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高考试题里的数学建模

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 02:10
tags:高中数学建模

河南南阳高中数学教学顺序-美国高中数学竞赛amc12

2020年9月22日发(作者:常重胤)


数学建模问题
1.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对
淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为
x元千克
,政府补贴为
t元 千克
,根据市场调查,当
8?x?14
时,淡水鱼的市场供应量
P
千 克与
市场日需求量
Q
千克近似地满足关系:
P?1000
?
x?t?8
??
x?8,t?0
?

Q?50040?
?< br>x?8
?
2
?
8?x?14
?
.当
P?Q< br>时的市场价格称为市场平衡
价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定 义域;(2)
为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?(1995
年高考题)
2.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,
人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每
年至多只能减少多少公顷 (精确到1公顷)?(1996年高考题)
3.甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超
过C千米时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定
部分组成 :可变部分与速度
v
(千米时)的平方成正比,比例系数为b;固
定部分为
a
元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度
v
(千米时)的函
数,并指出 这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多
大速度行驶?(1997年高考题)
4.如图,为处理含有某种杂质的
污水,要制造一底宽为2米的无盖长
方体沉淀箱. 污水从A孔流入,经沉淀
后从B孔流出.设箱体的长度为
a
米,
高度为b米.已知流出的水中该杂质
a

(图)

b

2

O

A

O

B

第 1 页 共 20 页


的质量分数与a,b的乘积 ab成反比,现有制箱材料60平方米.问当a,b
为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数 最小(A,B孔的面积
忽略不计).(1998年高考题)
5.右图为一台冷
轧机的示意图.冷轧机由
若干对轧辊组成,带钢
从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.
Ⅰ.输入带钢的厚度为
?
,输 出带钢的厚度为
?
,若每对轧辊的减薄率
不超过
r
0
,问冷 轧机至少需要安装多少对轧辊?
输入该对的带钢厚度?从该对输出的带钢厚度
??
?
一对轧辊减薄率?
?
输入该对的带钢厚度
??
Ⅱ.已知一台 冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为
1600mm.若第
k
对轧 辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧
机输出的带钢上,疵点的间距为
L
k
,为了便于检修,请计算
L
1
,L
2
,L
3< br>
并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗).(99年高考题,
广东卷)
轧辊序号
k

疵点间距
L
k
(单位:mm)
1

2

3

4
1600
6. 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300
天内,西红柿市场 售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的
种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表 示.



第 2 页 共 20 页



图一
图二
Q

300


P


P
P
300
P
200
P
200
100
P
100
P
P

P

0
P
100 200 300
P
P
P
Ⅰ.写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式
P?f
?
t
?

PPP
P
P
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式
Q?g
?
t
?

Ⅱ.认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益
t
0
100
200
P
300
t
最大?(00年高考题,广东卷)
(注:市场售价和种植成本的单价:
元10kg
,时间单位:天)
7 .设 计一幅宣传画,要求画面面积为
4840cm
,画面的宽与高的比为
2
2?
?
?
?1
?
,画面的上、下各留
8cm
空白 ,左、右各留
5cm
空白.怎样确定画
面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小 ?如果要求
?
?
?
,
?

34
那么
?
为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?(01年高考题,广东卷)
8.某城市200 1年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末
汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相 同,为保护城市环境,要求该
城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
(02年高考题,全国卷)
9.(Ⅰ)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2), 要求用其
中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们
?
23
?
??
第 3 页 共 20 页


的全面积都与原三角 形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示
在图1、图2中,并作简要说明;
(Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小;
(Ⅲ)如果给出的是一块任意三角形 的纸片(如图3),要求剪拼成一
个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一 种剪
拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.(02年高考题,B卷)




图1
图2
图3

10.相距40公里的 两个城镇A,B之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在AB
连线的中点O,半径为10公里,如图所示.现 要修建一条连结两城镇的公路,
问应如何选择公路的路线,使公路最短,并给出证明.


A B

O


11.在一边长为9
m
,一边长为16
m
的长方形的土地内,任意种植49颗树,
试证明其中总 有两颗树之间的距离不大于2.5
m
.

