【高中数学】统计案例

【高中数学】统计案例
§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）
学习目标
1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用；
2. 了解线性回归模型与函数模型的差异，了解衡量两个变量之间线性相关关系得方法--- 相关系数.
学习过程
一. 课前准备
（预习教材P
2
~ P
4
，找出疑惑之处）
问题1：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老 师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
复习1：函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系.
复习2：回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：

?

?

?
.
二. 新课导学
※ 学习探究
实例：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高cm和体重kg数据如下表所示：
编号
身高
体重
1
48
2
57
3
50
4
54
5
64
6
61
7
43
8
59
165 165 157 170 175 165 155 170
问题：画出散点图，求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并 预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此 选 自变量x， 为因变量.
(1)做散点图:

从散点图可以看出 和 有比较好的 相关关系.
(2)
x
=







y
=
?
xy
i
i?1
8
i
?

?
x
i?1
8
2
i
?

?
?
所以
b
?
xy
i
i?1
8
8
i
?8xy
?8x
2
?

?
?y?bx
?
?

a
?
x
i?1
2
i
于是得到回归直线的方程为
(3)身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为
?
y?

问题：身高为172cm的女大学生，体重一定是上述预报值吗?
思考：线性回归模型与一次函数有何不同?




第 1 页

新知：用相关系数r可衡量两个变量之间 关系。计算公式为：r =

r>0, 相关，r<0 相关。
相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系 ，它们的散点图越接近 ；
r?
，两个变量有 关系.
※ 典型例题
例1：某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

学生
学科
数学成绩(x)
物理成绩(y)
(1)画散点图.

(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程.

(3)该班某学生数学成绩为96，试预测其物理成绩.

(4)变式：该班某学生数学成绩为55，试预测其物理成绩.


小结：求线性回归方程的步骤：








※ 动手试试
练习：(07广东文科卷）下表提供了某厂节能降耗技术 改造后生产甲产品过程中记录的产量
x
(吨)与相应的生产能耗
y
(吨
标准煤)的几组对照数据



(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
y
关于
x
的线性回归方程
y?bx?a
；
(3)已知该厂 技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品 的
生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值
3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5
)





第 2 页
A B C D E
88
78
76
65
75
70
64
62
62
60
x


3

4

5

6


y


2.5

3

4

4.5

学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）
1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ）
A. 正方体的体积与边长
C.人的身高与体重











B. 人的身高与视力
D.匀速直线运动中的位移与时间
B. 解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上
D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上
2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ）
A. 预报变量在x 轴上，解释变量在 y 轴上
C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上
?
?a
?
必过（ ） 3. 回归直线
?
y?bx
A.
(0,0)
B.
(x,0)
C.
(0,y)
D.
(x,y)

4.
r
越接近于1，两个变量的线性相关关系 .
5. 已知回归直线方程
?
y?0.5x?0.81
,则
x?2 5
时，y的估计值为 .

课后作业
一台机器使用的时间 较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有
缺点零件的 多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x (转秒)
有缺点零件数 y （件）
(1)画散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？


§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）
学习目标
1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用;
2. 了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
3. 会用相关指数，残差图评价回归效果.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P
4
~ P
7
，找出疑惑之处）
复习：评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和；残差平方和；回归平方和.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：如何评价回归效果？
新知：
1. 评价回归效果的三个统计量
(1)总偏差平方和：

(2)残差平方和：


第 3 页
16
11
14
9
12
8
8
5

(3)回归平方和：

2. 相关指数：
R
2
表示 对 的贡献，公式为：
R
2
?


R
2
的值越大，说明残差平方和 ，说明模型拟合效果 .

3. 残差分析：通过 来判断拟合效果.通常借助 图实现.
残差图：横坐标表示 ，纵坐标表示 .
残差点比较均匀地落在 的区的区域中，说明选用的模型 ，带状区域的宽度越 ，说明拟
合精度越 ，回归方程的预报精度越 .

※ 典型例题
例1：关于
x
与y有如下数据：
x

2
30
4
40
5
60
6
50
8
70
y

为了对
x
、y两个变量进行统计分析，现有以下 两种线性模型：
?
y?6.5x?17.5
，
?
y?7x?17，试比较哪一个模型拟
合的效果更好?









小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

例2：假定小麦基本苗数x与成熟期有效苗穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x

15.0
39.4
25.8
42.9
30.0
42.9
36.6
43.1
44.4
49.2
y

(1)画散点图；
(2)求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数.
(3)求
R
2
，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几.
(参考数据：
?
x
i
?5101.51,
?
x
i< br>y
i
?6746.76,
2
i?1i?1
nn55
?
(y
i?1
i
?y)?50.18
，
2
?
(y
i?1
i
?
?
y
i
)
2
? 9.117
)











第 4 页

※ 动手试试
练1：某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

学生
学科
数学成绩(x)
物理成绩(y)
（导学案第2页例1）
88
78
76
65
75
70
64
62
62
60
A B C D E
?
?y?
?
( 4)求学生A,B,C,D,E的物理成绩的实际成绩和回归直线方程预报成绩的差
ey
i.并作出残差图评价拟合效果.
i2


小结：1. 评价回归效果的三个统计量.
2. 相关指数评价拟合效果.
3. 残差分析评价拟合效果.
小结：一般地，建立回归模型的基本步骤：
1. 确定研究对象，明确解释、预报变量；
2. 画散点图；
3. 确定回归方程类型（用r判定是否为线性）；
4. 求回归方程；
5. 评价拟合效果.
※ 知识拓展
在现行回归模型中，相关指数
R
2
表示解 释变量对预报变量的贡献率，
R
2
越接近于1，表示回归效果越好.如果某组
数据可以采取几种不同的回归方程进行回归分析，则可以通过比较
R
2
作出选择，即选 择
R
2
大的模型.

