高三数学难题

x
2
y
2
[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C< br>0
：
2
＋
2
＝1(a>b>0，
ab
a，b 为常数)，动圆C
1
：x
2
＋y
2
＝t
2
1
，b1
1
，A
2
分别为
C
0
的左，右顶点，C
1
与C
0
相交于A，B，C，D四点 ．
(1)求直线AA
1
与直线A
2
B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C
2
：x
2
＋y
2
＝t
2
2
与C
0
相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b2
1
≠t
2
.
2
若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的 面积相等，证明：t
2
1
＋t
2
为定值．
[自主解答] (1)设 A(x
1
，y
1
)，B(x
1
，－y
1
)，又知A
1
(－a,0)，A
2
(a,0)，则直线A
1
A的方程
y
1
为y＝(x＋a)，①
x
1
＋a< br>－y
1
直线A
2
B的方程为y＝(x－a)．②
x
1
－a
由①②得y
2
＝
－y
2
1
222
(x－a)．③
x
2
－a
1
2
x
2
y
11
由点A(x
1
，y
1
)在椭圆C
0
上，故
2
＋
2
＝1.
ab
从而
2y
2
1
＝b
?
1－
x
1
?
， 代入③得
x
－
y
＝1(x<－a，y<0)．
2
?
a
?
a
2
b
2
22
2
(2)证明：设A ′(x
2
，y
2
)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得 4|x
1
||y
1
|
＝4|x
2
|·|y
2
|，
222
故x
2
1
y
1
＝x
2
y
2
.
因为点A，A′均在椭圆上，所以
b
2x
2
1
?
1－
x
1
?
＝b
2
x
2
?
x
2
?
2
1－
2
.
2
?
a
??
a
?
22
2
＋x
2
＝a
2
，从而y
2
＋y
2
＝b
2
， 由t
1
≠t
2
，知x
1
≠x
2，所以x
1212
222
因此t
2
1
＋t
2< br>＝a＋b为定值．

3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y
2
＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a,0)，ab≠0，
b
2
≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M
1
，M
2
，当
M变动时，直线M
1
M
2
恒过一个定点，此定点坐 标为________．
y
0
y
0
－by
1
－y
0
?
y
1
，y
1
?
，
?
y
2
，y
2
?
，
，y
0
?
，解析 ：设M
?
MM由点A，M，M＝
2
，
121
共线可知
2
?
2p
??
2p
??
2p
?
y
0
y
1
y
2
0
2p
－a－
2p2pby
0
－2pay
2
－y
1
2pa
得y
1
＝，同理由点B，M，M
2
共线得y
2
＝.设(x，y)是直线 M
1
M
2
上的点，则
2
y
0
y
2
y
2
y
0
－b
1
－
2p2p
＝< br>y
2
－yby
0
－2pa
2pa
，即yy＝y(y＋ y)－2px，又y＝，y＝，
121212
2
y
2
y
0
y
0
－b
－x
2p
222

精选文库
则(2px－by)y
0
2
＋2pb(a－x)y
0
＋2p a(by－2pa)＝0.
2pa
2pa
a，
?
. 当x＝a，y＝时上式恒成立，即定点为
?
b
??
b

x< br>2
2
6．(2013·长沙)直线l：x－y＝0与椭圆＋y＝1相交于A、B两点，点 C是椭圆上的动
2
点，则△ABC面积的最大值为________．
x－y＝0，
?
?
6
解析：由
?
x
2
2
得3x
2
＝2，∴x＝±，
3
?
?
2
＋y＝1，
∴A
?
66
?
66
，B
?
－，－
?，
，
3
?
3
??
3
?
3
4 3
.
3

∴|AB|＝
|2cos θ－sin θ|
3
??
设点C(2cos θ，sin θ)，则点C到AB的距离d＝＝·si n(θ－φ)
?
22
?
≤
3
，
2
11433
∴S
△
ABC
＝|AB|·d≤××＝2.
223
2
答案：2


x
2
y
2
2
8．(2012·黄冈质检)已知椭圆
2
＋
2
＝1( a＞b＞0)的离心率为，椭圆上任意一点到右
ab2
焦点F的距离的最大值为2＋1.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点)， 是否存在过点F且与x轴不垂
直的直线l与椭圆交于A，B点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．
c2
?
?
e＝＝
?
a＝2
解：(1)∵
?
a2
，∴
?
，∴b＝1，
c＝1
?
?
?
a＋c＝2＋1


x
2
2
∴椭圆的方程为＋y＝1.
2
(2)由(1)得F(1,0)，∴0≤m≤1.
假设存在满足题意的直线l，
x
2
2
设l的方程为y＝k(x－1)，代入＋y＝1中，得
2< br>(2k
2
＋1)x
2
－4k
2
x＋2k
2< br>－2＝0.
--
2

