高中数学常见难题

高中数学常见难题
1、 已知正三棱锥S－ABC的高SO为3，底面边长为6，过A 向它所对侧面
SBC作垂线，垂足为O′，在AO′上取一点P，使AP︰PO′=8，求经过P
点且平行底面的截面的面积．
分析：本题的关键在于求出过
P
平行于底的截面到顶 点的距离与底面到顶点的距
离之比．
解答：如图10．13，因
S
－
ABC
是正三棱锥，所以
O
是正三角形
ABC
的中心．连
结
AO
延工交
BC
于
D
，则
D
是
BC
的中点，故
BC
⊥
AD
，
BC
⊥
SD
，因而
BC
⊥平面
SAD
，
从而平面
ASD
⊥平面
SBC
．又
AO
′⊥平面
SBC
，故
SO
′在平面
SAD
内，因而
O
′
在
SD
上， 于是

由

设过
P
作平行于底的平面与
SD
的交点为
O
1，则

于是

故所求截面面积
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高中数学常见难题
2、 设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中< br>点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥
截成上、下两部分，试求两部分体积之比． 分析：设过
AM
且平行
BC
的平面交平面
PBC
于EF
（
E
∈
PB
，
F
∈
PC
），要求两部分体积之比，只要求
VP
—ABC
=
S△PEF
︰S△PBC
．
解答：如图10．14，过设AM且平行BC的平面与棱PB、PC分别交 于E、F．则EFBC．连
结AO并延长交BC于D，则D为BC的中点，连结PD交EF于G，则因A
到平面PEF的距离即为A到平面ABC的距离，所以在△PAD中，过
O作PD的平行线，交 AG于N．因为M为PO的中点，故|ON|=|PG|，，
故，因而，故所求上下两部分体积之比为
3、四面体ABCD被平面α所截，对棱AB，CD都与α平行且与α等距，设α截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积．分析：利用“等底、等高
的 两个四面体的体积相等”将四面体添加几个等体积的四面体，构成一个平行六面体来计算．
解答：过四 面体
ABCD
的各棱分别作与其对棱平行的平面，六个平面相交得一平行六面体
ACB D
1
11
1
－
ACBD
（如图10．15）．此时
VABCD
等于平行六面体的体积
V
减去四个彼此等积的三棱锥的体
积，这四 个三棱锥分别是
A
－
ACD
，
B
－
BDC
，
C
－
CAB
，
D
－
DAB
．因为这四个 三棱锥的底面积为
1111
平行六面体底面积的，其高与平行六面体的高相等，故每一个三棱锥 的体积等于于是

由于
AB
，
CD
与截面α等距，如图1 0．15可知
K
，
L
，
M
，
N
分别是AA
1，
CC
，
BB
，
DD
的中点，易
111
知，而
h
就是平面
AC
1
BD
1与平面< br>A
1
CB
1
D
的距离，所以

说明：利用“等积”进行割补，是解决多面体体积问题的一个有效方法．
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高中数学常见难题
例1、已知x、y∈R＋，求证：

证明：∵

∴这三者可视为如图中
AB
、
BC
、
CD
三条线段的长度．

显然|
AB
|＋|
BC
|＋|
CD
|≥|
AD
|=．所以
．
评述：二次根式内是一个二次式，常构造图形，利用余弦定理证明．同法可证：

例3、函数f (x)在[0，1]上有定义，f (0)= f (1) ．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f (x
1
)
－f (x
2
)|<|x
1
－x
2
|．
求证：对于任意
明：不妨设0≤
x
≤
x
≤1．
12
（1）若，则．
命题成立．
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高中数学常见难题
（2）若，根据条件
f
(0)=
f
(1)得
|
f
(
x
)－
f
(
x
)|=|
f
(1)－
f
(
x
)＋
f
(
x
)－
f
(0)|≤|
f
(1)－
f
(
x
)|＋|
f
(
x
)－
f
(0)|
212121
<1－x
＋
x
－0=1－(
x
－
x
)<
21 21
．
命题同样得证．
综上命题成立．

例5、已知n≥2，证明：．
证明：（1）显然是
n
的增函数．
∴．
（2）

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高中数学常见难题 < br>思路分析：易猜出时，，
A
、
B
、
C
中任两者不等时 ，
．
证明：我们先假定
C
是常量，于是
A
＋
B< br>=π－
C
也是常量．
．
显然，当
A
=
B
时，上式达到最大值．因此，只要
A
、
B
、
C
中任 意两个不等，表达式sin
A
＋sin
B
＋sin
C
就没有 达到最大值．因而，当
不等式得证．
时，sin
A
＋sin
B＋sin
C
取到最大值，
评述：不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分 变量，求其他变量变化时，相应表达式
的最值．类似可证：△
ABC
中，

锐角△
ABC
中，tan
A
＋tan
B
＋tan< br>C
≤3

．
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