高中数学-排列与组合的综合问题

高中数学-排列与组合的综合问题
一、选择题
1．从1,2,3 ,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样
的三位数共 有（ ）
A．9个 B．24个 C．36个 D．54个
123
解析：先选后排,共有
C
3
?C
3
?A
3
＝3×3×6＝54（个）.
答案：D
2．5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为（ ）
A．480 B．240 C．120 D．96
解析：先把5本书中的2本捆起来有
C
5
种方法,再将分好的4堆 分给4位学生,有
A
4
种方法,
∴分法种数为
C
5
A
4
＝240种.
答案：B
3．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测,直到区分出所有次品为止.若所
有次品恰好经过五次检测被全部发现,则这样的检测方法有（ ）
A．20种 B．96种 C．480种 D．600种
解析：所 有次品恰好经过五次检测被全部发现,则第5次检测的必是4件次品中的1件,即前4
314
次 检测中必检测出了其余的3件次品和1件正品,故共有
C
4
?C
5
? A
4
＝480种检测方法,即应选
24
2
4
C．
答案：C
4．从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛,每人只能参加其中一项,其中甲 、乙两人都
不能参加英语比赛,则不同的参赛方案的种数为（ ）
A．96 B．180 C．240 D．288
解析：有三种 情况：（1）甲、乙都不参加比赛有
A
4
种;（2）甲、乙中只有一人参加比赛有
C
2
?C
3
?C
4
种（;3）甲、乙都参加比 赛有
A
3
?A
4
种.故共有
A
4
?C2
C
3
A
4
?A
3
?A
4
＝ 240（种）,
4
选C．
答案：C
5．将5名志愿者分配到3个不同的奥 运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方
案种数为（ ）
A．540 B．300 C．180 D．150
解析：将5名 志愿者分到满足题意的3个不同奥运场馆有1,1,3与2,2,1两种,所以共有
C
5
2
C
3
2
3
CA?
2
A
3
?1 50
种方案,故D正确.
A
2
3
5
3
5
答案：D
6．（四川资阳 模拟）有两排座位,前排6个座位,后排7个座位,现安排2人就座,并且这2人不
左右相邻,那么不同 的坐法种数是（ ）
A．134 B．132 C．102 D．92
1 4

解析 ：若先不考虑左右相邻,两人坐法总数是
A
13
,两人相邻的情况有11×
A
2
种,故这2人不左
右相邻的坐法总数是
A
13
－11×< br>A
2
＝134.
答案：A
7．如果一条直线与一个平面垂直，那么 称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体
中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平 面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
解析：分类计算：每条棱上各有两对“正交线面对”，有 24对;六个对角面和对角线有一对“正
交线面对”，有12对，故答案选C．
答案：C
8．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那么不
同的参赛方案有（ ）
A．180种 B．240种 C．300种 D．360种
313 313
4
解析：选甲不选乙：
A
4
C
3
C
3
?72
,不选甲、乙有
A
4
＝24,选乙不选甲：
A4
C
3`
C
3
?72
.甲、
2
22
2
乙都选上有C
2
4
A
2
2
A3
3
＝72,故共有72＋72＋72＋24＝240.
答案：B
9 ．如图,A,B,C,D为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共
有（ ）

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
解析：四个小岛中每两个小岛建一座桥共建六座桥, 其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建
桥方案是：三座桥不围成封闭的三角形区域,如桥AC,BC, BD符合要求,而围成封闭三角形不符
合要求,如桥AC,CD,DA不符合要求,故共有
C< br>6
－4＝16（种）.
答案：C
10．在平面直角坐标系中,x轴正半轴上 有5个点,y轴正半轴上有3个点,将x轴上的5个点和
y轴上的3个点连成15条线段,这15条线段 在第一象限内的交点最多有（ ）
A．30个 B．35个 C．20个 D．15个
解析：为使线段的交点在第一象限,则需在x轴和y 轴上分别任找2个点,这4个点对应着两条
线段在第一象限的1个交点,故交点个数最多有
C< br>3
C
5
＝30（个）.
答案：A
二、填空题
1 1．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有2只鞋子原来是同一双的可能取法数
为____ _____种.
解析：第一类：先从5双中任取2双有
C
5
种，第二类：从 5双中取1双，再从剩下的8只中
2
22
3
2 4

