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高中常见数学模型案例
中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课
程标准》中明确指出:“数
学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数
学建模是数学学
习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决问题中
的
价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问
题
的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能
力。”教材中常
见模型有如下几种:
一、函数模型
用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常
用的方法。函数模型与方法在
处理实际问题中的广泛运用,两个变量或几个变量,凡能找到它们之间的联
系,并用数学形
式表示出来,建立起一个函数关系(数学模型),然后运用函数的有关知识去解决实际问
题,
这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题
例1:某商人购货
,进价已按原价a扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让
利销售后仍可获得售价25%的纯
利,则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y
之间的函数关系是___________。
分析:欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式,关键是要弄清原价、进价、
新价之
间的关系。
若设新价为b,则售价为b(1-20%),因为原价为a,所以进价为a(1-25%)
解:依题意,有
b(1?0.2)?a(1?0.25)?b(1?0.2)?0.25
化简得
b?
5
a
,所以
4
y?0.2bx?
5a
a?0.2?x
,即
y?x,x?N
?
44
2、一次函数问题
例2:某人开汽车以60kmh的速度从A地到150km
远处的B地,在B地停留1h后,
再以50kmh的速度返回A地,把汽车离开A地的路x(km)表示
为时间t(h)的函数,
并画出函数的图像。
分析:根据路程=速度×时间,可得出路程x和
时间t得函数关系式x(t);同样,可
列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量,从B地返
回时速度为负值,重点应注意如何画
这两个函数的图像,要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的
。
解:汽车离开A地的距离x km与时间t h之间的关系式是:
?
60t,t?
[0,2.5]
?
x?
?
150,t?(2.5,3.5]
,图略。
?
150?50(t?3.5),t?(3.5,6.5]
?
?
60
,t?[0,2.5)
?
速度vkmh与时间t
h的函数关系式是:
v?
?
0,t?[2.5,3.5)
,图略。
?
?50,t?[3.5,6.5)
?
3、二次函数问题
例3:
有L米长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全
等小矩形组成的矩形,试
问小矩形的长、宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并具体标出
窗框面积的最大值。
解:设小矩形长为x,宽为y,则由图形条件可得:
11x?
?
x?9y?l
∴
9y?l?(11?
?
)x
要使窗所通过的光线最多,即要窗框面积最大,则:
244?
?
2l
2
2l
2
2
s
??6xy?x?[lx?(11?
?
)x]??(x?)?
223644?
?
3(44?
?
)
?
x
2
?
2
∴
当
x?
2l
l?(11?
?
)x(22?
?
)l<
br>时,
y?
?
44?
?
99(44?
?)
x18
2l
2
即:
?
此时窗框面积S有最大值
s
max
?
。
y22?
?
3(44?
?
)
可见,一般的设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后
根据问题已知条件,
运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式,将实际问题转化
为数学
问题,实现问题的数学化,也就是建立数学模型。
二、数列模型
数列模型有
增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问
题,下面以一个例题来分析银
行中的数学建模问题。
例4:某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息
,如果
贷款10000元,两年还清,月利率为0.4575%,那么每月应还多少钱呢?
分
析与假设:按照规定,偿还贷款既要偿还本金,还要支付利息。在上述问题中,到贷
款两年(即24个月
)付清时,10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢?引导学生通
过填表来回答:
10000元贷款的本金(元)与它的利
息之和
1个月后
2个月后
3个月后
…
…
23个月后
24个月后
通过对例子的分析,与学生交流使学生认识到:到期偿还贷款的含义即各月所付
款连同
到贷款付清时所生利息之和,等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和,计算每月应付款额。 <
br>2324
x?1.004575x???1.004575x?10000?1.004575<
br>
可以发现,上述等式是一个关于x的一次方程,且等号左边括号内是一个首项为1,公
比为1.004575的等比数列的前24项的和,于是:
24
1?1.00
4575
24
x??10000?1.004575
1?1.004575
24
10000?1.004575?(1?1.004575)
即
x?
24
1?1.004575
解之得
x?440.91
提出问题:如果采用上述分期付款方式贷款a元,m个月将款全部付清,月利率为r,那么
每月付款款
额的计算公式是什么?
显然问题转化为建立关于x的方程。设采用分期付款方式贷a元,m个
月将款全部付清,
月利率为r,每月付款x元,那么:
m?1m?22
m
a
(1?r)?x1?rx?1?r?...1?x?r?x1?r?x
????
m<
br>????
x[(1?r)
m
?1]
把右边求和,得
a(1?r
)?
,
r
ar(1?r)
m
所以:
x?
万元。
m
(1?r)?1
三、初等概率模型
古典概率不仅要求基本实践的出现具有
等可能性,而且要求样本空间为有限集,但实际
问题中却经常会碰到无限样本空间的情形,对于无限样本
空间的情形,常可转化为几何概率
来解决。
例5:将n个球随机地放入n个盒子中去,求每个盒子恰有一个球的概率。
分析与求解:因为
每一个球都可以放进n个盒子中的任一个盒子,共有n种不同的放法,
n个球放进n个盒子就有n×n×
…×n=
n
种不同的放法,而每种放法就是样本空间中的一
个元素,所以样本空间中元
素的总数为
n
个。现在来求每个盒子恰有一个球时,球的不同
放法的种数。
第一个球可以放进n个盒子之一,有n种放法;第二个球只能放进余下的(n-1)个盒
子之一,有(
n-1)种放法,…,最后一个球只可以放进唯一余下的盒子,所以n个球放进
n个盒子中要使每个盒子
中都恰有一个球,共有
n!
种不同的放法,因而所求得概率为:
n
n
A
n
P(A)?
n
。
n
几
何概率所描述的随机试验满足:试验的样本空间是一个可度量的几何区域(这个区域
可以是一维、二维甚
至n维);试验中每个基本事件发生的可能性都一样,即样本点落入某
一个可度量的子集A的可能性与A
的几何测度成正比,而与A的形状及位置无关。如下面
的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。 <
br>例7:两位网友相约见面,约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会,他们约好当
其中
一人先到后,一定要等另一人20分钟,若另一人仍不到则离去,试问这两位朋友能相
遇的概率为多少?
(假定他们到达约定地点的时间是随机的,且都在约定的一小时内)
解:以x、y分别表示两人到达的
时刻,则两人相遇必须满足下列条件:∣x-y∣≤20,两
人到达时刻的所有可能结果可用边长为60
的正方形区域上的任意点(x,y)表示,该正方
形上的所有点的集合构成了样本空间。
如下图的阴影部分(满足不等式∣x-y∣≤20的点的集合)表示“两人能相遇”这一事
件的
概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。
P(A)?
S
小<
br>S
大
?
20005
?
。
36009
通过这一段的研究,笔者有如下心得:
(1)在数学教学中和对学生数学学习的指导中,应重视介绍数学知识的来龙去脉。
(2)在
数学教学和课外活动中,要鼓励支持学生“面对实际问题时,能主动尝试着以数学的
角度运用所学知识和
方法寻求解决问题的策略”。开阔学生的数学视野,使他们了解数学的
应用价值。
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