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4k
2< br>设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2)，则x
1
＋x
2
＝
2
，
2k＋1
2k
2
－2
x
1
x
2
＝
2
， < br>2k＋1
－2k
∴y
1
＋y
2
＝k(x
1< br>＋x
2
－2)＝
2
.
2k＋1
2kk
设A B的中点为M，则M
?
2k
2
＋1
，－
2k
2＋1
?
.
??
∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即k
C M
·k
AB
＝－1，
k
2k
2
＋1
∴· k＝－1，即(1－2m)k
2
＝m.
2k
2
m－
2
2k＋1
1
∴当0≤m＜时，k＝±
2
m
，即存在满足题意的直线l；
1－2m
2
1
当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l.
2

1
2．(2012·郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0)，m＜3 ，半径为5，圆C与离心率e＞的
2
x
2
y
2
椭圆E：2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的其中一个公共点为A(3,1)，F
1，F
2
分别是椭圆的左、右焦点．
ab
(1)求圆C的标准方程； < br>(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究直线PF
1
与圆C能否相切？若能，设直线P F
1
与椭圆
E相交于D，B两点，求△DBF
2
的面积；若不能，请 说明理由．
解：(1)由已知可设圆C的方程为(x－m)
2
＋y
2
＝5(m＜3)，
将点A的坐标代入圆C的方程中，得(3－m)
2
＋1＝5，
即(3－m)
2
＝4，解得m＝1，或m＝5.
∴m＜3，∴m＝1.
∴圆C的标准方程为(x－1)
2
＋y
2
＝5.
(2)直线PF
1
能与圆C相切，
依题意设直线PF
1
的 斜率为k，则直线PF
1
的方程为y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4
＝0 ，
|k－0－4k＋4|
若直线PF
1
与圆C相切，则＝5.
k
2
＋1
111
∴4k
2
－24k＋11＝0，解得k＝或k ＝.
22
1136
当k＝时，直线PF
1
与x轴的交点的横坐标为 ，不合题意，舍去．
211
--
3

精选文库
1
当k＝时，直线PF
1
与x轴的交点的横坐标为－4，
2
∴c＝4，F
1
(－4,0)，F
2
(4,0)．
∴由椭圆的定义得：
2a＝|AF
1
|＋|AF
2
|＝? 3＋4?
2
＋1
2
＋?3－4?
2
＋1
2
＝52＋2＝62.
∴a＝32，即a
2
＝18，
4221
∴e＝＝＞，满足题意．
32
32
故直线PF
1
能与圆C相切．
x
2y
2
直线PF
1
的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋＝1.设 B(x
1
，y
1
)，D(x
2
，y
2
)，
182
把直线PF
1
的方程代入椭圆E的方程并化简得，13y
2< br>－16y－2＝0，由根与系数的关系得y
1
162
＋y
2
＝ ，y
1
y
2
＝－，
1313
故S△DBF
2＝4|y
1
－y
2
|＝4?y
1
＋y
2
?
2
－4y
1
y
2
＝

x
2< br>y
2
3
3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为，以椭圆C
ab2
的左顶点T为圆心作圆T ：(x＋2)
2
＋y
2
＝r
2
(r＞0)，设圆T与椭圆C 交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程；
2410
.
13
u uuruuur
(2)求
TM
,·
TN
,的最小值，并求此时圆T的 方程；
(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线
MP，NP分别与x轴交于点 R，S，O为坐标原点，求证：
|OR|·|OS|为定值．
c3
解：(1)依题意，得a＝2，e＝＝，
a2
∴c＝3，b＝a
2
－c
2
＝1.
x
2
2
故椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)易知点M与 点N关于x轴对称，设M(x
1
，y
1
)，N(x
1
，－y
1
)，不妨设y
1
＞0.
由于点M在椭圆C
x
2
1
2
上，∴y
1
＝1－.(*)
4
uuuruu ur
由已知T(－2,0)，则
TM
,＝(x
1
＋2，y
1
)，
TN
,＝(x
1
＋2，－y
1
)，
uuuruuur
2

