2018高一数学难题汇编(含解析)

2018高一数学难题汇编



一．选择题（共18小题）

1．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由
于（ ）

，则△ABC的内角A等

A．30° B．60° C．90° D．120°

2．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（且f（x）在区间[
A． B． C．
，
）=f（）=﹣f（），
]上单调，则f（x）的最小正周期是（ ）

D．π

3．已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB =120°，点C是线段AB
上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则
A． B．[﹣1，1） C．
?的取值范围是（ ）

D．[﹣1，0）
< br>4．已知直角△ABC，AB=AC=3，P，Q分别为边AB，BC上的点，M，N是平面上
两 点，若
则
+=0，（+）?=0，=3，且直线MN经过△ABC的外心，
=（ ）

C．1 D．2

A． B．
5．已知△ABC周长为6，a ，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比
数列，则?的取值范围为（ ）

B．（，2] C．[2，） D．（2，9﹣3）

A．[2，18）



第1页（共18页）

6．O为△ABC内一点，且2
t的值为（ ）

A． B．
7．已知向量
=0，则|
A．2﹣
C． D．
++=，=t，若B，O，D三点共线，则

，满足||=2，||==3，若（﹣2）?（﹣）
|的最小值是（ ）

B．2+ C．1 D．2

满足⊥，﹣=2，且||=，若8．已知向量=（m，0}），向 量
与+夹角的余弦值为
A． B． C．
，则||=（ ）

或

或2 D．
9．已知f（x）=2
x
﹣1，g（x）= 1﹣x
2
，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f
（x）|；当|f（ x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（ ）

A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值

C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值

10．已知函数
①函数f（x）是奇函数；

②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；

③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；

④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，

其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

，有下列四个命题：

11．已 知函数f（x）的定义域为D，若对于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）
分别为某个三 角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：

①f（x）=lg（x+1）（x＞0）； ②f（x）=4﹣cosx；

③；

④

其中为“三角形函数”的个数是（ ）

A．1

B．2 C．3 D．4

第2页（共18页）

12．如果对一切实数x、y，不等式
值范围是（ ）

A．（﹣∞，
﹣cos
2
x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取
] B．[3，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣3，3]

13．若存在两个正实数m、n， 使得等式a（lnn﹣lnm）（4em﹣2n）=3m成立（其
中e为自然对数的底数），则实数a的 取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0） B．（0，
∞）

14．设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯
] C．[，+∞） D．（﹣∞，0）∪[，+
一的x∈R，满足f（f（x））=2a
2
y
2< br>+ay，则正实数a的最小值是（ ）

A．2 B． C． D．4
15．已知数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=，a
n
+
1
=2a
n
+a
n
﹣
1
（ n∈N
*
，n≥2），则
的整数部分是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

16．数列{a
n
}满足：a
1
=，a< br>2
=，且a
1
a
2
+a
2
a
3+…+a
n
a
n
+
1
=na
1
an
+
1
对任何的正整数
n都成立，则
A．5032 B．5044
的值为（ ）

C．5048 D．5050

+ +…+，17．数列{a
n
}满足a
1
=，a
n
+
1
﹣1=a
n
（a
n
﹣1）（n∈N
*
），且S< br>n
=
则S
n
的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）

A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}

18．已知递增数列{a
n
}对任意n∈N*均满足a
n
∈N*，a
an
=3n，记
∈N*），则数列{b
n
}的前n项和等于（ ）

A．2
n
+n B．2
n
+
1
﹣1 C．



第3页（共18页）

（n
D．

参考答案与试题解析



一．选择题（共18小题）

1．（2013?沈阳二模）已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由
△ABC的内角A等于（ ）

，则

A．30° B．60° C．90° D．120°

【解答】解：由
∴，


如图由O为△ABC外接圆的圆心

结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，

∴∠CAO=60°，

∴△ABC的内角A等于30°

故选A．




2．（2017?泉州模拟）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（=f（）=﹣f（），且f（x）在区间[，
）
]上单调，则f（x）的最小正
周 期是（ ）

A． B． C． D．π

【解答】解：由f（）=f（）得函数关于x==对称，

第4页（共18页）

则x=
又f（
离最近对称轴距离为
）=﹣f（
．

，0），

），则f（x）有对称中心（
，]上具有单调性，

，从而
由于f（x）在区间[
则≤T?T≥=?T=π．

故选：D．



3．（2016秋?山西期末）已知A，B是单位 圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，
点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆 O的一条直径，则
取值范围是（ ）