12.某矿石基地A和冶炼厂B在 铁路MN的两侧,A距铁路
m
公里,B距
铁路
n
公里,在铁路上要建 造两火车站C,D,A地矿石先用汽车由公路运
到火车站C,然后用火车运输到火车站D,再用汽车运到 B地,如图所示,
A、B在铁路MN上投影
A
?
B
?
距离长
l
公里,若汽车速度每小时
u
公里,火
车速度每小时
v公里,这里
v?u
,要使运输矿石的时间最短,火车站C,
B
D应该建立在什么地方?

n
A
?


C
M N
?

B

D
m

A

第 4 页 共 20 页



13.A,B 两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,而D、E、F
三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨 ,每千吨的运价表如下:

(万元) 到D 到E 到F
从A 4 5 6
从B 5 2 4

怎样确定调运方案,使总的运费为最小?

14.四个工厂A、B、C、D,且
AB?a
(公里)、
BC?
2< br>、∠
ABC
a
(公里)
3
=45
0
、∠BCD
=120
0
,现在要找一个供应站H的位置,使它到四个工厂距
离 和HA+HB+HC+HD为最小,说明道理,并求出最小值.
15.某工厂生产A、B两种产品,分 别需要原材料2千克、3千克;消耗能
源每件1百元、6百元;劳动力每件需要4个人工、2个人工;获 利每件5
千元、6千元.但库存原材料有1750千克;能源消耗总额不超过2405百元;
全 厂满员2500人.试问怎样安排生产任务使获得利润最大?并求出最大利润
额.

16.在长为60cm、宽为40cm的矩形铁皮中要切成长为10.2cm、宽为9.3cm
的长方形 单件,怎样截法才能使材料的利用率最高,具体画出落料方案图,
并求出材料利用率的最大值.

17.某学校请了30名木工,要制作200张椅子和100张课桌,已知制作一
张 课桌与制作一把椅子的工时之比为10:7,问30名工人应如何分组(一
组制作课桌,另一组制作椅子 )能使完成全部任务最快.

18.某食品店每天顾客需求100、150、200、250 、300只蛋糕的可能性分别
为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1,每个蛋糕的进货价为2 .5元,销售价为4元,
若当天不能售完,剩下的以每只2元的价格处理,问该店每天进货多少只蛋糕为宜(进货量必须是50的倍数)?

19.乘夏利出租汽车,行程不超过4公里时, 车费为10.40元,行程大于4
公里但不超过15公里时,超出4公里部分,每公里车费1.60元. 行程大于
15公里后,超出15公里的部分,每公里车费2.40元,途中因红灯等原因而
停车 等候,每等候5分钟收车费1.60元,又计程器每半公里计一次价,例如,
当行行驶路程
x< br>(公里)满足
12?x?12.5
时,按12.5公里计价;当
第 5 页 共 20 页


12.5?x?13
时,按13公里计价.等候时间每2.5分钟计 一次价,例如,等
候时间
t
(分钟)满足
2.5?t?5
时,按2. 5分钟计价;当
5?t?7.5
时,
按5分钟计价.请回答下列问题:
(1) 若行驶12公里,停车等候3分钟,应付多少车费?
(2) 若行驶23.7公里,停车等候7分钟,应付多少车费?
(3) 若途中没有停车等候,所付车费y
(元)就是行程
x
(公里)
的函数
y?f(x)
,画 出
y?f(x)(0?x?7)
的图像.
20.年初小王承包了一个小商店,一月初 向银行贷款10000元作为投入资金
用于进货.每月月底可售出全部货物,获得毛得(当月销售收入与 投入资金
之差)是该月月初投入资金的20%.每月月底需要支出税款等费用共占该月
毛利的6 0%.此外小王每月还要支出生活费300元.余款作为下月投入资金用
于进货.如此继续,问到年底小 王拥有多少资金?若货款年利率为10.98%,
问小王的收入为多少?
















第 6 页 共 20 页



数学建模问题参考解答
1. (1995年高考题)解:(1)由市场供求平衡价格定义知, 当
P?Q
,即
1000
?
x?t?8
?
?5004 0?
?
x?8
?
时,可得供求平衡价格.上式化简得
2
5x
2
?
?
8t?80
?
x?4t
2
?16t ?70?0
,其中
??800?16t
2
时,可得
??
42 42
x?8?t?50?t
2
,由
t?0
,上式中
8
?t?
50
?t
2
?
8
,由
5555
4 2
所求函数应为
x?8?t?
定义域为
0,10
.
50 ?t
2

8?x?14
知,
55
42
(2)为使< br>x?10
,应有
8?t?50?t
2
?0
,即
55< br>?
?
t
2
?4t?5?0
,又
t?0
,知< br>t?1
,即政府补贴至少每千克1元.
2. (1996年高考题)解:设耕地平均每 年至多只能减少
x
公顷,又设该地
区现有人口为
p
人,粮食单产为< br>M吨公顷
,由题意有
M?
?
1?22%
?
?10
4
?10x
p?
?
1?1%
?
3
?
10
?
?
M?10
?
?
1?10%
?

p
4
?
1.1?
?
1?0.01
?
10< br>?
化简得
x?10?
?
1?