TN
,＝(x
1
＋2，y< br>1
)·∴
TM
,·(x
1
＋2，－y
1
)＝ (x
1
＋2)
2
－y
1
＝(x
1
＋2)< br>2
－
?
1－
x
1
?
＝
5
x
2
?
4
?
4
1
＋4x
1
＋3
4
2
--

精选文库
8
51
x
1
＋
?
2
－. ＝
?< br>5
?
54
?
uuuruuur
81
由于－2＜x1
＜2，故当x
1
＝－时，
TM
,·,取得最小值－.
TN
55
83
83
－，
?
，又点M在圆T上，代入圆的方 程得r
2
把x
1
＝－代入(*)式，得y
1
＝，故M
?
?
55
?
55
13
＝.
25
13
故圆T的方程为(x＋2)
2
＋y
2
＝.
25
y
0
－y
1
(3)设P(x
0
，y< br>0
)，则直线MP的方程为：y－y
0
＝(x－x
0
)， < br>x
0
－x
1
x
1
y
0
－x
0
y
1
x
1
y
0
＋x
0
y
1
令y＝0，得x
R
＝，同理：x
S
＝，
y
0
－y
1
y
0
＋y
1
222
x
2< br>1
y
0
－x
0
y
1
故x
R
·x
S
＝
22
.(**)
y
0
－y
1< br>222
又点M与点P在椭圆上，故x
2
0
＝4(1－y
0)，x
1
＝4(1－y
1
)，
代入(**)式，
2
2
?y
2
－4?1－y
2
?y
2
y
2
4?1－y
1
0
－y
1
?
001
?< br>得x
R
·x
S
＝＝4
?
22
?
＝4 .
2
y
2
?
y
0
－y
1
?0
－y
1
所以|OR|·|OS|＝|x
R
|·|x
S
|＝|x
R
·x
S
|＝4为定值．

x
2
y
2
5．(2012·郑州模拟)若双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F
1
，F
2
，线段
a b
F
1
F
2
被抛物线y
2
＝2bx的焦点分成7∶ 3的两段，则此双曲线的离心率为( )
b74
解析：依题意得，c＋＝×2c，即b＝c (其中c是双曲线的半焦距)，a＝c
2
－b
2
＝
2
7＋3
5
3c55
c，则＝，因此该双曲线的离心率等于.
5a33
< br>6．设双曲线的左，右焦点为F
1
，F
2
，左，右顶点为M，N，若△ PF
1
F
2
的一个顶点P
在双曲线上，则△PF
1
F
2
的内切圆与边F
1
F
2
的切点的位置是( )
A．在线段MN的内部
B．在线段F
1
M的内部或NF
2
内部
C．点N或点M
D．以上三种情况都有可能
解析：选C 若P在右支上，并设内切圆与PF
1
，PF
2
的切点分别为A，B，则|NF
1
|－|NF
2
|
＝|PF
1
|－|PF
2
|＝(|PA|＋|AF
1|)－(|PB|＋|BF
2
|)＝|AF
1
|－|BF
2|.
所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点．
--
5

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143
10．(2012·南昌模拟)已知△A BC外接圆半径R＝，且∠ABC＝120°，BC＝10，边
3
BC在x轴上且y轴垂直平分 BC边，则过点A且以B，C为焦点的双曲线方程为( )
BC53
解析：∵sin∠BAC＝＝，
2R14
11
∴cos∠BAC＝，
14
1433
|AC|＝2Rsin∠ABC＝2××＝14，
32
sin∠ACB＝sin(60°－∠BAC)
＝sin 60°cos∠BAC－cos 60°sin∠BAC
＝
31115333
×－×＝，
21421414
14333
∴|AB|＝2Rsin∠ACB＝2××＝6，
314
∴2a＝||AC|－|AB||＝14－6＝8，
∴a＝4，又c＝5，∴ b
2
＝c
2
－a
2
＝25－16＝9，
x
2
y
2
∴所求双曲线方程为－＝1.
169

