高中数学排列与组合复习(题型完美版)

精品文档
第十讲 排列与组合
课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀

授课班级 授课日期 学员
高二数学16班 5月25日D组 杨佩云

本章主要内容：
1.加法计数原理与乘法计数原理；
2.排列数与组合数；
3.排列的综合应用；
4.组合的综合应用.
本章教学目标：
1.掌握分类用加法分步用乘法两类计数原理；
2.掌握排列数与组合数的运算方法；
3.掌握排列与组合的综合应用.
第一节 计数原理



课前导入
晓明同学准备周六从射洪到成都去玩，他可选择乘坐汽车，一天有4班，也可选择火 车，一天有3
班，那么晓明从射洪到成都共有多少中选择？若晓明到了成都之后有准备去都江堰，从成都 到都江堰的

汽车有6班，火车有2班，那么晓明从射洪到都江堰共有多少种选择？


【知识与方法】
随意编辑

精品文档
一．分类加法计数原理
1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有
m
种不同的方法，在第2类方案中有
n
种不同的
方法．那么完成这件事共有
N
＝

种不同的方法．
2．完成一件事有
n
类不同的方案，在第1类方案中有
m
1
种不同的方法，在第2类方案中有
m< br>2
种不
同的方法，…，在第
n
类方案中有
m
n
种不同的方法，则完成这件事共有
N
＝

种不同的方
法．
二．分步乘法计数原理
1．完成一件事需要两个步骤，做 第1步有
m
种不同的方法，做第2步有
n
种不同的方法，那么完成
这 件事共有
N
＝

种不同的方法．
2．完成一件事需 要
n
个步骤，做第1步有
m
1
种不同的方法，做第2步有
m
2
种不同的方法，…，做
第
n
步有
m
n
种 不同的方法，则完成这件事共有
N
＝

种不同的方法．

注意：1.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．

2.在分步乘法计数原理中，事情是分多步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事．
【例题与变式】
题型一 计数原理
【例1】某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜， 3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这
件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否 “完成了这件事”？要“完成配成套餐”这件事需分类，还
是分步，为什么？


【例2】
(a?b)
n
展开后共有多少项？


【例3】甲、乙、丙准备周末出去郊游，问共有多少种情况？


【变式1 】(
a
1
＋
a
2
＋
a
3
)(b
1
＋
b
2
＋
b
3
)(
c< br>1
＋
c
2
＋
c
3
＋
c
4< br>)展开后共有________项.
【变式2】将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）
随意编辑

精品文档
A．5
3
种 B．3
5
种 C．3种 D．15种
【变式3】某校 高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班．现选两个班的学生参加社会实践活动，若
要求这两个班来 自不同年级，则有不同的选法____________种．
【变式4】（2016?新课标Ⅱ）如图 ，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处
的老年公寓参加志愿者活动，则小明 到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

A．24 B．18 C．12 D．9
【例4】有一个圆被两相交弦分 成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，
每块只涂一种颜色，共有多少种 涂色方法？

【例5】（2018?南开区一模）如图所示的几何体是由一个三棱锥P-AB C与三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
组合而成，
现用 3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A
1
B
1
C
1
不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂
色方案共有（ ）
随意编辑

精品文档

A．6种 B．9种 C．12种 D．36种
【变式5】（2017?泸州模拟）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要
求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则 不同的种法总数为（ ）

A．12 B．24 C．18 D．6
【变式6】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图 中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，
则有多少种不同的涂色方法？


【例6】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何
工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
【变式7】3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？


【例7】用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1) 四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？



【变式8】（2015? 四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶
数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
随意编辑

精品文档




1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不< br>同的选派方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小 组，每人选报一门，则不同的报名方案有
________种.
3．甲、乙、丙3个班各有 三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学
生代表大会，共有___ _____种不同的推选方法．
4. 用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求 相邻区域不能用同一种颜色的彩色
粉笔．问：该板报有多少种书写方案？

1.实际完成情况：
□
按计划完成；
□
超额完成，原因分析__ __________________________________________________ ____________________；
□
未完成计划内容，原因分析_______ __________________________________________________ _________.
2.授课及学员问题总结：







随意编辑

精品文档








第二节 排列与组合的应用


课前导入
晓明同学准备周天用自己存了很久的零花钱买一注七星彩，你 能帮他算算他中一等奖的概率大概是

多少吗？（假定每个数字只能出现一次）

【知识与方法】

一．排列数、组合数的公式及性质
(1)A
m< br>n
＝
n
(
n
－1)(
n
－2)…(
n
－
m
＋1)＝
m
nn
－1A
n
(2)C
m
＝
n
＝
m
A
m

n
！
n
－
m
！

公式
n
－2…
n
－
m
＋1
m
！
＝
n
！
m
！
n
－
m
！
性质

(1)0！＝1；A
n
n
＝
n!

n
－< br>m
；C
m
＝C
m
＋C
m
－1
(2 )C
m
n
＝C
nn
＋1
nn
二．排列与组合的应用
1.特殊元素与特殊位置需要_____________.
2.相邻问题用_____________.
3.不相邻问题用_____________.
4.定序问题用_____________.
5.平均分组问题用_____________.
随意编辑

精品文档
6.元素相同问题用_____________.
三．排列组合综合应用的常用策略
1.正难则反策略.
2.若题中有多个需要满足的要求，则逐个击破，并优先考虑特殊元素.
【例题与变式】

类型一 特殊元素和特殊位置优先策略

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先
安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多< br>个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

【例1】由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.


