关于高级高中数学教学案例

课题
作者及
工作单位
☆教学基本信息
新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数零点
河北省威县第二中学 冯慧颖
☆指导思想与理论依据

由教师的教向学生的学转化是现代教学观现代教学观 要求使用发展的
观点看待学生，着眼于调动学生学习的积极性和主动性，教给学生学习的
方法， 培养学生学习能力，即着眼于培养学生不断学习、不断探索、不断
创新的能力，以适应不断变化的世界； 由特殊到一般的认知过程

☆教材分析

函数零点是研究当函数的值为零时， 相应的自变量的取值，反映
在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标。

由于 函数的值为零即，若方程有解，则函数存在
零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的 交点横坐
标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。

零点存 在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果
函数在区间[
a
,b
]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足
在区间(
a
,
b
)内至少有一个零点，但零点的个
f
(
a
)·
f
(
b
)<0，则函数
数，需结合函数的单调性等性质进行判断．定理的逆命题不成立。< br>
方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特
殊的、具体的二 次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，
然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方 程的情形；零点存在性的研
究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化

与化归思想”。

方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方 程的近似解”
的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是
中学数学 重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，函数
零点概念在中学数学中具有核心地位。< br>
☆学情分析

学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程， 并且解过
“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与
二次函数的联 系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与
体会。在高中阶段，已经学习了函数概念与性 质，掌握了部分基本初等函
数的图象与性质。

????以二次方程及相应的二次函数 为例，引入函数零点的概念，说明方程
的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难。学生学习的难点是 准确理
解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）
的区间。
教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系；
而零点存在性定 理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情
况，来研究函数零点的情况，加深学生对零点存在 性定理的理解。

☆教学目标

通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的 根与相应函数零点的关系，
在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理

解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间。

1．能够结 合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象
与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系；

2．正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；
知道定理只是 函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；

3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；

4．能顺利将一个方程求解问 题转化为一个函数零点问题，写出与方程
对应的函数；并会判断存在零点的区间（可使用计算器）。
☆教学重点和难点

教学重点：函数零点的概念及零点的求法

教学难点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。

☆教学过程

1．方程的根与相应函数图象的关系

复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及 其坐标的关系：
____________________

一元二次方程根的情况判断:______________________

图象与轴交点个数:______________________

图象与轴交点坐标:______________________

意图：回顾二 次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数

及相应方程关系作准备。
????问题一、上述结论对其他函数成立吗？为什么？

????画出函数的图象：、、，比较函数图象与
轴的交点和相应方程的根的关系。

????函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，
的图象与轴就有几个交点，且方程的根 就是交点的横坐标。

????意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

2．函数零点概念

对于函数，把使的实数叫做函数的零点。

说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值。

3．方程的根与函数零点的关系

方程有实数根 函数
函数
的图象与轴有交点

有零点

以上关系说明：函数 与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转
化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为 方程问题．这正是
函数与方程思想的基础。

4．零点存在性定理

问题二、观察图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成
完整函数图象，并问：是否有某时 刻的温度为0℃？为什么？（假设气温是

连续变化的）

意图：通过类比得出零点存在性定理。

给出零点存在性定理：如果函数
一条 曲线，并且有
存在，使得
在区间上的图象是连续不断
在区间内有零点.即
的根 。

，那么，函数
，这个
c
也就是方程
问题三、不是连续函 数结论还成立吗？请举例说明。

结合函数
问题四、若
问题五、若
， 函数
，函数
的图象说明。

在区间在
在区间在
上一定没有零点吗？

上只有一个零点吗？
可能有几个？

问题六、时，增加什么条件可确定函数
只有一个零点？

意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。

5．例题：求函数的零点的个数。

在区间在上
问题七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点。

问题八、该函数有几个零点？为什么？

意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理 确定零点存在区间，并且
结合函数性质，判断零点个数的方法。

六．目标检测设计

1.函数在区间[-5，6]上是否存在零点？若存
在，有几个？

2.利用函数图象判断下列方程有几个根

（1）
（2）
；

。

3．指出下列函数零点所在的大致区间

（1）
（2）
最后，师生共同小结（略）。

思考题：函数的零点在区间内有零点，如何求出
；

。

这个零点？设计意图：为下一节“二分法”的学习做准备。

教
教师活动

学环节

生行为

学生独< br>给出几个具
立思考完成
体的一元二次方
创设情
程的根及其相应
境

的二次函数的图
概括得出结
像

论，并进行
的形成

思考、总结、
识，又有助于学生抽象思维能力< br>解答，观察、
二次函数，既有利于学生掌握知
次函数到一般的一元二次方程和
由具体的一元二次方程和二
预设学
设计意图

交流

认真理
引导学生仔
解函数零点
细体会函数零点
组织探
的概念 、函数零
究（1）

点的意义、函数
点的意义探
零点的求法

索其求法

分析函
数，按提示
探索，完成
引导学生结
合函数图像，分
析函数在区间端
组织探
点上的函数值的
究（2）

符号情况，与函
数零点是否存在
之间的关系

讨论、总结、
识解决问题的能力

归纳得出函
数零点存在
的条件，并
进行交流、
评析

像，思考、
作用，提高学生综合运用数学知
解答，并认
真思考；结
让学生认 识到函数图像及基
合函数图
本性质在确定函数零点中的重要
上存在零点的判定方法
根据函数零导学生发现连续函数在某个区间
的意义，并端点上的函数值之积的特点，引< br>让学生观察二次函数在区间

☆板书设计

方程的根与函数的
零点

一．
复习引导

二．
新课讲授

2.零点的定义

例1

3.零点存在性定理

四．
小结

4.应用

五．
作业

1.一元二次方程与二次
函数的关系

三．例题

☆学生学习活动评价设计

评价表

自我评价

同学互评

父母评价

老师评价





由学生自评、同学评议、家长 评议，综合以上评价老师才做出评定，这改
变了以往老师单一的“一刀切”，同时调动了被评价者——学 生的积极性、
主动性，使学生在主动参与，自我反思，自我教育的过程中不断进步，获
得更好的 发展。

☆教学反思

良好教学效果的达成，优秀的教学设计是基础，有合理生成的教学过程
是保证。
纵观本节课的教学，本人个人认为，教学的预设目标特别是知识目标基

本达成，学生 较好的掌握了相关知识，对零点概念、零点存在性定理能较
好理解，并学会初步运用这些知识解决简单的 零点判断问题。

不足之处是其他方面如探究发现的目标，未能很好的落实，有关数学思
想与方法的落实也有所欠缺。

出现上述种种问题，归根到底是教师本身的不足，教材挖掘不 到位，没
有把握教材编写者的意图；自身学习不够，教学理念未能完全适合新课程
的要求等等。