11．(2012·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y
2
＝2px(p＞0)的焦点为F， P，Q是抛物线上的两
个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )
p??
y
1
，y
1
?
，
?
y
2
，y
2
?
(y
1
≠y
2
)．
，0
，解析：依题意得F
?
设PQ由抛物线定义及|PF|＝|QF|，
?
2
??
2p
??
2p
?
2
y
1
py
2
p
2
?
1
，y
1
?
.2
得＋＝＋，所以y
2
1
＝y
2
，所以y
1< br>＝－y
2
.又|PQ|＝2，因此|y
1
|＝|y
2
|＝1，点P
?
2p
?
2p22p2
22
又点P位于该抛物 线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝
1p
＋＝2，由此解得p＝2±3.
2p2
x
2
y
2
14．已知F
1
，F
2
分别是椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的 右顶
ab
点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OP∥AB，PF
1
⊥x轴，|F
1
A|＝10＋5，则
此椭圆的方程是_______________ _______．
bbb
解析：由于直线AB的斜率为－，故直线OP的斜率为－，直线OP 的方程为y＝－
aaa
x
2
x
2
222
x.与椭圆 方程联立得
2
＋
2
＝1，解得x＝±a.根据PF
1
⊥x轴 ，取x＝－a，从而－a＝
aa222
－c，即a＝2c.又|F
1
A|＝a ＋c＝10＋5，故 2c＋c＝10＋5，解得c＝5，从而a＝10.
x
2
y2
所以所求的椭圆方程为＋＝1.
105
--
6

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x
2
y
2
答案：＋＝1
105

18．(12分)(2012·南昌模拟)已知圆C过点P(1,1)，且与 圆M：(x＋2)
2
＋(y＋2)
2
＝r
2
(r＞
0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P作两条相异直线分 别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互
补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是 否平行？请说明理由．
a－2b－2
?
?
2
＋
2
＋2＝0，
解：设圆心C(a，b)，则
?
b＋2
?
a＋2
＝1，
?

?
?
a＝0，
解得
?

?
?
b＝0，

则圆C的方程为x
2
＋y
2
＝r
2
，将点P的坐标代入得r
2
＝2，
故圆C的方程为x
2
＋y
2
＝2.
(2)由题意知，直线 PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x
－1)，
?
y－1＝k?x－1?，
?
PB：y－1＝－k(x－1)，由
?
22得(1＋k
2
)x
2
＋2k(1－k)x＋(1－k)
2
－2＝0.因
?
?
x＋y＝2

k
2
－2k－1 k
2
＋2k－1
为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得x
A
＝.同理可得x
B
＝，
1＋k
2
1＋k
2
yB
－y
A
－k?x
B
－1?－k?x
A
－1? 2k－k?x
B
＋x
A
?
所以k
AB
＝＝＝＝1＝ k
OP
，
x
B
－x
A
x
B
－x
A
x
B
－x
A
所以，直线AB和OP一定平行．

x
2
y
2
2
20．(12分)(2012·河南模拟)已知 椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端
ab2< br>1
点为M(0,1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A，B.
3
(1)若|AB|＝
426
，求k的值；
9
(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.
c2
解：(1)由题意知＝，b＝1.
a2
由a
2
＝b< br>2
＋c
2
可得c＝b＝1，a＝2，
x
2
2
∴椭圆的方程为＋y＝1.
2
--
7

精选文库
?
由
?
x
?
2
＋y＝1
2
2
1
y＝kx－，
3

416
得(2k
2
＋1)x
2
－kx－＝0.
3 9
16
1664
－
?
＝16k
2
＋＞0恒成立，
Δ＝
k
2
－4(2k
2
＋1)×
?
?9
?
99
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
4k16
则x
1
＋x
2
＝，xx＝－.
123?2k
2
＋1?9?2k
2
＋1?
∴|AB|＝1＋k
2
·|x
1
－x
2
|＝1＋k
2
·?x
1
＋x
2
?
2
－4x
1
x
2
＝< br>4?1＋k
2
??9k
2
＋4?
426
＝，
9
3?2k
2
＋1?
化简得23k
4
－13k
2
－10＝0，即(k
2
－1)(23k
2
＋10)＝0，
解得k＝±1.
uuuruuur
(2)∵
MA
,＝(x
1
，y
1
－1)，
MB
,＝(x
2
，y
2
－1)，
uuuruuur
∴
MA
,·
MB
,＝ x
1
x
2
＋(y
1
－1)(y
2
－1)，
416
＝(1＋k
2
)x
1
x
2
－k(x
1
＋x
2
)＋
39
16?1＋k
2
?< br>16k
2
16
＝－－＋
9?2k
2
＋1?9?2k
2
＋1?
9
＝0.
∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.