A． B．[﹣1，1） C． D．[﹣1，0）

?的
【解答】解：如图，

∵OA=OB=1，∠AOB=120°；

∴O到直线AB的距离d=；

∴
∴
=
=
∴
∴
；

；

的取值范围为．


；


故选A．

第5页（共18页）

4．（2016春?威海期末）已知直角△ABC，AB=AC=3，P，Q分别为边AB，BC上
的点 ，M，N是平面上两点，若
MN经过△ABC的外心，则
A． B． C．1 D．2

+=0，（+）?=0，=3，且直线
=（ ）

【解答】解：建立坐标系将，将直角三角形放入坐标系中，

若+=0，则=﹣=，

即A是PM的中点，

∵直线MN经过△ABC的外心，

∴直线MN经过BC的中点E，

∵（
∴?
+）?=0，

=0，即PQ⊥BC，AE⊥BC，

=3，

则PN∥AE，PN=2AE=2×
∵=3，

，

∴PN=3PQ=3
即PQ=，

直线BC的方程为x+y﹣3=0，

设P（0，m），0＜m＜3，

则PQ==，即|m﹣3|=2，

第6页（共18页）

则m=1或m=5（舍），

即P（0，1），则
故选：D．

=|BP|=2，




5．（2017春?洪山区校级期中）已知△ABC周长为6，a，b，c分别为 角A，B，C
的对边，且a，b，c成等比数列，则
A．[2，18） B．（
?的取值范围为（ ）

） D．（2，9﹣3）

，2] C．[2，
【解答】解：由题意可得a+b+c=6，且b
2
=ac，

∴b=≤=，从而0＜b≤2．

再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）
2＜b
2
，（a+c）
2
﹣4ac＜b
2
，
< br>∴（6﹣b）
2
﹣4b
2
＜b
2
，得b
2< br>+3b﹣9＞0，

又b＞0，解得b＞
∴
∵cosB=
∴? =ac?cosB=
?＜．

＜b≤2，

=，

==
2
=﹣（b+3）+27．

，

则2≤
故选：C．



6．（2016秋?洛阳期中）O为△ABC内一点，且2
第7页（共18页）

++=，=t，若B，

O，D三点共线，则t的值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，
E为BC的中点．

∵2++=，∴=﹣2==2，

∴点O是直线AE的中点．

∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．

过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．

则OM=
∴
∴
=
EC=BC，

，

，

=t，

∴AD=AM=AC，
∴t=．

另解：由2++=，∴点O是直线AE的中点．

=k+（1﹣k）=k+（1﹣k） t∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得
=
∴k=

，

，（1﹣k）t=，解得t=．

故选：B．




第8页（共18页）

7．（2016秋?杭州期中）已知向量
﹣2）?（﹣
A．2﹣ B．2+
）=0，则|
C．1
，满足||=2，||=
|的最小值是（ ）

=3，若（
D．2

，设
=0；

，则：

【解答】解：根据条件，设
=
∴
∴的终点在以
；

为圆心，为半径的圆上，如图所示：

∴|
故选A．



|的最小值为：．

8．（2016春?衡水校级期中）已知向量=（m， 0}），向量
=2，且||=
A． B． C．
，若与+夹角的余弦值为
或2 D．或
设
；

；


满足⊥，﹣
，则||=（ ）

【解答】解：由
∴由
∴< br>∴m
2
+4n
2
=10；

∴m
2
=10﹣4n
2
①；

又；

得，
；

第9页（共18页）

∴
∴
=
，带入①并两边平方得：

；

（ 10﹣2n
2
）
2
=9（10﹣3n
2
）；

整理得，4n
4
﹣13n
2
+10=0；

∴解得n
2
=2，或；

∴
即
故选D．



9．（2017?山东二模）已知f（x）=2
x
﹣1，g（x ）=1﹣x
2
，规定：当|f（x）|≥g
（x）时，h（x）=|f（x）|；当| f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）
（ ）

