最新高中数学难题集锦

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高一、高二难题A类
1，f（x）＝ax
2
+ bx＋c（a
?
0），f（x）＝x无实数解，求f［f（x）］＝x解的个
数。 < br>2，设f（x）＝ax
2
+bx＋c（a>0），f（x）－x＝0两根x
1< br>x
2,
有01
2
<
x
?
（0，x
1
）时，证明x1
).
1< br>3，f(x)定义域D,

x
1
x
2
?
d,当 x
1
2
,f(x
1
)
?
f(x
2
),则f(x)在D上为非减函数且○
1
，当
a
xf(x)11
23
f(0)=0,○f()=,○f(1-x)=1-f(x),则f（）＋f()= .
3238
4，A
n
={X
?
RX
n
=2
n
},B
n
={X
?
RX
2n
=9< br>n
}C
n
={Z
?
RZ=x+y,X
?
A< br>n
,Y
?
B
n+1
}n
?
N
1< br>A
k
=A
k+2
对

k
?
N
+
成立 ○
2
不存在正整数m，n使B
2m+1
=B
2n
○


3
存在唯一一个自然数n使A
n
=B
n
○
4如果n为奇C
n
={5,-1}如果n为偶C
n
={-5,-1,1,5 } ○
5
存在自然数K
0
对

n
?
N有（A
n
?
b
n
）
?
C
k0
且（An
?
b
n
）
?
C
k0
○
5 ，直线系m；xcos
q
+(y-2)sin
q
=1(0
?
q
?2
p
)，判断：
1
。M中所有直线均过一定点。 ○
2
。存在定点p不在M中任意一条l上。 ○
3
。

n（n
?
3且n
?
Z
＋
） ○，存在正n边形，其所有边均在M中l上。
4
。M中l所能围成的正

○
△
面积都相等。
6，ABCD是正方形，PA
^
面ABCD，P A＝AB，MN＝PD，PB中点AM与CN
所成角余弦值：
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7，四面体顶点和棱中点共10点，取四个不共面点，then？
8，甲、乙、丙、丁、戊每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项
工作至少一人参 加，甲、乙不会开车，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊均可，
求种数？
9，是定义在上的非负可导函数，且满足
，则必有（ ）。

B:
，对任意
正数a，b，若
A:
C: D:
10，已知函数.f（x）＝
x-1

x
e
(2)若函数y =g(x)对任意x满足g（x）＝f（4-x），求证:当x>2,f(x)>g(x)
11, 已知函数
（2）若对于任意的
求 的取值范围
，曲线c
2
：y＝

，都存在 ，使得 ，
12, 已知 椭圆
1
2
x+a，若p是椭圆c1上一动点，
4
点A（2，0），m 是曲线c上的右顶点，
PA
的最小值为
MA
，求实数m的取值范
围。
13，在斜三角形ABC中，sin A＝－
角A的值为( )

cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则
x
2
y
2
14, 已知双曲线
2
-< br>2
=1(a>0,b>0)y
2
的右焦点为F,过F且斜率为
3
的直线交C
ab
于A,B两点,若
???
=4
???
,则 C的离心率为？
AFFB
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15, 设函数
。
（Ⅰ）求
（II）证明：
在两个极值点 ，且
满足的约束条件；

16, 如图所示,已知抛物线E:y
2
= x与圆M:(x-4)
2
+y
2
=r
2
(r>0)相交于A 、B、C、D四
个点. 求r的取值范围
17, 已知函数f(x)＝e
x
－e
-x
－2x.

(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；
(3)已知1.4142<
18,数列满足b
n
=
<1.4143，估计l n2的近似值(精确到0.001)．
n
，若存在正整数m，n
2n+1
，使得，，成等
比数列，求m、n的值。
11
19,a
n
=nln（
1+
）+ -1
n2n
（Ⅱ）求证：a
n
＜；
（Ⅲ）设S
n
为数 列{a
n
}的前n项和，求证：S
n
＜．
20, g(x)=10sinx-8，证明:存在无穷多个互不相同的正整数
21, 已知
积S满足
立的是（ ）
A: B:
的内角a，b，c满足
,使得.
，面
，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成
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C: D:
22， 已知不等式ln（1+x ）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，证明：ln2
2
+ln3
2
+
ln4
2
+…+
23，已知椭圆
ln（n+1）
2
＞（n∈ N
+
）．
，过E（1，0）作两条直线AB与CD分别交椭圆于A，B，
C，D四点，已知．
（1）若AB的中点为M，CD的中点为N，求证：①
出该定值；②直线MN过定点，并求出该定点；
为定值，并求
x
2
y
2
24，
+=1
,当 过点
42
AB上取点Q，满足
的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段< br>，证明：点Q总在某定直线上。
25，设a＞0,b＞0,c＞0,求证:2(
26，已知函数,其中
)≤3(
.
).
求证:
27，已知函数f(x)＝
时，恒有a
n
<3成立．
28，f（x）＝
lnx1
+
若有
x+1x
.
，如果数列{a
n
}满足a
1
＝4，a
n＋1
＝f(an
)，求证：当n≥2
(，)，求的取值范围。
29，设0＜a，b，c＜1 ，求证（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不可能同时大于
1