?
?4.1< br>,即每年至多只能减少4公顷。
1.22
??
3. (1997年高考题)解: (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时
间为
S
S
?
a?
2
S
,全程运输成本为
y?a??bv??S
?
?b v
?
,其定义域为
vv
v
?
v
?
?
0,c
?
. < br>(2)依题意知
S,a,b,v
都为正数,故有
S
?
?
a
?
?bv
?
?2Sab
,当且仅当
?
v
?
第 7 页 共 20 页


a
?bv

v?< br>v
最小.若
aa
?
c
,则当
v?
时取等号. 若
bb
a
时,全程运输成本
y

b
a
?
c
,当
v?
?
0,c
?
时,有
b?
a
??
a
?
S
S
?
?bv
?
?S
?
?bc
?
?
?
c?v
??
a?bcv
?
.
?
v
??
c
?
vc< br>因
c?v?0
,且
a?bc
2
,故
a?bcv?a? bc?o
,所以
22
?
a
??
a
?
S?
?bv
?
?S
?
?bc
?
,且仅当
v?c
时等号成立,也即当
v?c
时,全
?
v< br>??
c
?
程运输成本
y
最小. 综上,为使全程运输成本y
最小,当
ab
?c
时,行
b
驶速度应为
v?
abab
?
c
时行驶速度应为
v?c
.
;当bb
4.(1998年高考题)解:依题意,即所求的
a,b
值使
ab< br>最大.由题设知
4b?2ab?2a?60
?
a?0,b?0
?
,即
a?2b?ab?30
.因
a?2b?22ab
,则
22ab ?ab?30
,当且仅当
a?2b
时上式取等号.

a?0,b?0
,解得
0?ab?18
,即当
a?2b
时,
ab
取 最大值18,

2b?18
,求得
b?3,a?6
.
5. (99年高考题,广东卷)本题主要考查等比数列、对数计算等基本知识,
考查综合运用数学知识和方法 解决实际问题的能力.
Ⅰ.解:厚度为
?
的带钢经过减薄率均为
r
0
的对轧辊后厚度为
2
?
?
1?r
0
?
n
.
第 8 页 共 20 页


为使输出带钢的厚度不超过
?
,冷轧机的轧辊数( 以对为单位)应满

?
?
1?r
0
?
?
?
,即
?
1?r
0
?
?
n
n
?.
?
由于
?
1?r
0
?
?
0,n
?
?
0
,对上式两端取对数,得
?
?
nl g
?
1?r
0
?
?lg

?
lg
?
?lg
?
.

lg
?< br>1?r
0
?
由于
lg
?
1
?r
0< br>?
?
0
,所以
n?
因此,至少需要安装不小于
lg< br>?
?lg
?
的整数对轧辊.
lg
?
1?r
0
?
Ⅱ.解法一:第
k
对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长,在此处出口的两 疵
点间带钢的体积为
?
其中r?20%
?
,1600?
?
?
1?r
?
?宽度  

k
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
L
k
?
?
?
1?r
?
?宽度.

4
因宽度相等,且无损耗,由体积相等得
?
r?20%
?

1600?
?
?
1?r
?
?L
k
?
?
?
1?r
?
  
k4

L
k
?1600?0.8
k?4
.

由此得
L
3
?20 00
?
mm
?
,
L
2
?2500
?
mm
?
,L
1
?3125
?
mm
?
.< br>
填表如下
轧辊序号
k

1 2
2500
3
2000
4
1600
疵点间距
L
k
(单位:mm)
3125

解法二:第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间
第 9 页 共 20 页


带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等,因宽度不变,有
1600?L
3
?
?
1?0.2
?
,

所以
L
3
?
同理
L
2
?
填表如下
轧辊序号
k

1 2
2500
3
2000
4
1600
1600
?2000
?
mm
?
.