A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值

C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值

【解答】解：画出y= |f（x）|=|2
x
﹣1|与y=g（x）=1﹣x
2
的图象，

它们交于A、B两点．

由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；

在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．

综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，

因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．

故选C．

；

．




第10页（共18页）

10．（2017?孝义市模拟）已知函数
①函数f（x）是奇函数；

，有下列四个命题：

②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；

③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；

④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，

其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+【解答】解：对于①，函数
∞），

任取 定义域内的x，有f（﹣x）=x
2
+
且f（x）+f（﹣x）=2x
2≠0，

∴f（x）不是奇函数，①错误；

，

对于②，函数f（x）=，

当x＞0时，f（x）=x
2
﹣
f′（x）=2x﹣=
，

，

令h（x）=2x
3
﹣1+lnx，则h（1）=1＞0，

h（）=ln＜0；

∴存在x
0
∈（，1），使h（x
0
）=0；

∴x∈（0，x
0
）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；

x∈（x
0
，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，

∴②错误；

对于③，由②知，当x=x
0
时，f（x）在（0，+∞）上有最小值，

且2

+lnx
0
﹣1=0，∴=﹣2，

第11页（共18页）

则x=x
0
时，y=﹣=3﹣，

由
∴＜3
则3
＜x
0
＜1，得
＜1，

﹣=
＜＜1，

＞0，

∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，③正确；

对于④，当x＜0时，f（x）=x< br>2
+
且f（﹣1）=1＞0，f（﹣）=
，

﹣e＜0，

）内有一个零点，④正确；

∴函数f（x）在区间（﹣1，﹣
综上，正确的命题是③④．

故选：B．



11．（2017?大理州二模）已知函数f（x ）的定义域为D，若对于?a，b，c∈D，
f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长 ，则称f（x）为“三角形函数”．给
出下列四个函数：

①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；

②f（x）=4﹣cosx；

③
④

；

其中为“三角形函数”的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：若f（x）为“三角形函数，

则f（x）
max
﹣f （x）
min
＜f（x）
min
，

①若f（x）=lg（x+1）（x＞0），则f（x）∈（0，+∞），不满足条件；

②若f（x）=4﹣cosx，则f（x）∈[3，5]，满足条件；

第12页（共18页）

③若
④若
故选：B



=1+
，则f（x）∈[1，4]，不满足条件；

，则f（x）∈（1，2），满足条件；

12．（2017?呼和浩特二模）如果对 一切实数x、y，不等式
成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，] B．[3，+∞） C．[﹣2，2
﹣cos
2
x≥asinx﹣恒
] D．[﹣3，3]

恒成立?+≥asinx+1【解答】解：?实数x、y，不等式
﹣sin
2
x恒成立，

令f（y）=+，

﹣cos2
x≥asinx﹣
则asinx+1﹣sin
2
x≤f（y）
min
，

当y＞0时，f（y）=
当y＜0时，f（y）=
++
≥2
≤﹣2
=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）
min=3；

=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），
f（y）
max=﹣3，f（y）
min
不存在；

综上所述，f（y）
min
=3．

所以，asinx+1﹣sin
2
x≤3，即asinx﹣sin
2
x≤2恒成立．

①若 sinx＞0，a≤sinx+
＜t≤1），则a≤g（t）
min
．

由于g′（t）=1﹣＜0，

恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t ）=t+（0
所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，

因此，g（t）
min
=g（1）=3，

所以a≤3；

②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；

③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；

综合①②③，﹣3≤a≤3．

第13页（共18页）

故选：D．



13．（2017春? 雅安期末）若存在两个正实数m、n，使得等式a（lnn﹣lnm）（4em
﹣2n）=3m成立（其 中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0） B．（0，
∞）

【解答】解：由3m+a（2n﹣4em）（lnn﹣lnm）=0，

得3m+2a（n﹣2em）ln=0，

即3+2a（﹣2e）ln=0，

即设t=，则t＞0，

则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，

即（t﹣2e）lnt=﹣有解，

] C．[，+∞） D．（﹣∞，0）∪[，+
设g（t）=（t﹣2e）lnt，

g′（t）=lnt+1﹣
∵g′（e）=lne+1﹣
为增函数，

=1+1﹣2=0，

∴当t＞e时，g′（t）＞0，

当0＜t＜e时，g′（t）＜0，

即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，

即g（t）≥g（e）=﹣e，

若（t﹣2e）lnt=﹣
则﹣≥﹣e，即
，

，+∞）．

有解，

≤e，

则a＜0或a≥
故实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[
故选：D．



第14页（共18页）

14．（ 2017春?静海县校级月考）设函数f（x）=，若对任意给定
的y∈（2，+∞），都存在唯一的x ∈R，满足f（f（x））=2a
2
y
2
+ay，则正实数a
的最小 值是（ ）