4
30，设函数
.
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其中为自然对数的底数，

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(Ⅱ)证明：对任意正数，都有；
(Ⅲ)若，证明：.
31，对于数对序列P:(a
1
,b
1
),(a
2
,b
2
),…,(a
n
,b
n
), 记T
1
(P)=a
1
+b
1

T
k
(P)=b
k
+max{T
k-1
(P),a
1
+a
2
+…+a
k
}(2≤k≤n)
(Ⅱ)记m为a,b,c, d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列
P:(a,b),(c, d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T
2
(P)和T
2
(P')的
大小;
(Ⅲ)在由五个数对(11,8),(5,2),(1 6,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出
一个数对序列P使T
5
(P)最小,并写出T
5
(P)的值.(只需写出结论)
32，在平面直角 坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即
横纵坐标都是整数的点）
，其中< br>两点列的起点和终点分别相同；
，则称
（3）
你的结论.
33, 已知圆x
2
+y
2
=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点 ，P，Q为圆上
的动点，若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程。
34，若正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好
数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a
1
，a
2
，a
3
，…，若a
n
＝2 013，则n＝( )
35，已知集合M={1，2，3，4，5，6}，集合A、B、C为M的非空子集，若?x∈A，y∈B，z∈C，x＜y＜z恒成立，则称“A-B-C”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有 个．
36，
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的展开式中，的系数为（ ）。
，
：
，若同时满足：
线段
与互为正交点列。
？并证明< br>，其中
与：
，是否都存在无正交点列的有序整点列

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A: 10 B: 20 C: 30 D: 60

37，已知数列

(Ⅱ)求出所有使数列
(Ⅲ)求数列的通项公式.
成等比数列的的值;
满足,,,.
38，设平面上n个圆周最多把平面分成f（n）片（平面区域）f（n）= ？
39，在 平面直角坐标系
x
2
中，椭圆
+y
2
=1

4
(1)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）。点D在椭圆
C 上，且，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点。设直线BD，AM
的斜率分别为
(2)求
，，证明存在常数使得，并求出的值
面积的最大值。
40，已知x，y∈R，满足 x
2
+2xy+4y
2
=6，则z=x
2
+4y
2
的取值范围为
41，已知椭圆的左焦点为F
1
，右焦点为F
2，若椭圆上
存在一点P，满足线段PF
1
相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为 线段PF
1
的中
点，则该椭圆的离心率为（ ）
42,数字1,2,3, 4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N
1
，其中N
2
，N
3
分别
表示第二、三行中的最大数，则满足N
1
2
< N
3
的所有排列的个数是________．

43, 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)．
从A点走向B点最短的走法有多少种？
44，f（x＋m）＝f（m－x），证：y＝f（x）关于x＝m对称

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45，已知函数

46，设函数
在区间

47，如图，在
上具有单调性，且
，a=
0.5
，讨论的单调性。
（A，，是常数，
，则
，）。若
的最小正周期为_____ 。
中，已知点D在BC边上，，，，
，则BD的长为_____。

48. 在
（ ）。
A: 垂心 B: 内心 C: 外心 D: 重心
49，在
个内角.
中,若,
中，设

，那么动点M的轨迹 必通过的
,求的三
50，若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA， sinB－cosA）在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

51，如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的 延长线与线段BA的延长线交于圆O
外的点D，若，则m+n的取值范围是 ．

52, 设函数
。
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，曲线在点处的切线方程为

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（Ⅰ）求a，b ?解得a＝1，b＝2
（Ⅱ）证明：
53, 设函数

（Ⅲ）a＝1，设函数
值），求的最大值。
，a=，若给定一个b
（表示p，q中的较小
。
，
54, 在△ ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=
的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的 取值范围为 ．
55, 人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格， 那么人
从格外跳到第8个格子的方法种数为（ ）



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