0.8
L
3
L
?2500
?
mm
?
,

L
1
?
2
?3125
?
mm
?
.

0.80.8
疵点间距
L
k
(单位:mm)
3125

6. (00年高考题,广东卷)本题主要考查由函数图象建立函数关系 式和求
函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力.
解:Ⅰ.由图一可得市场售价与时间的函数关系为
0?t?200,
?
30 0?t,  
f
?
t
?
?
?

2t?30 0,
  
200
?
t?300;
?
由图二可得种植成本与时 间的函数关系为
g
?
t
?
?
1
?
t?1 50
?
2
?100,  0?t?300.

200
Ⅱ.设
t
时刻的纯收益为
h
?
t
?
,则由题意得
h
?
t
?
?f
?
t
?
?g
?< br>t
?
,


?
1
2
1175?t?t?,  0?t?200,
?
?
20022
h
?
t
?
?
?

?
?
1
t
2
?
7
t?
1025
,
  
200
?
t? 300.
?
22
?
200

0?t?200
时,配 方整理得
第 10 页 共 20 页


h
?
t
?
??
1
?
t?50
?
2
?100,
200
所以,当
t?50
时,
h
?
t
?
取得区间
?
0,200
?
上的最大值100;

200?t?300
时,配方整理得
h
?
t
?
??
1
?
t?350
?
2
?100,
< br>200
所以,当
t?300
时,
h
?
t
?< br>取得区间
?
200,300
?
上的最大值87.5.
综上, 由
100?87.5
可知,
h
?
t
?
在区间
?
0,300
?
上可以取得最大值100,
此时
t?50
,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
7. (01年高考题,广东卷)解: 宣传画画面和纸张为长方形,是约定俗成
的.设定画面的宽或高为一个变量
x
,可表示 出另一个变量,依题意可写出
表示纸张面积的函数表达式
S?f
?
x,
?
?
.注意到画面面积是给定的,可置换
出一个变量,从而求函数的最小值. 解法1:设画面高为
x 
cm
,宽为
?
x
cm
,则
?
x?4840
.
设纸张面积为
S
,则有
2
S?
?
x?16
??
?
x?10
?
 ?
?
x?
?
16
?
?10
?
x?160.< br>2


x?
2210
?
代入上式得
?5
S?5000?4410?8
?
?
?
?
?

8
?
?
?
?
?

?
5
?
,即
?
?
5
?
5
?
?
?
1
?
时,
S
取得最小值.
8
?
8
?
?88cm,

第 11 页 共 20 页
此时,高:
x?
4840
?


宽:
?x?
5
?88?55cm.

8
23
如果
?< br>?
?

?
,可设
?
?
1
?
?
2
?
,则由
S
的表达式得
34
?
34
?
?
23
?
?
55
?
??
S?
?
1
?
?S
?
?
2
?
?4 4108
?
1
??8
?
2
?
?
?
1
?
2
?
??
      ?4410
?
?
1
?
?
2
?
8?
?
?
?
??
?
.
?
1
?
2
?
?
5
由于
?
1
?
2
?
525
?0.
.
?
,故
8?
38
?
1
?
2
因此< br>S
?
?
1
?
?S
?
?
2
?
?
0.

所以
S
?
?
?
在区间< br>?
,
?
内单调递增.
34
从而,对于
?
?
?
,
?
,当
?
?
时,
S
?
?
?
取得最小值.
3
?
34
?
答:画面高为< br>88cm
,宽为
55cm
时,能使所用纸张面积最小;
如果要求?
?
?
,
?
,则当
?
?
时,所用纸张 面积最小.
3
?
34
?
8. (02年高考题,全国卷)解:设2 001年末汽车保有量为
b
1
万辆,以后
各年末汽车保有量依次为
b
2
万辆,
b
3
万辆,…,每年新增汽车
x
万辆,则
?
23
?
??
?
23
?
2
?23
?
2
b
1
?30,  b
2
?b
1
?0.94?x
.
对于
n?1
,有
b
n?1
?b
n
?0.94?x
   ?b
n?1
?0.94?(1 ?0.94)x
……
第 12 页 共 20 页
2

< br>?  b
n?1
?b
1
?0.94
n
?x1?0.9 4??0.94
n?1
1?0.94
n
      ?b
1
?0.94?x
0.06
xx
??
n
      ??
?< br>30?
?
?0.94.
0.06
?
0.06
?
n
??