学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）
1. 两个变量 y与x的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数
R
2
如下 ，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A. 模型 1 的相关指数
R
2
为 0.98
C. 模型 3 的相关指数
R
2
为 0.50
A. 残差

2. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）
B. 样本编号 C. x D.
e
n

D. 散点图分析
3. 通过
e
1
,e
2
,?,e
n
来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存 在可疑数据，这种分工称为（ ）
A.回归分析 B.独立性检验分析 C.残差分析
4.
R
2
越接近1，回归的效果 .
5. 在研究身高与体重的关系时，求得相关指数
R
2
?
，可以叙述为“身高解释了
69%
的体重变化，而随机误差
贡献了剩余 ”所以身高对体重的效应比随机误差的 .








第 5 页




B. 模型 2 的相关指数
R
2
为 0.80
D. 模型 4 的相关指数
R
2
为 0.25

课后作业
练习：(07广东 文科卷)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
x
(吨)与相应的生 产能耗
y
(吨
标准煤)的几组对照数据




(1)请画出上表数据的散点图.
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
y
关于
x
的线性回归方程
y?bx?a
.
(3)已知该厂 技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品 的
生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值
3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5
)
(4)求相关指数评价模型.






§1.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用
学习目标
1. 通过探究“ 吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在
吸 烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的必要性.
2. 会根据
2?2
列联表求统计量
K
.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P
12
~ P
14
，找出疑惑之处）
二、新课导学
※ 学习探究
新知1：1. 分类变量： .
2.
2?2
列联表： .
试试：你能列举出几个分类变量吗？

探究任务：吸烟与患肺癌的关系
1. 由列联表可粗略的看出：
(1)不吸烟者有 患肺癌.
(2)不吸烟者有 患肺癌.
因此，直观上课的结论： .








第 6 页
2
x


3

4

5

6


y


2.5

3

4

4.5

(2) 根据列联表的数据,作出二维条形图：
2. 用三维柱柱图和二维条形图直观反映.
(1)根据列联表的数据，作出三维柱形图：

由上图可以直观地看出，吸烟与患肺癌 .
(3)根据列联表的数据,作出等高条形图:

由上图可以直观地看出，吸烟与患肺癌 .


由上图可以直观地看出, 吸烟与患肺癌 .

反思：（独立性检 验的必要性）通过数据和图形，我们得到的直观印象是患肺癌有关。那是否有一定的把握认为“吸烟与
患 肺癌有关”呢？
新知2：统计量
K

吸烟与患肺癌列联表
假设
H
0
：吸烟与患肺癌没关系.
则在吸烟者和不吸烟者中患肺癌不患肺癌者的相应比例 .
即
2
K
2
=
因此， 越小，说明吸烟与患肺癌之间关系 ；反之， .
※ 典型例题
例1：吸烟与患肺癌列联表，求
K
.






※ 动手试试
练1：性别与喜欢数学课程列联表，求
K
.

第 7 页
2
2

不吸烟
吸 烟
总 计
不患肺癌
7775
2099
9874
患肺癌
42
49
91
总计
7817
2148
9965

男
女
总 计
喜欢数学
37
35
72
不喜欢数学
85
143
228
总 计
122
178
300
三、总结提升
※ 知识拓展
1. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女 两个值，商品的等
级变量只取一级、二级、三级，等等.
分类变量的取值有时可用数字 来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义。如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.
2. 独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：
反证法
要证明结论A
在A不成立的前提下进行推理
推出矛盾，意味着结论A成立
没有找到矛盾，不能对A下任何
结论，即反证法不成功
3. 查表得出结论



课后作业
某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健 康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表，求
K
.






※ 典型例题

不优秀
优 秀
总 计
不健康
41
37
78
健 康
626
296
922
总计
667
333
1000
2
假设检验
备择假设H
1

在H
1
不成立的条件下，即H
0
成立的条件下进行推理
推 出有利于H
1
成立的小概率事件（概率不超过
?
的事件）发生，
意味 着H
1
成立的可能性（可能性为（1－
?
））很大
推出有利于H
1
成立的小概率事件不发生，接受原假设
P(k
2
>k) 0.50
k
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1..323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10..83
例1：在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶 ；而另外772名不是因为患心脏病而住院
的男性病人中有175名秃顶。分别利用图形和独立性检验方 法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范
围内有效？













第 8 页

学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )
A. 若k=6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病.
B. 从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99 %的可能性患肺病.
C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误.
D. 以上三种说法都不对.
2. 下面是一个
2?2
列联表则表中a,b的之分别是( )
A. 94,96 B. 52,50 C. 52,54 D. 54,52



3. 某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表：
则认为喜欢玩游戏与认为作业量多少有关系的把握大约为( )
A. 99%


4. 在独立性检验中,当统计量
K
满足 时，我们有99%的把握认为这两个分类变量有关系.
5. 在
2?2
列联表中,统计量
K
= .
课后作业
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表能以97.5%的把握认 为药物有效吗?为什么?






用 药
不用药
总 计
患 病
41
37
78




未患病
626
296
922
总 计
667
333
1000
2
2

不优秀
优 秀
总 计
不健康
a
2
b
健 康
21
25
46
总计
73
27
100

玩游戏
不玩游戏
总 计
认为作业多
18
8
26
认为作业不多 总计
9
15
24
27
23
50
B. 95% C. 90% D.无充分依据

第 9 页