高中数学难题(含答案)

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东莞龙文教育高中数学试卷（24）
第Ⅰ卷
（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个
项 是符合题目要求的。
1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于
A．｛0，1｝ B．｛-1，0，1｝ C．｛0，1，2｝ D．｛-1，0，1，2｝
2．i是虚数单位1+i
3
等于
A．i B．-i C．1+i D．1-i
3．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的


A．充分而不必要条件
C．充要条件
条件
4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方 法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年
级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取 的人数为
A．6 B．8 C．10 D．12
B．必要而不充分条件
D．既不充分又不必要
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是


A．3
C．38


B．11
D．123

6．若关于x的方程x
2
+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的
取值范围是
A．（-1,1）
可编辑

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B．（-2,2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随
机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于


1

4
1
C．
2
A．

1

3
2
D．

3
B．
8．已知函数f（x）=
A．-3
。若f（a）+f（1）=0,则实数a的值等于
B．-1 C．1 D．3
9．若a∈（0，
1
?
），且sin
2
a+cos2a=，则tana的值等于
4
2
B． A．
2

2
3

3
32
C．
2
D．
3
< br>10．若a>0,b>0,且函数f（x）=
4x?ax?2bx
在x=1处有极值，则 ab的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
11．设圆锥 曲线I的两个焦点分别为F
1
，F
2
，若曲线I上存在点P满足
PF
1
：
F
1
F
2
：
PF
2
=4：
3:2，则曲线I的离心率等于


13

22
1
C．
或2

2
A．
或


2
3
23
D．
或

32
B．
或2

12．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有 整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨
n∈Z}，k=0,1,2,3,4。给出 如下四个结论：


①2011∈[1]
②-3∈[3]；
可编辑

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③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。
其中正确结论的个数是
A．1
C．3
B．2
D．4
第II卷
（非选择题 共90分）

注意事项：
用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。
13．若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________．
14．若△ABC的面积为
3
，BC=2，C=
60?
，则边AB的长度等 于_______．
15．如图，正方体ABCD-A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平
面AB
1
C，则线段EF的长度等于________．










16．商家通常依据“乐 观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销
售限价b（b＞a）以及常数x （0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称
为乐观系数。
可编辑

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经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，
最佳 乐观系数x的值等于_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列{a
n
}中，a
1=1，a
3
=-3．
（I）求数列{a
n
}的通项公式；
（II）若数列{a
n
}的前k项和








18．（本小题满分12分）
如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x
2
=4y相切于点A。
（I）求实数b的值；
（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．











19．（本小题满分12分）
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1．2．3．4．5．现从一批
可编辑
=-35，求k的值．

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该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
f
1
a
2
0．2
3
0．45
4
b
5
C
（I）若所抽取的20件日用品中，等级系 数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、
b、c的值；
（11）在（1）的条件 下，将等级系数为4的3件日用品记为x
1
,x
2
,x
3
， 等级系数为5的2件
日用品记为y
1
,y
2
，现从x
1,x
2
,x
3
,y
1
,y
2
,这5件 日用品中任取两件（假定每件日用品被取出
的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的 等级系数恰好相等的概率。








20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P- ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（I）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=
2
，∠CDA=45°，求四棱锥P- ABCD的体积







21．（本小题满分12分）
设函数f（
?
）=
3sin
?
?cos
?
，其中，角
?
的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负
半轴重合，终边经过点P（x,y），且
0?
?
?
?
。
可编辑

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（1）若点P的坐标为
(,
13
)
，求
f(
?
)< br>的值；
22
?
x+y?1
?
（II）若点P（x，y）为平 面区域Ω：
?
x?1
，上的一个动点，试确定角
?
的取值范围，并< br>?
y?1
?
求函数
f(
?
)
的最小值和最大 值。
















22．（本小题满分14分）
已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+a xlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然
对数的底数）。
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1 时，是否同时存在实数m和M（m与曲线y=f（x ）（x∈[
1
，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数
e
M；若不存在，说明理由。



可编辑

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东莞龙文教育高中数学试卷（24）
参考答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1——12 ADABBCCADDAC
二、填空题：本大题考查基础知识的基本运算，每小题4分，满分16分。
13．1 14．2 15．
2
16．
5?1

2
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 < br>17．本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分12
分。
解：（I）设等差数列
{
a
n
}
的公差为d ，则
a
n
?a
1
?(n?1)d.

由
a
1
?1,a
2
??3可得1?2d??3.

解得d=-2。
从而，
a
n
?
1
?
(
n ?
1)
?
(
?
2)
?
3
?
2n
.

（II）由（I）可知
a
n
?
3
?
2
n
，
可编辑

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所以
S
n
?
n[1?(3?2n)]
?2n?n
2
.

2
2
进而由
S
1
??35可得2k?k??35,

即
k?2k?35?0
，解得
k?7或k??5.

