高中常见数学模型案例.

高中常见数学模型案例
中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程 标准》中明确指出：“数
学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学 建模是数学学
习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的
价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问
题的 过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能
力。”教材中常见 模型有如下几种:
一、函数模型
用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用 的方法。函数模型与方法在
处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系 ，并用数学形
式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题 ，
这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题
例1：某商人购货， 进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让
利销售后仍可获得售价25%的纯利 ，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y
之间的函数关系是___________。 < br>分析：欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、
新价之间 的关系。
若设新价为b，则售价为b（1－20%），因为原价为a，所以进价为a（1－25％）
解：依题意，有
b(1?0.2)?a(1?0.25)?b(1?0.2)?0.25
化简得
b?
5
a
，所以
4
y?0.2bx?
5a
a?0.2?x
，即
y?x,x?N
?

44
2、一次函数问题
例2：某人开汽车以60kmh的速度从A地到150km 远处的B地，在B地停留1h后，
再以50kmh的速度返回A地，把汽车离开A地的路x（km）表示 为时间t（h）的函数，
并画出函数的图像。
分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x和 时间t得函数关系式x（t）；同样，可
列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B地返 回时速度为负值，重点应注意如何画
这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的 。
解：汽车离开A地的距离x km与时间t h之间的关系式是：
?
60t,t? [0,2.5]
?
x?
?
150,t?(2.5,3.5]
，图略。
?
150?50(t?3.5),t?(3.5,6.5]
?
?
60 ,t?[0,2.5)
?
速度vkmh与时间t h的函数关系式是：
v?
?
0,t?[2.5,3.5)
，图略。
?
?50,t?[3.5,6.5)
?
3、二次函数问题
例3： 有L米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全
等小矩形组成的矩形，试 问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出
窗框面积的最大值。

解：设小矩形长为x，宽为y，则由图形条件可得：
11x?
?
x?9y?l

∴
9y?l?(11?
?
)x

要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：
244?
?
2l
2
2l
2
2

s ??6xy?x?[lx?(11?
?
)x]??(x?)?
223644?
?
3(44?
?
)
?
x
2
?
2
∴ 当
x?
2l
l?(11?
?
)x(22?
?
)l< br>时，
y?

?
44?
?
99(44?
?)
x18
2l
2
即：
?
此时窗框面积S有最大值
s
max
?
。
y22?
?
3(44?
?
)
可见，一般的设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后 根据问题已知条件，
运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化 为数学
问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。
二、数列模型
数列模型有 增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问
题，下面以一个例题来分析银 行中的数学建模问题。
例4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息 ，如果
贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575％，那么每月应还多少钱呢？
分 析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。在上述问题中，到贷
款两年（即24个月 ）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通
过填表来回答：

10000元贷款的本金（元）与它的利
息之和
1个月后





2个月后
3个月后
…


…
23个月后

24个月后


通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付 款连同
到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。 < br>2324
x?1.004575x???1.004575x?10000?1.004575< br>
可以发现，上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公
比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是：

24
1?1.00 4575
24
x??10000?1.004575

1?1.004575
24
10000?1.004575?(1?1.004575)
即
x?
24
1?1.004575
解之得
x?440.91

提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款a元，m个月将款全部付清，月利率为r，那么
每月付款款 额的计算公式是什么？
显然问题转化为建立关于x的方程。设采用分期付款方式贷a元，m个 月将款全部付清，
月利率为r，每月付款x元，那么：
m?1m?22
m
a (1?r)?x1?rx?1?r?...1?x?r?x1?r?x

????
m< br>????
x[(1?r)
m
?1]
把右边求和，得
a(1?r )?
，
r
ar(1?r)
m
所以：
x?
万元。
m
(1?r)?1
三、初等概率模型
古典概率不仅要求基本实践的出现具有 等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际
问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本 空间的情形，常可转化为几何概率
来解决。
例5：将n个球随机地放入n个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。
分析与求解：因为 每一个球都可以放进n个盒子中的任一个盒子，共有n种不同的放法，
n个球放进n个盒子就有n×n× …×n=
n
种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一
个元素，所以样本空间中元 素的总数为
n
个。现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同
放法的种数。
第一个球可以放进n个盒子之一，有n种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒
子之一，有（ n-1）种放法，…，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以n个球放进
n个盒子中要使每个盒子 中都恰有一个球，共有
n!
种不同的放法，因而所求得概率为：
n
n
A
n
P(A)?
n
。
n
几 何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域
可以是一维、二维甚 至n维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某
一个可度量的子集A的可能性与A 的几何测度成正比，而与A的形状及位置无关。如下面
的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。 < br>例7：两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当
其中 一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相
遇的概率为多少？ （假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内）
解：以x、y分别表示两人到达的 时刻，则两人相遇必须满足下列条件：∣x－y∣≤20，两
人到达时刻的所有可能结果可用边长为60 的正方形区域上的任意点（x，y）表示，该正方

形上的所有点的集合构成了样本空间。
如下图的阴影部分（满足不等式∣x－y∣≤20的点的集合）表示“两人能相遇”这一事
件的 概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。

P(A)?
S
小< br>S
大
?
20005
?
。
36009
通过这一段的研究，笔者有如下心得：
（1）在数学教学中和对学生数学学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
（2）在 数学教学和课外活动中，要鼓励支持学生“面对实际问题时，能主动尝试着以数学的
角度运用所学知识和 方法寻求解决问题的策略”。开阔学生的数学视野，使他们了解数学的
应用价值。