C
4
1
A
4
3
C
3

1
【变式1】（2015?四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数， 其中比40000大的偶
数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【例2】7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种 在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少
不同的种法？


【变式2】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
类型二 相邻元素捆绑策略
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑 法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元

素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

随意编辑

精品文档
【例1】7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.


甲乙
丙丁

【例2】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 . < br>【变式1】（2017?滨州一模）5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排 法总
数是（ ）
A．40 B．36 C．32 D．24
【变式2】（2017?丰台区一模）小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现 场录制，5人坐成
一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ）
A．60 B．72 C．84 D．96
类型三 不相邻问题插空策略
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.

【例1 】一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多
少 种？


【例2】已知两个不同的苹果，两个不同的梨子和一个桃子，随机把三种水 果排成一排，则相同水果都不相
邻的概率为_______.
【变式1】某班新年联欢会原定 的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节
目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 .
【变式2】 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目
不相邻的 排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
【变式3】(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品
A< br>与产品
B
相邻，且产品
A
与产品
C
随意编辑

精品文档
不相邻，则不同的摆法有________种.
类型四 定序问题倍缩空位插入策略
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插.

【例1】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法.


【 例2】有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到
高排列，有多少种排法？


【变式1】期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?


【变式2】有5个同学排队，问：乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？



类型五 平均分组问题除法策略

平均分 成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n
(
n
为均分的组数)
n

避免重复计数.
【例1】6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？


【例2 】（2016?重庆模拟）将甲乙等5名交警分配到三个不同的路口疏通交通，每个路口至
少一人，且甲 乙在同一路口的分配方案有_______种.
【例3】（2016?西安校级二模）某中学数学组来 了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，
现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至 少一名，最多两名，则不同的分配
方案有（ ）
随意编辑

精品文档
A．30种 B．90种 C．150种 D．180种
【变式1】将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？


【变式2】某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案种数为______.
【变式3】（2017?南雄市二模）5位 大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则
不同的分配方法共有（ ）
A．25种 B．60种 C．90种 D．150种
类型六 重排问题求幂策略

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的

位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种.

【例】把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法.


【 变式1】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目
插入原节目单中，那么不同插法的种数为 .
【变式2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法 .
类型六 多排问题直排策略
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

【例】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法.
n


前 排
后 排

【变式】有两排座位 ，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，
随意编辑

精品文档
并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 .
类型七 元素相同问题隔板策略



将n个相同的元素 分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个
元素排成一排的n- 1个空隙中，所有分法数为
C
n?1
.
m?1
【例】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？


一
班
二
班
三
班
四班
五
班
六
班
七
班

【变式1】10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？


< br>【变式2】
x?y?z?w?100
求这个方程组的自然数解的组数（若改为正整数解呢 ？）




1．有
A
，
B
，
C
，
D
，
E
五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第 五的名次．
A
，
B
两位学生去问
成绩，老师对
A
说 ：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对
B
说：你是第三名．请你分析一下，这五
位学生的名次排列的种数为( )
A．6 B.18 C.20 D.24
2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2 名学生，那么互不相同的安排方法的种数
为( )
A．10 B.20 C.30 D.40
3．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位
为2的“六合数”共有( )
A．18个 B.15个 C.12个 D.9个
随意编辑

精品文档
4．(2017·唐山联考)从正方体六个面的对角线中任取两条作 为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A．24对 B.30对 C.48对 D.60对
5．(2017·青岛二模)将甲、乙等5名交警分配 到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、
乙在同一路口的分配方案共有( )
A．18种 B.24种 C.36种 D.72种
6.(2017·福建福州联考)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周 年阅兵庆典后，在天
安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )
A．12种 B.24种 C.48种 D.120种
7．(2017·佛山质检)设集合
A
＝{(
x
1< br>，
x
2
，
x
3
，
x
4
，< br>x
5
)|
x
i
∈{－1,0,1}，
i
＝1 ,2,3,4,5}，那么集合
A
中满足
条件“1≤|
x
1
|＋|
x
2
|＋|
x
3
|＋|
x
4
|＋|
x
5
|≤3”的元素个数为( )
A．60 B.90 C.120 D.130
8．某外商计划 在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该
外商不同的投资方 案有________种．
9．(2017·江西八所重点中学联考)摄像师要对已坐定一排照像的5 位小朋友的座位顺序进行调整，要
求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______ __．(用数字作答)
1.实际完成情况：
□
按计划完成；
□
超额完成，原因分析_________________________________________ _______________________________；
□
未完成计划内容， 原因分析______________________________________________ ____________________.
2.授课及学员问题总结：

随意编辑