?
2x?y?1
?
y
都成立，且f（0）=1，
求f（x）的解析式．

变式2． 已知函数


练练手：
（1）若
f(x?y)?f(x)?f(y)
，且
f(1)?2
，
求值
的定义域为R，并对一切实数x，y都有
，求的解析式。
f(2)f(3)f(4)f(2005)
?????
.
f(1)f(2) f(3)f(2004)
?
（2）设
f(x)
是定义在
N
上 的函数，且
f(1)?2
，
f(x?1)?

（3）已知
f (x?)?x?
f(x)?1
，求
f(x)
的解析式.
2
1
x
3
1
，求
f(x)
；
x
3
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2
x
（ 5）已知
f(x)
是一次函数，且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
，求
f(x)
；
1
（6）已知
f(x)
满足2f(x)?f()?3x
，求
f(x)
．
x
（4）已知
f(?1)?lgx
，求
f(x)
；





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