A．2 B． C． D．4

的值域为R．
【解答】解：函数f（x）=
∵f（x）=2
x
，（x≤0）的值域为（0，1] ；f（x）=log
2
x，（x＞0）的值域为R．

∴f（x）的值域为（0，1]上有两个解，

要想f（f（x））=2a
2
y
2
+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，

必有f（f（x））＞1 （2a
2
y
2
+ay＞0）．

∴f（x）＞2，即log
2
x＞2，解得：x＞4．

当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系．

∴问题转化为2a
2
y
2
+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0．

∴（2ay﹣1）（ay+1）＞0，解得：y＞
∴≤2，得a．

或者y＜﹣（舍去）．

故选：C．



15． （2017?鼓楼区校级模拟）已知数列{a
n
}满足a
1
=a
2< br>=，a
n
+
1
=2a
n
+a
n
﹣< br>1
（n∈N
*
，
n≥2），则
A．0 B．1 C．2
的整数部分是（ ）

D．3

【解答】解：∵a
n+
1
=2a
n
+a
n
﹣
1
，

∴2a
n
=a
n
+
1
﹣a
n
﹣< br>1
，即
又a
1
=a
2
=，

∴（i∈N
*
，i≥2），

，（n∈N
*
，n≥2），

第15页（共18页）

∴
=
=
=＜2．


∵ a
1
=a
2
=，且a
n
+
1
=2a
n
+a
n
﹣
1
，

∴a
2016
＞1，a
2017
＞1，则
∴1＜＜2．

，

∴
故选：B．



的整数部分是1．

16．（2017?徐汇区校级模拟）数列{a
n
}满足：a
1
=
a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n< br>a
n
+
1
=na
1
a
n
+
1
对任何的正整数n都成立，则
（ ）

A．5032 B．5044 C．5048 D．5050

，a
2
=，且
的值为
【解答 】解：a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+an
a
n
+
1
=na
1
a
n
+
1
，①

a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n
+
1
+a
n
+
1
a
n
+
2
=（n+1）a
1
a
n
+
2
，②

①﹣②，得﹣a
n
+< br>1
a
n
+
2
=na
1
a
n
+
1
﹣（n+1）a
1
a
n
+
2
，

∴
同理，得
∴
整理，得
∴
∵a
1
=< br>是等差数列．

，a
2
=，

的首项是，公差，

=
，

=4，

，

，

∴等差数列
第16页（共18页）

．

∴
故选B．



17．（2017?虎林市校级模拟）数列{a
n
}满足a
1
=，a
n
+
1
﹣1=a
n
（a
n
﹣1）（n∈N
*
），
且S
n
=++…+，则S
n
的整数部分的所 有可能值构成的集合是（ ）

==5044．

A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}

【解答】解：∵数列{a
n
}满足a
1
=，a
n
+
1
﹣1=a
n
（a
n
﹣1）（n∈N
*
）．

可得：a
n
+
1
﹣a
n
=（an﹣1）2＞0，∴a
n
+< br>1
＞a
n
，因此数列{a
n
}单调递增．

则a
2
﹣1=×
同理可得：a
3
=
另一方面：
∴S
n
=
=（
+
﹣
=
…+

，可得a
2
=
，a
4
=
﹣
，

．
，

=＞1，=＜1，

）+（﹣）+…+（﹣）=3﹣，

当n=1时，S
1
=
当 n=2时，S
2
=+
当n=3时，S
3
=+
=，其整数部分 为0；

=1+
+
，其整数部分为1；

=2+，其整数部分为2；

当n≥4时，S
n
=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．

综上可得：S
n
的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．

故选：A．



18．（2017?南昌二模）已知递增数列{a
n
}对任意n∈N*均满足a
n
∈N*，a
an
=3n，< br>记（n∈N*），则数列{b
n
}的前n项和等于（ ）

D．

A．2
n
+n B．2
n
+
1
﹣1 C．
第17页（共18页）

【解答】解：
若
若a
1
=2?a
2
=3；

若
即a
1
=2，a
2
=3，
所以
所以猜测
故选：D．




，讨论：

，不合；

，不合；

，

，

，，，，

．

，所以数列{b
n
}的前n项和等于
第18页（共18页）