x
2
y
2
a
2
21． (2012·广州模拟)设 椭圆M：
2
＋＝1(a＞2)的右焦点为F
1
，直线l：x＝
2与
a2
a－2
uuuruuuur
x轴交于点A，若
OF
1
,＋2
AF
1
,＝0(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x
2＋(y－2)
2
＝1的任意一条直径(E，F为
uuuruuur
PF< br>,的最大值． 直径的两个端点)，求
PE
,·
uuuruuuur
a
2
??
2
，0
解：(1)由题设知，A
?
2
?
，F(a－2，0)，由
OF
1
,＋2
AF
1
,＝0，得a
2
－2＝
?
a－2
?
1
?
a
?
2
2
?
2
－a－2
?
，
?
a－2
?
解得a
2
＝6.
x
2
y
2
所以椭圆M的方程为＋＝1.
62
(2)设圆N：x
2
＋(y－2)
2
＝1的圆心为N，
--
8
2

精选文库
uuuruuuruuur uuuruuuruuur
则
PE
,·(
NF
,－
NP,)
PF
,＝(
NE
,－
NP
,)·
uuu ruuuruuuruuur
＝(－
NF
,－
NP
,)·(
NF
,－
NP
,)
uuuruuur
2
＝
NP< br>,－
NF
,
2

uuur
＝
NP
,
2
－1.
uuuruuur
从而将求
PE
,·→,
2
的最大值． < br>PF
,的最大值转化为求NP―
因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x
0，y
0
)，
2
x
2
y
00
2
＝6－3y
2
. 所以＋＝1，即x
00
62
uuur
22
因为点N(0,2)，所以
NP
,
2
＝x
2
0
＋(y
0
－2 )＝－2(y
0
＋1)＋12.
uuur
因为y
0
∈[－2， 2]，所以当y
0
＝－1时，
NP
,
2
取得最大值12.
uuuruuur
所以
PE
,·
PF
,的最大值为11.

22． (2012·湖北模拟)如图，曲线C
1
是以原点O为中心，F< br>1
，F
2
为焦点的椭圆的一部
分．曲线C
2
是以O为 顶点，F
2
为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C
1
和C
2
的交点且∠AF
2
F
1
75
为钝角，若|AF
1
| ＝，|AF
2
|＝.
22
(1)求曲线C
1
和C
2
的方程；
(2)设点C是C
2
上一点，若|CF
1
|＝ 2|CF
2
|，求△CF
1
F
2
的面积．
x2
y
2
解：(1)设椭圆方程为
2
＋
2
＝1( a＞b＞0)，
ab
75
则2a＝|AF
1
|＋|AF
2
|＝＋＝6，得a＝3.
22
7
?
2
5
2
＋y
2
＝
??
2
，两式相减得xc设A(x，y)，F
1
(－c,0)，F
2
(c,0)，则(x＋c)
2
＋y
2< br>＝
?
，(x－c)
?
2
??
2
?
3
＝.
2
5
由抛物线的定义可知|AF
2
|＝x＋c＝，
2
333
则c＝1，x＝或x＝1，c＝.又∠AF
2
F
1
为钝角，则x＝1，c＝不合题意，舍去．当c
222
＝1时，b＝22，
33
?
x
2
y
2
??
2
所以曲线C
1
的方程为＋＝1
?
－3≤x≤
2
?
，曲线C
2
的方程为y＝4x
0≤x≤
.
2
???
98
(2 )过点F
1
作直线l垂直于x轴，过点C作CC
1
⊥l于点C
1，依题意知|CC
1
|＝|CF
2
|.
在Rt△CC
1
F
1
中，|CF
1
|＝ 2|CF
2
|＝2|CC
1
|，所以∠C
1
CF
1
＝45°，
所以∠CF
1
F
2
＝∠C
1
CF1
＝45°.
--
9

在△CF
1
F
2
中，设|CF
2
|＝r，则|CF
1
|＝2r，|F< br>1
F
2
|＝2.
由余弦定理得2
2
＋(2r)
2
－2×2×2rcos 45°＝r
2
，
解得r＝2，
所以△CF
1
F
2
的面积S△CF
1
F
2
＝
11
2
|F< br>1
F
2
|·|CF
1
|sin 45°＝
2
×2×22sin 45°＝2.


--
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10