30?
x
?0
,即
x?1.8
时,
0 .06
b
n?1
?b
n
?
?
?b
1
?30.


30?
x
?0
,即
x?1.8
时,
0.06
x

0.06
并且数列
b
n
逐 项增加,可以任意靠近
?
xx
?
x
?
n?1
?limb
n
?lim
?
?
?
30??0.94?,
?
?
n???n???
0.060.06
??
??< br>0.06
因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即
?
n?1,2,3,?
?
.

b
n
?60  

x
?60
,即
x?3.6
(万辆).
0.06
综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.
9.(02年高考题,B卷)本 小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探
究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力.
解:(Ⅰ)如图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱
锥.
如图2, 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻
边边长为三角形边长的
1
, 有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可
4
成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同 的四边形恰好拼成这个三棱
柱的上底.
(Ⅱ)依上面剪拼的方法,有
V

?V


第 13 页 共 20 页


推理如下:
设给出正三角形纸片的边长为2,那么 ,正三棱锥与正三棱柱的底面
都是边长为1的正三角形,其面积为
2
3
,现在 计算它们的高:
4
?
23
?
613
0
?
?h

?1?
?
?,  h?tg30?,

?
3 2
?
326
??
63
?
322?3
?
1< br>?
3
?
?
??  V

?V

?< br>?
h

?h

?
??
?
??
?
0

??
3496424
??
??
所以
V

?V


(Ⅲ)如图3,分别连接三角形的内心与各顶点, 得到三条线段,再以
这三条线段的中心为顶点作三角形,以新作的三角形为直三棱柱的底面,过
新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线,沿六条垂线剪下三个四边形,
可以拼接成直三棱柱的上底, 余下部分按虚线折起,成为一个缺上底的直三
棱柱,即可得到直三棱柱模型.





图1
图2
图3
10.解:过
A,B

AB
同侧分别作⊙
O
的切线
AA
?
,BB
?
,则
?
?
AA
?
?
A
?
B
?
?BB
?
为所求最短的公路线,由内包凸折线不大于外包凸折 线
1
?10
?
??????
公里.
3
11.解: 将长方形土地平分成48块相等的长方形,每块长为
2m
、宽为
1.5m
,< br>定理可证得(证略)最短距离:
203?
总有一块小长方形土地有两棵树,它的距离不大 于对角线:
1.5
2
?2
2
?2.5m
.
第 14 页 共 20 页


12.解:设
A
?
C?x
,则
AC?m
2
?x
2
.暂不考虑车站
D
,求从< br>A
经过
C

B
?
所需最短时间
t
.
t
AC
?
m
2
?x
2
l?x
,t
BC
? (0?x?l)

uv
t?t
AC
?t
BC
得方程:
xl
?t??
vv
A
?C?
(m?n)u
v?u
22
m
2
?x
2,整理为关于
x
的方程,用
?
法可以求得:
u
,同理求得:
B
?
D?
mu
v?u

22
nu
v?u
22
(要求指出:
l?
13.解: 设从
A
运到
D

x
,从
A
运到
E

y
,则根据题意列出下表:

D

E

F


12

8
20
A


x

y

12?x?y

8?x

6?y

x?y?6

8 6 6
B


?
x?0,
?
y?0,
??
?
12?x?y?0,
约束条件:
?

?
8?x?0,
?
6?y?0,
?
?
?
x?y?6?0,目标函数:
f??3x?y?100.




第 15 页 共 20 页


x

0
6
8
6
8
约束条件区域如图所示:
y
(0,6)
y

6
6
4
0
0
f

106
88
80
82
76(min)







(6,6)
(8,4)
12-x-y=0

0

(8,0) (6,0)
x+y-6=0
x



A
运到
D< br>8千吨、从
A
运到
F
4千吨、从
B
运到
E< br>6千吨、从
B


F
2千吨.

