高中生数学建模

关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速
的关系的研究
1.问题的提出
水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服
世界的过程中创造出来的高超 劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产。相
传为汉灵帝时华岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广 使
用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1700余年历史。
现代，水车作为一种古老 而独具智慧的艺术品出现在我们的生活
中，人们在惊异古老智慧的同时，是否想过它身上所蕴含的数学问
题？

图1

比如：水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系？
由 图1 可知，水车的高度具有一定的周 期性，故，此模型应为研
究周期现象的模型。在研究过程中，不考虑其他影响水车转速或水流
速 的因素。
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为了更好地学习数学知识，并将它充分运用到实际生活中，我对此
问题想做进一步的研究。

2.问题的分析
问题的条件有两点：
1.题目中要求建立数学模型来研究水车上一点距离水面的高度与
水流速的关系，属于周期现象。
2.研究过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响。

3.模型的假设与符号说明
假设水流速为恒定值。
符号 说明
h
v
w
r
t
b
水车上一点距离水面的高度
水流速
水车的角速度
水车的半径
时间
水车圆心与水面的距离
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α

水车上一点转过的角度
4.模型建立


图2
如图2，水车半径为r，其中心O距离水面距离为b，规定水流速
为v，向左为正方向，任意一点P点距 离水面的高度为h。
求h与v的函数解析式。
5.模型求解
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水流速即可看为水车的线速度，则由已知可得水车的角速度
w=vr.
为了方便，不妨从 当OP与水面平行时开始计时，即从ON处开始计时，
在t时刻水车转动的角度 α=wt=vtr ③
如图2所示，过点P向水面作垂线，交ON于点Q，交水面于点A，
PA即为点P距离水面的高度。
h=PA=PQ+QA=PQ+OM ①
PQ=OP·sinα ②
把②式，③式代入①式得：
h=r·sin（t·vr）+b
这就是水车上任意一点距离水面高度h与水流速v的函数解析式。
6.结果分析
研究函数h= r·sin（t·vr）+b 的性质
（1）：确定周期
T=2πw=2π（tr）=2πrt
（2）：确定频率
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f=1T=t2πr
（3）：讨论性质
当vtr∈【2kπ-π2,2kπ+π2】（k∈Z），
即v∈【2kπrt- πr2t，2kπrt+πr2t】（k∈Z）时，函数递增。
当vtr∈【2kπ+π2，2kπ+3π2】（k∈Z），
即v∈【2kπrt+πr2t，2kπrt+3πr2t】（k∈Z）时，函数递
减。
7.研究拓展
如果雨季河水上涨或旱季河 流水量减少，将造成水车中心O与水
面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化。水面上涨时
参数b减小，水面回落时参数b增大。如果水流速度加快，将使周期
T减小，转速减慢时则使周 期T增大。
8.方案评价
(1).本文把所解决的实际问题转化为函数周期问题，建立模型思
路清晰合理。
(2).简化了水车模型，计算起来更加简便。
(3).将研究结果进行拓展，增强了实用价值
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（4）.但在实际运用中还应考虑自然因素对水流速的影响，根据实
际情况进行灵活改变。
（ 5）.面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能，通
过这个问题的研究，我更加熟练的掌握了 把问题提供的“条件”逐条
地“翻译”成“数学语言”。
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