取不是1双的2只，共有
C
5
(C
8C
4
)
＝120种，由分类计数原理知共有
C
5
＋12 0＝130（种）.
答案：130
12．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张
卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张 卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有
_________种.（用数字作答）
解 析：数字之和为10的情况有4,4,1,1;4,3,2,1;3,3,2,2.所以共有
2A
4
?(C
2
)A
4
?18A
4
?432
种
不同排法.
答案：432
13．用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重 复数字）,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和
2相邻,这样的六位数的个数是_______ __.（用数字作答）
解析：依题先排除1和2的剩余4个元素有
2A
2
? A
2
＝8种方案,再向这排好的4个元素中插
1221
入1和2捆绑的整体, 有
A
5
种插法,∴不同的安排方案共有
2A
2
?A
2
?A
5
＝40种.
1212
41444
22
答案：40
14．某人有4种颜色的灯泡 （每种颜色的灯泡足够多）,要在如右图所示的6个点A、B、C、
A
1
、B
1
、C
1
上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至 少用一
个的安装方法共有_________种.（用数字作答）

解析：A
1
处4种,B
1
处3种,C
1
处2种,则下底面共4×3×2＝2 4种,
根据A,B
1
处灯泡颜色是否相同分类：A,B
1
同,B处 3种,C处1种,则共有3种,
A,B
1
不同,A处3种,B处2种,C处1种,则共有3×2＝6种,
由分类计数原理,得上底面共3＋6＝9种.
由分步计数原理得共有24×9＝216种.
答案：216
三、解答题
15．商店的橱窗需要排列6件不同的红色商品，6件不 同的蓝色商品，要求红色与蓝色间隔，
则有多少种排法？
解：先考虑排一种颜色有
A
6
种方法，第二步选已排好的各件商品的右侧空位，包括最右侧的
共有6个位置，又有
A
6
种方法，当然还可选排好的每件商品左侧，同样有
A
6
种方法.
总之，共有排法
A
6
×
A
6
×2＝2（
A
6
）
2
种.
16．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
666
66
6
3 4

（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本.
解：（1）分三步：先 选1本有
C
6
种选法；再从余下的5本中选2本有
C
5
种选 法；最后余下的
3123
3本全选有
C
3
种选法.由分步计数原理， 知分配方式共有
C
6
?C
5
?C
3
＝60（种）.
12
（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还应考虑再分配问题.因此 ，分
1233
配方式共有
C
6
?C
5
?C
3
?A
3
＝360（种）.
（3）先分三步，则应是
C
6
?C
4
?C
2
种方法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为A、
B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，< br>CD，EF），则
C
6
?C
4
?C
2
种分法 中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、
（EF，CD，AB） 、（EF，AB，CD），共
A
3
种情况，而且这
A
3
种情 况仅是AB，CD，EF的顺
222
C
6
?C
4
?C
2
序不同而造成的，因此，只能作为一种分法，故分配方式有＝15（种）.
3
A
3
222
C?C?C
3222
642
（4）在问题（3）的 基础上再分配即可，共有分配方式（种）.
?A
3
?C
6
?C4
?C
2
?90
3
A
3
222
222
33
【例1】一名同学想要报考某大学,他必须从该校的7个不同专业中选出5个,并按第一志 愿,第
二志愿,…,第五志愿的顺序填写志愿表,若A专业不能作为第一、第二志愿,则他共有种不同的
填法.（用数字作答）
514514
解析：若A专业不选,则有
A
6
种填法;若A专业选,则有
C
3
A
6
种填法,共有
A
6
?C
3
A
6
＝1 800
种不同的填法.
答案：1 800
【例2】7本不同的书分给3人,每人至少1本,则不同的分法共有（ ）
A．1 176种 B．1 260种 C．1 491种 D．1 806种
解析：先分组再排列,若一人5本另外两人各1本共有
C
7
A
3
＝126种不同的分法;若一人4本一
人2本一人1本共有
C
7
C
3
A
3
＝630（种）不同的分法;若两人各3本另外一人1本 共有＝
33
C
7
C
4
3
C
7
2< br>C
5
2
3
不同的分
A
3
=420种不同的分 法;若一人3本,另外两人各2本共有
2
A
3
＝630（种）
2A
2
A
2
423
53
法.故总共不同的安排方案有1 806种.
答案：D


4 4