又
k?N,故k?7
为所求。
18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、
数形结合思想，满分12分。
*
2
?
y?x?b,
解：（I）由
?
2
（*）
得x
2
?4x?4b?0
，
x?4y
?
因为直线
l与抛物线C相切，所以
??(?4)?4?(?4b)?0,

2
解得b=-1。
（II）由（I）可知
b??1,故方程(*)即为x?4x?4?0
，
解得x=2，代入
x?4y,得y?1.

故点A（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，
即
r?|1?(?1)|?2,

所以圆A的方程为
(x?2)?(y?1)?4.

19．本小题主要考查概 率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考
查函数与方程思想、分类与整合 思想、必然与或然思想，满分12分。
解：（I）由频率分布表得
a?0.2?0.45?b?c?1,即a+b+c=0.35
，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
所以
b?
22
2
2
3
?0.15,

20
可编辑

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等级系数为5的恰有2件，所以
c?
从而
a?0.35?b?c?0.1

所以
a?0.1,b?0.15,c?0.1.

2
?0.1
，
20
（II）从日用品
x
1
,x
2
,y
1
,y
2
中任取两件，
所有可能的结果为：
{x
1
,x
2
},{x
1< br>,x
3
},{x
1
,y
1
},{x
1
,y
2
},{x
2
,x
3
},{x
2
, y
1
},{x
2
,y
2
},{x
3
,y< br>1
},{x
3
,y
2
},{y
1
,y
2
}
，
设事件A表示“从日用品
x
1
,x
2< br>,x
3
,y
1
,y
2
中任取两件，其等级系数相等” ，则A包含的基本
事件为：
{x
1
,x
2
},{x
1
,x
3
},{x
2
,x
3
},{y
1
,y
2
}
共4个，
又基本事件的总数为10，
故所求的概率
P(A)?
4
?0.4.

10
20 ．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间
想象能力， 推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12
分
（I）证明：因为
PA?
平面ABCD，
CE?
平面ABCD，
所以
PA?CE.

因为
AB?AD,CEAB,所以CE?AD.

又
PAIAD?A,

所以
CE?
平面PAD。
（II）由（I）可知
CE?AD
，
在
Rt?ECD
中， DE=CD
?cos45??1,CE?CD?sin45??1,

又因为
AB?CE?1,ABCE
，
可编辑

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所以四边形ABCE为矩形，
所以
S
四边形ABCD
?S
矩形ADCE
?S
?ECD
?AB?AE?
又
PA?
平面A BCD，PA=1，
所以
V
四边形P?ABCD
?
115
CE?DE?1?2??1?1?.

222
1155
S
四边形ABCD
?PA???1?.
< br>3326
21．本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力 ，考查函
数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。
?
3
sin
?
?,
?
?
2
解：（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得
?
?
cos
?
?
1
.
?
?2
于是
f(
?
)?3sin?
?cos
?
?3?
31
??2.

22（II）作出平面区域
?
（即三角形区域ABC）如图所示，其中A（1，0），B（1， 1），C（0，
1）。
于是
0
?
?
?
?
2
.

又
f
(
?
)
?
3sin
?
?
co s
?
?
2sin(
?
?
且
?
6
)
，
?
6
?
?
?
?
6
?
?
2
?
,

3
,
即
?
?
故当
?
?
?
6
?
2
?
3
，
f(
?
)
取得最大值，且最大值等于2；
当
?
?
?
6
?
?
6
,
即
?
?
0
时，
f(
?
)
取得最小值，且最小值等于1。
22．本 小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，
考查函数与方 程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。
解：（I）由
f(e)?2得b?2,

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（II）由（I）可得
f(x)??ax?2?axlnx.

从而
f'(x)?alnx.

因为a?0
，故：
（1）当
a?0时,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0
（2）当
a?0时,由f'(x)?0得0?x?1,由f'(x)?0得x?1.

综上，当
a?0
时，函数
f(x)
的单调递增区间为
(1, ??)
，
单调递减区间为（0，1）；
当
a?0
时，函数
f(x)
的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为
(1,??)
。
（III）当a=1时，
f(x)??x?2?xlnx,f'(x)?lnx.
< br>由（II）可得，当x在区间
(,e)
内变化时，
f'(x),f(x)
的变化情况如下表：
1
e
x

1

e

1
(,1)

e
-
单调递减
1

0
极小值1
(1,e)

+
单调递增
e


f'(x)

f(x)

又
2?
2
2?

e
2
21
?2,所以函数f'(x)?(x?[,e])
的值域为[1，2]。
ee
据经可得，若
?
公
共点。
?
m?1,1
，则对每一个
t?[m,M]
，直线y=t与曲线
y?f(x)(x? [,e])
都有
e
?
M?2
并且对每一个
t?(??,m) U(M,??)
，直线
y?t
与曲线
y?f(x)(x?[,e])
都没有公共点。
综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个
t?[m,M]
，直
线y=t
1
e
可编辑

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与曲线
y?f(x)(x?[,e])
都有公共点。


1
e
可编辑