14.
解:根据题意作图有两种情况:
(1).凸四边形
如图,连接AC,BD
其交点
H
为所求供应站的位置,不妨任取一点
H
?< br>,就

H
?
A?H
?
C?AC?HA?HC, H
?
B?H
?
D?BD?HB?HD
两式相加
得:
H
?
A?H
?
B?H
?
C?H
?
D?H A?HB?HC?HD
,所以,
H
点到
A,B,C,D
距离和为最小 .






a

2
D H
C
2
a

3
H
?

A
a

B
第 16 页 共 20 页


BD
2
?
4
2
1
2
2a37
2
a?a?a??a
943236
4
2
22
2
13?62
2
a?2??a?a
9239

AC
2
?a
2
?
所以
(HA?HB?HC?HD )
min
?BD?AC
?
37?213?62
a?1.72a
6
(2).凹四边形
如图,连接
AC,H
点与
C
点重合 ,即
C
点为所求供应站的位置.不妨任
取一点
H
?
,若H
?

DC,AC

廷长线所夹的角内,就有

H
?
A?H
?
D?AC?CD,

H
?
B?H
?
C?CB
.










故得:
D
a

2
C(H)
A
H
?

a

2
a

3
B
H
?
A?H
?
B?H
?
C?H
?
D?AC?CD?CB?HA? HB?HC?HD
.

H
?

AC,BC
延长线或
BC,DC
延长线所夹的有内,或在
AC,BC,CD
的延长线上, 均可证得上述结论.
所以,
C
点为所求的
H
点位置.
A C
2
?a
2
?
4
2
2213?62
2a?2a?a?a

9329
第 17 页 共 20 页


所以
(HA?HB?HC?HD)
min
?CA?CB?C D
7?213?62
?a?1.87a.
6

15.
解:设 安排生产A种产品
x
件,B种产品
y
件,获利为
S
千元.据 题意,
应有以下不等式成立.
?
x?0,
?
y?0,
?
?
?
2x?3y?1750,

?
x?6y?2405,< br>?
?
4x?2y?2500,
?
?
?
S?5x?6y .
满足以上条件的点
(x,y)

x?0,y?0,2x?3y?1750 ,x?6y?2405,4x?2y?2500
这五条直线
的五边形内.而
S?5x? 6y
是一组斜率为
?
5
的平行直线.显然过直线
6
2x?3 y?1750,4x?2y?2500
的交点时,
S
能取得最大值.即当
x? 500
y?250
时,
S
max
?4000
;即当生产A种 产品500件,B种产品
150件时,获利最大,最大利润为4000千元.

16.
解:可截24块,落料图略,利用率为94.86%.


17.
解:用17名工人制椅、13名工人制课桌可使全部任务完成最快.

18.
解:

进货 期望收益值
100 150×1=150
150 125×0.2+225×0.8=205
200 100×0.2+200×0.25+300×0.55=235
250 75×0.2+175×0.25+275×0.3+375×0.25=235
300
5 0×0.2+150×0.25+250×0.3+350×0.15+450×0.1=220


第 18 页 共 20 页


进货量为200只或250只,期望收益值最大为235元.

19 .
解:(1)行驶12公里,由题投按12.5公里计价,车费为10.4+1.6×
(12. 5-4)=24(元).

1
等候3分钟,由题设按2.5分钟计价,等候费为
?1.6?2.5?0.8(元)

5
合计24+0.8=24.8(元). (2)行驶23.7公里,按24公里计价.车费为10.4+1.6×(15-4)+2.4×(24-1 5)
=49.6(元),等候7分钟,按5分钟计价.等候费为
1

?1.6?5?1.6(元)
5
合计49.6+1.6=51.2(元).
(1) 据题设可得如下
x

y
的关系,其函数图象如图所示:







x
y

y
10.4
x
0
(0,4)
10.4
[4,4.5)
11.2
4
5
6
7
[4.5,5]
12.0
[5.5,5]
12.8
[5.5,6]
13.6
[6,6.5]
14.4
[6.5,7]
15.2
20.
解:设第
n
月月底的资 金为
a
n
元,贷款金额为
a
0


a< br>n?1
?a
n
?(1?20%)?a
n
?20%?60%?3 00?1.08a
n
?300


a
0
?1000 0
元,于是
a
1
?10500
元.
?
a
1
?b

?
,可得
a?ca?d< br>n?1
?
n
bc
n
?(d?b)c
n?1
? d
a
n
?, (c?1)

c?1
依题意,
b?10500,c?1.08,d??300

于是,
第 19 页 共 20 页


10500?1.08
12
?(?300?10500)1.08
11
?300
a
12< br>??19488.6
元.
1.08?1
纯收入为
a
12?10000(1?10.98%)?8390..6
元.
小王年底有资金19488.6元 , 纯收入为8390.6元.


第 20 页 共 20 页

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